第三章
工 程 数 学
第三章
z
x
y
O
第三章
工 程 数 学
本章主要讨论经下五个问题：
1,向量的概念及其线性运算；
2,空间直角坐标系与向量的表示；
3,向量空间的概念；
4,向量的线性关系及向量组的秩与极大无关组；
5,向量空间的维数、基及向量的坐标。
第三章
工 程 数 学
§ 1,向量的概念及其线性运算
向量可用空间的一个有向线段来表示，如
A
B?
一、向量的概念
例如力，速度，加速度等均为向量,
既有大小，又有方向的量称为向量
(又称矢量 ).
定义 1
第三章
工 程 数 学
其中有向线段的长度表示向量的大小, 称为
向量的长度 (模 ),有向线段的指向表示向量的
方向, 这样的向量我们均称为 (几何 )向量,
如果 A,B 分别是向量的起点和终点, 则
向量可用符号 AB 表示, 也可用一希腊字母如
?,?,?,… 等表示,
第三章
工 程 数 学
方向相同且模相等的向量称为相等的向量,
也就是说, 向量与它的起点无关, 而只与它的
长度及方向有关,这种向量称之为自由向量,
向量 AB (或 ? )的模用符号 ||AB|| (或 || ? ||)
来表示, 模为 1的向量称为单位向量 ; 模为零的
向量称为零向量, 记作 0,零向量的方向不定,
在讨论多个向量时, 为了便于研究, 我们
常把它们平移到同一起点,
第三章
工 程 数 学
与向量 ? 的长度相等，方向相反的向量
称为 ? 的负向量，记为 ??，
如果两 个向量 ?,? 平行于同一直线，则
称它们共线,记为 ? //?,零向量与任何向量
共线,
显然 AB = ? BA
第三章
工 程 数 学
二、向量的线性运算
1,向量的加法
? +?
O
A
B
? ?
设 ?,? 为空间中两个向量，在空间
中任取一点 O,作 OA=?,AB=?,则向
量 OB 称为 ? 与 ? 的和，记为 ?+?.
? +?
O
A
B
? ?
?
定义 2
第三章
工 程 数 学
2,向量与数的乘法
设 ?为向量,? 为实数，定义 ?与 ?
的乘积 ??是满足如下两条件的向量：
i) || ?? ||=| ? | || ? ||
ii) 当 ?>0 时,?? 的方向与 ? 相同；
当 ?<0 时,?? 的方向与 ?相反,
定义 3
第三章
工 程 数 学
显然，当 ?=0 或 ?=0 时,??=0
如：
? 2?
?2?
?
?
第三章
工 程 数 学
设 ?为一非零向量,?0 为与 ? 同向的单
位向量，则由向量的数乘可知
?=|| ?|| ? 0
或
ααα |||| 10 ?
此时 ?0 又称为 ? 的单位化向量,
第三章
工 程 数 学
定理 1.
向量的加法及数与向量的乘法这两种运
算称为向量的线性运算,
利用向量的数乘，显然有
向量 ? 与非零向量 ? 平行的充要条件
是存在非零实数 ?,使
? = ??
向量的线性运算满足下面的运算法则：
1) ?+?=?+? ; (加法交换律 )
2) (?+?)+? =? + (? +? ); (加法结合律 )
3) 0+?=?;
4) ? +(??)=0;
5) 1?? =?;
6) ?1(?2?)=(?1? 2)? ; (数乘结合律 )
7) (?1+?2)?=?1?+ ? 2? ; (第一分配律 )
8) ?(? + ?)=??+??; (第二分配律 )
其中 ?,?,? 表示空间中任意向量,?1,?2
表示任意实数,
定理 2.
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工 程 数 学
以上 8条法则可直接由定义得出, 例如由下图
?
?
?
?
可得出 1) ?+?=?+?
第三章
工 程 数 学
由下图
? ?
?
可得出 2) (?+?)+? =? + (? +? );
第三章
工 程 数 学
根据向量的加法，定义两向量 的减法为：
???=?+(?? )
显然,若 ? =???,则 ? +? =?
即减法是加法的逆运算,
?
?
? ??
3,向量的减法
第三章
工 程 数 学
例 1 已知平行六面体三边的向量分别为 ?,?,
?,A,B,C,D,E,F为各边中点, 求证向
量 AB,CD,EF 能 构成三角形,
第三章
工 程 数 学
证,由右图可看出
βα 2121 ???AB
αγ 2121 ???CD
γβ 2121 ???EF
于是
0??? EFCDAB
B
A
F
E
D
?
C
?
?
即
.,,能构成三角形EFCDAB
第三章
工 程 数 学
例 2,已知四边形 ABCD 中, AB=??2?,
CD=5?+6? ?8?,对角线 AC,BD 的
中点分别为 E,F,试用 ?,?,? 表示
向量 EF.
第三章
工 程 数 学
解,如图，
,21 ABHF ? CDEH 21?
而 HFEHEF ??
A B
D
C
H
E
F
)(21 CDAB ??
为 H,由于 E,F分别
为 AC,BD中点，有
设 AD的中点
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工 程 数 学
故
)(21 CDABHF ??
)8652(21 γβαγα ?????
γβα 533 ???
又,2γα ??AB
γβα 865 ???CD
第三章
工 程 数 学
定义 4
三、向量在轴上的投影
已知空间中的一点 A 及一轴 u,过 A
作垂直于轴 u 的平面 ?,交轴 u 于 A'，
则称 A' 为 A 在轴 u 上的投影,
A
u
A'
?
?
?
如图：
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工 程 数 学
定义 4 设向量 AB 的起点 A 及终点 B 在轴 u 上
的投影分别为 A',B',则有向线段 A'B' 称
为向量 AB 在轴 u 上的投影, 记为
Prju AB,而向量 A'B' 称为向量 AB 在轴
u 上的投影向量,
A
uA'
?
?
B
B'
?
?
?
e
如图,
第三章
工 程 数 学
注意,Prju AB 是一数量，若与 u 同向的
单位向量为 e,则
A'B' =( PrjuAB ) e
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工 程 数 学
定理 3.
设 ?为向量 AB 与轴 u 的夹角 (0≤? ≤?),
则由上图可看出
向量 AB 在轴 u 上的投影等于该向量的
模乘以轴 u 与该向量夹角的余弦，即
Prju AB = || AB ||cos ?
第三章
工 程 数 学
由定理 2立即可知：若 ? 为实数，则
Prju (? AB ) = ? Prju AB
关于向量在轴 u 上的投影，还可以证明
第三章
工 程 数 学
两个向量的和在轴 u 上的投影等于
两向量在该轴上的投影之和，即
Prjiu(?+? )=Prju ?+Prju ?
A
uA'
?
?
C
C'
?
?
B
B'
? ?
?
?
定理 4的结论还可以推广到多个向量的情形,
定理 3.
第三章
工 程 数 学
定义 4
一、空间直角坐标系
设 O 为空间中的一点, 过 O作三条两
两相互垂直的数轴, 分别称为 x 轴,
y 轴, z 轴, 它们的正向如下图, 则它
们构成空间直角坐标系,
z
x
y
O
z
x
y
O'
§ 2,空间的直角坐标系及向量的坐标
第三章
工 程 数 学
在空间直角坐标系中，任意两条轴确定
的平面称为坐标平面, 如
x 轴,y 轴确定的平面为 xy 平面 (xOy面 )
y 轴,z 轴确定的平面为 yz 平面 (yOz面 )
x 轴,z 轴确定的平面为 xz 平面 (xO z面 )
第三章
工 程 数 学
在空间直角坐标系中，三个坐标平面将整
个空间分成八个部分，每个部分称为一个封限,
分别称为第 I－ VIII卦限, 如下图：
z
IV
VI
VVII
0
x
y
VIII
IIIII
I
第三章
工 程 数 学
在空间直角坐标系中，有
三条轴,x 轴,y 轴,z 轴
三个坐标面,xy 平面,yz 平面,xz 平面
八个卦限,第 I － VIII 卦限
第三章
工 程 数 学
二、空间向量的坐标表示
建立了空间直角坐标系后, 设 M 为空间任一
点, M 在 x 轴, y 轴, z 轴上的投影分别为 P,Q,R,
它们在各轴上的坐标分别为 x,y,z,则
M?(x,y,z)
称有序数组 (x,y,z)为点 M的 坐
标, 并依次称 x,y,z 为 M的 横
坐标, 纵坐标, 竖坐标, 记为
M(x,y,z).
z
x
y
R
M?
Ox
yz
Q
P
1,空间中点的坐标
第三章
工 程 数 学
在空间直角坐标系中，每个卦限中的点的
坐标有如下特点：
第 I 卦限, x>0,y>0,z>0;
第 II 卦限, x<0,y>0,z>0;
第 III 卦限, x<0,y<0,z>0;
第 IV卦限, x>0,y<0,z>0;
第 V卦限, x>0,y>0,z>0;
第 VI卦限, x<0,y>0,z<0;
第 VII卦限, x<0,y<0,z<0;
第 VIII卦限, x>0,y<0,z<0;
第三章
工 程 数 学
如：
z
IV
VI
VVII
0
x
y
VIII
IIIII
I
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工 程 数 学
2,空间向量的坐标
设点 M 的坐标为 ( x,y,z),则 OM 在 x 轴、
y 轴,z 轴上的投影分别为 x,y,z,又设 x 轴、
y 轴,z 轴上的单位向量分别为 i,j,k,称为
基本单位向量,则由下图可知
第三章
工 程 数 学
而 HMOHOM ??
HMPHOP ???
OROQOP ???
kji zyx ???
z
x
y
R
M?
O
x
y
z
Q
P
k
i
j
H
即 kji zyxOM ???
,ixOP ?,jyOQ ? kzOR ?
第三章
工 程 数 学
由上图可知：
22 |||||||||||| HMOHOM ??
222 |||||||||||| HMPMOP ???
即
222 |||||||||||| OROQOP ???
222 zyx ???
OM = xi + yj + zk
222|||| zyxOM ???
第三章
工 程 数 学
设在空间直角坐标系中,P1 的坐标为
(x1,y1,z1),P2 的坐标为 (x2,y2,z2),则
1OP kji 111 zyx ???
2OP kji 222 zyx ???
而
,1221 OPOPPP ??
O
P2
P1
由投影定理知 P1P2 在 x 轴,y 轴,z轴
上的投影分别为 x2?x1,y2?y1,z2?z1,故
第三章
工 程 数 学
kji )()()( 12121221 zzyyxxPP ??????
将它们的起点平移到坐标原点，则
21221221221 )()()(|||| zzyyxxPP ??????
第三章
工 程 数 学
由上可知, 空间中的任一向量与它在三
条坐标轴上的投影形成一一对应, 设向量 a
在 x 轴, y 轴, z 轴上的投影分别为 ax,ay,az,
则称 ax,ay,az 为向量 a 的坐标, 并记为
a=(ax,ay,az)
第三章
工 程 数 学
于是任一向量有两种表示
a=(ax,ay,az) (坐标表示式 )
= ax i+ay j+ az k (按基本单位向量的分解式 )
其中 ax i,ay j,az k 又分别称为向量 a 在 x
轴,y轴,z 轴上的 分量 (分向量 ),且
222 |||| zyx aaa ???a
第三章
工 程 数 学
3,空间中向量的线性运算
设空间中有两个向量：
a=(ax,ay,az)=ax i + ay j + az k
b=(bx,by,bz)=bx i + by j + bz k
则由向量加法的交换律和结合律知：
a ? b =(ax ?bx ) i+(ay ?by) j+( az ?bz) k
=(ax ? bx,ay ? by,az ? bz)
?a = ? ax i+ ? ay j+ ? az k =(? ax,? ay,? az)
即向量的加减法与数乘可通过它们的坐标进
行相应运算,
第三章
工 程 数 学
而 a 的方向可用它与三条坐标轴的正向
的夹角 ?,?,? 来表示 (0≤ ?,?,?≤? ),?,?,? 称
为向量 a 的 方向角,
4,空间中向量的模、方向余弦、方向角
设向量 a=(ax,ay,az)=ax i+ay j+ az k
则由上可知 222
|||| zyx aaa ???a
第三章
工 程 数 学
由投影定理知：
,co s|||| ?a?xa,c o s|||| ?a?ya,c o s|||| ?a?za
故
||||c o s a
xa??
||||
c o s
a
ya??
222
zyx
x
aaa
a
??
?
222
zyx
y
aaa
a
??
?
||||c o s a
za??
222
zyx
z
aaa
a
??
?
第三章
工 程 数 学
cos ?,cos ?,cos ? 称为向量 a 的方向余弦,
显然 cos 2?+cos2?+ cos2? =1.
第三章
工 程 数 学
总之，若在空间直角坐标系中向量
222|||| zyx aaa ???a
222
c o s
zyx
x
aaa
a
??
??
222
c o s
zyx
z
aaa
a
??
??
222
c o s
zyx
y
aaa
a
??
??
a=(ax,ay,az)
则
=axi+ayj+azk
第三章
工 程 数 学
而与 a 同向的单位向量为
aaa |||| 1??
),,(1
222 zyx
zyx
aaa
aaa ??
?
)c o s,c o s,( c o s ????
第三章
工 程 数 学
例 1 求 空间两点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的距离,
,)()()(|||| 21221221221 zzyyxxPP ??????
从而知点 P1与点 P2的距离为
证,点 P1与 P2 的距离为向量 P1P2 的长度，而
P1P2=(x2? x1,y2 ?y1,z2 ?z1)
,)()()( 212212212 zzyyxx ?????
此称空间两点的距离公式,
第三章
工 程 数 学
例 2 在 z 轴上求与两点 A(?4,1,7)和 B(3,5,?2)
等距的点 M.
