第五章
工 程 数 学
第五章
第五章
工 程 数 学
§ 5,空间曲面和空间曲线
由上节知，空间平面对应于一 个三元
一次方程：
0???? DCzByAx
反之，任意一个三元一次方程也对应于空间
中的一个平面,
(1)
一、空间曲面及其方程
空间平面 ? 三元一次方程在直角坐标系下
第五章
工 程 数 学
设有空间曲面 S 及三元方程 F (x,y,z) = 0.
如果
1,曲面方程的概念
?F (x,y,z) = 0 的任一解 (x,y,z) 对应的
空间点 (x,y,z) 也在 S 上,
?S 上任一点 M(x,y,z) 的坐标 x,y,z 都
满足方程 F (x,y,z) = 0；
则称 F(x,y,z)=0为 S 的方程, 而 S 则称为
F (x,y,z)=0的 几何图形,
第五章
工 程 数 学
空间中与定点 M0 的距离恒为 R 的点的全
体构成的几何图形称为 球面, 定点 M0 为球面
的中心, R 称为球面的半径,
设球面上任一点 M 的坐标为 ( x,y,z ) 则 M
到球心 M0的距离为 R,即 | M0M |=R.
故,)()()( 22
02020 Rzzyyxx ??????
(2)
为中心在 M0 半径为 R 的 球面方程,
第五章
工 程 数 学
?M0 R
0x y
z
M
特例, x0 = y0 = z0 = 0,则 (2)变为
x2+y2+z2 = R2,(3)
(3)表示中心在原点，半径为 R的球面方程,
第五章
工 程 数 学
2,旋转曲面
以一条平面曲线绕平面上的一条直线旋
转一周所形成的曲面叫 旋转曲面,
旋转曲线和定直线分别称为旋转曲面的
母线 和 轴,
第五章
工 程 数 学
设 yz 平面上曲线 C 的方程为 f (y,z)= 0.
将曲线绕 z 轴旋转一周得一曲面,设旋转面上
任一点 M(x,y,z),
x
y
f (y,z)=0
z
M1
M
M2 ?
?
于 M 作垂直于 z 轴的平面,
它与曲线 C 交于 M1 ( 0,y1,z),与 z 轴交于
M2 (0,0,z).
第五章
工 程 数 学
因为 M1 (0,y1,z)在 C 上,所以 f (y1,z)=0
由旋转性 | M1M2 | = | MM2 |
即,|| 22
1 yxy ??
0),( 22 ??? zyxf
代入 f (y1,z) = 0 得
x
y
f (y,z)=0
z
M1
M
M2 ?
?
第五章
工 程 数 学
其它情形
.0),( 22 ??? zxyf
xy平面曲线 f (x,y)=0绕 x 轴旋转所成旋转
面之方程,
.0),( 22 ??? zyxf
yz平面曲线 f (y,z)=0绕 y 轴旋转所成旋转
面之方程,
第五章
工 程 数 学
常用旋转曲面 － 圆锥面
两相交直线中一条直
线 l 绕另一直线旋转一周
而成曲面称为 圆锥面,
)20( ??? ??
称为圆锥面的 半顶角,
l 与旋转轴夹角
0
x
y
z
l?
第五章
工 程 数 学
任取圆锥面上一点 M(x,y,z),过 M 作垂直于 z 轴
的平面交 z 轴于 M2(0,0,z),交直线 l 面于 M1.
由几何性质
.t a n
||
||
2
2 ??
OM
MM
故
.t a n
||
22
???
z
yx
即得曲面方程
,) co t( 2222 ?yxz ??
0
x
y
z
l
?M?M2
M1?
?
第五章
工 程 数 学
锥面方程也可以按如下方法求得：
因母线 l 的方程为 y=z tan?,z 轴为旋转轴，
故将 l 的方程中的 y 替换为 22 xy ??
便得锥面方程,
,t a n22 ?zxy ???
即 z2 = (x2+y2)cot 2?.
第五章
工 程 数 学
两平行直线，其中一条绕另一条旋转，所
形成的曲面称为 圆柱面,
常用旋转曲面 － 圆柱面
例如, y=R 绕 z 轴旋
转一周得圆柱面方程为
,22 Ryx ???
