第五章
工 程 数 学
制作：刘金莲
第五章
第五章
工 程 数 学
本章主要讲述以下几个方面的内容,
一、建立 R3 中内积概念并推广至 n 维向量空间,
二、介绍欧氏空间 Rn及其正交基的概念与求法,
三、三维欧氏空间中向量积与混合积,
四,R3中直角坐标系下直线与平面方程,
五、空间曲面,空间曲线及其方程,
六、实内积空间与欧氏空间的介绍,
第五章
工 程 数 学
§ 1 内积、欧氏空间 Rn
一、几何空间中向量的内积
1,空间向量及两向量的夹角 (回顾 )
实际问题中,既有大小又有方向的物理
量称为 向量,
第五章
工 程 数 学
? 几何上用有向线段表示一个向量,线段的
长度表示向量的大小,
? 空间向量为 自由向量, 在直角坐标系下,
将向量的起点移至原点,称之为 向径,
点向 M(x,y,z) OM= (x,y,z)
第五章
工 程 数 学
?向量 a=(x,y,z) 的 长度
222|| zyxa ???
?向量的 方向角,
||a r c c o s a
x??
,||a r c c o s ay??
.||a r c c o s az??
第五章
工 程 数 学
将空间两向量 a,b 的起点移至一点 o,
两有向线段的夹角 ? (0≤?≤? ),称为向量 a
与 b的 夹角,
a b
当
2
?? ? 时，称 a 与 b 垂直 (正交 ),记作 a?b.
当 ?=0或 ? 时，称 a 与 b 平行 (共线 ),记作 a//b.
a
bo
?
?记为 (a,b)
第五章
工 程 数 学
例如,常力 f 作用于物体,使之产生位移 s,
s
f
),c o s ( ? sfsf?W
2,空间向量的内积,
这个力所作的功为
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工 程 数 学
定义 1 设 a,b?R3,记 a 与 b 的夹角为
),( ?ba
称数 ),c o s ( ? ba b a 为向量 a 与 b 的 内积 ( 数量
积 ),记为 a ·b,即
),c o s ( ??? ba b a ba
(1)
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工 程 数 学
3,内积的坐标表示,
在直角坐标系下,设空间向量 a = (x1,y1,z1),
b = (x2,y2,z2),由于 ?a ?,? b ?及 ?a? b ?构成三角
形的三条边,
2 ba ?
),c o s ( 2 22 ???? bababaa
b a?b
则由余弦定理知,
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工 程 数 学
即 ),c o s ( ? baba
) (21 222 baba ????
])()()([21 221221221222222212121 zzyyxxzyxzyx ????????????
212121 zzyyxx ???
所以
212121 zzyyxxba ????
(2)
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工 程 数 学
,aaa ??
a 与 b 的夹角 ),( ?ba
a r c c o s
ba
ba ??
a?b ? ba?
212121 zzyyxx ??? 0?
a 的长度
因为 a?a=x12+y12+z12,
||||),c o s ( ba
baba
?
???
(a,b?0)
,所以
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工 程 数 学
定义 2
二,n 维向量的内积
1,Rn 中向量内积定义
设 ?,??Rn,? = (x1,x2,…,xn),? = (y1,
y2,…,yn),称数 x1 y1 + x2 y2+ … + xn yn为 ? 与
?的内积, 记为 (?,? ),即
(?,?)= x1 y1 + x2 y2+ …+ xn yn (3)
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2、内积的性质
设 ?,?,??Rn,k?R,则上面定义的内积
满足以下性质：
),(),( ???? ?
),(),(),( ??????? ???
),(),(),( ?????? kkk ??
,0),( ??? 当且仅当 ? = 0时,等号成立,
性质 (1)到 (4)的证明可由内积定义直接推得,
(1)
(2)
(3)
(4)
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工 程 数 学
定义 3
三、欧氏空间 Rn
称定义了内积的 n 维实向量空间 Rn 为
n 维欧几里得 (Euclid)空间,简称欧氏空间,仍
记作 Rn.
三维欧氏空间 R3 具有直观性,习惯上称之
为 几何空间, R3 中向量长度及两向量的夹角等
概念通过内积可平行推广到 Rn,使 n 维欧氏空
间 具有可度量性,
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工 程 数 学
定义 4
设 ? = (x1,x2,…,xn)?Rn,? 的 长度
| ? | 定义为 ),( αα,即
α 22221 nxxx ???? ?
(4)
),( αα?
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特别地,1|| ?? 时,称 ? 为 单位向量,
当,0??
2
),(
?
??? 2
2
1 ?
?
?
故称
?
? 为 ?的 单位化向量,
=1
)
||
,
| |
(
||
2
?
?
?
?
?
? ?
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定义 5
设 ?,?? Rn,? =(x1,x2,…,xn ),? =(y1,y2,…,yn )
称 ),( || ?????? ????
