第七章
工 程 数 学
制作：刘金莲
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
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z
y
x
aaa
aaa
aaa
zyxf ),,(
333231
232221
131211
第七章
? ?
? ?
?
n
i
n
j
jiijn xxaxxxf
1 1
21 ),,,( ?
第七章
工 程 数 学
定义
二次齐次多项式
f (x,y,z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 +
2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz
称为实二次型, 其中 aij 为实常数,
一、三元二次型及其表示
§ 1、二次型及其矩阵表示
第七章
工 程 数 学
f = a11x2 + a22y2 + a33z2 +2a12xy + 2a13xz + 2a23yz
取 a21 = a12,a31 = a13,a32 = a23,
从而,2a12xy = a12xy + a21yx,
2a13xz = a13xz + a31zx,
2a23yz = a23yz + a32zy,
第七章
工 程 数 学
f = a11x2 + a12xy + a13xz
+ a21yx + a22y2 + a23yz
+ a31zx + a32zy + a33z2
= x (a11x+ a12y + a13z)
+ y (a21x + a22y + a23z)
+ z (a31x + a32y + a33z)
f = a11x2 + a22y2 + a33z2 +2a12xy + 2a13xz + 2a23yz
第七章
工 程 数 学
?
?
?
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?
?
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??
??
??
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zayaxa
zayaxa
zayaxa
zyx
333231
232221
131211
),,(
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?
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?
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?
z
y
x
aaa
aaa
aaa
zyx ),,(
333231
232221
131211
第七章
工 程 数 学
= XT AX
称 A为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵,
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
y
x
aaa
aaa
aaa
zyxf ),,(
333231
232221
131211
三元实二
次 型 f
三阶实对
称矩阵 A
一一对应
A X
第七章
工 程 数 学
例 1.
,
.3243 222
f
Ayzxyzyxf
并用矩阵形式表示
的矩阵写出 ?????
解,
?A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
y
x
zyxf
4
2
3
0
2
3
31
011
),,(
1
3
4
1 0
2
3
2
3
1
0
第七章
工 程 数 学
例 2.
解,
若二次型 f 的矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
302
021
211
A
试写出 f,
?
?
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?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
z
y
x
zyxf
302
021
211
),,(
xzxyzyx 22232 222 ?????
第七章
工 程 数 学
定义
二,n元二次型及其矩阵表示
称 n 元实二次齐次式
nnn xxaxxaxaxxxf 112112211121 22),,,( ???? ??
nn xxaxa 222222 2??? ?
??
2nnn xa?
为 n 元 实二次型,
第七章
工 程 数 学
记 aij = aji,则
? ?
? ?
?
n
i
n
j
jiijn xxaxxxf
1 1
21 ),,,( ? )(
1,?
n
ji
jiij xxa或
记 X = ( x1,x2,…,xn)T,A=(aij )n?n,则
f ( x1,x2,…,xn)= X TAX,
其中 A 称为二次型的矩阵,A 的秩称为二次
型的秩,
第七章
工 程 数 学
注
?由于 aij = aji,所以 A T=A,
?A中 aii 是 xi2 的系数,aij是交叉项 xixj
系数的一半,
n元实二
次型 f
n 阶实对
称矩阵 A
一一对应
第七章
工 程 数 学
定义
三、二次型的标准形
称只含平方项的二次型 ?
?
?
n
i
ii xf
1
2?
为 标准二次型,
n元标准
二次型 f
n 阶对角
矩 阵
一一对应
第七章
工 程 数 学
设线性变换 Z=AY,Y=BX
(1) 若 A是满秩的，则称 Z=AY 是满秩线性
变换，称 Y=A?1Z 是 Z=AY 的逆变换 ;
(2) 称 Z=ABX 是线性变换 Z=AY,Y=BX 的
乘积,
补充逆变换与线性变换的乘积的定义
第七章
工 程 数 学
二次型 f = XTAX经过满
秩线性变换 X = CY后还是二
次型吗?
第七章
工 程 数 学
对于二次型 f = XTAX，作满秩变换 X = CY
则 f = X TAX = (CY)TA(CY) =YT(CTAC) Y
而 (CTAC)T = CTAT(CT)T = C TAC
所以 f = Y T(CTAC) Y 仍是关于新变量 Y 的
二次型,且二次型的矩阵为 C TAC
第七章
工 程 数 学
满秩变换
X=CYf = X TAX f = Y TBY ? B =CTAC
定义
对于 n 阶实对称矩阵 A 和 B, 若
存在可逆矩阵 P 使
PTAP=B
则称 A 合同于 B,记作 A B?