222 )7()01()04( z??????
由此解得
.914?z
故所求的点为
)914,0,0(M
解,因为点 M 在 z 轴上，所以设 M 的坐标为
M(0,0,z),依题意知 ||MA||= || MB ||
即
,)2()05()03( 222 z???????
第三章
工 程 数 学
例 3 已知两点 )1,2,4(A 和 B(3,0,2),求向量
AB 的模，方向余弦和方向角及 AB?
第三章
工 程 数 学
解：
),1,2,1()12,20,43( ??????AB
21)2()1(|||| 222 ??????AB
,21c o s ???,22c o s ???,2
1co s ??
,32?? ?,4
3?? ?,
3
?? ?
故
ABAB 21?? )2
1,
2
2,
2
1( ??
第三章
工 程 数 学
§ 3,向量空间
在上一节, 我们介绍了三维向量的概念,
知道三维向量与一个三元有序数组形成一一对
应, 实际生活中很多事物也可用多个数构成的
有序数组来刻划,
a 1 x 1 + a 2 x 2 +… + a n x n = b
就可用 n+1个数构成的有序数组 (a1,a2,…,an,b)
来代表,
如一个 n元线性方程组
第三章
工 程 数 学
在这一节，我们把三维向量的概
念予以推广，讨论 n 维向量,
第三章
工 程 数 学
定义 1
一,n 维向量的定义及运算
由 n 个数构成的有序数组 (a1,a2,…,an)
称为 n 维向量,其中 ai 称为该向量的第
i 个分量 (i=1,2,…,n).
一般用希腊字母 ?,?,?,… 表示 n 维向量,
分量全是实数的向量称为实向量, 以后我们所
讨论的向量都是指实向量,
1,n 维向量
注意,n>3时的向量没有直观的几何意义,
第三章
工 程 数 学
规定
?= (a1,a2,…,an ),
?= (b1,b2,…,bn ),
?= ?? ai=bi,i=1,2,…,n.
第三章
工 程 数 学
1) 加减法 设 ?=(a1,a2,…,an),?= (b1,b2,…,bn ),
定义
? ? ?=(a1 ? b1,a2 ? b2,…,an ? bn).
2) 数乘 设 ?=(a1,a2,…,an),k为实数，定义
数 k与向量 ? 的乘积为
k?=(ka1,ka2,…, kan).
2,n 维向量的运算
第三章
工 程 数 学
易验证，向量的运算满足如下八条基本规律：
1) 加法交换律 ?+?=? +?.
2) 加法结合律 (?+? )+? = (?+ ? )+ ?,
3) 向量 0=(0,0,…,0) 称为零向量，它有性质
4) (?1)?=(?a1,? a2,…,? an)
称为 ? 的负向量，记为 ??.,显然有：
?+ (?? )=0.
? + 0=?,
第三章
工 程 数 学
5) 1??=?
6) 数乘结合律 k(l?)=(kl)?
7) 第一分配律 k(?+?)=k?+k?
8) 第二分配律 (k+l)?=k?+l?
(其中 ?,?,? 为任意 n 维向量,k,l为实数 )
第三章
工 程 数 学
我们也可把 n 维向量的分量排成一列，如
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
na
a
a
?
2
1
α
此时可称 ?为 n 维列向量；相应地称把分量
排成一行的向量称为 n 维行向量，如 ?=(a1,
a2,…,an)
由上面可看出,n 维向量的概念与运算
实际上与 1?n (或 n? 1)矩阵一致,
第三章
工 程 数 学
设 A是一个 m 行 n 列的矩阵，则 A 的每
一行是一个 n 维行向量,A 的每一列是一个 m
维列向量，分别称它们为 A 的行向量与列向
量, 并可以表示为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m?
?
?
?
2
1
),,,( 21 n??? ??
第三章
工 程 数 学
定义 2 设 V是一些 n 维向量的非空集合, 如
果 V 关于向量的加法与数乘封闭, 即
(1) ??,??V,有 ?+??V.
(2) ???V,k?R,有 k??V.
则称 V 是一个向量空间,
二、向量空间
第三章
工 程 数 学
例 1.全体 n 维向量的集合 {(x1,x2,…,xn)| xi?R,
i=1,2,…,n}是一个向量空间，记为 Rn.
特别的
n=1 时全体实数 R 是一个向量空间 ;
n=3 时 全体三维向量 {(x1,x2,x3)|xi?R,i=1,
2,3} 是一个向量空间，记为 R3.
n=2 时全体平面中的向量 {(x1,x2)|xi?R,
i=1,2} 是一个向量空间，记为 R2.
第三章
工 程 数 学
例 3 W={(a1,a2,…,an)|
}0
1
?
?
?
n
i
ia
是一向量空间,
而
}1|),,,{(
1
21 ?
?
???
n
i
in aaaaS
不是一向量空间,因为它关于加法与数乘均
不封闭,
例 2.仅含一个 n 维零向量 0=(0,0,…,0) 的集
合 {0}构成一个向量空间，称为零空间,
第三章
工 程 数 学
定义 3 设 V 是一个向量空间, W?V,W??,如果 W 关于向量的加法与数乘也封闭,
则称 W 是 V 的子空间,
例 4 V本身和 {0}都是 V 的子空间，称它们为
V 的平凡子空间,
例 5 }1,,2,1,|)0,,,,{(
1211 ???? ? niRaaaaW in ??
}|),,,,{(2 RaaaaaW ?? ?
n个分量
都是 R n 的子空间,
及
第三章
工 程 数 学
例 6,设 ??V,则 L(?)={k?|k?R}为 V 的子空间,
称它为由 ? 生成的子空间, ? 称为这子空
间的生成元,
},,2,1,,|{),,(
1
21 siRkkL i
s
i
iis ?? ???? ?
?
??????
是 V 的由 ?1,?2,…,?s 生成的子空间,
更一般地，设 ?1,?2,…,?s ?V.
第三章
工 程 数 学
例 7,设 A 为 m 行 n 列实矩阵, 设 A 的列
向量为 ?1,?2,…,?n,则 L(?1,?2,…,?n)
是 Rm 的子空间, 称为 A的列空间,
记为 N(A)，
设 A的行向量为 ?1,?2,…,?n,则
L(?1,?2,…,?n) 也是 Rn 的子空间, 称为 A
的行空间,
第三章
工 程 数 学
定义 1
§ 4,向量的线性相关性
一、向量组的线性相关
设有 n 维向量组 ?1,?2,…,?s, 如果有
不全为零的实数 k1,k2,…,ks 使得
k1 ?1 + k2 ?2+ …+ ks ?s =0
否则，称 ?1,?2,…,?s 线性无关,
则称 n 维向量组 ?1,?2,…,?s 线性相关，
第三章
工 程 数 学
所谓 ?1,?2,…,?s 线性无关，即令
k1 ?1 + k2 ?2+ …+ ks ?s =0,
则必有 k1= k2= …= ks=0.
例 1,向量组 ?1=(1,2,0,1),?2=(1,1,?1,3),
?3=(1,3,1,? 1)线性相关,因为
2?1??2 ??3=0
第三章
工 程 数 学
例 2.两个向量 ?,? 线性相关当且仅当
?=k? 或 ?=l?,k,l?R.
例 3,含有零向量的 n 维向量组必定线性相关，
因为若向量组 ?1,?2,…,?s 中有一为零向
量，不妨设 ?1=0，则
1??1+0??2+ …+ 0 ??s=0
其系数不全为 0.
第三章
工 程 数 学
例 4 证明 n 维向量组 e1=(1,0,…,0),e2=(0,
1,…,0),…,en=(0,0,…,1) 线性无关,
证,令 k1e1+k2e2+…+ knen=0,
即 (k1,k2,…,kn)=(0,0,…,0)
所以 k1= k2= …= kn=0.
即 e 1,e 2,…,e n 线性无关,
第三章
工 程 数 学
例 5,讨论四维向量组 ?1=(1,1,1,1),?2=(1,?1,1,?1),
?3=(1,?1,?1,1),?4=(1,1,?1,?1) 的线性相关性,
解,令 k1? 1+k2?2+ k3? 3 +k4? 4=0
即 (k1+k2+k3+k4,k1?k2 ?k3+k4,k1+k2?k3?k4,
k1?k2+k3?k4 ) =0
即
k1+k2+k3+k4=0
k1?k2 ?k3+k4=0
k1+k2?k3?k4=0
k1?k2+k3?k4 =0
第三章
工 程 数 学
因为上方程组的系数行列式不等于零，
方程组仅有零解，所以
k1= k2= k3= k4 =0
即 ?1,?2,?3,?4 线性无关,
第三章
工 程 数 学
定义 2
设 k1,k2,…,ks?R,?1,?2,…,?s 是 n 维向量，若
?=k1? 1+k2?2+ … + ks?s
则称 ? 为 向量 ?1,?2,…,?s 的一个线性组合，
或称 ? 可由向量组 ?1,?2,…,?s 线性表出,
第三章
工 程 数 学
定理 1.
当 s≥2 时, 向量组 ?1,?2,…,?s 线性
相关的充分必要条件是其中至少有一向量
能由其余向量线性表出,
第三章
工 程 数 学
证,必要性
k1? 1+k2?2+ … + ks? s=0
于是
.1111 ??????? s
s
s
s
s k
k
k
k ??? ?
即 ?s可由 ?1,?2,…,?s?1线性表出,
设 ?1,?2,…,?s线性相关，则有不全为零
的实数 k1,k2,…,ks, 不妨设 ks?0,使
第三章
工 程 数 学
若某个向量例如 ?1可被其余向量线性表
出，即有
? 1 =k2? 2+k3?3+ … + ks? s
于是
1?? 1+(?k2)? 2+ … +( ?ks )? s=0
其系数 不全为零，故 ?1,?2,…,?s 线性相关,
充分性
第三章
工 程 数 学
定理 2.
如果向量组 ?1,?2,…,?s 中有一
部分向量线性相关, 则这 s 个向量也
线性相关,
第三章
工 程 数 学
证,不妨设前 r (r<s)个向量 ?1,?2,…,?r 线性相
关，即存在不全为零的数 k1,k2,…,kr使得
k1? 1+k2?2+ … + kr? r=0
再取 kr+1=kr+2=…= ks=0,则有
k1? 1+k2?2+ … + kr? r+kr+1?r+1+…+ ks?s =0,
而 k1,k2,…,ks不全为零，所以 ?1,?2,…,?s
线性相关,
第三章
工 程 数 学
如果向量组 ?1,?2,…,?s 线性无关，
则其中部分向量也线性无关,
定理 1、定理 2可总结为：
部分相关则整体相关；整体无关则部分无关。
推论
第三章
工 程 数 学
定义 2
二、向量组的极大无关组与秩
n 维向量组 ?1,?2,…,?s 的部分组
显然，一个向量组线性无关当且仅当它的极
大无关组就是它自身,
riii ???,,,21 ?
如果满足,
2) 向量组 ?1,?2,…,?s中的其余向量都可
由
riii ???,,,21 ?
线性表出，
1) 线性无关，
riii ???,,,21 ?
是 向 量 组 ? 1,
?2,…,?s的一个极大无关组,
则称
riii ???,,,21 ?
第三章
工 程 数 学
例 6 设有三维向量组,?1=(1,0,0),?2=(0,
1,0),?3=(0,0,1),?4=(1,1,1),显然 ?1,?2,?3
线性无关, 且 ?4 =?1+?2+?3,即 ?4 能由 ?1,
?2,?3 线性表出, 所以 ?1,?2,?3 就是向量组 ?1,
?2,?3,?4 的一个极大无关组 。
同样可验证 ?1,?3,?4 ； ?1,?2,?4及 ?1,
?3,?4 均是向量组的极大无关组,
第三章
工 程 数 学
定理 3.
由上例可看出一个向量组的极大无关组可能不
止一个，但可以证明：
一向量组的极大无关组都含有相同
个数的向量, 且称极大无关组中向量的
个数为向量组的秩,
定理 3的结论可由下面定理直接得出,
第三章
工 程 数 学
定理 4.
设 ?1=(a11,a12,…,a1n),?2=(a21,a22,…,
a2n),…,?m=(am1,am2,…,amn ) 是 m个 n 维向量,
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
m
A
α
α
α
?
2
1
并称 A 为向量组 ?1,?2,…,?n 所构成的矩阵，
则 r(A)=r.
是它的一个极大无关组, 令
riii ααα,,,21 ?
?
?
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?
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?
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mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
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????
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21
22221
11211
第三章
工 程 数 学
证 *,先证 ?r(A)≤r,
?
?
?
r
i
iijj k
1
αα
将 第一行乘以 (?k1j) 第二行乘以 (?k2j) … 第 r
行乘以 (?krj)全部加到第 j 行 (j=r+1,…,m),得
不妨设 ?1,?2,…,?r 即是极大无关组,
则 ? j(r<j≤s)可由 ?1,?2,…,?s 线性表出，即
),,1( srj ???
rrjjj kkk ααα ???? ?2211
第三章
工 程 数 学
?
?
?
?
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?
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?
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0
0
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r
B α
α
α
2
1
A?
所以 r(A)=r(B)≤r.
?
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0000
0000
21
22221
11211
????
?
????
?
?
rnrr
n
n
aaa
aaa
aaa
第三章
工 程 数 学
反设 r(B)=r(A)=t<r,即 B 有一 t 阶子式不
为零，不妨设是 B 的左上角的 t 阶子式 D 不
为零，即
下面证明 ? r(A)≥r.