2
1
2
1
))((?
?
??
n
i
ii yx
为空间两点 (或两向量间 )的距离，并称之为 欧
氏距离,
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定理 1
向量内积满足
|||| |),(| ???? ?
(5)
且等号成立的充要条件是 ?与 ? 线性相关,
(5)式称为柯西施瓦兹 (Cauchy-Schwarz)不等式,
若 ?,??0,则
,1|| || |),(|0 ?? ?? ??,1|| || ),(1 ??? ?? ??
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定理 1的证明
1) 当 a = 0 (或 b = 0) 时,0 ),( ?? baba (5)式成立,
2) 当 a?0,且 b?0 时,对于任意实数 t,有
),( tbatba ?? 2),(),(2),( tbbtbaaa ??? 0?
记 ),)(,(4)),(2(
2 aabbba ???
),)(,(4),(4 2 aabbba ??
从而有
0 4 ),( 4 222 ???? baba
即 ),( baba ?
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工 程 数 学
a 与 b 线性相关
),( baba ??
综合 (1),(2) 定理证毕
? a + tb = 0
? (a + tb,a + tb)=0
??=0
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向量 a,b 之间的 夹角 定义为
),(a r c c o s),(
ba
baba ?? (6)
??? ? ),(0 ba
,2),( ??
?
ba
称 a 与 b 正交,记 a ?b,
,0),( ?或?? ba 称 a 与 b 共线,记 a // b,
定义 5
由定义知：
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工 程 数 学
定理 2
几何学中的三角不等式,余弦定理,勾股
定理可推广至 n 维欧氏空间 Rn,
设 a,b是欧氏空间 Rn 中的两个向量 则,
baba ???
),c o s ( 2 222 ????? babababa
(7)
(8)
(1)
(2)
(三角不等式 )
(余弦定理 )
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证明, (1)
2 ba ? ),( baba ???
),(),(2),( bbbaaa ???
22 | ||| | |2| | bbaa ???
故 baba ???
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(2)
),( 2 bababa ????
),(2),(),( babbaa ???
||||
),(|b| ||2|||| 22
ba
baaba ???
),c o s (||||2|||| 22 ???? bababa
故 (8)式成立,
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工 程 数 学
定理 3
(勾股定理 ) 设 ?1,?2,…,?k 是 n 维欧氏
空间 Rn 中的向量,且 i?j时,(?i,?j ) = 0,则
221 || k??? ??? ? 22221 |||||| k??? ???? ?
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证, 2
21 || k??? ??? ?
),( 2121 kk ?????? ??????? ??
?
?
??
?
????
?
??
?
???
?
??
?
?? ???
???
ki
k
i
i
k
i
i
k
i
??????,,,
1
2
1
1
1
?
),(),(),( 2211 kk ?????? ???? ?
22221 |||||| k??? ???? ?
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定义
§ 2 标准正交基
一、标准正交基的概念及意义
1,正交向量组,
如果欧氏空间中的向量组 ?1,?2,…,
?m 中任意两个向量都是相互正交的,即
(?i,?j )=0,i?j,i,j=1,2,…,m,
则称 ?1,?2,…,?m 为 正交向量组 (简称正交组,)
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工 程 数 学
定理 不含零向量的正交向量组是线性无关的,
证 设 ?1,?2,…,?m是一个正交的向量组,又设
k1?1+ k2?2 +…+ km?m =0
则
???
?
???
? ?
?
jj
m
j
i k ??
1
,
,0),( ?? iiik ?? mi,,2,1 ??
?
?
?
m
j
jijk
1
),( ??
),(),(),( 2211 mmiii kkk ?????? ???? ?
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由于,0)(
,?ii ??
故 ki=0,
故 ?1,?2,…,?m线性无关,
mi,,2,1 ??
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定义
2,标准正交基
设 ?1,?2,…,?n?Rn,如果
?),( ji ??
,,1 ji ?
,,0 ji ?
ni,,2,1 ??
则称 ?1,?2,…,?n 是 Rn 的一组 标准正交基,
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显然 )0,,0,1(
1 ??e ),0,,0,1,0(2 ??e
) 1,0,,0(,?? ?ne 是 R
n 的标准正交基,
在 R3 中,),0,0,1(?i ),0,1,0(?j )1,0,0(?k
分别为三个坐标轴正向的单位矢量,
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设 ?1,?2,…,?n 是 Rn 的一组标准
正交基,则 Rn 中向量 ? 在 ?1,?2,…,?n
下的坐标向量的第 j 个分量为
njx jj,,2,1 ),( ??? ??
定理
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证明,nnxx ??? ??? ?11
则 ),(),(
11 jnnj xx ????? ??? ?
),(
1
jii
n
i
x ???
?
?
jx?
设
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?