即 x2+y2 = R2
x
y
z
0
l
R
第五章
工 程 数 学
3,柱面
平行于定直线 L0 并沿定曲线 C 移动的直
线 L 所形成的轨迹叫做 柱面,称 L 为柱面的
母线, C 为柱面的 准线,
如不特别说明，柱面皆指母线平行于某
坐标轴,准线为一平面曲线的柱面,
L0
C
z
x
yL
z
x
C
yo
第五章
工 程 数 学
柱面方程有何特点呢？
方程 x2+y2=R2 表示圆柱面，其母线平行
于 z 轴，准线为 xy 面上的圆周 x2+y2=R2.
F(x,y)=0 表示母线平行于 z 轴, 准线为
xoy 面上曲线 C1,F(x,y)=0 的柱面；
一般地：
H(y,z)=0 表示母线平行于 x 轴, 准线为
yoz 面上曲线 C2,H(y,z)=0 的柱面；
G(x,z)=0 表示母线平行于 y 轴, 准线为
xoz 面上曲线 C3,G(x,z)=0 的柱面,
第五章
工 程 数 学
二、空间曲线及其方程
空间曲线,空间两曲面的交线,
其方程可描述为
F1(x,y,z)=0，
F2(x,y,z)=0.
交面式方程
或一般方程
1,空间曲线的方程
例如,x
2+y2=1
x+y+z=2.表示圆柱面与平面的交线,
第五章
工 程 数 学
和直线一样，我们也可用参数形式表示空
间曲线,
x = x(t),
y = y(t),
z = z(t).
参数方程
第五章
工 程 数 学
例 2.若空间中点 M 在圆柱面 x2+y2=a2上以角速
度 ? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z
轴的正方向上升 (其中 ?,v都是常数 ),则点 M构成
的图形为螺旋线, 其方程为：
z
x
y0
A
M
x = acos ? t,
y = asin ? t,
z = vt.
t ≥ 0.
第五章
工 程 数 学
2,空间曲线在坐标面的投影
设空间曲线
F1(x,y,z)=0,
F2(x,y,z)=0,
(5)
消去 z,得 H (x,y ) = 0,(6)
曲面 (6) 为母线平行于 z 轴的柱面,
C,
第五章
工 程 数 学
C
0
x
y
z 若点 M(x,y,z)满足 (5)，
则 (x,y) 满足 (6),故 C
是柱面 (6)上的一条曲
线, 所以 C 在 xy 平面
的投影为
H(x,y)=0
z=0 (7)
(7)即为曲线 C 在 xy 面的投影曲线方程,
第五章
工 程 数 学
例 3.求螺旋线
解, 由参数方程，即得 x2+y2=a2 (消去了 z),
故投影方程为 z=0.x
2+y2=a2,
x = acos ? t,
y = asin ? t
z = vt.
在 xy 平面上的投影,
第五章
工 程 数 学
例 6.求球面 x2+y2+z2=1,和 x2+(y?1)2+(z?1)2=1的
交线在 xy 面上的投影方程,
解, 交线方程为
x2+y2+z2=1
x2+(y?1)2+(z?1)2=1.
z
x
y
第五章
工 程 数 学
故投影方程为：
x2+2y2?2y=0，
z=0.
两式相减,2y+2z=2,即 z=1?y,
x2+y2+(1?y)2=1,
x2+2y2?2y=0.
代入第一个方程得：
第五章
工 程 数 学
三、二次曲面
一般地，称方程形如：
A11x2+A22y2+A33z2
+2A12xy+2A23yz+2A31zx+A1x+A2y+A3z +A =0
的曲面为三维空间 R3 中的二次曲面方程,
第五章
工 程 数 学
1,椭球面
12
2
2
2
2
2
??? czbyax ( a,b,c均大于 0).
| x | ≤ a,| y |≤b,| z |≤c
,1 2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ???
z = z0.
椭圆
以平行于 xy 面的平面 z = z0 (| z0 | ≤ c) 截曲面，
得到截线方程为
第五章
工 程 数 学
当,||
0 时cz ?
截线是平面 z=z0上一椭圆，
而当 | z0|=c时，截线退缩成一点 (0,0,z0).
z
x
y0
?
,1 2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ???