第七章
工 程 数 学
定义
如果满秩变换 X=CY 将二次型 f = XTAX 化
成了标准二次型
,?
?
n
i
ii y
1
2? ?
?
n
i
ii y
1
2 ?则称
的一个标准形,
为 f = XTAX
第七章
工 程 数 学
定义
§ 2,正交变换
一、正交变换的概念
设 ? 是 n 维欧氏空间 Rn 上的线性变
换，若对任意的 X,Y?Rn,有
|| ? (X)? ? (Y ) || = || X?Y || (* )
则称 ? 为 Rn 上的正交变换,
(*)可写成：
|| ? (X?Y ) || = || X?Y ||
第七章
工 程 数 学
定理 1
设 ? 是欧氏空间 Rn 上的线性变换, 则
下列四个条件等价 (互为充分必要条件 )
(1) ? 为正交变换
(2) ? 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基
(3) ||? (?)||=||?||,??? Rn (保持向量长度不变 )
(4) (? (X ),? (Y ))=( X,Y ),(保内积不变 )
( || ? (X)? ? (Y )||=|| X?Y || )
第七章
工 程 数 学
定义
定理 2
二、正交矩阵
正交变换在标准正交基下所对应的矩阵
称为正交矩阵,
A 是正交矩阵 ? ATA=E (或 AAT=E)
第七章
工 程 数 学
1,正交矩阵的行列式的
值是多少？
2,正交矩阵可逆吗？
第七章
工 程 数 学
定理 3
设 A 是正交矩阵，则
(1) | A | = ?1
(2) A ?1 =AT
第七章
工 程 数 学
定理 4
设 A 是正交矩阵 ?A 的列 (行 )
向量组为相互正交的单位向量组,
第七章
工 程 数 学
证明,设 A 是正交矩阵，
nnijaA )( ?? ),,,,( 21 n??? ?
?
?
?
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?
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T
n
T
T
T
A
?
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2
1
则
?=
第七章
工 程 数 学
),,,(
21
2
1
n
T
n
T
T
T
AA ???
?
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100
010
001
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????
?
?
=
11??T
22??T
nTn??
?
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?
?
???
nT??2
nT??1
12??T
1??Tn 2??Tn
21??T
第七章
工 程 数 学
所以,1?
iTi ??
i =1,2,…,n.
,0?jTi ??
i ? j
??
?
n
k
kjki aa
1
1,i =j,
0,i ? j,
??
?
n
k
jkik aa
1
1,i =j,
0,i ? j,
同理由 AAT=E,可得
第七章
工 程 数 学
例如：
???
?
???
?
?? ??
??
c o ss i n
s i nc o sA 是正交矩阵,
第七章
工 程 数 学
§ 3,用正交变换化二次型为标准形
一、实对称方阵的对角化
引理 1.实对称方阵的特征值都是实数
引理 2.若 ? 是 n 阶实对称方阵 A 的 k 重特征
值，则 A 对应于 ? 的线性无关特征向
量的最大个数均为 k,
第七章
工 程 数 学
实对称方阵相似于一
个对角阵吗？
回答是肯定的！！！
第七章
工 程 数 学
n 阶实对称方阵 A 有 n 个实特征值 (重数计算在内 )
n 阶实对称方阵必有 n 个线性无关的特征向量,
?矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的
实对称方阵一定可以对角化 (相似于对角矩阵 ).
矩阵 A 的可对角化的充要条件
是 A 有 n 个线性无关特征向量
?A 的对应于 k 重特征值 ?的线性无关特征向量最
大个数为 k,
第七章
工 程 数 学
A相似于对角阵，即存在在可逆矩阵 P,使得
??? APP 1
若 P 又是正交阵,则
??APP T
第七章
工 程 数 学
定理 1
对于任一个 n阶实对称方阵 A,必存在一
个正交方阵 P 使 P?1AP 为对角形, 且 P?1AP
的对角线上的元素均为 A 的 n 个特征值 (重数
计算在内 ),P的列向量为相应于 n 个特征值的
标准正交特征向量,
第七章
工 程 数 学
证明思路
n 阶实对称方阵 A
A 有 n 个实特征值 ?i (重数在内 )
A 有 n 个线性无关的特征向量 Xi分别属于 ?i
将 Xi 单位化正交化后得 Pi,Pi 仍是属于 ?i 的特征向量
记 P = [P1,P2,…,Pn],P是一个正交矩阵
APi =?iPi (i=1,2,…,n),AP=P?