,0
21
22221
11211
?
tttt
t
t
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
第三章
工 程 数 学
当 n= t 时，则由克莱姆规则知方程组
(1)
a11x1+a21x2+…+ at1xt=ar1,
a12x1+a22x2+…+ at2xt=ar2,
………………
a1tx1+a2tx2+…+ attxt=art,
有唯一解 (k1,k2,…,kt),即
k1?1+ k2?2 +…+ kt?t = ?r
于是 ?1,?2,…,?t,?r线性相关，与 ?1,?2,…,
?t,…,?r是极大无关矛盾,
第三章
工 程 数 学
当 n>t 时，任取 t<l≤m,取 A 的前 t 行及第
r 行,A 的前 t 列及第 l 列交叉处元素构成的一
t+1子矩阵 A1：
?
?
?
?
?
?
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?
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21
21
222221
111211
1
rlrtrr
tltttt
lt
lt
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
?
?
?????
?
?
则 | A1|=0,
第三章
工 程 数 学
设 (k1,k2,…,kt)为 (1)的解, 分别把 A1的第一
行的 (?k1)倍, 第二行的 (?k2)倍, …,第 t 行的 (?kt)
倍加到第 r 行, 得
A1?
?
?
?
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t
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ilirl
tltttt
lt
lt
aka
aaaa
aaaa
aaaa
A
1
21
222221
111211
2
000 ?
?
?????
?
?
第三章
工 程 数 学
分别令 l=t=1,…,m 再考虑到 (k1,k2,…,kt)为 (1)
的解，可得
?r = k1?1+ k2?2 +…+ kt?t
与 ? 1,?2,…,?t,…, ?r是极大无关组矛盾,
综合 ?,? 有 r(A)=r.
而 |A2|=|A1|=0,即
.0)(
1
?? ?
?
Daka
t
i
ilirl
因为 D?0
所以
?
?
?
t
i
itirl aka
1
第三章
工 程 数 学
推论 1
由定理 4知，向量组的秩等于它构成的矩
阵的秩，又由于任一矩阵的秩与它的转置矩阵
的秩相等，故由定理 4可得：
矩阵 A 的秩就等于它的行向量组的秩，
也 等于它的列向量组的秩,
第三章
工 程 数 学
设 ?1,?2,…,?m 为 m个 n 维向量, A 是以
它们为行向量构成的 m?n 矩阵, 则 ?1,?2,…,
?m线性相关的充要条件是 r(A)<m.
当 m=n 时，向量组线性相关的充要条
件为 | A |=0.
推论 2
特别
第三章
工 程 数 学
推论 4
推论 3 多于 n个的 n维向量组一定线性相关,
设一向量组的秩为 r,则向量组中任意 r
个线性无关的向量可构成一极大无关组,
第三章
工 程 数 学
由定理 4及其推论可知判断一个向量组的
线性相关性的问题可转化为求矩阵的秩,
三、向量组线性相关性的矩阵判别法
若矩阵的秩等于向量的个数，则向量组
线性无关；
若矩阵的秩小于向量的个数，则向量组
线性相关,
第三章
工 程 数 学
一般分三种情况：
1) 向量的个数大于向量的维数，则必线性
相关；
2) 向量的个数等于向量的维数，则可利用
向量组构成的矩阵 A 的行列式：若 |A|?0,
则线性无关，若 | A |=0,则线性 相关；
3) 向量的个数小于向量的维数，则可利用
向量组构成的矩阵 A 的秩：若 r(A)等于
向量的个数,则线性无关，若 r(A)小于向
量个数,则线性 相关；
第三章
工 程 数 学
例 7判断下列向量组的线性相关性,
1) ?1=(1,2,0),?2=(3,?1,2),?3=(4,?5,9),
?4=(9,7,?1);
2) ?1=(?1,5,?9),? 2=(3,0,1),? 3=(5,?5,1)；
3) ?1=(1,2,?1,0),? 2=(1,1,?1,?1),
? 3=(3,4,?3,?2)
第三章
工 程 数 学
解,1) 由于 4>3,所以 ?1,?2,?3,?4线性相关；
2) 由于
155
103
951
||
?
??
?A
= 140 ? 0
所以 ?1,? 2,? 3线性无关；
第三章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
2343
1111
0121
A
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
0000
1010
0121
所以 r(A)=2<3,从而可知 ? 1,? 2,? 3 线性相关,
3)?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
2020
1010
0121
第三章
工 程 数 学
例 8.求向量组
?1=(1,?2,?1,?2,2),?2=(4,1,2,1,3),
?3=(1,1,1,1,1/3),?4=(2,5,4,?1,0)
的秩,并找出它的一个极大无关组,
第三章
工 程 数 学
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
01452
3/11111
31214
22121
A
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?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
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???
?
43690
3/53230
59690
22121
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
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???
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16000
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59690
22121
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
???
00000
1600
59690
22121
r3?r4
?向量组的秩为 3且 ?1,?2,?4 为一极大无关组,
第三章
工 程 数 学
定义 1 设 V是一向量空间,?1,?2,…,?r?V且满足
(1) ?1,?2,…,?r 线性无关 ;
(2) ???V,? 可由 ?1,?2,…,?r 线性表出,
§ 5 向量空间的基与坐标
一,向量空间的基与维数,
则称向量组 ?1,?2,…,?r 为向量空间 V 的一组
基底 (基 )，而 r 称为向量空间 V 的维数，记为
dimV,
第三章
工 程 数 学
规定,零空间的维数为 0,它没有基,
由上定义可知，向量空间的基就是它的一
个极大无关组。由于向量组的极大无关组是不
唯 一的，所以向量空间的基也是不唯一的。
第三章
工 程 数 学
例 1 设 Rn 为全体 n 维向量构成的向量空间,证
明 n 维向量组 e1= ( 1,0,0,…,0 ),e2= ( 0,
1,0,…,0 ),…,en= ( 0,0,0,…,1 ) 是 Rn
的基,且 dim Rn=n.
证 由矩阵判别法知 e1,e2,…,en 线性无关, 设
? = (x1,x2,…,xr )为任一 n 维向量,显然有
?= x1 e1+ x2 e2+… + xnen,
所以 ? 可由 e1,e2,…,en 线性表出,即 e1,e2,…,en
是 Rn 的基,从而 dim Rn=n.
第三章
工 程 数 学
例 2,设 V 为一向量空间，且 dimV=r,而 ?1,
?2,…,?r 为 V 中 r 个线性无关的向量，
证明 ?1,?2,…,?r 必为向量空间 V 的
一组基,
第三章
工 程 数 学
证,显然 ?1,?2,…,?r 线性无关，任取 ??V,由
于 dimV=r,则 ?1,?2,…,?r,? 线性相关，
于是存在不全为零的实数 k1,k2,…,kr,k,使
k1 ?1+ k2 ?2+ …+ kr ?r+ k ? = 0 (*)
若 k=0,则 k1,k2,…,kr 不全为零，且
k1 ?1+ k2 ?2+ …+ kr ?r= 0
从而 ?1,?2,…,?r 线性无 关，与题设矛盾,
第三章
工 程 数 学
故 k?0,从而由
k1 ?1+ k2 ?2+ …+ kr ?r+ k ? = 0
得
rrk
k
k
k
k
k αααβ ????? ?
2211
即 ? 可由 ?1,?2,…,?r 线性表示,由定义 1知
?1,?2,…,?r 为 V 的一组基,
注意,若向量空间 V 为 r 维的，则 V 中任意 r
个线性无关的向量均可作为 V 的基,
第三章
工 程 数 学
例 3.证明向量组
?1=(1,2,1),?2=(3,0,?1),?3=(2,?3,5)
为 R3 空间的一组基,
第三章
工 程 数 学
证,由于 dimR3=3 故只要证明 ?1,?2,?3 线性
无关即可,
5317
100
124
532
103
121
?
??
?
?? 0 3-17
24 ??
??1,?2,?3 线性无关，从而 ?1,?2,?3可构成
R3 空间的一组基,
第三章
工 程 数 学
定义 2
二、向量在给定基下的坐标,
设 ?1,?2,…,?m是向量空间 V 的一个基,?
??V,? 可由 ?1,?2,…,?m 线性表为,
? = x1?1+ x2?2 +… + xm?m
则组合系数 (x1,x2,…,xm ) 称为向量 ? 在基
?1,?2,…,?m 下的坐标,
( x1,x2,…,xm?R )
(5.1)
第三章
工 程 数 学
注,? 在基 ?1,?2,…,?m 下的坐标是唯一的,
? = y1?1+ y2?2 +… + ym?m (5.2)
由 (5.1)式减去 (5.2)式,得
(x1? y1) ?1+(x2? y2) ?2+… +( xm? ym) ?m= 0
由于 ?1,? 2,…,? m 线性无关,故
x1? y1= x2? y2=…= xm? ym= 0
即 xi= yi ( i = 1,2,…,m).
事实上,若还有另一坐标 (y1,y2,…,ym ),即
第三章
工 程 数 学
例 4,已知 e1= ( 1,0,0,…,0 ),e2= ( 0,1,0,…,
0 ),…,en= ( 0,0,0,…,1 ) 是 Rn 的基, 而
对 Rn 中任一向量 ?,有
? =( x1,x2,…,xn )= x1 e1+ x2 e2+… + xnen,
所以 ? 在基 e1,e2,…,en 下的坐标就是其自身,
故 e1,e2,…,en 称为空间 Rn 的标准基,
第三章
工 程 数 学
例 5,设 ?1= ( 1,1,2 ),?2= ( 1,3,0 ),?3= ( 1,0,1 ),
证明 ?1,?2,?3是 R3 的一个基,并求 ? = ( 0,
?1,3) 在这个基下的坐标,
解 dimR3 =3,而
04
101
031
211
???
所以 ?1,?2,?3线性无关,从而是 R3 的一个基,
第三章
工 程 数 学
令 ? = x1?1 + x2?2 +x3 ?3
所以 ? 在基 ?1,?2,?3 下的坐标为 (2,?1,?1 )
即 ( 0,?1,3) =x1(1,1,2) + x2(1,3,0) + x3(1,0,1)
则 x1 + x2 + x3 = 0
x1 + 3x2 = ?1
3x1 + 2x2 + x3 = 3
?
x1 = 2
x2 = ?1
x3 = ?1
第三章
工 程 数 学
三、基变换与坐标变换公式
设向量空间 V 的维数为 n,则 V 中任意
n 个线性无关的向量都是 V 的基,对于不同
的基,同一个向量的坐标一般是不同的,下面
我们来看看同一个向量在两个不同基下的
坐标之间有什么关系,
第三章
工 程 数 学
设 ?1,?2,…,?n 及 ?1,? 2,…,? n 是向量空
间 V 的两个基, 那么由基的定义,向量 ?i (i = 1,
2,…,n ) 可由 ?1,?2,…,?n 唯一线性表出, 设
nnccc ??? 12211111 ???? ?β
nnccc αααβ 22221122 ???? ???
nnnnnn ccc αααβ ???? ?2211
第三章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
?
????
?
?
21
22221
112`11
矩阵 C 称为由基 ?1,?2,…,?n 到基 ?1,? 2,…,?n
的过渡矩阵,它是可逆的,
令
即
?
?
?
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?
?
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?
?
?
?
?
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nnnn
n
n
nn
ccc
ccc
ccc
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????
?
?
??
21
22221
11211
2121 ),,,(),,,( ??????
(5.3)
第三章
工 程 数 学
将 (5.3) 式简记为,
(?1,? 2,…,? n) = (?1,?2,…,?n ) C (5.4)
新基 旧基 过渡矩阵
公式 (5.4)称为 基变换公式,
第三章
工 程 数 学
例 6 求 R3 中由标准基 e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),
e3=(0,0,1),到基 ?1=(1,1,2),?2=(1,3,0),
?3=(1,0,1)的过渡矩阵,
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
102
031
111
),,(),,( 321321 eee????
?所求过渡矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
102
031
111
C
第三章
工 程 数 学
设向量 ? 在基 ?1,?2,…,?n 与基 ?1,?
2,…,? n 下的坐标分别为 (x1,x2,…,xn ) 与
(y1,y2,…,yn ) 即
nnxxx ???? ???? ?2211
(5.5)
nnyyy ??? ???? ?2211
(5.6)
第三章
工 程 数 学
将上两式用矩阵表示为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
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2
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n
n
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1
,21 ),,( ???
将基变换公式代入得
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n
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x
x
x
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n
n
y
y
y
C
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2
1
,21 ),,( ???
第三章
工 程 数 学
由向量坐标的唯一性,可得
?
?
?
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?
?
?
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?
?
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C
x
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mm x
x
x
C
y
y
y
??
2
1
12
1
或 (5.7)
上 式说明了 ? 在两个不同基下的坐标之间的
关系,称为 坐标变换公式,
新坐标 旧坐标
第三章
工 程 数 学
定理
上面的讨论可总结为,
设由向量空间 V 的基 ?1,?2,…,?n 到基
?1,? 2,…,? n 的过渡矩阵 C,而向量 ? 在基
?1,?2,…,?n 与基 ?1,? 2,…,? n 下的坐标为
(x1,x2,…,xn ) 与 (y1,y2,…,yn ),则
?
?
?
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nn x
x
x
C
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y
y
??
2
1
12
1
(?1,? 2,…,? n )=(?1,?2,…,?n )C
且
第三章
工 程 数 学
例 7,设 R3 中一组基为 ?1=(?3,1,?2),
?2=(1,? 1,?1),?3=(2,3,?1),求向量
? =(1,0,0) 在基 ?1,?2,?3 下的坐标,
第三章
工 程 数 学
解,设 ? = ( 1,0,0) 在基 ?1,?2,?3下的坐标
为 (y1,y2,y3),在基 e1,e2,e3 下的坐标为
(x1,x2,x3)=(1,0,0),则由于
(?1,?2,?3)=(e1,e2,e3 )
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
112
311
213
?由基 e1,e2,e3 (旧基 )到基 ?1,?2,?3 (新基 )
的过渡矩阵为
第三章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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0
0
1
1
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3
2
1
C
y
y
y
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0
0
1
211
1175
532
?