?o
?,??R3
?在 ? 上的投影为：
||||
),(||),c o s (||
??
?????? ??
||
),(
?
???
?在 ? 上的投影矢量为：
??? ????? ?? |||| ),(|||| ),( ??
??? ?? ),( ),(?
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二,施密特 (Schmit)正交化方法求标准正交基
下面讨论由 Rn 的一组基构造 Rn 的标准正交
基的方法,为直观起见,先从 R3 开始讨论,
设 ?1,?2,?3 是 R3 的一组基,令 ?1=?1,将 ?2在
?1 上的投影向量记为 ?2?,则 ?2?=k12 ?1,,其中
),(
),(
11
12
12 ??
???k ?2
?2?o 11 ?? ?
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再取
1122222 ' ????? k????
则 ?2??1.
?1=?1
???
222 ???
?2?
?2
o
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将 ??在 ?1,?2 上的投影向量分别记为,,2
313 ??
?3 在 ?1,?2 所在平面上的投影向量为 ?3,
则 2
3133 ??? ?? 223113 ?? kk ??
?313?
23?
其中
,
),(
),(
11
13
13 ??
???k
),(
),(
22
23
23 ??
???k
1?
2?
3?
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取
333 ??? ?? 2231133 ??? kk ???
则,
13 ?? ? 23 ?? ?
因此
321,,???
是两两
正交的非零向量组,
再将 321,,??? 单位化,
即取 )3,2,1(,?? i
i
i
i ?
??
321,,???
则 就是 R3 的一组标准正交基,
1?
13?
23?
2?
3?
?3
3?
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工 程 数 学
一般地,设
m???,,,21 ?
是 Rn 中的一
个线性 无关组,取
11 ?? ?
1
11
12
22 ),(
),( ?
??
???? ??
??
1
11
1
2
22
2
1
11
1
),(
),(
),(
),(
),(
),(
?
??
??????
m
mm
mmmm
mm ???
???
??
???
??
???? ?;),( ),(),( ),( 2
22
23
1
11
13
33 ???
???
??
???? ???
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工 程 数 学
容易验证 m???,,,21 ? 两两正交,上述由
m??,,1 ? 得到 m???,,,21 ? 的过程称之为
向量组的 正交化,
第五章
工 程 数 学
将这 个正交化的向量组再单位化,即取
mie
i
i
i,,2,1 ??? ?
?
就得到正交的单位向量组,,,,
21 meee ?
称之
为 标准正交组,
上述从线性无关组求得标准正交组的方
法称为施密特 (Schmit) 正交化方法,
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工 程 数 学
例 1,设 R3 的一组基为 a1=(1,2,?1),a2(?1,3,1),
a3=(4,?1,0),试用施密特正交化方法构造 R3
的一组标准正交基,
解,取 b1=a1
1
11
12
21 ),(
),( b
bb
baab ??
)1,2,1(64)1,3,1( ????
),1,1,1(35 ??
第五章
工 程 数 学
2
22
23
1
11
13
33 ),(
),(
),(
),( b
bb
bab
bb
baab ???
)1,1,1(35)1,2,1(31)0,1,4( ??????
),1,0,1(2?
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取
|| 1
1
1 b
be ? ),1,2,1(
6
1 ??
|| 2
2
2 b
be ? ),1,1,1(
3
1 ??
|| 3
3
3 b
be ? ),1,0,1(
2
1?
则 e1,e2,e3 便为所求的一组标准正交基,
第五章
工 程 数 学
R3中内积
两向量夹角向
量长度
三角不等式
余弦定理
勾股定理
几何空间
R3中向量积与混合积
直线、平面及其方程
曲线、曲面及其方程
Rn中内积
欧氏空间 Rn
标准正交基
内积公理化定义
欧氏空间 V
欧氏空间的正交分解
第五章
工 程 数 学
定义
§ 3 向量积与混合积
一、向量积
1,向量积的定义
设 a,b 为 R3 中的向量,称向量 c 为 a 与
b 的向量积 (矢积或叉积 ),其中,
),s i n ( ?? babac
bcac ??,
(3) a,b,c构成右手系,
bac ??记作
(1)
(2)
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c
b
a ? ?? ??0
由向量积的定义知,| a?b | 在几何上表示
以向量 a,b 为邻边的平行四边形的面积,
a // b ? a?b=0
第五章
工 程 数 学
2,向量积的性质
0?? aa
00 ??a
abba ????
)()()( bababa ????? ???
cbcacba ?????? )(
cabacba ?????? )(
性质 (1)到 (4)的证明可由定义直接推得,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
第五章
工 程 数 学
设 ),0,0,1(?i ),0,1,0(?j )1,0,0(?k
显然有 0?????? kkjjii
kji ??
ikj ??
jik ??
jki ???
kij ???
ijk ???
ji
k
第五章
工 程 数 学
3,向量积的坐标表示
设,
321 kajaiaa ??? kbjbibb 321 ???