第七章
工 程 数 学
引理 3.设 A 是实对称方阵，则属于 A 的不同
特征值的特征向量是正交的,
第七章
工 程 数 学
例 1,求正交矩阵 Q 使 Q?1AQ 成对角形矩阵，
并求此对角形矩阵,
.
320
230
002
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A其中
第七章
工 程 数 学
,
320
230
002
||
??
??
?
??
?
?
?
? AE
= (? ? 2)(?2 ? 6? + 5 ) = 0
A 的特征值为 ?1=1,?2=2,?3 = 5.
解：
第七章
工 程 数 学
?1=1时,由 (E?A)X=0,即
,0
220
220
001
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
x
x
x
解得对应的特征向量为 ?1=(0,1,?1)T,
?2= 2 时,由 (2E?A)X = 0,
解得对应的特征向量为 ?2= (1,0,0)T,
?3= 5时,由 (5E?A)X = 0,
解得对应的特征向量为 ?3= (0,1,1)T.
第七章
工 程 数 学
将 ?1,?2,?3 单位化，得
,)
2
1,
2
1,0(0
1
T???,)0,0,1(02 T??
.)
2
1,
2
1,0(0
3
T???
第七章
工 程 数 学
故所求的正交变换矩阵为
2
1?
2
1
Q =
0
2
1
2
1
1 0
0
0
对应
于特
征值
1
对应
于特
征值
2
对应
于特
征值
5
第七章
工 程 数 学
且
.
500
020
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?Q ?1AQ =
第七章
工 程 数 学
定理 1'
任意一个 n 元 实二次型
AXXxxxf Tn ?? ),,,( 21,
1 1
? ?
? ?
?
n
i
n
j
jiij xxa
都存在正交变换 X=QY 使得
其中 ?1,?2,…,?n 就是 A 的全部特征值,Q的
n 个列向量是 A 的对应于特征值 ?1,?2,…,?n
的标准正交特征向量,
,2222211 nnT yyyAXX ??? ???? ?
第七章
工 程 数 学
二、用正交变换化二次型为标准形
步骤
1,写出二次型 f 的矩阵 A,并求 A 的全部特征
值 ?1,?2,…,?n (重数计算在内 )
2,求出各特征值的特征向量；若 ?i 是 k 重根
时, 找出 ?i的 k 个线性无关的特征向量,
并用施特正交化方法将它们正交化,
第七章
工 程 数 学
步骤
3,将所得的 n个正交向量再单位化, 得 n 个
两两正交的单位向量 P1,P2,…,Pn,记
P = [P1,P2,…,Pn]
则 X = PY 为所求正交变换,f 的标准形为
2222211 nn yyyf ??? ???? ?
第七章
工 程 数 学
例 2,求一个正交变换化二次型
323121232221 84444 xxxxxxxxxf ??????
成标准形,
解,二次型的矩阵
,
442
442
221
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?A
第七章
工 程 数 学
A 的特征多项式为
,
442
442
221
||
?
?
?
?
??
???
??
?? EA
).9(2 ??? ??
A 的特征值是 ?1 = ?2 = 0,?3 = 9.
第七章
工 程 数 学
对于 ?1= ?2 = 0,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
442
442
221
EA ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
000
000
221
从而可取特征向量 p1=(0,1,1)T,
及与 p1正交的另一特征向量 p2=(4,1,?1)T,
第七章
工 程 数 学
对于 ?3 = 9,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
??
542
452
228
EA ?,
000
990
54
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
取特征向量 p3 = (1,?2,2)T.
第七章
工 程 数 学
将上述相互正交的特征向量化，得
,)
2
1,
2
1,0(
1
T??
,)
23
1,
23
1,
23
4(
2
T???
,)32,32,31(3 T???
属于特征值 0
属于特征值 9
第七章
工 程 数 学
则在正交变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
3
2
1
3
2
23
1
2
1
3
2
23
1
2
1
3
1
23
4
0
y
y
y
x
x
x
下二次型的标准形式为,9 2
3yf ?