?
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?
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1
5
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
112
311
213
C
从而
第三章
工 程 数 学
关于过渡矩阵,下面两个结论是经常用到的,
命题 1 设由基 ?1,?2,…,?n 到基 ?1,? 2,…,? n
的过渡矩阵为 C,则由基 ?1,? 2,…,? n
到基 ?1,?2,…,?n 的过渡矩阵为 C?1
基 ?1,?2,…,?n
C
基 ?1,? 2,…,? n
C?1
第三章
工 程 数 学
命题 2 设由基 ?1,?2,…,?n 到基 ?1,? 2,…,?n
的过渡矩阵为 C1,则由基 ?1,? 2,…,? n
到基 ?1,?2,…,?n 的过渡矩阵为 C2,则由
基 ?1,?2,…,?n 到 ?1,?2,…,?n 的过渡
矩阵为 C1 C2,
基 ?1,?2,…,?n
C1
基 ?1,? 2,…,? n
基 ?1,?2,…,?n
C2
第三章
工 程 数 学
例 8 求 R3中由基 ?1= (?3,1,?2),?2= (1,?1,?1 ),
?3= (2,3,?1 )到基 ?1= (2,1,1),? 2= (1,2,3),
? 3= (2,0,1 )的过渡矩阵,
解 由标准基 e1,e2,e3 到基 ?1,?2,?3 及基
? 1,?2,?3 的过渡矩阵分别为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
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?
112
311
213
1
－
C
和
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
131
021
212
2C
第三章
工 程 数 学
即 (?1,?2,?3)=(e1,e2,e3)C1
(?1,?2,?3)=(e1,e2,e3)C2
故 (e1,e2,e3)=(?1,?2,?3)C1?1
从而 =(?1,?2,?3)C1?1C2(?1,?2,?3)=(e1,e2,e3)C2
第三章
工 程 数 学
故由知基 ?1,?2,?3 到基 ? 1,?2,?3 的
过渡矩阵 C 为
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
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?
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?
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??
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131
021
212
211
1175
532
?
?
?
?
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?
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?
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???
???
?
072
14213
1196
211 CCC ??
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?
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???
?
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?
?
031
021
212
112
311
213
1
第三章
工 程 数 学
例 9 在平面直角坐标系中,设 e1,e2 分别是 x
轴,y 轴上的单位向量,其方向与轴的正向一致,它
们是 R2 的一个基,将这坐标系绕原点逆时针旋转
?,令相应的单位向量为 e1?,和 e2?,则 e1,e2?也是 R2
的一个基,于是我们有
e1?= cos? e1+ sin? e2
e2?= ? sin? e1+ cos? e2
或 (e1?,e2?) = ( e1,e2)
??
?
??
? ?
??
??
c o ss i n
s i nc o s
y
? e1
e1?e2e2?
x
x?
y?
O
第三章
工 程 数 学
即由 e1,e2 到基 e1?,e2? 的过渡矩阵为
??
?
??
? ??
??
??
c o ss i n
s i nc o sC
设向量 ? 在基 e1,e2 和基 e1?,e2?下的坐标分别
为 ( x,y ) 和 ( x?,y? ),由坐标变换公式,得
??
?
??
?
y
x
??
?
??
?
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y
x
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c o ss i n
s i nc o s
第三章
工 程 数 学
或
??
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y
x
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??
?
?? y
x
??
??
c o ss i n
s i nc o s
即 ?? s i nc o s yxx ???
?? c o ss i n yxy ????
这正是大家熟知的平面解析几何里坐标旋
转公式,
第三章
工 程 数 学
§ 6线性空间基本概念介绍
线性空间是线性代数最基本的概念之一,
是我们已熟悉的由 n 维向量构成的向量空间的
推广 。 有限维线性空间与向量空间关于线性运
算的性质完全相同, 而且推导的过程也几乎一
样, 所以, 本节仅对于线性空间的基本概念及
基本性质作一介绍, 也不再一一重新证明 。
第三章
工 程 数 学
定义 1
一, 线性空间的定义及简单性质
设 V 是一个非空集合, P是一个数域, 在
集合 V 的元素之间定义一种代数运算, 叫做
加法, 即对于 V 中任意两个元素 ?,?,V 中
有一个唯一确定的元素与它们对应, 这个元
素称为 ?,? 的和, 并记作 ?+?,在数域 P
与集合 V 的元素之间还定义一种运算, 叫做
数量乘法, 即对于 P中每一个数 K和 V 中每一
个元素 ?,有 V 中唯一确定的元素与它们对
应, 这个元素为 K 与 ? 的积, 并记作 K?，
如果加法与数量乘法满足下列算律：
第三章
工 程 数 学
???? ??? )1
? ? ? ??????? ＋＋＋＋ ? )2
3) 在 V中有一个元素 0，对于 V中任
一元素 ?，都有 ?+0= ?。
(具有这种性质的元素 0称为 V的零元素 )
4) 对于 V 中每一个元素 ?,都有 V
中一元素 ?，使得 ?+?=0
(?称为 ? 的负元素,)
第三章
工 程 数 学
5) 1 ?＝ ?
6) k(l ?)＝ (kl) ?
7) (k+l) ?＝ k ? +l ?
8) k(?+ ?)＝ k ? +k ?
(其中, KL是 P中任意数 ?,?,是 V
中任意元素 。 )
则称为 V为数域 P上的线性空间, V 中的
元素称为向量 。
第三章
工 程 数 学
例 1 上节讨论的向量空间都是实数域上的线
性空间 。
例 2 一切实 m?n矩阵所成的集合对于矩阵的
加法与数与矩阵的乘法构成实数域上的
线性空间, 用 C m?n 表示 。
第三章
工 程 数 学
例 3 实数域 R上一元多项式的全体按通常的多
项式加法及数与多项式的乘法构成一个 R
上的线性空间, 用 R[X] 表示, 如果只考
虑其中次数小于 n 的多项式, 再添上零
多项式也构成实数域上线性空间 。 用 R
[X]n 表示 。
第三章
工 程 数 学
例 4 全体实数函数的加法和数与函数的乘法
构成一个 R上线性空间。
例 5 实数域 R 按照本身的加法与乘法构成一
个 R 上的线性空间。
第三章
工 程 数 学
由线性空间的定义可得到下列线性空间
的简单性质：
1,零向量是唯一的，每个向量的负向量
(即负无素 )是唯一的，利用负向量，我们定义
减法如下,???＝ ?＋ (?? )
2,0?=0; k0=0; (?1)?= ??
3,如果 k? = 0,则 k = 0,或 ? = 0.
第三章
工 程 数 学
定义 2
二、向量的线性相关性，空间的维数，
基与向量的坐标。
线性空间 V 中向量 ?1,?2,…,?r 称为
线性相关，如果存在 P 中 r 个不全为零的
数 k1,k2,…, kr,使
k1 ?1+ k2 ?2+…+ kr ?r=0
否则，称它们线性无关,
第三章
工 程 数 学
定义 3
设 ?1,?2,…, ?r 是 V 中一组向量，
k1,k2,…, kr,是 P 中数，则向量
? = k1 ?1+ k2 ?2+…+ kr ?r
称为 ?1,?2,…,?r 的一个线性组合, 也称为
? 可由向量组 ?1,?2,…,?r线性表出 。
第三章
工 程 数 学
向量空间中关于向量组线性相关性的结论
完全可以搬到抽象的线性空间上来。我们把几
个基本的结论叙述如下：
1,单个向量 ? 线性相关的充要条件 ?＝ 0，
两个以上向量线性相关的充要条件是其中有一
个向量是其余向量的线性组合,
2,如果向量组 ?1,?2,…, ?r 线性无关，
但向量组 ?1,?2,…,?r,? 线性相关，那么 ?
可以由 ?1,?2,…,?r 线性表出，且表法唯一,
第三章
工 程 数 学
3,如果向量组中的一个线性无关部分组
有性质：向量组的每一个向量都可由这个部
分组线性表出, 则称这个部分组为向量组的
一个极大无关组, 一向量组的任两个极大无
关组所含的向量个数相等, 称这 个个数为该
向量组的秩, 向量组 ?1,?2,…,?r 的秩记为
r(?1,?2,…,?r ).
第三章
工 程 数 学
4,如果向量组 ?1,?2,…,?r 能由向量组 ?1,
? 2,…,? l线性表出, 则 r (?1,?2,…,?r) ?r (?1,
? 2,…,? l )特别, 如果 ?1,?2,…,?r 线性无关,
且能由 ?1,? 2,…,?i 线性表出, 则 r? l.
5,如果 r(?1,?2,…,?r) = r,则 ?1,?2,…,
?r 中任意 r 个向量是一个极大无关组,
第三章
工 程 数 学
线性空间 V 的一组向量 ?1,?2,…,?n 如果满足
1) ?1,?2,…,?n,线性无关；
2) ???V,? 可由 ?1,?2,…,?n 线性表出,
则称 ?1,?2,…, ?n 为 V 的一组基, 并称 V 为
n维线性空间, 记为 dimV=n,设 ? ?V,? 可唯
一地由 ?1,?2,…,?r线性表出为
? = a1 ?1+ a2 ?2+…+ an?n
则称 a1,a2,…,an为 ? 在其 ?1,?2,…,?n下的坐标,
定义 4
第三章
工 程 数 学
例 6 在线性空间 R[ X ]n 中, 1,x,x2,…,xn?1是
n 个线性无关的向量,而且每一个数小于 n
的实系数多项式都可由它们线性表出,所
以 1,x,x2,…,xn?1 是 R[X]n 的一组基,
对 ? f (x)= a0+a1x+… + an-1xn?1? R[ X ]n =n，
显然 f (x) 在基 1,x,x2,…,xn?1下的坐标为
(a0,a1,…,an－ 1)。
第三章
工 程 数 学
例 7 R看作自身上的线性空间是一维的, 数
1 就是它的一组基,
第三章
工 程 数 学
线性空间 V 的一个非空子集 W称为 V的一
个子空间, 如果 W 关于 V 的两种线性运算也
构成线性空间 。
关于空间我们同样有
设 ? ?W?V,则 W 是 V 的子空间的充分必
要条件是 W 关于 V的两种线性运算封闭, 即对
??,??W,和 ? k ? p,有 ?+??W,k??W
定义 4
第三章
工 程 数 学
例 8 R [ X ]n 是 R [ X ] 的子空间。
例 9 所有 n 阶实对称矩阵构成的集合构成
Rn?n的一个子空间, 同样全体阶实对角
阵, 实上 (下 )三角矩阵都构成 Rn? n 的
子空间 。
第三章
工 程 数 学
例 10设 w1,w2,是线性空间 V 的子空间, 令
121 { www ?? ??? 且 }2w??
称它为 w1,w2 的交，它是 V 的一个子空间，又令
},{ 22112221 wwww ????? ????
称它为 w1与 w2的和，它是 V 的一个子空间,
第三章
工 程 数 学
定义 5
三、线性空间的同构
数域 P 上两个线性空间 V 与 V ' 称 为同
构的, 如果由 V 到 V ' 有一个一一对应 ?,
具有以下性质：
1) ? ? )()( ??????? ???
2) ? ? )(???? kk ?
第三章
工 程 数 学
其中 ?,? ?V,K ? P,则称 ? 为同构映
射, 并称线性空间 V与 V' 同构, 记为 V?V ',
同构映射保持两线性空间的运算性质，如：
1) ? (0)=0,? (? ?) = ?? (?)
2) ? ?rrkkk ???? ?? ?2211 ＋
? ? ? ? ? ?rrkkk ?????? ???? ?2211
第三章
工 程 数 学
3) V中向量 ?1,?2,…,?n是线性相关当
且仅当 V 中向量 ? (?1),? (?2),…,? (?n) 线
性相关,
4) 如果 V?V' 则 dimV=dim V'。 且 ?1，
?2,…,?n 是 V 的一组基当且仅当 ?(?1),
? (?2),…,? (?n)是 V 的一组基,
总的来说, 如果 V 与 V' 同构,则它有完全
相同的结构与代数性质, 所以抽象地看来,
它们没有区别 。
第三章
工 程 数 学
定理 5
数域 P上任一 n 维线性空间都与向
量空间 Pn 同构,
第三章
工 程 数 学
证,设 V是数域 P上线性空间,?1,?2,…, ?n
是 V 的一组基, 则对 ???V,? 在这组基
下有唯一确定的坐标,它是一个 n 维向量,
作映射
?,V?Pn
??? 在基 ?1,?2,…,?n下的坐标
第三章
工 程 数 学
显然 ? 是 V 到 Pn 的一一对应且设 ?,?
?V,?,? 在基 ? 1,? 2,…,?n下的坐标分
别为 (?1,?2,…,an )与 (b1,b2,…,bn ),即
? = a1 ? 1+ ?2 ? 2+ … +an ? n
? = b1? 1+ b2 ?2+ … + bn ? n
那么 ? +?=(a1+ b1) ? 1+(?2+b2 ) ?2… (an b n) ? n
第三章
工 程 数 学
对于 ?k?P
k ?＝ k a1 ? 1+ k ?2 ? 2+…+ k an ? n
即 ?＋ ? 的坐标为
k?的坐标为 (k a1,k ?2,…,k an )= k(a1,?2,…,an )
所以 ? 是同构映射，即 V ? Pn。
(a1 b1,?2 b2,…,an bn )
=(a1,?2,…,an )＋ (b1,b2,…,bn ),
第三章
工 程 数 学
于是, 我们知道任一有限维线性空间与
前面我们讨论的 n 维向量构成的向量空间有相
同的结构与代数性质, 那么前一节关于向量空
间的所有结论在有限维线性空间中也成立,
工 程 数 学
第三章
z
x
y
O
第三章
工 程 数 学
本章主要讨论经下五个问题：
1,向量的概念及其线性运算；
2,空间直角坐标系与向量的表示；
3,向量空间的概念；
4,向量的线性关系及向量组的秩与极大无关组；
5,向量空间的维数、基及向量的坐标。
第三章
工 程 数 学
§ 1,向量的概念及其线性运算
向量可用空间的一个有向线段来表示，如
A
B?