则 )()(
321321 kbjbibkajaiaba ???????
)()( 32123211 kbjbibjakbjbibia ????????
)()()( 312111 kibajibaiiba ??????
)()()( 332313 kkbajkbaikba ??????
)(32 kjba ??
)( 3213 kbjbibka ????
)()( 2212 jjbaijba ????
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工 程 数 学
故
kbabajbabaibababa )()()( 122131132332 ???????
利用行列式上式可写成
ba?
321
321
bbb
aaa
kji
?
(1) 或 (2) 称为向量积的坐标表示,
(2)
(1)
第五章
工 程 数 学
例 1, 求同时垂直于向量 a=(2,?3,1),b=(1,?2,3),
3且模等于 的向量 c,
解, 设 ),,(
321 cccc ?
ba?
321
132
?
??
kji
kji ???? 57
因为 c 与 a?b 共线,所以有
7
1
?
c
5
2
??
c
1
3
??
c t? ),0( Rtt ??
第五章
工 程 数 学
由已知 2
3
2
2
2
1|| cccc ???
222 2549 ttt ???
275 t? 3?
5
1 ??? t
故
)51,1,57(??c
第五章
工 程 数 学
定义
二、向量的混合积
1,混合积的定义
设向量 a,b,c?R3,a 与 b 的向量积 a?b
再与向量 c 的内积称为向量 a,b,c 的混合
积,记作 (a,b,c) 即
cbacba ??? )(),,(
第五章
工 程 数 学
2,混合积的坐标表示
设 ),,,(
321 aaaa ? ),,,( 321 bbbb ? ),,( 321 cccc ?
ba?
321
321
bbb
aaa
kji
?
k
bb
aaj
bb
aai
bb
aa
21
21
31
31
32
32 ???
第五章
工 程 数 学
cba ?? )(
3
21
21
2
31
31
1
32
32 c
bb
aa
c
bb
aa
c
bb
aa
???
321
321
321
ccc
bbb
aaa
?cba ?? )(
第五章
工 程 数 学
3,混合积的性质
由行列式的性质,可推得混合积具有以下性质,
cba ?? )( acb ??? )( bac ??? )( cab ???? )(
abc ???? )( bca ???? )(
321
321
321
ccc
bbb
aaa
?cba ?? )(
第五章
工 程 数 学
上述性质说明, 三矢混合积中轮换三个
向量的位置其值不变 ; 互换两个向量的位置,
其值只改变符号,
由于 )()( cbacba ?????
所以常把三矢混合积记为 ),,( cba
第五章
工 程 数 学
4,混合积的几何意义
记
设三个非零 a,b,c 不在同一平面上,将三个
矢量的起点移至空间一点 o,以这三个向量为棱
作一平行六面体,cad ??
cdcba ???? )( ),c o s (|||| ??? cdcd
其中 || || bad ?? 表示平行六面体的底面积,
第五章
工 程 数 学
),c o s (|| ? cdc 是 c 在 d 上的投影,当
2),(0
??? ? cd
时,就是 a,b 所在底面上的高,
故平行六面体的体积就是
),c o s (|||| ??? cdcbaV cba ??? )(
b a
a?b c
第五章
工 程 数 学
当
?? ??
?
),(2 cd
时,a,b 所在底面上的高为
),c o s (|| ?? cdc
此时 ),c o s (|||| ???? cdcbaV cba ???? )(
a?b
c
a
b
第五章
工 程 数 学
定理
因此,三个不共面矢量的混合积的绝对
值是以 a,b,c 为棱的平行六面体的体积,
若 a,b,c 共面,则 a?b 垂直 a,b 所在平面，
所以 a?b 也垂直 c,故
0)( ??? cba
反之,若,0)( ??? cba 则 a?b 垂直 c,而 a?b
也垂直于 a 和 b,故 a,b,c 共面,
非零向量 a,b,c 共面 0),,( ?? cba
第五章
工 程 数 学
例 2.求由不在一个平面上的空间四点
),,,( 111 zyxA ),,,( 222 zyxB ),,,( 333 zyxC
),,( 444 zyxD 为顶点的四面体的体积,
第五章
工 程 数 学
解, 由立体几何知 四面体 ABCD 的体积等于
以
、AB,AC AD 为棱的平行六面体体积的六
分之一,
),,( ADACAB?
,,
141414
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
???
???
???
?
),,(61 ADACABV ??