第七章
工 程 数 学
例 3.已知二次型
)0(2332),,( 32232221321 ????? axaxxxxxxxf
通过正交变换化成标准形
,52 232221 yyyf ???
求参数 a 及 有所用的正交变换矩阵,
第七章
工 程 数 学
解,二次型 f 的矩阵,
30
30
002
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
aA
特征方程为
,
30
30
002
||
??
??
?
??
?
?
?
?
a
aAI
=(??2)(?2?6?+9 ?a2)=0
A 的特征值为 ?1=1,?2=2,?3=5.
第七章
工 程 数 学
将 ?=1 (或 ?=5 )代入特征方程，得
a2?4=0,a=?2.
因 a >0,故取 a=2.
这时，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
320
230
002
A
第七章
工 程 数 学
?1=1时,由 (I?A)X=0,即
,0
220
220
001
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
x
x
x
解得对应的特征向量为 ?1=(0,1,?1)T,
?2= 2 时,由 (2I?A)X = 0,,
解得对应的特征向量为 ?2= (1,0,0)T,
?3= 5时,由 (5I?A)X = 0,,
解得对应的特征向量为 ?3= (0,1,1)T.
第七章
工 程 数 学
将 ?1,?2,?3 单位化，得
,)
2
1,
2
1,0(0
1
T???,)0,0,1(02 T??
.)
2
1,
2
1,0(0
3
T???
第七章
工 程 数 学
故所求的正交变换矩阵为
2
1?
2
1
T =
0
2
1
2
1
1 0
0
0
第七章
工 程 数 学
例 4.已知二次型
323121232221321 66255),,( xxxxxxcxxxxxxf ??????
的秩为 2,
(1)求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值,
(2)指出方程 f (x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面,
第七章
工 程 数 学
解, (1)此二次型对应矩阵为
.
33
351
315
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
c
A
用初等变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
300
120
351
33
351
315
cc
A
第七章
工 程 数 学
因 r(A)=2,解得 c =3.
这时，
333
351
315
||
??
?
??
??
?
?
?
? AI
= ? (??4)(??9),
故所求特征值为 ?=0,? = 4,? = 9.
第七章
工 程 数 学
(2) 由上述特征值可知二次型 f 通过变换，
可化为标准形为
,94 2322 yyf ??
那么 f (x1,x2,x3)=1表示椭圆柱面,
第七章
工 程 数 学
定理 1
§ 4,用配方法化二次型为标准形
每个二次型都可以用满秩线性变换
化为标准形,
定理 2
每个实对称矩阵 A, 都存在一个可逆
矩阵 P,使 PTAP 为对角矩阵,
第七章
工 程 数 学
例 1.
解,
用配方法化二次型
.62262 222 为标准形yzxzxyzyxf ??????
因 f 中含有 x 的平方项, 可将含 x 的项归到
一起,配成一个完全平方的形式,
f = (x2+2xy+2xz) +2y2+6z2 +6yz
= (x2+2xy+2xz +2yz +y2 + z2 ) +(2y2–y2)
+ (6z2 – z2) + (6yz – 2yz)
= (x +y+z)2 + y2 +5z2 +4yz
第七章
工 程 数 学
f = (x +y+z)2 + (y2 + 4yz) +5z2
= (x +y+z)2 + (y +2z)2 +z2
令
?
?
?
?
?
???
???
????
zz
zyy
zyxx
2
222 zyxf ??????
第七章
工 程 数 学
例 2.
解,
用配方法化 f = 2xy + 2xz – 6yz为标准形,
令
?
?
?
?
?
??
????
????
zz
yxy
yxx
zyzxyxf ?????????? 8422,22得代入
2222 282)242( zzyyzzxx ??????????????
第七章
工 程 数 学
2222 6)44(2)(2 zzzyyzx ?????????????
22 6)2(2)(2 zzyzx ??????????
令
?
?
?
?
?
????
??????
??????
zz
zyy
zxx
2
222 622 zyxf ?????????从而
第七章
工 程 数 学
通过配方法将二次型 f 化成标准形
后,对应矩阵的秩不变,即二次型 f 的秩
就等于它的标准形的秩,也就等于标准
形中的项数,
第七章
工 程 数 学
利用配方法能保持二次型的矩阵
的秩不变,
但配方法不能保持 R3 中向量的长
度,从而不能保持几何图形不变,
第七章
工 程 数 学
在变换 x = x'+
y',y = x'– y' 下, 变成 (x' +y' )2 + (x'– y' )2 =1,即
.2122 ???? yx 也就是变成了 x'y'平面上一个半径为
.22 的圆
比如,xy面上圆周 x2 + y2 =1,
第七章
工 程 数 学
定理
§ 5 正定二次型
设 f 是一个秩为 r 的实二次型，则 f
经过一适当的满秩线性变换总可以变成如下
形式的 规范形
22 122221 rpp zzzzzf ??????? ? ??