一、向量的概念
例如力，速度，加速度等均为向量,
既有大小，又有方向的量称为向量
(又称矢量 ).
定义 1
第三章
工 程 数 学
其中有向线段的长度表示向量的大小, 称为
向量的长度 (模 ),有向线段的指向表示向量的
方向, 这样的向量我们均称为 (几何 )向量,
如果 A,B 分别是向量的起点和终点, 则
向量可用符号 AB 表示, 也可用一希腊字母如
?,?,?,… 等表示,
第三章
工 程 数 学
方向相同且模相等的向量称为相等的向量,
也就是说, 向量与它的起点无关, 而只与它的
长度及方向有关,这种向量称之为自由向量,
向量 AB (或 ? )的模用符号 ||AB|| (或 || ? ||)
来表示, 模为 1的向量称为单位向量 ; 模为零的
向量称为零向量, 记作 0,零向量的方向不定,
在讨论多个向量时, 为了便于研究, 我们
常把它们平移到同一起点,
第三章
工 程 数 学
与向量 ? 的长度相等，方向相反的向量
称为 ? 的负向量，记为 ??，
如果两 个向量 ?,? 平行于同一直线，则
称它们共线,记为 ? //?,零向量与任何向量
共线,
显然 AB = ? BA
第三章
工 程 数 学
二、向量的线性运算
1,向量的加法
? +?
O
A
B
? ?
设 ?,? 为空间中两个向量，在空间
中任取一点 O,作 OA=?,AB=?,则向
量 OB 称为 ? 与 ? 的和，记为 ?+?.
? +?
O
A
B
? ?
?
定义 2
第三章
工 程 数 学
2,向量与数的乘法
设 ?为向量,? 为实数，定义 ?与 ?
的乘积 ??是满足如下两条件的向量：
i) || ?? ||=| ? | || ? ||
ii) 当 ?>0 时,?? 的方向与 ? 相同；
当 ?<0 时,?? 的方向与 ?相反,
定义 3
第三章
工 程 数 学
显然，当 ?=0 或 ?=0 时,??=0
如：
? 2?
?2?
?
?
第三章
工 程 数 学
设 ?为一非零向量,?0 为与 ? 同向的单
位向量，则由向量的数乘可知
?=|| ?|| ? 0
或
ααα |||| 10 ?
此时 ?0 又称为 ? 的单位化向量,
第三章
工 程 数 学
定理 1.
向量的加法及数与向量的乘法这两种运
算称为向量的线性运算,
利用向量的数乘，显然有
向量 ? 与非零向量 ? 平行的充要条件
是存在非零实数 ?,使
? = ??
向量的线性运算满足下面的运算法则：
1) ?+?=?+? ; (加法交换律 )
2) (?+?)+? =? + (? +? ); (加法结合律 )
3) 0+?=?;
4) ? +(??)=0;
5) 1?? =?;
6) ?1(?2?)=(?1? 2)? ; (数乘结合律 )
7) (?1+?2)?=?1?+ ? 2? ; (第一分配律 )
8) ?(? + ?)=??+??; (第二分配律 )
其中 ?,?,? 表示空间中任意向量,?1,?2
表示任意实数,
定理 2.
第三章
工 程 数 学
以上 8条法则可直接由定义得出, 例如由下图
?
?
?
?
可得出 1) ?+?=?+?
第三章
工 程 数 学
由下图
? ?
?
可得出 2) (?+?)+? =? + (? +? );
第三章
工 程 数 学
根据向量的加法，定义两向量 的减法为：
???=?+(?? )
显然,若 ? =???,则 ? +? =?
即减法是加法的逆运算,
?
?
? ??
3,向量的减法
第三章
工 程 数 学
例 1 已知平行六面体三边的向量分别为 ?,?,
?,A,B,C,D,E,F为各边中点, 求证向
量 AB,CD,EF 能 构成三角形,
第三章
工 程 数 学
证,由右图可看出
βα 2121 ???AB
αγ 2121 ???CD
γβ 2121 ???EF
于是
0??? EFCDAB
B
A
F
E
D
?
C
?
?
即
.,,能构成三角形EFCDAB
第三章
工 程 数 学
例 2,已知四边形 ABCD 中, AB=??2?,
CD=5?+6? ?8?,对角线 AC,BD 的
中点分别为 E,F,试用 ?,?,? 表示
向量 EF.
第三章
工 程 数 学
解,如图，
,21 ABHF ? CDEH 21?
而 HFEHEF ??
A B
D
C
H
E
F
)(21 CDAB ??
为 H,由于 E,F分别
为 AC,BD中点，有
设 AD的中点
第三章
工 程 数 学
故
)(21 CDABHF ??
)8652(21 γβαγα ?????
γβα 533 ???
又,2γα ??AB
γβα 865 ???CD
第三章
工 程 数 学
定义 4
三、向量在轴上的投影
已知空间中的一点 A 及一轴 u,过 A
作垂直于轴 u 的平面 ?,交轴 u 于 A'，
则称 A' 为 A 在轴 u 上的投影,
A
u
A'
?
?
?
如图：
第三章
工 程 数 学
定义 4 设向量 AB 的起点 A 及终点 B 在轴 u 上
的投影分别为 A',B',则有向线段 A'B' 称
为向量 AB 在轴 u 上的投影, 记为
Prju AB,而向量 A'B' 称为向量 AB 在轴
u 上的投影向量,
A
uA'
?
?
B
B'
?
?
?
e
如图,
第三章
工 程 数 学
注意,Prju AB 是一数量，若与 u 同向的
单位向量为 e,则
A'B' =( PrjuAB ) e
第三章
工 程 数 学
定理 3.
设 ?为向量 AB 与轴 u 的夹角 (0≤? ≤?),
则由上图可看出
向量 AB 在轴 u 上的投影等于该向量的
模乘以轴 u 与该向量夹角的余弦，即
Prju AB = || AB ||cos ?
第三章
工 程 数 学
由定理 2立即可知：若 ? 为实数，则
Prju (? AB ) = ? Prju AB
关于向量在轴 u 上的投影，还可以证明
第三章
工 程 数 学
两个向量的和在轴 u 上的投影等于
两向量在该轴上的投影之和，即
Prjiu(?+? )=Prju ?+Prju ?
A
uA'
?
?
C
C'
?
?
B
B'
? ?
?
?
定理 4的结论还可以推广到多个向量的情形,
定理 3.
第三章
工 程 数 学
定义 4
一、空间直角坐标系
设 O 为空间中的一点, 过 O作三条两
两相互垂直的数轴, 分别称为 x 轴,
y 轴, z 轴, 它们的正向如下图, 则它
们构成空间直角坐标系,
z
x
y
O
z
x
y
O'
§ 2,空间的直角坐标系及向量的坐标
第三章
工 程 数 学
在空间直角坐标系中，任意两条轴确定
的平面称为坐标平面, 如
x 轴,y 轴确定的平面为 xy 平面 (xOy面 )
y 轴,z 轴确定的平面为 yz 平面 (yOz面 )
x 轴,z 轴确定的平面为 xz 平面 (xO z面 )
第三章
工 程 数 学
在空间直角坐标系中，三个坐标平面将整
个空间分成八个部分，每个部分称为一个封限,
分别称为第 I－ VIII卦限, 如下图：
z
IV
VI
VVII
0
x
y
VIII
IIIII
I
第三章
工 程 数 学
在空间直角坐标系中，有
三条轴,x 轴,y 轴,z 轴
三个坐标面,xy 平面,yz 平面,xz 平面
八个卦限,第 I － VIII 卦限
第三章
工 程 数 学
二、空间向量的坐标表示
建立了空间直角坐标系后, 设 M 为空间任一
点, M 在 x 轴, y 轴, z 轴上的投影分别为 P,Q,R,
它们在各轴上的坐标分别为 x,y,z,则
M?(x,y,z)
称有序数组 (x,y,z)为点 M的 坐
标, 并依次称 x,y,z 为 M的 横
坐标, 纵坐标, 竖坐标, 记为
M(x,y,z).
z
x
y
R
M?
Ox
yz
Q
P
1,空间中点的坐标
第三章
工 程 数 学
在空间直角坐标系中，每个卦限中的点的
坐标有如下特点：
第 I 卦限, x>0,y>0,z>0;
第 II 卦限, x<0,y>0,z>0;
第 III 卦限, x<0,y<0,z>0;
第 IV卦限, x>0,y<0,z>0;
第 V卦限, x>0,y>0,z>0;
第 VI卦限, x<0,y>0,z<0;
第 VII卦限, x<0,y<0,z<0;
第 VIII卦限, x>0,y<0,z<0;
第三章
工 程 数 学
如：
z
IV
VI
VVII
0
x
y
VIII
IIIII
I
第三章
工 程 数 学
2,空间向量的坐标
设点 M 的坐标为 ( x,y,z),则 OM 在 x 轴、
y 轴,z 轴上的投影分别为 x,y,z,又设 x 轴、
y 轴,z 轴上的单位向量分别为 i,j,k,称为
基本单位向量,则由下图可知
第三章
工 程 数 学
而 HMOHOM ??
HMPHOP ???
OROQOP ???
kji zyx ???
z
x
y
R
M?
O
x
y
z
Q
P
k
i
j
H
即 kji zyxOM ???
,ixOP ?,jyOQ ? kzOR ?
第三章
工 程 数 学
由上图可知：
22 |||||||||||| HMOHOM ??
222 |||||||||||| HMPMOP ???
即
222 |||||||||||| OROQOP ???
222 zyx ???
OM = xi + yj + zk
222|||| zyxOM ???
第三章
工 程 数 学
设在空间直角坐标系中,P1 的坐标为
(x1,y1,z1),P2 的坐标为 (x2,y2,z2),则
1OP kji 111 zyx ???
2OP kji 222 zyx ???
而
,1221 OPOPPP ??
O
P2
P1
由投影定理知 P1P2 在 x 轴,y 轴,z轴
上的投影分别为 x2?x1,y2?y1,z2?z1,故
第三章
工 程 数 学
kji )()()( 12121221 zzyyxxPP ??????
将它们的起点平移到坐标原点，则
21221221221 )()()(|||| zzyyxxPP ??????
第三章
工 程 数 学
由上可知, 空间中的任一向量与它在三
条坐标轴上的投影形成一一对应, 设向量 a
在 x 轴, y 轴, z 轴上的投影分别为 ax,ay,az,
则称 ax,ay,az 为向量 a 的坐标, 并记为
a=(ax,ay,az)
第三章
工 程 数 学
于是任一向量有两种表示
a=(ax,ay,az) (坐标表示式 )
= ax i+ay j+ az k (按基本单位向量的分解式 )
其中 ax i,ay j,az k 又分别称为向量 a 在 x
轴,y轴,z 轴上的 分量 (分向量 ),且
222 |||| zyx aaa ???a
第三章
工 程 数 学
3,空间中向量的线性运算
设空间中有两个向量：
a=(ax,ay,az)=ax i + ay j + az k
b=(bx,by,bz)=bx i + by j + bz k
则由向量加法的交换律和结合律知：
a ? b =(ax ?bx ) i+(ay ?by) j+( az ?bz) k
=(ax ? bx,ay ? by,az ? bz)
?a = ? ax i+ ? ay j+ ? az k =(? ax,? ay,? az)
即向量的加减法与数乘可通过它们的坐标进
行相应运算,
第三章
工 程 数 学
而 a 的方向可用它与三条坐标轴的正向
的夹角 ?,?,? 来表示 (0≤ ?,?,?≤? ),?,?,? 称
为向量 a 的 方向角,
4,空间中向量的模、方向余弦、方向角
设向量 a=(ax,ay,az)=ax i+ay j+ az k
则由上可知 222
|||| zyx aaa ???a
第三章
工 程 数 学
由投影定理知：
,co s|||| ?a?xa,c o s|||| ?a?ya,c o s|||| ?a?za
故
||||c o s a
xa??
||||
c o s
a
ya??
222
zyx
x
aaa
a
??
?
222
zyx
y
aaa
a
??
?
||||c o s a
za??
222
zyx
z
aaa
a
??
?
第三章
工 程 数 学
cos ?,cos ?,cos ? 称为向量 a 的方向余弦,
显然 cos 2?+cos2?+ cos2? =1.
第三章
工 程 数 学
总之，若在空间直角坐标系中向量
222|||| zyx aaa ???a
222
c o s
zyx
x
aaa
a
??
??
222
c o s
zyx
z
aaa
a
??
??
222
c o s
zyx
y
aaa
a
??
??
a=(ax,ay,az)
则
=axi+ayj+azk
第三章
工 程 数 学
而与 a 同向的单位向量为
aaa |||| 1??
),,(1
222 zyx
zyx
aaa
aaa ??
?
)c o s,c o s,( c o s ????
第三章
工 程 数 学
例 1 求 空间两点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的距离,
,)()()(|||| 21221221221 zzyyxxPP ??????
从而知点 P1与点 P2的距离为
证,点 P1与 P2 的距离为向量 P1P2 的长度，而
P1P2=(x2? x1,y2 ?y1,z2 ?z1)
,)()()( 212212212 zzyyxx ?????