第五章
工 程 数 学
若 a=b，
,12
2
2
2
2
2
???
c
z
a
y
a
x
旋转椭球面
若 a=b=c，
方程变为
球面
方程变为 x2+y2+z2=a2.
第五章
工 程 数 学
2,椭圆抛物面
,
22 0
22
z
q
y
p
x ??
不妨设 p,q 均大于 0,以平行于 xy 面的平面
z=z0(z0>0)截椭圆抛物面，所得截线方程为
),(
22
22
同号qpz
q
y
p
x ??
.0zz ?
椭圆
第五章
工 程 数 学
,
22
2
0
2
q
yz
p
x ??
.0yy ?
抛物
线
x
z
y
第五章
工 程 数 学
特例：
若 p= q,方程变为
,22
2
0
2
zpypx ??
x
z
y
旋转抛物面
),(
22
22
同号qpz
q
y
p
x ??
第五章
工 程 数 学
3,双曲抛物面
),(
22
22
同号qpz
q
y
p
x ???
z
x
y
第五章
工 程 数 学
y = y0
q
yz
p
x
22
2
0
2
???
x = x0
p
xz
q
y
22
2
0
2
??
抛物线
抛物线
z
x
y
第五章
工 程 数 学
z=z0
0
22
22
z
q
y
p
x ???
双曲线
z
x
y
第五章
工 程 数 学
4,单叶双曲面
12
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x (a,b,c均大于 0)
,1 2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ???
.0zz ?
椭圆
第五章
工 程 数 学
,1 2
2
0
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x ???
.0yy ?
双曲线
,1 2
2
0
2
2
2
2
a
x
c
z
b
y ???
.0xx ?
双曲线
第五章
工 程 数 学
5,双叶双曲面
12
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x (a,b,c均大于 0)
,1 2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ???
.0zz ?
双曲线
第五章
工 程 数 学
,1 2
2
0
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x ???
.0yy ?
双曲线
,12
2
0
2
2
2
2
???
a
x
c
z
b
y
.0xx ?
椭
圆
0
x
y
za
作业：
P144 3; 5; 6; 7
工 程 数 学
第五章
第五章
工 程 数 学
§ 5,空间曲面和空间曲线
由上节知，空间平面对应于一 个三元
一次方程：
0???? DCzByAx
反之，任意一个三元一次方程也对应于空间
中的一个平面,
(1)
一、空间曲面及其方程
空间平面 ? 三元一次方程在直角坐标系下
第五章
工 程 数 学
设有空间曲面 S 及三元方程 F (x,y,z) = 0.
如果
1,曲面方程的概念
?F (x,y,z) = 0 的任一解 (x,y,z) 对应的
空间点 (x,y,z) 也在 S 上,
?S 上任一点 M(x,y,z) 的坐标 x,y,z 都
满足方程 F (x,y,z) = 0；
则称 F(x,y,z)=0为 S 的方程, 而 S 则称为
F (x,y,z)=0的 几何图形,
第五章
工 程 数 学
空间中与定点 M0 的距离恒为 R 的点的全
体构成的几何图形称为 球面, 定点 M0 为球面
的中心, R 称为球面的半径,
设球面上任一点 M 的坐标为 ( x,y,z ) 则 M
到球心 M0的距离为 R,即 | M0M |=R.
故,)()()( 22
02020 Rzzyyxx ??????
(2)
为中心在 M0 半径为 R 的 球面方程,
第五章
工 程 数 学
?M0 R
0x y
z
M
特例, x0 = y0 = z0 = 0,则 (2)变为
x2+y2+z2 = R2,(3)
(3)表示中心在原点，半径为 R的球面方程,
第五章
工 程 数 学
2,旋转曲面
以一条平面曲线绕平面上的一条直线旋
转一周所形成的曲面叫 旋转曲面,
旋转曲线和定直线分别称为旋转曲面的
母线 和 轴,
第五章
工 程 数 学
设 yz 平面上曲线 C 的方程为 f (y,z)= 0.
将曲线绕 z 轴旋转一周得一曲面,设旋转面上
任一点 M(x,y,z),
x
y
f (y,z)=0
z
M1
M
M2 ?
?