规范形 是唯一的,
第七章
工 程 数 学
22 122221 rpp zzzzzf ??????? ? ??
p 称为 正惯性指数, r?p 称为 负惯性指数,
第七章
工 程 数 学
定义
设秩为 r 的 n 元二次型 f = XTAX 经满秩
线性变换化为规范形
22 122221 rpp zzzzzf ??????? ? ??
则
(2) 若 p = r < n,则称 f 为 半正定二次型,
A 为 半正定矩阵,
(1) 若 p= r = n,则称 f 为 正定二次型, A
为 正定矩阵,
正定二次型和正定矩阵
第七章
工 程 数 学
XTAX 为正
定二次型 ?
实对称方阵 A
为正定矩阵
A 合同于
单位阵?
第七章
工 程 数 学
定理
若 A是实对称矩阵，则下列命题是等价的：
(1) A 是正定矩阵
(2) 对任意的非零向量 X,有 X TAX > 0
(3) A 的所有特征值都大于零,
正定二次型的判别
第七章
工 程 数 学
证,因 A 是正定阵,存在可逆阵 P,使
PTAP = E
?X?Rn,X?0,而 P 可逆，
即 A=(PT)?1P?1,
故 X TAX = X T ( P T ) P?1 X = X T ( P ?1)T P?1 X
= ( P ?1 X )T ( P?1 X )>0
故 PX ? 0,同理 P?1X?0,
(1) A 是正定矩阵
(2) 对任意的非零向量 X,有 X TAX > 0
第七章
工 程 数 学
证,若 A有一个非正的特征值，不妨设 ?i≤0,
存在正交阵 P,使得
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
T
APP
?
?
?
?
2
1
(2) 对任意的非零向量 X,有 X TAX > 0
(3) A 的所有特征值都大于零,
第七章
工 程 数 学
令 X=P ?1?,其中 ?=(0,0,…,0,1,0,…,0),
X TAX= ( P?1? ) T A P ?1?则
?的第 i 个分量是 1，其余分量全为 0,
= ?i≤0.
= ? T (P?1) T AP ?1 ?
= ? T ??
矛盾
= ? T P AP T ?
第七章
工 程 数 学
证,因为 A 的全部特征值都大于 0,则 A 所
对应的二次型的规范形的正惯性指数就
是 n, 故 A 是正定矩阵,
(1) A 是正定矩阵
(3) A 的所有特征值都大于零,
第七章
工 程 数 学
二次型 f = XTAX 正定的充要条件是 A
的各阶顺序主子式 Dk >0,k =1,2,…,n
其中
,
333231
232221
131211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
aaa
aaa
aaa
A
AT =A
,11111 aaD ??,
2221
1211
2 aa
aaD ?
.AD n ?
k =1,2,…,n
定理
…,
第七章
工 程 数 学
例 1.
解, f 的矩阵
.,232 222 的正定性判断设 fxyzyxf ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
300
021
011
A
由于 D1 = 1 > 0,0112 21
11
2 ?????D
|D3 | = | A | = 3D2 = 3 > 0.
故 f 正定,
第七章
工 程 数 学
定义
22 122221 rpp zzzzzf ??????? ? ??
(1) 若 p=0,r < n时,则称 f 为 半负定二次型,
A 为 半负定矩阵,
(2) 若 p=0,r = n时,则称 f 为 负定二次型,
A 为 负定矩阵,
(3)若 0 < p< r ≤ n时,则称 f 为 不定二次型,
A 为 不定矩阵,
二次型的其它分类：
第七章
工 程 数 学
例 2.设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩 (A)=n,Aij 是
A=(aij)n?n 中元素 aij 的代数余子式 (i,j=1,
2,…,n),二次型
.||),,,(
1 1
21 ? ?
? ?