此称空间两点的距离公式,
第三章
工 程 数 学
例 2 在 z 轴上求与两点 A(?4,1,7)和 B(3,5,?2)
等距的点 M.
222 )7()01()04( z??????
由此解得
.914?z
故所求的点为
)914,0,0(M
解,因为点 M 在 z 轴上，所以设 M 的坐标为
M(0,0,z),依题意知 ||MA||= || MB ||
即
,)2()05()03( 222 z???????
第三章
工 程 数 学
例 3 已知两点 )1,2,4(A 和 B(3,0,2),求向量
AB 的模，方向余弦和方向角及 AB?
第三章
工 程 数 学
解：
),1,2,1()12,20,43( ??????AB
21)2()1(|||| 222 ??????AB
,21c o s ???,22c o s ???,2
1co s ??
,32?? ?,4
3?? ?,
3
?? ?
故
ABAB 21?? )2
1,
2
2,
2
1( ??
第三章
工 程 数 学
§ 3,向量空间
在上一节, 我们介绍了三维向量的概念,
知道三维向量与一个三元有序数组形成一一对
应, 实际生活中很多事物也可用多个数构成的
有序数组来刻划,
a 1 x 1 + a 2 x 2 +… + a n x n = b
就可用 n+1个数构成的有序数组 (a1,a2,…,an,b)
来代表,
如一个 n元线性方程组
第三章
工 程 数 学
在这一节，我们把三维向量的概
念予以推广，讨论 n 维向量,
第三章
工 程 数 学
定义 1
一,n 维向量的定义及运算
由 n 个数构成的有序数组 (a1,a2,…,an)
称为 n 维向量,其中 ai 称为该向量的第
i 个分量 (i=1,2,…,n).
一般用希腊字母 ?,?,?,… 表示 n 维向量,
分量全是实数的向量称为实向量, 以后我们所
讨论的向量都是指实向量,
1,n 维向量
注意,n>3时的向量没有直观的几何意义,
第三章
工 程 数 学
规定
?= (a1,a2,…,an ),
?= (b1,b2,…,bn ),
?= ?? ai=bi,i=1,2,…,n.
第三章
工 程 数 学
1) 加减法 设 ?=(a1,a2,…,an),?= (b1,b2,…,bn ),
定义
? ? ?=(a1 ? b1,a2 ? b2,…,an ? bn).
2) 数乘 设 ?=(a1,a2,…,an),k为实数，定义
数 k与向量 ? 的乘积为
k?=(ka1,ka2,…, kan).
2,n 维向量的运算
第三章
工 程 数 学
易验证，向量的运算满足如下八条基本规律：
1) 加法交换律 ?+?=? +?.
2) 加法结合律 (?+? )+? = (?+ ? )+ ?,
3) 向量 0=(0,0,…,0) 称为零向量，它有性质
4) (?1)?=(?a1,? a2,…,? an)
称为 ? 的负向量，记为 ??.,显然有：
?+ (?? )=0.
? + 0=?,
第三章
工 程 数 学
5) 1??=?
6) 数乘结合律 k(l?)=(kl)?
7) 第一分配律 k(?+?)=k?+k?
8) 第二分配律 (k+l)?=k?+l?
(其中 ?,?,? 为任意 n 维向量,k,l为实数 )
第三章
工 程 数 学
我们也可把 n 维向量的分量排成一列，如
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
na
a
a
?
2
1
α
此时可称 ?为 n 维列向量；相应地称把分量
排成一行的向量称为 n 维行向量，如 ?=(a1,
a2,…,an)
由上面可看出,n 维向量的概念与运算
实际上与 1?n (或 n? 1)矩阵一致,
第三章
工 程 数 学
设 A是一个 m 行 n 列的矩阵，则 A 的每
一行是一个 n 维行向量,A 的每一列是一个 m
维列向量，分别称它们为 A 的行向量与列向
量, 并可以表示为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m?
?
?
?
2
1
),,,( 21 n??? ??
第三章
工 程 数 学
定义 2 设 V是一些 n 维向量的非空集合, 如
果 V 关于向量的加法与数乘封闭, 即
(1) ??,??V,有 ?+??V.
(2) ???V,k?R,有 k??V.
则称 V 是一个向量空间,
二、向量空间
第三章
工 程 数 学
例 1.全体 n 维向量的集合 {(x1,x2,…,xn)| xi?R,
i=1,2,…,n}是一个向量空间，记为 Rn.
特别的
n=1 时全体实数 R 是一个向量空间 ;
n=3 时 全体三维向量 {(x1,x2,x3)|xi?R,i=1,
2,3} 是一个向量空间，记为 R3.
n=2 时全体平面中的向量 {(x1,x2)|xi?R,
i=1,2} 是一个向量空间，记为 R2.
第三章
工 程 数 学
例 3 W={(a1,a2,…,an)|
}0
1
?
?
?
n
i
ia
是一向量空间,
而
}1|),,,{(
1
21 ?
?
???
n
i
in aaaaS
不是一向量空间,因为它关于加法与数乘均
不封闭,
例 2.仅含一个 n 维零向量 0=(0,0,…,0) 的集
合 {0}构成一个向量空间，称为零空间,
第三章
工 程 数 学
定义 3 设 V 是一个向量空间, W?V,W??,如果 W 关于向量的加法与数乘也封闭,
则称 W 是 V 的子空间,
例 4 V本身和 {0}都是 V 的子空间，称它们为
V 的平凡子空间,
例 5 }1,,2,1,|)0,,,,{(
1211 ???? ? niRaaaaW in ??
}|),,,,{(2 RaaaaaW ?? ?
n个分量
都是 R n 的子空间,
及
第三章
工 程 数 学
例 6,设 ??V,则 L(?)={k?|k?R}为 V 的子空间,
称它为由 ? 生成的子空间, ? 称为这子空
间的生成元,
},,2,1,,|{),,(
1
21 siRkkL i
s
i
iis ?? ???? ?
?
??????
是 V 的由 ?1,?2,…,?s 生成的子空间,
更一般地，设 ?1,?2,…,?s ?V.
第三章
工 程 数 学
例 7,设 A 为 m 行 n 列实矩阵, 设 A 的列
向量为 ?1,?2,…,?n,则 L(?1,?2,…,?n)
是 Rm 的子空间, 称为 A的列空间,
记为 N(A)，
设 A的行向量为 ?1,?2,…,?n,则
L(?1,?2,…,?n) 也是 Rn 的子空间, 称为 A
的行空间,
第三章
工 程 数 学
定义 1
§ 4,向量的线性相关性
一、向量组的线性相关
设有 n 维向量组 ?1,?2,…,?s, 如果有
不全为零的实数 k1,k2,…,ks 使得
k1 ?1 + k2 ?2+ …+ ks ?s =0
否则，称 ?1,?2,…,?s 线性无关,
则称 n 维向量组 ?1,?2,…,?s 线性相关，
第三章
工 程 数 学
所谓 ?1,?2,…,?s 线性无关，即令
k1 ?1 + k2 ?2+ …+ ks ?s =0,
则必有 k1= k2= …= ks=0.
例 1,向量组 ?1=(1,2,0,1),?2=(1,1,?1,3),
?3=(1,3,1,? 1)线性相关,因为
2?1??2 ??3=0
第三章
工 程 数 学
例 2.两个向量 ?,? 线性相关当且仅当
?=k? 或 ?=l?,k,l?R.
例 3,含有零向量的 n 维向量组必定线性相关，
因为若向量组 ?1,?2,…,?s 中有一为零向
量，不妨设 ?1=0，则
1??1+0??2+ …+ 0 ??s=0
其系数不全为 0.
第三章
工 程 数 学
例 4 证明 n 维向量组 e1=(1,0,…,0),e2=(0,
1,…,0),…,en=(0,0,…,1) 线性无关,
证,令 k1e1+k2e2+…+ knen=0,
即 (k1,k2,…,kn)=(0,0,…,0)
所以 k1= k2= …= kn=0.
即 e 1,e 2,…,e n 线性无关,
第三章
工 程 数 学
例 5,讨论四维向量组 ?1=(1,1,1,1),?2=(1,?1,1,?1),
?3=(1,?1,?1,1),?4=(1,1,?1,?1) 的线性相关性,
解,令 k1? 1+k2?2+ k3? 3 +k4? 4=0
即 (k1+k2+k3+k4,k1?k2 ?k3+k4,k1+k2?k3?k4,
k1?k2+k3?k4 ) =0
即
k1+k2+k3+k4=0
k1?k2 ?k3+k4=0
k1+k2?k3?k4=0
k1?k2+k3?k4 =0
第三章
工 程 数 学
因为上方程组的系数行列式不等于零，
方程组仅有零解，所以
k1= k2= k3= k4 =0
即 ?1,?2,?3,?4 线性无关,
第三章
工 程 数 学
定义 2
设 k1,k2,…,ks?R,?1,?2,…,?s 是 n 维向量，若
?=k1? 1+k2?2+ … + ks?s
则称 ? 为 向量 ?1,?2,…,?s 的一个线性组合，
或称 ? 可由向量组 ?1,?2,…,?s 线性表出,
第三章
工 程 数 学
定理 1.
当 s≥2 时, 向量组 ?1,?2,…,?s 线性
相关的充分必要条件是其中至少有一向量
能由其余向量线性表出,
第三章
工 程 数 学
证,必要性
k1? 1+k2?2+ … + ks? s=0
于是
.1111 ??????? s
s
s
s
s k
k
k
k ??? ?
即 ?s可由 ?1,?2,…,?s?1线性表出,
设 ?1,?2,…,?s线性相关，则有不全为零
的实数 k1,k2,…,ks, 不妨设 ks?0,使
第三章
工 程 数 学
若某个向量例如 ?1可被其余向量线性表
出，即有
? 1 =k2? 2+k3?3+ … + ks? s
于是
1?? 1+(?k2)? 2+ … +( ?ks )? s=0
其系数 不全为零，故 ?1,?2,…,?s 线性相关,
充分性
第三章
工 程 数 学
定理 2.
如果向量组 ?1,?2,…,?s 中有一
部分向量线性相关, 则这 s 个向量也
线性相关,
第三章
工 程 数 学
证,不妨设前 r (r<s)个向量 ?1,?2,…,?r 线性相
关，即存在不全为零的数 k1,k2,…,kr使得
k1? 1+k2?2+ … + kr? r=0
再取 kr+1=kr+2=…= ks=0,则有
k1? 1+k2?2+ … + kr? r+kr+1?r+1+…+ ks?s =0,
而 k1,k2,…,ks不全为零，所以 ?1,?2,…,?s
线性相关,
第三章
工 程 数 学
如果向量组 ?1,?2,…,?s 线性无关，
则其中部分向量也线性无关,
定理 1、定理 2可总结为：
部分相关则整体相关；整体无关则部分无关。
推论
第三章
工 程 数 学
定义 2
二、向量组的极大无关组与秩
n 维向量组 ?1,?2,…,?s 的部分组
显然，一个向量组线性无关当且仅当它的极
大无关组就是它自身,
riii ???,,,21 ?
如果满足,
2) 向量组 ?1,?2,…,?s中的其余向量都可
由
riii ???,,,21 ?
线性表出，
1) 线性无关，
riii ???,,,21 ?
是 向 量 组 ? 1,
?2,…,?s的一个极大无关组,
则称
riii ???,,,21 ?
第三章
工 程 数 学
例 6 设有三维向量组,?1=(1,0,0),?2=(0,
1,0),?3=(0,0,1),?4=(1,1,1),显然 ?1,?2,?3
线性无关, 且 ?4 =?1+?2+?3,即 ?4 能由 ?1,
?2,?3 线性表出, 所以 ?1,?2,?3 就是向量组 ?1,
?2,?3,?4 的一个极大无关组 。
同样可验证 ?1,?3,?4 ； ?1,?2,?4及 ?1,
?3,?4 均是向量组的极大无关组,
第三章
工 程 数 学
定理 3.
由上例可看出一个向量组的极大无关组可能不
止一个，但可以证明：
一向量组的极大无关组都含有相同
个数的向量, 且称极大无关组中向量的
个数为向量组的秩,
定理 3的结论可由下面定理直接得出,
第三章
工 程 数 学
定理 4.
设 ?1=(a11,a12,…,a1n),?2=(a21,a22,…,
a2n),…,?m=(am1,am2,…,amn ) 是 m个 n 维向量,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
A
α
α
α
?
2
1
并称 A 为向量组 ?1,?2,…,?n 所构成的矩阵，
则 r(A)=r.
是它的一个极大无关组, 令
riii ααα,,,21 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
第三章
工 程 数 学
证 *,先证 ?r(A)≤r,
?
?
?
r
i
iijj k
1
αα
将 第一行乘以 (?k1j) 第二行乘以 (?k2j) … 第 r
行乘以 (?krj)全部加到第 j 行 (j=r+1,…,m),得
不妨设 ?1,?2,…,?r 即是极大无关组,
则 ? j(r<j≤s)可由 ?1,?2,…,?s 线性表出，即
),,1( srj ???
rrjjj kkk ααα ???? ?2211
第三章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
?
?
r
B α
α
α
2
1
A?
所以 r(A)=r(B)≤r.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
21
22221
11211
????
?
????
?
?
rnrr
n
n
aaa
aaa
aaa
第三章
工 程 数 学
反设 r(B)=r(A)=t<r,即 B 有一 t 阶子式不
为零，不妨设是 B 的左上角的 t 阶子式 D 不
为零，即
下面证明 ? r(A)≥r.