作业,P115 3; 5； 6；
P119 2; 3(3)；
P124 1; 2； 5(1)；
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本章主要讲述以下几个方面的内容,
一、建立 R3 中内积概念并推广至 n 维向量空间,
二、介绍欧氏空间 Rn及其正交基的概念与求法,
三、三维欧氏空间中向量积与混合积,
四,R3中直角坐标系下直线与平面方程,
五、空间曲面,空间曲线及其方程,
六、实内积空间与欧氏空间的介绍,
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§ 1 内积、欧氏空间 Rn
一、几何空间中向量的内积
1,空间向量及两向量的夹角 (回顾 )
实际问题中,既有大小又有方向的物理
量称为 向量,
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? 几何上用有向线段表示一个向量,线段的
长度表示向量的大小,
? 空间向量为 自由向量, 在直角坐标系下,
将向量的起点移至原点,称之为 向径,
点向 M(x,y,z) OM= (x,y,z)
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?向量 a=(x,y,z) 的 长度
222|| zyxa ???
?向量的 方向角,
||a r c c o s a
x??
,||a r c c o s ay??
.||a r c c o s az??
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将空间两向量 a,b 的起点移至一点 o,
两有向线段的夹角 ? (0≤?≤? ),称为向量 a
与 b的 夹角,
a b
当
2
?? ? 时，称 a 与 b 垂直 (正交 ),记作 a?b.
当 ?=0或 ? 时，称 a 与 b 平行 (共线 ),记作 a//b.
a
bo
?
?记为 (a,b)
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例如,常力 f 作用于物体,使之产生位移 s,
s
f
),c o s ( ? sfsf?W
2,空间向量的内积,
这个力所作的功为
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定义 1 设 a,b?R3,记 a 与 b 的夹角为
),( ?ba
称数 ),c o s ( ? ba b a 为向量 a 与 b 的 内积 ( 数量
积 ),记为 a ·b,即
),c o s ( ??? ba b a ba
(1)
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3,内积的坐标表示,
在直角坐标系下,设空间向量 a = (x1,y1,z1),
b = (x2,y2,z2),由于 ?a ?,? b ?及 ?a? b ?构成三角
形的三条边,
2 ba ?
),c o s ( 2 22 ???? bababaa
b a?b
则由余弦定理知,
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即 ),c o s ( ? baba
) (21 222 baba ????
])()()([21 221221221222222212121 zzyyxxzyxzyx ????????????
212121 zzyyxx ???
所以
212121 zzyyxxba ????
(2)
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,aaa ??
a 与 b 的夹角 ),( ?ba
a r c c o s
ba
ba ??
a?b ? ba?
212121 zzyyxx ??? 0?
a 的长度
因为 a?a=x12+y12+z12,
||||),c o s ( ba
baba
?
???
(a,b?0)
,所以
第五章
工 程 数 学
定义 2
二,n 维向量的内积
1,Rn 中向量内积定义
设 ?,??Rn,? = (x1,x2,…,xn),? = (y1,
y2,…,yn),称数 x1 y1 + x2 y2+ … + xn yn为 ? 与
?的内积, 记为 (?,? ),即
(?,?)= x1 y1 + x2 y2+ …+ xn yn (3)
第五章
工 程 数 学
2、内积的性质
设 ?,?,??Rn,k?R,则上面定义的内积
满足以下性质：
),(),( ???? ?
),(),(),( ??????? ???
),(),(),( ?????? kkk ??
,0),( ??? 当且仅当 ? = 0时,等号成立,
性质 (1)到 (4)的证明可由内积定义直接推得,
(1)
(2)
(3)
(4)
第五章
工 程 数 学
定义 3
三、欧氏空间 Rn
称定义了内积的 n 维实向量空间 Rn 为
n 维欧几里得 (Euclid)空间,简称欧氏空间,仍
记作 Rn.
三维欧氏空间 R3 具有直观性,习惯上称之
为 几何空间, R3 中向量长度及两向量的夹角等
概念通过内积可平行推广到 Rn,使 n 维欧氏空
间 具有可度量性,
第五章
工 程 数 学
定义 4
设 ? = (x1,x2,…,xn)?Rn,? 的 长度
| ? | 定义为 ),( αα,即
α 22221 nxxx ???? ?
(4)
),( αα?
第五章
工 程 数 学
特别地,1|| ?? 时,称 ? 为 单位向量,
当,0??
2
),(
?
??? 2
2
1 ?
?
?
故称
?
? 为 ?的 单位化向量,
=1
)
||
,
| |
(
||
2
?
?
?
?
?
? ?
第五章
工 程 数 学
定义 5
设 ?,?? Rn,? =(x1,x2,…,xn ),? =(y1,y2,…,yn )
称 ),( || ?????? ????
2
1
2
1
))((?
?
??
n
i
ii yx
为空间两点 (或两向量间 )的距离，并称之为 欧
氏距离,
第五章
工 程 数 学
定理 1
向量内积满足
|||| |),(| ???? ?