??
n
i
ji
n
j
ij
n xxA
Axxxf
(1) 记 X = (x1,x2,…,xn)T,把 f (x1,x2,…,xn)写
成矩阵形式，并证明二次型 f ( X ) 的矩
阵为 A?1;
(2) 二次型 g( X ) = X T AX 与 f (X) 的规范形
是否相同？说明理由,
第七章
工 程 数 学
.||),,,(
1 1
21 ? ?
? ?
??
n
i
ji
n
j
ij
n xxA
Axxxf
解, (1)二次型 f (x1,x2,…,xn)的矩阵形式为
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
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?
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??
nnnnn
n
n
n
x
x
x
AAA
AAA
AAA
A
xxxXf
?
?
???
?
?
2
1
21
22212
12111
21
||
1
),,,()(
A?1
第七章
工 程 数 学
因秩 (A) = n,故 A 可逆，且
,|| 1 *1 AAA ??
从而
,)()( 111 ??? ?? AAA TT
故 A?1 也是实对称矩阵，因此二次型 f (X) 的
矩阵为 A?1.
第七章
工 程 数 学
(2)因为
,)()( 1111 ???? ?? AEAAAA TT
所以 A 与 A?1合同，于是 g(X) = X TAX 与 f (X)
有相同的规范形,
第七章
工 程 数 学
1,理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性
质,会求矩阵的特征值和特征向量；
2,了解相似矩阵的概念性质及矩阵可相似对
角化的充分必要条件；
掌握用相似变换化实对称矩阵为对角形矩
阵的方法；
六、七章要求
第七章
工 程 数 学
4,掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型秩
的概念，了解惯性定理；
5,掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，
了解用配方法化二次型为标准形的方法，
了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法,
3,了解线性变换的概念及其在一组基下的矩
阵表示，了解线性变换的特征值与其矩阵
特征值之间的关系；
第七章
工 程 数 学
作业,P169 1(3)(4);
P171 1;
P178 1(1); 2(1);
p180 1(3)(4); 3
工 程 数 学
制作：刘金莲
?
?
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?
?
?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
z
y
x
aaa
aaa
aaa
zyxf ),,(
333231
232221
131211
第七章
? ?
? ?
?
n
i
n
j
jiijn xxaxxxf
1 1
21 ),,,( ?
第七章
工 程 数 学
定义
二次齐次多项式
f (x,y,z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 +
2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz
称为实二次型, 其中 aij 为实常数,
一、三元二次型及其表示
§ 1、二次型及其矩阵表示
第七章
工 程 数 学
f = a11x2 + a22y2 + a33z2 +2a12xy + 2a13xz + 2a23yz
取 a21 = a12,a31 = a13,a32 = a23,
从而,2a12xy = a12xy + a21yx,
2a13xz = a13xz + a31zx,
2a23yz = a23yz + a32zy,
第七章
工 程 数 学
f = a11x2 + a12xy + a13xz
+ a21yx + a22y2 + a23yz
+ a31zx + a32zy + a33z2
= x (a11x+ a12y + a13z)
+ y (a21x + a22y + a23z)
+ z (a31x + a32y + a33z)
f = a11x2 + a22y2 + a33z2 +2a12xy + 2a13xz + 2a23yz
第七章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
zayaxa
zayaxa
zayaxa
zyx
333231
232221
131211
),,(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
y
x
aaa
aaa
aaa
zyx ),,(
333231
232221
131211
第七章
工 程 数 学
= XT AX
称 A为二次型 f 的矩阵，它是一个对称矩阵,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
y
x
aaa
aaa
aaa
zyxf ),,(
333231
232221
131211
三元实二
次 型 f
三阶实对
称矩阵 A
一一对应
A X
第七章
工 程 数 学
例 1.
,
.3243 222
f
Ayzxyzyxf
并用矩阵形式表示
的矩阵写出 ?????
解,
?A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
y
x
zyxf
4
2
3
0
2
3
31
011
),,(
1
3
4
1 0
2
3
2
3
1
0
第七章
工 程 数 学
例 2.
解,
若二次型 f 的矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
302
021
211
A
试写出 f,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
y
x
zyxf
302
021
211
),,(
xzxyzyx 22232 222 ?????
第七章
工 程 数 学
定义
二,n元二次型及其矩阵表示
称 n 元实二次齐次式
nnn xxaxxaxaxxxf 112112211121 22),,,( ???? ??
nn xxaxa 222222 2??? ?
??
2nnn xa?
为 n 元 实二次型,
第七章
工 程 数 学
记 aij = aji,则
? ?
? ?