,0
21
22221
11211
?
tttt
t
t
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
第三章
工 程 数 学
当 n= t 时，则由克莱姆规则知方程组
(1)
a11x1+a21x2+…+ at1xt=ar1,
a12x1+a22x2+…+ at2xt=ar2,
………………
a1tx1+a2tx2+…+ attxt=art,
有唯一解 (k1,k2,…,kt),即
k1?1+ k2?2 +…+ kt?t = ?r
于是 ?1,?2,…,?t,?r线性相关，与 ?1,?2,…,
?t,…,?r是极大无关矛盾,
第三章
工 程 数 学
当 n>t 时，任取 t<l≤m,取 A 的前 t 行及第
r 行,A 的前 t 列及第 l 列交叉处元素构成的一
t+1子矩阵 A1：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
21
222221
111211
1
rlrtrr
tltttt
lt
lt
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
?
?
?????
?
?
则 | A1|=0,
第三章
工 程 数 学
设 (k1,k2,…,kt)为 (1)的解, 分别把 A1的第一
行的 (?k1)倍, 第二行的 (?k2)倍, …,第 t 行的 (?kt)
倍加到第 r 行, 得
A1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
i
ilirl
tltttt
lt
lt
aka
aaaa
aaaa
aaaa
A
1
21
222221
111211
2
000 ?
?
?????
?
?
第三章
工 程 数 学
分别令 l=t=1,…,m 再考虑到 (k1,k2,…,kt)为 (1)
的解，可得
?r = k1?1+ k2?2 +…+ kt?t
与 ? 1,?2,…,?t,…, ?r是极大无关组矛盾,
综合 ?,? 有 r(A)=r.
而 |A2|=|A1|=0,即
.0)(
1
?? ?
?
Daka
t
i
ilirl
因为 D?0
所以
?
?
?
t
i
itirl aka
1
第三章
工 程 数 学
推论 1
由定理 4知，向量组的秩等于它构成的矩
阵的秩，又由于任一矩阵的秩与它的转置矩阵
的秩相等，故由定理 4可得：
矩阵 A 的秩就等于它的行向量组的秩，
也 等于它的列向量组的秩,
第三章
工 程 数 学
设 ?1,?2,…,?m 为 m个 n 维向量, A 是以
它们为行向量构成的 m?n 矩阵, 则 ?1,?2,…,
?m线性相关的充要条件是 r(A)<m.
当 m=n 时，向量组线性相关的充要条
件为 | A |=0.
推论 2
特别
第三章
工 程 数 学
推论 4
推论 3 多于 n个的 n维向量组一定线性相关,
设一向量组的秩为 r,则向量组中任意 r
个线性无关的向量可构成一极大无关组,
第三章
工 程 数 学
由定理 4及其推论可知判断一个向量组的
线性相关性的问题可转化为求矩阵的秩,
三、向量组线性相关性的矩阵判别法
若矩阵的秩等于向量的个数，则向量组
线性无关；
若矩阵的秩小于向量的个数，则向量组
线性相关,
第三章
工 程 数 学
一般分三种情况：
1) 向量的个数大于向量的维数，则必线性
相关；
2) 向量的个数等于向量的维数，则可利用
向量组构成的矩阵 A 的行列式：若 |A|?0,
则线性无关，若 | A |=0,则线性 相关；
3) 向量的个数小于向量的维数，则可利用
向量组构成的矩阵 A 的秩：若 r(A)等于
向量的个数,则线性无关，若 r(A)小于向
量个数,则线性 相关；
第三章
工 程 数 学
例 7判断下列向量组的线性相关性,
1) ?1=(1,2,0),?2=(3,?1,2),?3=(4,?5,9),
?4=(9,7,?1);
2) ?1=(?1,5,?9),? 2=(3,0,1),? 3=(5,?5,1)；
3) ?1=(1,2,?1,0),? 2=(1,1,?1,?1),
? 3=(3,4,?3,?2)
第三章
工 程 数 学
解,1) 由于 4>3,所以 ?1,?2,?3,?4线性相关；
2) 由于
155
103
951
||
?
??
?A
= 140 ? 0
所以 ?1,? 2,? 3线性无关；
第三章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
2343
1111
0121
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
0000
1010
0121
所以 r(A)=2<3,从而可知 ? 1,? 2,? 3 线性相关,
3)?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
2020
1010
0121
第三章
工 程 数 学
例 8.求向量组
?1=(1,?2,?1,?2,2),?2=(4,1,2,1,3),
?3=(1,1,1,1,1/3),?4=(2,5,4,?1,0)
的秩,并找出它的一个极大无关组,
第三章
工 程 数 学
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
01452
3/11111
31214
22121
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3/53230
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22121
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???
00000
1600
59690
22121
r3?r4
?向量组的秩为 3且 ?1,?2,?4 为一极大无关组,
第三章
工 程 数 学
定义 1 设 V是一向量空间,?1,?2,…,?r?V且满足
(1) ?1,?2,…,?r 线性无关 ;
(2) ???V,? 可由 ?1,?2,…,?r 线性表出,
§ 5 向量空间的基与坐标
一,向量空间的基与维数,
则称向量组 ?1,?2,…,?r 为向量空间 V 的一组
基底 (基 )，而 r 称为向量空间 V 的维数，记为
dimV,
第三章
工 程 数 学
规定,零空间的维数为 0,它没有基,
由上定义可知，向量空间的基就是它的一
个极大无关组。由于向量组的极大无关组是不
唯 一的，所以向量空间的基也是不唯一的。
第三章
工 程 数 学
例 1 设 Rn 为全体 n 维向量构成的向量空间,证
明 n 维向量组 e1= ( 1,0,0,…,0 ),e2= ( 0,
1,0,…,0 ),…,en= ( 0,0,0,…,1 ) 是 Rn
的基,且 dim Rn=n.
证 由矩阵判别法知 e1,e2,…,en 线性无关, 设
? = (x1,x2,…,xr )为任一 n 维向量,显然有
?= x1 e1+ x2 e2+… + xnen,
所以 ? 可由 e1,e2,…,en 线性表出,即 e1,e2,…,en
是 Rn 的基,从而 dim Rn=n.
第三章
工 程 数 学
例 2,设 V 为一向量空间，且 dimV=r,而 ?1,
?2,…,?r 为 V 中 r 个线性无关的向量，
证明 ?1,?2,…,?r 必为向量空间 V 的
一组基,
第三章
工 程 数 学
证,显然 ?1,?2,…,?r 线性无关，任取 ??V,由
于 dimV=r,则 ?1,?2,…,?r,? 线性相关，
于是存在不全为零的实数 k1,k2,…,kr,k,使
k1 ?1+ k2 ?2+ …+ kr ?r+ k ? = 0 (*)
若 k=0,则 k1,k2,…,kr 不全为零，且
k1 ?1+ k2 ?2+ …+ kr ?r= 0
从而 ?1,?2,…,?r 线性无 关，与题设矛盾,
第三章
工 程 数 学
故 k?0,从而由
k1 ?1+ k2 ?2+ …+ kr ?r+ k ? = 0
得
rrk
k
k
k
k
k αααβ ????? ?
2211
即 ? 可由 ?1,?2,…,?r 线性表示,由定义 1知
?1,?2,…,?r 为 V 的一组基,
注意,若向量空间 V 为 r 维的，则 V 中任意 r
个线性无关的向量均可作为 V 的基,
第三章
工 程 数 学
例 3.证明向量组
?1=(1,2,1),?2=(3,0,?1),?3=(2,?3,5)
为 R3 空间的一组基,
第三章
工 程 数 学
证,由于 dimR3=3 故只要证明 ?1,?2,?3 线性
无关即可,
5317
100
124
532
103
121
?
??
?
?? 0 3-17
24 ??
??1,?2,?3 线性无关，从而 ?1,?2,?3可构成
R3 空间的一组基,
第三章
工 程 数 学
定义 2
二、向量在给定基下的坐标,
设 ?1,?2,…,?m是向量空间 V 的一个基,?
??V,? 可由 ?1,?2,…,?m 线性表为,
? = x1?1+ x2?2 +… + xm?m
则组合系数 (x1,x2,…,xm ) 称为向量 ? 在基
?1,?2,…,?m 下的坐标,
( x1,x2,…,xm?R )
(5.1)
第三章
工 程 数 学
注,? 在基 ?1,?2,…,?m 下的坐标是唯一的,
? = y1?1+ y2?2 +… + ym?m (5.2)
由 (5.1)式减去 (5.2)式,得
(x1? y1) ?1+(x2? y2) ?2+… +( xm? ym) ?m= 0
由于 ?1,? 2,…,? m 线性无关,故
x1? y1= x2? y2=…= xm? ym= 0
即 xi= yi ( i = 1,2,…,m).
事实上,若还有另一坐标 (y1,y2,…,ym ),即
第三章
工 程 数 学
例 4,已知 e1= ( 1,0,0,…,0 ),e2= ( 0,1,0,…,
0 ),…,en= ( 0,0,0,…,1 ) 是 Rn 的基, 而
对 Rn 中任一向量 ?,有
? =( x1,x2,…,xn )= x1 e1+ x2 e2+… + xnen,
所以 ? 在基 e1,e2,…,en 下的坐标就是其自身,
故 e1,e2,…,en 称为空间 Rn 的标准基,
第三章
工 程 数 学
例 5,设 ?1= ( 1,1,2 ),?2= ( 1,3,0 ),?3= ( 1,0,1 ),
证明 ?1,?2,?3是 R3 的一个基,并求 ? = ( 0,
?1,3) 在这个基下的坐标,
解 dimR3 =3,而
04
101
031
211
???
所以 ?1,?2,?3线性无关,从而是 R3 的一个基,
第三章
工 程 数 学
令 ? = x1?1 + x2?2 +x3 ?3
所以 ? 在基 ?1,?2,?3 下的坐标为 (2,?1,?1 )
即 ( 0,?1,3) =x1(1,1,2) + x2(1,3,0) + x3(1,0,1)
则 x1 + x2 + x3 = 0
x1 + 3x2 = ?1
3x1 + 2x2 + x3 = 3
?
x1 = 2
x2 = ?1
x3 = ?1
第三章
工 程 数 学
三、基变换与坐标变换公式
设向量空间 V 的维数为 n,则 V 中任意
n 个线性无关的向量都是 V 的基,对于不同
的基,同一个向量的坐标一般是不同的,下面
我们来看看同一个向量在两个不同基下的
坐标之间有什么关系,
第三章
工 程 数 学
设 ?1,?2,…,?n 及 ?1,? 2,…,? n 是向量空
间 V 的两个基, 那么由基的定义,向量 ?i (i = 1,
2,…,n ) 可由 ?1,?2,…,?n 唯一线性表出, 设
nnccc ??? 12211111 ???? ?β
nnccc αααβ 22221122 ???? ???
nnnnnn ccc αααβ ???? ?2211
第三章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
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????
?
?
21
22221
112`11
矩阵 C 称为由基 ?1,?2,…,?n 到基 ?1,? 2,…,?n
的过渡矩阵,它是可逆的,
令
即
?
?
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?
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?
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?
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nnnn
n
n
nn
ccc
ccc
ccc
?
????
?
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??
21
22221
11211
2121 ),,,(),,,( ??????
(5.3)
第三章
工 程 数 学
将 (5.3) 式简记为,
(?1,? 2,…,? n) = (?1,?2,…,?n ) C (5.4)
新基 旧基 过渡矩阵
公式 (5.4)称为 基变换公式,
第三章
工 程 数 学
例 6 求 R3 中由标准基 e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),
e3=(0,0,1),到基 ?1=(1,1,2),?2=(1,3,0),
?3=(1,0,1)的过渡矩阵,
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
102
031
111
),,(),,( 321321 eee????
?所求过渡矩阵为
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
102
031
111
C
第三章
工 程 数 学
设向量 ? 在基 ?1,?2,…,?n 与基 ?1,?
2,…,? n 下的坐标分别为 (x1,x2,…,xn ) 与
(y1,y2,…,yn ) 即
nnxxx ???? ???? ?2211
(5.5)
nnyyy ??? ???? ?2211
(5.6)
第三章
工 程 数 学
将上两式用矩阵表示为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
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n
n
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y
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将基变换公式代入得
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n
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x
x
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n
n
y
y
y
C
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2
1
,21 ),,( ???
第三章
工 程 数 学
由向量坐标的唯一性,可得
?
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x
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mm x
x
x
C
y
y
y
??
2
1
12
1
或 (5.7)
上 式说明了 ? 在两个不同基下的坐标之间的
关系,称为 坐标变换公式,
新坐标 旧坐标
第三章
工 程 数 学
定理
上面的讨论可总结为,
设由向量空间 V 的基 ?1,?2,…,?n 到基
?1,? 2,…,? n 的过渡矩阵 C,而向量 ? 在基
?1,?2,…,?n 与基 ?1,? 2,…,? n 下的坐标为
(x1,x2,…,xn ) 与 (y1,y2,…,yn ),则
?
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nn x
x
x
C
y
y
y
??
2
1
12
1
(?1,? 2,…,? n )=(?1,?2,…,?n )C
且
第三章
工 程 数 学
例 7,设 R3 中一组基为 ?1=(?3,1,?2),
?2=(1,? 1,?1),?3=(2,3,?1),求向量
? =(1,0,0) 在基 ?1,?2,?3 下的坐标,
第三章
工 程 数 学
解,设 ? = ( 1,0,0) 在基 ?1,?2,?3下的坐标
为 (y1,y2,y3),在基 e1,e2,e3 下的坐标为
(x1,x2,x3)=(1,0,0),则由于
(?1,?2,?3)=(e1,e2,e3 )
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
112
311
213
?由基 e1,e2,e3 (旧基 )到基 ?1,?2,?3 (新基 )
的过渡矩阵为
第三章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
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?