(5)
且等号成立的充要条件是 ?与 ? 线性相关,
(5)式称为柯西施瓦兹 (Cauchy-Schwarz)不等式,
若 ?,??0,则
,1|| || |),(|0 ?? ?? ??,1|| || ),(1 ??? ?? ??
第五章
工 程 数 学
定理 1的证明
1) 当 a = 0 (或 b = 0) 时,0 ),( ?? baba (5)式成立,
2) 当 a?0,且 b?0 时,对于任意实数 t,有
),( tbatba ?? 2),(),(2),( tbbtbaaa ??? 0?
记 ),)(,(4)),(2(
2 aabbba ???
),)(,(4),(4 2 aabbba ??
从而有
0 4 ),( 4 222 ???? baba
即 ),( baba ?
第五章
工 程 数 学
a 与 b 线性相关
),( baba ??
综合 (1),(2) 定理证毕
? a + tb = 0
? (a + tb,a + tb)=0
??=0
第五章
工 程 数 学
向量 a,b 之间的 夹角 定义为
),(a r c c o s),(
ba
baba ?? (6)
??? ? ),(0 ba
,2),( ??
?
ba
称 a 与 b 正交,记 a ?b,
,0),( ?或?? ba 称 a 与 b 共线,记 a // b,
定义 5
由定义知：
第五章
工 程 数 学
定理 2
几何学中的三角不等式,余弦定理,勾股
定理可推广至 n 维欧氏空间 Rn,
设 a,b是欧氏空间 Rn 中的两个向量 则,
baba ???
),c o s ( 2 222 ????? babababa
(7)
(8)
(1)
(2)
(三角不等式 )
(余弦定理 )
第五章
工 程 数 学
证明, (1)
2 ba ? ),( baba ???
),(),(2),( bbbaaa ???
22 | ||| | |2| | bbaa ???
故 baba ???
第五章
工 程 数 学
(2)
),( 2 bababa ????
),(2),(),( babbaa ???
||||
),(|b| ||2|||| 22
ba
baaba ???
),c o s (||||2|||| 22 ???? bababa
故 (8)式成立,
第五章
工 程 数 学
定理 3
(勾股定理 ) 设 ?1,?2,…,?k 是 n 维欧氏
空间 Rn 中的向量,且 i?j时,(?i,?j ) = 0,则
221 || k??? ??? ? 22221 |||||| k??? ???? ?
第五章
工 程 数 学
证, 2
21 || k??? ??? ?
),( 2121 kk ?????? ??????? ??
?
?
??
?
????
?
??
?
???
?
??
?
?? ???
???
ki
k
i
i
k
i
i
k
i
??????,,,
1
2
1
1
1
?
),(),(),( 2211 kk ?????? ???? ?
22221 |||||| k??? ???? ?
第五章
工 程 数 学
定义
§ 2 标准正交基
一、标准正交基的概念及意义
1,正交向量组,
如果欧氏空间中的向量组 ?1,?2,…,
?m 中任意两个向量都是相互正交的,即
(?i,?j )=0,i?j,i,j=1,2,…,m,
则称 ?1,?2,…,?m 为 正交向量组 (简称正交组,)
第五章
工 程 数 学
定理 不含零向量的正交向量组是线性无关的,
证 设 ?1,?2,…,?m是一个正交的向量组,又设
k1?1+ k2?2 +…+ km?m =0
则
???
?
???
? ?
?
jj
m
j
i k ??
1
,
,0),( ?? iiik ?? mi,,2,1 ??
?
?
?
m
j
jijk
1
),( ??
),(),(),( 2211 mmiii kkk ?????? ???? ?
第五章
工 程 数 学
由于,0)(
,?ii ??
故 ki=0,
故 ?1,?2,…,?m线性无关,
mi,,2,1 ??
第五章
工 程 数 学
定义
2,标准正交基
设 ?1,?2,…,?n?Rn,如果
?),( ji ??
,,1 ji ?
,,0 ji ?
ni,,2,1 ??
则称 ?1,?2,…,?n 是 Rn 的一组 标准正交基,
第五章
工 程 数 学
显然 )0,,0,1(
1 ??e ),0,,0,1,0(2 ??e
) 1,0,,0(,?? ?ne 是 R
n 的标准正交基,
在 R3 中,),0,0,1(?i ),0,1,0(?j )1,0,0(?k
分别为三个坐标轴正向的单位矢量,
第五章
工 程 数 学
设 ?1,?2,…,?n 是 Rn 的一组标准
正交基,则 Rn 中向量 ? 在 ?1,?2,…,?n
下的坐标向量的第 j 个分量为
njx jj,,2,1 ),( ??? ??
定理
第五章
工 程 数 学
证明,nnxx ??? ??? ?11
则 ),(),(
11 jnnj xx ????? ??? ?
),(
1
jii
n
i
x ???
?
?
jx?
设
第五章
工 程 数 学
?