于 M 作垂直于 z 轴的平面,
它与曲线 C 交于 M1 ( 0,y1,z),与 z 轴交于
M2 (0,0,z).
第五章
工 程 数 学
因为 M1 (0,y1,z)在 C 上,所以 f (y1,z)=0
由旋转性 | M1M2 | = | MM2 |
即,|| 22
1 yxy ??
0),( 22 ??? zyxf
代入 f (y1,z) = 0 得
x
y
f (y,z)=0
z
M1
M
M2 ?
?
第五章
工 程 数 学
其它情形
.0),( 22 ??? zxyf
xy平面曲线 f (x,y)=0绕 x 轴旋转所成旋转
面之方程,
.0),( 22 ??? zyxf
yz平面曲线 f (y,z)=0绕 y 轴旋转所成旋转
面之方程,
第五章
工 程 数 学
常用旋转曲面 － 圆锥面
两相交直线中一条直
线 l 绕另一直线旋转一周
而成曲面称为 圆锥面,
)20( ??? ??
称为圆锥面的 半顶角,
l 与旋转轴夹角
0
x
y
z
l?
第五章
工 程 数 学
任取圆锥面上一点 M(x,y,z),过 M 作垂直于 z 轴
的平面交 z 轴于 M2(0,0,z),交直线 l 面于 M1.
由几何性质
.t a n
||
||
2
2 ??
OM
MM
故
.t a n
||
22
???
z
yx
即得曲面方程
,) co t( 2222 ?yxz ??
0
x
y
z
l
?M?M2
M1?
?
第五章
工 程 数 学
锥面方程也可以按如下方法求得：
因母线 l 的方程为 y=z tan?,z 轴为旋转轴，
故将 l 的方程中的 y 替换为 22 xy ??
便得锥面方程,
,t a n22 ?zxy ???
即 z2 = (x2+y2)cot 2?.
第五章
工 程 数 学
两平行直线，其中一条绕另一条旋转，所
形成的曲面称为 圆柱面,
常用旋转曲面 － 圆柱面
例如, y=R 绕 z 轴旋
转一周得圆柱面方程为
,22 Ryx ???
即 x2+y2 = R2
x
y
z
0
l
R
第五章
工 程 数 学
3,柱面
平行于定直线 L0 并沿定曲线 C 移动的直
线 L 所形成的轨迹叫做 柱面,称 L 为柱面的
母线, C 为柱面的 准线,
如不特别说明，柱面皆指母线平行于某
坐标轴,准线为一平面曲线的柱面,
L0
C
z
x
yL
z
x
C
yo
第五章
工 程 数 学
柱面方程有何特点呢？
方程 x2+y2=R2 表示圆柱面，其母线平行
于 z 轴，准线为 xy 面上的圆周 x2+y2=R2.
F(x,y)=0 表示母线平行于 z 轴, 准线为
xoy 面上曲线 C1,F(x,y)=0 的柱面；
一般地：
H(y,z)=0 表示母线平行于 x 轴, 准线为
yoz 面上曲线 C2,H(y,z)=0 的柱面；
G(x,z)=0 表示母线平行于 y 轴, 准线为
xoz 面上曲线 C3,G(x,z)=0 的柱面,
第五章
工 程 数 学
二、空间曲线及其方程
空间曲线,空间两曲面的交线,
其方程可描述为
F1(x,y,z)=0，
F2(x,y,z)=0.
交面式方程
或一般方程
1,空间曲线的方程
例如,x
2+y2=1
x+y+z=2.表示圆柱面与平面的交线,
第五章
工 程 数 学
和直线一样，我们也可用参数形式表示空
间曲线,
x = x(t),
y = y(t),
z = z(t).
参数方程
第五章
工 程 数 学
例 2.若空间中点 M 在圆柱面 x2+y2=a2上以角速
度 ? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z
轴的正方向上升 (其中 ?,v都是常数 ),则点 M构成
的图形为螺旋线, 其方程为：
z
x
y0
A
M
x = acos ? t,
y = asin ? t,
z = vt.
t ≥ 0.