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0
1
1
1
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1
C
y
y
y
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???
?
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112
311
213
C
从而
第三章
工 程 数 学
关于过渡矩阵,下面两个结论是经常用到的,
命题 1 设由基 ?1,?2,…,?n 到基 ?1,? 2,…,? n
的过渡矩阵为 C,则由基 ?1,? 2,…,? n
到基 ?1,?2,…,?n 的过渡矩阵为 C?1
基 ?1,?2,…,?n
C
基 ?1,? 2,…,? n
C?1
第三章
工 程 数 学
命题 2 设由基 ?1,?2,…,?n 到基 ?1,? 2,…,?n
的过渡矩阵为 C1,则由基 ?1,? 2,…,? n
到基 ?1,?2,…,?n 的过渡矩阵为 C2,则由
基 ?1,?2,…,?n 到 ?1,?2,…,?n 的过渡
矩阵为 C1 C2,
基 ?1,?2,…,?n
C1
基 ?1,? 2,…,? n
基 ?1,?2,…,?n
C2
第三章
工 程 数 学
例 8 求 R3中由基 ?1= (?3,1,?2),?2= (1,?1,?1 ),
?3= (2,3,?1 )到基 ?1= (2,1,1),? 2= (1,2,3),
? 3= (2,0,1 )的过渡矩阵,
解 由标准基 e1,e2,e3 到基 ?1,?2,?3 及基
? 1,?2,?3 的过渡矩阵分别为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
112
311
213
1
－
C
和
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?
?
?
?
?
?
?
?
131
021
212
2C
第三章
工 程 数 学
即 (?1,?2,?3)=(e1,e2,e3)C1
(?1,?2,?3)=(e1,e2,e3)C2
故 (e1,e2,e3)=(?1,?2,?3)C1?1
从而 =(?1,?2,?3)C1?1C2(?1,?2,?3)=(e1,e2,e3)C2
第三章
工 程 数 学
故由知基 ?1,?2,?3 到基 ? 1,?2,?3 的
过渡矩阵 C 为
?
?
?
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?
?
?
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?
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211
1175
532
?
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???
???
?
072
14213
1196
211 CCC ??
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???
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?
031
021
212
112
311
213
1
第三章
工 程 数 学
例 9 在平面直角坐标系中,设 e1,e2 分别是 x
轴,y 轴上的单位向量,其方向与轴的正向一致,它
们是 R2 的一个基,将这坐标系绕原点逆时针旋转
?,令相应的单位向量为 e1?,和 e2?,则 e1,e2?也是 R2
的一个基,于是我们有
e1?= cos? e1+ sin? e2
e2?= ? sin? e1+ cos? e2
或 (e1?,e2?) = ( e1,e2)
??
?
??
? ?
??
??
c o ss i n
s i nc o s
y
? e1
e1?e2e2?
x
x?
y?
O
第三章
工 程 数 学
即由 e1,e2 到基 e1?,e2? 的过渡矩阵为
??
?
??
? ??
??
??
c o ss i n
s i nc o sC
设向量 ? 在基 e1,e2 和基 e1?,e2?下的坐标分别
为 ( x,y ) 和 ( x?,y? ),由坐标变换公式,得
??
?
??
?
y
x
??
?
??
?
?
?
??
?
??
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y
x
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c o ss i n
s i nc o s
第三章
工 程 数 学
或
??
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y
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??
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??
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?? y
x
??
??
c o ss i n
s i nc o s
即 ?? s i nc o s yxx ???
?? c o ss i n yxy ????
这正是大家熟知的平面解析几何里坐标旋
转公式,
第三章
工 程 数 学
§ 6线性空间基本概念介绍
线性空间是线性代数最基本的概念之一,
是我们已熟悉的由 n 维向量构成的向量空间的
推广 。 有限维线性空间与向量空间关于线性运
算的性质完全相同, 而且推导的过程也几乎一
样, 所以, 本节仅对于线性空间的基本概念及
基本性质作一介绍, 也不再一一重新证明 。
第三章
工 程 数 学
定义 1
一, 线性空间的定义及简单性质
设 V 是一个非空集合, P是一个数域, 在
集合 V 的元素之间定义一种代数运算, 叫做
加法, 即对于 V 中任意两个元素 ?,?,V 中
有一个唯一确定的元素与它们对应, 这个元
素称为 ?,? 的和, 并记作 ?+?,在数域 P
与集合 V 的元素之间还定义一种运算, 叫做
数量乘法, 即对于 P中每一个数 K和 V 中每一
个元素 ?,有 V 中唯一确定的元素与它们对
应, 这个元素为 K 与 ? 的积, 并记作 K?，
如果加法与数量乘法满足下列算律：
第三章
工 程 数 学
???? ??? )1
? ? ? ??????? ＋＋＋＋ ? )2
3) 在 V中有一个元素 0，对于 V中任
一元素 ?，都有 ?+0= ?。
(具有这种性质的元素 0称为 V的零元素 )
4) 对于 V 中每一个元素 ?,都有 V
中一元素 ?，使得 ?+?=0
(?称为 ? 的负元素,)
第三章
工 程 数 学
5) 1 ?＝ ?
6) k(l ?)＝ (kl) ?
7) (k+l) ?＝ k ? +l ?
8) k(?+ ?)＝ k ? +k ?
(其中, KL是 P中任意数 ?,?,是 V
中任意元素 。 )
则称为 V为数域 P上的线性空间, V 中的
元素称为向量 。
第三章
工 程 数 学
例 1 上节讨论的向量空间都是实数域上的线
性空间 。
例 2 一切实 m?n矩阵所成的集合对于矩阵的
加法与数与矩阵的乘法构成实数域上的
线性空间, 用 C m?n 表示 。
第三章
工 程 数 学
例 3 实数域 R上一元多项式的全体按通常的多
项式加法及数与多项式的乘法构成一个 R
上的线性空间, 用 R[X] 表示, 如果只考
虑其中次数小于 n 的多项式, 再添上零
多项式也构成实数域上线性空间 。 用 R
[X]n 表示 。
第三章
工 程 数 学
例 4 全体实数函数的加法和数与函数的乘法
构成一个 R上线性空间。
例 5 实数域 R 按照本身的加法与乘法构成一
个 R 上的线性空间。
第三章
工 程 数 学
由线性空间的定义可得到下列线性空间
的简单性质：
1,零向量是唯一的，每个向量的负向量
(即负无素 )是唯一的，利用负向量，我们定义
减法如下,???＝ ?＋ (?? )
2,0?=0; k0=0; (?1)?= ??
3,如果 k? = 0,则 k = 0,或 ? = 0.
第三章
工 程 数 学
定义 2
二、向量的线性相关性，空间的维数，
基与向量的坐标。
线性空间 V 中向量 ?1,?2,…,?r 称为
线性相关，如果存在 P 中 r 个不全为零的
数 k1,k2,…, kr,使
k1 ?1+ k2 ?2+…+ kr ?r=0
否则，称它们线性无关,
第三章
工 程 数 学
定义 3
设 ?1,?2,…, ?r 是 V 中一组向量，
k1,k2,…, kr,是 P 中数，则向量
? = k1 ?1+ k2 ?2+…+ kr ?r
称为 ?1,?2,…,?r 的一个线性组合, 也称为
? 可由向量组 ?1,?2,…,?r线性表出 。
第三章
工 程 数 学
向量空间中关于向量组线性相关性的结论
完全可以搬到抽象的线性空间上来。我们把几
个基本的结论叙述如下：
1,单个向量 ? 线性相关的充要条件 ?＝ 0，
两个以上向量线性相关的充要条件是其中有一
个向量是其余向量的线性组合,
2,如果向量组 ?1,?2,…, ?r 线性无关，
但向量组 ?1,?2,…,?r,? 线性相关，那么 ?
可以由 ?1,?2,…,?r 线性表出，且表法唯一,
第三章
工 程 数 学
3,如果向量组中的一个线性无关部分组
有性质：向量组的每一个向量都可由这个部
分组线性表出, 则称这个部分组为向量组的
一个极大无关组, 一向量组的任两个极大无
关组所含的向量个数相等, 称这 个个数为该
向量组的秩, 向量组 ?1,?2,…,?r 的秩记为
r(?1,?2,…,?r ).
第三章
工 程 数 学
4,如果向量组 ?1,?2,…,?r 能由向量组 ?1,
? 2,…,? l线性表出, 则 r (?1,?2,…,?r) ?r (?1,
? 2,…,? l )特别, 如果 ?1,?2,…,?r 线性无关,
且能由 ?1,? 2,…,?i 线性表出, 则 r? l.
5,如果 r(?1,?2,…,?r) = r,则 ?1,?2,…,
?r 中任意 r 个向量是一个极大无关组,
第三章
工 程 数 学
线性空间 V 的一组向量 ?1,?2,…,?n 如果满足
1) ?1,?2,…,?n,线性无关；
2) ???V,? 可由 ?1,?2,…,?n 线性表出,
则称 ?1,?2,…, ?n 为 V 的一组基, 并称 V 为
n维线性空间, 记为 dimV=n,设 ? ?V,? 可唯
一地由 ?1,?2,…,?r线性表出为
? = a1 ?1+ a2 ?2+…+ an?n
则称 a1,a2,…,an为 ? 在其 ?1,?2,…,?n下的坐标,
定义 4
第三章
工 程 数 学
例 6 在线性空间 R[ X ]n 中, 1,x,x2,…,xn?1是
n 个线性无关的向量,而且每一个数小于 n
的实系数多项式都可由它们线性表出,所
以 1,x,x2,…,xn?1 是 R[X]n 的一组基,
对 ? f (x)= a0+a1x+… + an-1xn?1? R[ X ]n =n，
显然 f (x) 在基 1,x,x2,…,xn?1下的坐标为
(a0,a1,…,an－ 1)。
第三章
工 程 数 学
例 7 R看作自身上的线性空间是一维的, 数
1 就是它的一组基,
第三章
工 程 数 学
线性空间 V 的一个非空子集 W称为 V的一
个子空间, 如果 W 关于 V 的两种线性运算也
构成线性空间 。
关于空间我们同样有
设 ? ?W?V,则 W 是 V 的子空间的充分必
要条件是 W 关于 V的两种线性运算封闭, 即对
??,??W,和 ? k ? p,有 ?+??W,k??W
定义 4
第三章
工 程 数 学
例 8 R [ X ]n 是 R [ X ] 的子空间。
例 9 所有 n 阶实对称矩阵构成的集合构成
Rn?n的一个子空间, 同样全体阶实对角
阵, 实上 (下 )三角矩阵都构成 Rn? n 的
子空间 。
第三章
工 程 数 学
例 10设 w1,w2,是线性空间 V 的子空间, 令
121 { www ?? ??? 且 }2w??
称它为 w1,w2 的交，它是 V 的一个子空间，又令
},{ 22112221 wwww ????? ????
称它为 w1与 w2的和，它是 V 的一个子空间,
第三章
工 程 数 学
定义 5
三、线性空间的同构
数域 P 上两个线性空间 V 与 V ' 称 为同
构的, 如果由 V 到 V ' 有一个一一对应 ?,
具有以下性质：
1) ? ? )()( ??????? ???
2) ? ? )(???? kk ?
第三章
工 程 数 学
其中 ?,? ?V,K ? P,则称 ? 为同构映
射, 并称线性空间 V与 V' 同构, 记为 V?V ',
同构映射保持两线性空间的运算性质，如：
1) ? (0)=0,? (? ?) = ?? (?)
2) ? ?rrkkk ???? ?? ?2211 ＋
? ? ? ? ? ?rrkkk ?????? ???? ?2211
第三章
工 程 数 学
3) V中向量 ?1,?2,…,?n是线性相关当
且仅当 V 中向量 ? (?1),? (?2),…,? (?n) 线
性相关,
4) 如果 V?V' 则 dimV=dim V'。 且 ?1，
?2,…,?n 是 V 的一组基当且仅当 ?(?1),
? (?2),…,? (?n)是 V 的一组基,
总的来说, 如果 V 与 V' 同构,则它有完全
相同的结构与代数性质, 所以抽象地看来,
它们没有区别 。
第三章
工 程 数 学
定理 5
数域 P上任一 n 维线性空间都与向
量空间 Pn 同构,
第三章
工 程 数 学
证,设 V是数域 P上线性空间,?1,?2,…, ?n
是 V 的一组基, 则对 ???V,? 在这组基
下有唯一确定的坐标,它是一个 n 维向量,
作映射
?,V?Pn
??? 在基 ?1,?2,…,?n下的坐标
第三章
工 程 数 学
显然 ? 是 V 到 Pn 的一一对应且设 ?,?
?V,?,? 在基 ? 1,? 2,…,?n下的坐标分
别为 (?1,?2,…,an )与 (b1,b2,…,bn ),即
? = a1 ? 1+ ?2 ? 2+ … +an ? n
? = b1? 1+ b2 ?2+ … + bn ? n
那么 ? +?=(a1+ b1) ? 1+(?2+b2 ) ?2… (an b n) ? n
第三章
工 程 数 学
对于 ?k?P
k ?＝ k a1 ? 1+ k ?2 ? 2+…+ k an ? n
即 ?＋ ? 的坐标为
k?的坐标为 (k a1,k ?2,…,k an )= k(a1,?2,…,an )
所以 ? 是同构映射，即 V ? Pn。
(a1 b1,?2 b2,…,an bn )
=(a1,?2,…,an )＋ (b1,b2,…,bn ),
第三章
工 程 数 学
于是, 我们知道任一有限维线性空间与
前面我们讨论的 n 维向量构成的向量空间有相
同的结构与代数性质, 那么前一节关于向量空
间的所有结论在有限维线性空间中也成立,