?o
?,??R3
?在 ? 上的投影为：
||||
),(||),c o s (||
??
?????? ??
||
),(
?
???
?在 ? 上的投影矢量为：
??? ????? ?? |||| ),(|||| ),( ??
??? ?? ),( ),(?
第五章
工 程 数 学
二,施密特 (Schmit)正交化方法求标准正交基
下面讨论由 Rn 的一组基构造 Rn 的标准正交
基的方法,为直观起见,先从 R3 开始讨论,
设 ?1,?2,?3 是 R3 的一组基,令 ?1=?1,将 ?2在
?1 上的投影向量记为 ?2?,则 ?2?=k12 ?1,,其中
),(
),(
11
12
12 ??
???k ?2
?2?o 11 ?? ?
第五章
工 程 数 学
再取
1122222 ' ????? k????
则 ?2??1.
?1=?1
???
222 ???
?2?
?2
o
第五章
工 程 数 学
将 ??在 ?1,?2 上的投影向量分别记为,,2
313 ??
?3 在 ?1,?2 所在平面上的投影向量为 ?3,
则 2
3133 ??? ?? 223113 ?? kk ??
?313?
23?
其中
,
),(
),(
11
13
13 ??
???k
),(
),(
22
23
23 ??
???k
1?
2?
3?
第五章
工 程 数 学
取
333 ??? ?? 2231133 ??? kk ???
则,
13 ?? ? 23 ?? ?
因此
321,,???
是两两
正交的非零向量组,
再将 321,,??? 单位化,
即取 )3,2,1(,?? i
i
i
i ?
??
321,,???
则 就是 R3 的一组标准正交基,
1?
13?
23?
2?
3?
?3
3?
第五章
工 程 数 学
一般地,设
m???,,,21 ?
是 Rn 中的一
个线性 无关组,取
11 ?? ?
1
11
12
22 ),(
),( ?
??
???? ??
??
1
11
1
2
22
2
1
11
1
),(
),(
),(
),(
),(
),(
?
??
??????
m
mm
mmmm
mm ???
???
??
???
??
???? ?;),( ),(),( ),( 2
22
23
1
11
13
33 ???
???
??
???? ???
第五章
工 程 数 学
容易验证 m???,,,21 ? 两两正交,上述由
m??,,1 ? 得到 m???,,,21 ? 的过程称之为
向量组的 正交化,
第五章
工 程 数 学
将这 个正交化的向量组再单位化,即取
mie
i
i
i,,2,1 ??? ?
?
就得到正交的单位向量组,,,,
21 meee ?
称之
为 标准正交组,
上述从线性无关组求得标准正交组的方
法称为施密特 (Schmit) 正交化方法,
第五章
工 程 数 学
例 1,设 R3 的一组基为 a1=(1,2,?1),a2(?1,3,1),
a3=(4,?1,0),试用施密特正交化方法构造 R3
的一组标准正交基,
解,取 b1=a1
1
11
12
21 ),(
),( b
bb
baab ??
)1,2,1(64)1,3,1( ????
),1,1,1(35 ??
第五章
工 程 数 学
2
22
23
1
11
13
33 ),(
),(
),(
),( b
bb
bab
bb
baab ???
)1,1,1(35)1,2,1(31)0,1,4( ??????
),1,0,1(2?
第五章
工 程 数 学
取
|| 1
1
1 b
be ? ),1,2,1(
6
1 ??
|| 2
2
2 b
be ? ),1,1,1(
3
1 ??
|| 3
3
3 b
be ? ),1,0,1(
2
1?
则 e1,e2,e3 便为所求的一组标准正交基,
第五章
工 程 数 学
R3中内积
两向量夹角向
量长度
三角不等式
余弦定理
勾股定理
几何空间
R3中向量积与混合积
直线、平面及其方程
曲线、曲面及其方程
Rn中内积
欧氏空间 Rn
标准正交基
内积公理化定义
欧氏空间 V
欧氏空间的正交分解
第五章
工 程 数 学
定义
§ 3 向量积与混合积
一、向量积
1,向量积的定义
设 a,b 为 R3 中的向量,称向量 c 为 a 与
b 的向量积 (矢积或叉积 ),其中,
),s i n ( ?? babac
bcac ??,
(3) a,b,c构成右手系,
bac ??记作
(1)
(2)
第五章
工 程 数 学
c
b
a ? ?? ??0
由向量积的定义知,| a?b | 在几何上表示
以向量 a,b 为邻边的平行四边形的面积,
a // b ? a?b=0
第五章
工 程 数 学
2,向量积的性质
0?? aa
00 ??a
abba ????