第五章
工 程 数 学
2,空间曲线在坐标面的投影
设空间曲线
F1(x,y,z)=0,
F2(x,y,z)=0,
(5)
消去 z,得 H (x,y ) = 0,(6)
曲面 (6) 为母线平行于 z 轴的柱面,
C,
第五章
工 程 数 学
C
0
x
y
z 若点 M(x,y,z)满足 (5)，
则 (x,y) 满足 (6),故 C
是柱面 (6)上的一条曲
线, 所以 C 在 xy 平面
的投影为
H(x,y)=0
z=0 (7)
(7)即为曲线 C 在 xy 面的投影曲线方程,
第五章
工 程 数 学
例 3.求螺旋线
解, 由参数方程，即得 x2+y2=a2 (消去了 z),
故投影方程为 z=0.x
2+y2=a2,
x = acos ? t,
y = asin ? t
z = vt.
在 xy 平面上的投影,
第五章
工 程 数 学
例 6.求球面 x2+y2+z2=1,和 x2+(y?1)2+(z?1)2=1的
交线在 xy 面上的投影方程,
解, 交线方程为
x2+y2+z2=1
x2+(y?1)2+(z?1)2=1.
z
x
y
第五章
工 程 数 学
故投影方程为：
x2+2y2?2y=0，
z=0.
两式相减,2y+2z=2,即 z=1?y,
x2+y2+(1?y)2=1,
x2+2y2?2y=0.
代入第一个方程得：
第五章
工 程 数 学
三、二次曲面
一般地，称方程形如：
A11x2+A22y2+A33z2
+2A12xy+2A23yz+2A31zx+A1x+A2y+A3z +A =0
的曲面为三维空间 R3 中的二次曲面方程,
第五章
工 程 数 学
1,椭球面
12
2
2
2
2
2
??? czbyax ( a,b,c均大于 0).
| x | ≤ a,| y |≤b,| z |≤c
,1 2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ???
z = z0.
椭圆
以平行于 xy 面的平面 z = z0 (| z0 | ≤ c) 截曲面，
得到截线方程为
第五章
工 程 数 学
当,||
0 时cz ?
截线是平面 z=z0上一椭圆，
而当 | z0|=c时，截线退缩成一点 (0,0,z0).
z
x
y0
?
,1 2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ???
第五章
工 程 数 学
若 a=b，
,12
2
2
2
2
2
???
c
z
a
y
a
x
旋转椭球面
若 a=b=c，
方程变为
球面
方程变为 x2+y2+z2=a2.
第五章
工 程 数 学
2,椭圆抛物面
,
22 0
22
z
q
y
p
x ??
不妨设 p,q 均大于 0,以平行于 xy 面的平面
z=z0(z0>0)截椭圆抛物面，所得截线方程为
),(
22
22
同号qpz
q
y
p
x ??
.0zz ?
椭圆
第五章
工 程 数 学
,
22
2
0
2
q
yz
p
x ??
.0yy ?
抛物
线
x
z
y
第五章
工 程 数 学
特例：
若 p= q,方程变为
,22
2
0
2
zpypx ??
x
z
y
旋转抛物面
),(
22
22
同号qpz
q
y
p
x ??
第五章
工 程 数 学
3,双曲抛物面
),(
22
22
同号qpz
q
y
p
x ???
z
x
y
第五章
工 程 数 学
y = y0
q
yz
p
x
22
2
0
2
???
x = x0
p
xz
q
y
22
2
0
2
??
抛物线
抛物线
z
x
y
第五章
工 程 数 学
z=z0
0
22
22
z
q
y
p
x ???
双曲线
z
x
y
第五章
工 程 数 学
4,单叶双曲面
12
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x (a,b,c均大于 0)
,1 2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ???
.0zz ?
椭圆
第五章
工 程 数 学
,1 2
2
0
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x ???
.0yy ?
双曲线
,1 2
2
0
2
2
2
2
a
x
c
z
b
y ???
.0xx ?
双曲线
第五章
工 程 数 学
5,双叶双曲面
12
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x (a,b,c均大于 0)
,1 2
2
0
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x ???
.0zz ?
双曲线
第五章
工 程 数 学
,1 2
2
0
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x ???
.0yy ?
双曲线
,12
2
0
2
2
2
2
???
a
x
c
z
b
y
.0xx ?
椭
圆
0
x
y
za
作业：
P144 3; 5; 6; 7