)()()( bababa ????? ???
cbcacba ?????? )(
cabacba ?????? )(
性质 (1)到 (4)的证明可由定义直接推得,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
第五章
工 程 数 学
设 ),0,0,1(?i ),0,1,0(?j )1,0,0(?k
显然有 0?????? kkjjii
kji ??
ikj ??
jik ??
jki ???
kij ???
ijk ???
ji
k
第五章
工 程 数 学
3,向量积的坐标表示
设,
321 kajaiaa ??? kbjbibb 321 ???
则 )()(
321321 kbjbibkajaiaba ???????
)()( 32123211 kbjbibjakbjbibia ????????
)()()( 312111 kibajibaiiba ??????
)()()( 332313 kkbajkbaikba ??????
)(32 kjba ??
)( 3213 kbjbibka ????
)()( 2212 jjbaijba ????
第五章
工 程 数 学
故
kbabajbabaibababa )()()( 122131132332 ???????
利用行列式上式可写成
ba?
321
321
bbb
aaa
kji
?
(1) 或 (2) 称为向量积的坐标表示,
(2)
(1)
第五章
工 程 数 学
例 1, 求同时垂直于向量 a=(2,?3,1),b=(1,?2,3),
3且模等于 的向量 c,
解, 设 ),,(
321 cccc ?
ba?
321
132
?
??
kji
kji ???? 57
因为 c 与 a?b 共线,所以有
7
1
?
c
5
2
??
c
1
3
??
c t? ),0( Rtt ??
第五章
工 程 数 学
由已知 2
3
2
2
2
1|| cccc ???
222 2549 ttt ???
275 t? 3?
5
1 ??? t
故
)51,1,57(??c
第五章
工 程 数 学
定义
二、向量的混合积
1,混合积的定义
设向量 a,b,c?R3,a 与 b 的向量积 a?b
再与向量 c 的内积称为向量 a,b,c 的混合
积,记作 (a,b,c) 即
cbacba ??? )(),,(
第五章
工 程 数 学
2,混合积的坐标表示
设 ),,,(
321 aaaa ? ),,,( 321 bbbb ? ),,( 321 cccc ?
ba?
321
321
bbb
aaa
kji
?
k
bb
aaj
bb
aai
bb
aa
21
21
31
31
32
32 ???
第五章
工 程 数 学
cba ?? )(
3
21
21
2
31
31
1
32
32 c
bb
aa
c
bb
aa
c
bb
aa
???
321
321
321
ccc
bbb
aaa
?cba ?? )(
第五章
工 程 数 学
3,混合积的性质
由行列式的性质,可推得混合积具有以下性质,
cba ?? )( acb ??? )( bac ??? )( cab ???? )(
abc ???? )( bca ???? )(
321
321
321
ccc
bbb
aaa
?cba ?? )(
第五章
工 程 数 学
上述性质说明, 三矢混合积中轮换三个
向量的位置其值不变 ; 互换两个向量的位置,
其值只改变符号,
由于 )()( cbacba ?????
所以常把三矢混合积记为 ),,( cba
第五章
工 程 数 学
4,混合积的几何意义
记
设三个非零 a,b,c 不在同一平面上,将三个
矢量的起点移至空间一点 o,以这三个向量为棱
作一平行六面体,cad ??
cdcba ???? )( ),c o s (|||| ??? cdcd
其中 || || bad ?? 表示平行六面体的底面积,
第五章
工 程 数 学
),c o s (|| ? cdc 是 c 在 d 上的投影,当
2),(0
??? ? cd
时,就是 a,b 所在底面上的高,
故平行六面体的体积就是
),c o s (|||| ??? cdcbaV cba ??? )(
b a
a?b c
第五章
工 程 数 学
当
?? ??
?
),(2 cd
时,a,b 所在底面上的高为
),c o s (|| ?? cdc
此时 ),c o s (|||| ???? cdcbaV cba ???? )(
a?b
c
a
b
第五章
工 程 数 学
定理
因此,三个不共面矢量的混合积的绝对
值是以 a,b,c 为棱的平行六面体的体积,
若 a,b,c 共面,则 a?b 垂直 a,b 所在平面，
所以 a?b 也垂直 c,故
0)( ??? cba
反之,若,0)( ??? cba 则 a?b 垂直 c,而 a?b
也垂直于 a 和 b,故 a,b,c 共面,
非零向量 a,b,c 共面 0),,( ?? cba
第五章
工 程 数 学
例 2.求由不在一个平面上的空间四点
),,,( 111 zyxA ),,,( 222 zyxB ),,,( 333 zyxC
),,( 444 zyxD 为顶点的四面体的体积,
第五章
工 程 数 学
解, 由立体几何知 四面体 ABCD 的体积等于
以
、AB,AC AD 为棱的平行六面体体积的六
分之一,
),,( ADACAB?
,,
141414
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
???
???
???
?
),,(61 ADACABV ??
作业,P115 3; 5； 6；
P119 2; 3(3)；
P124 1; 2； 5(1)；