?
n
i
n
j
jiijn xxaxxxf
1 1
21 ),,,( ? )(
1,?
n
ji
jiij xxa或
记 X = ( x1,x2,…,xn)T,A=(aij )n?n,则
f ( x1,x2,…,xn)= X TAX,
其中 A 称为二次型的矩阵,A 的秩称为二次
型的秩,
第七章
工 程 数 学
注
?由于 aij = aji,所以 A T=A,
?A中 aii 是 xi2 的系数,aij是交叉项 xixj
系数的一半,
n元实二
次型 f
n 阶实对
称矩阵 A
一一对应
第七章
工 程 数 学
定义
三、二次型的标准形
称只含平方项的二次型 ?
?
?
n
i
ii xf
1
2?
为 标准二次型,
n元标准
二次型 f
n 阶对角
矩 阵
一一对应
第七章
工 程 数 学
设线性变换 Z=AY,Y=BX
(1) 若 A是满秩的，则称 Z=AY 是满秩线性
变换，称 Y=A?1Z 是 Z=AY 的逆变换 ;
(2) 称 Z=ABX 是线性变换 Z=AY,Y=BX 的
乘积,
补充逆变换与线性变换的乘积的定义
第七章
工 程 数 学
二次型 f = XTAX经过满
秩线性变换 X = CY后还是二
次型吗?
第七章
工 程 数 学
对于二次型 f = XTAX，作满秩变换 X = CY
则 f = X TAX = (CY)TA(CY) =YT(CTAC) Y
而 (CTAC)T = CTAT(CT)T = C TAC
所以 f = Y T(CTAC) Y 仍是关于新变量 Y 的
二次型,且二次型的矩阵为 C TAC
第七章
工 程 数 学
满秩变换
X=CYf = X TAX f = Y TBY ? B =CTAC
定义
对于 n 阶实对称矩阵 A 和 B, 若
存在可逆矩阵 P 使
PTAP=B
则称 A 合同于 B,记作 A B?
第七章
工 程 数 学
定义
如果满秩变换 X=CY 将二次型 f = XTAX 化
成了标准二次型
,?
?
n
i
ii y
1
2? ?
?
n
i
ii y
1
2 ?则称
的一个标准形,
为 f = XTAX
第七章
工 程 数 学
定义
§ 2,正交变换
一、正交变换的概念
设 ? 是 n 维欧氏空间 Rn 上的线性变
换，若对任意的 X,Y?Rn,有
|| ? (X)? ? (Y ) || = || X?Y || (* )
则称 ? 为 Rn 上的正交变换,
(*)可写成：
|| ? (X?Y ) || = || X?Y ||
第七章
工 程 数 学
定理 1
设 ? 是欧氏空间 Rn 上的线性变换, 则
下列四个条件等价 (互为充分必要条件 )
(1) ? 为正交变换
(2) ? 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基
(3) ||? (?)||=||?||,??? Rn (保持向量长度不变 )
(4) (? (X ),? (Y ))=( X,Y ),(保内积不变 )
( || ? (X)? ? (Y )||=|| X?Y || )
第七章
工 程 数 学
定义
定理 2
二、正交矩阵
正交变换在标准正交基下所对应的矩阵
称为正交矩阵,
A 是正交矩阵 ? ATA=E (或 AAT=E)
第七章
工 程 数 学
1,正交矩阵的行列式的
值是多少？
2,正交矩阵可逆吗？
第七章
工 程 数 学
定理 3
设 A 是正交矩阵，则
(1) | A | = ?1
(2) A ?1 =AT
第七章
工 程 数 学
定理 4
设 A 是正交矩阵 ?A 的列 (行 )
向量组为相互正交的单位向量组,
第七章
工 程 数 学
证明,设 A 是正交矩阵，
nnijaA )( ?? ),,,,( 21 n??? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
T
n
T
T
T
A
?
?
?
?
2
1
则
?=
第七章
工 程 数 学
),,,(
21
2
1
n
T
n
T
T
T
AA ???
?
?
?
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100
010
001
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????
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?
=
11??T
22??T
nTn??
?
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?
?
???
nT??2
nT??1
12??T
1??Tn 2??Tn
21??T
第七章
工 程 数 学
所以,1?
iTi ??
i =1,2,…,n.
,0?jTi ??
i ? j
??
?
n
k
kjki aa
1
1,i =j,
0,i ? j,
??
?
n
k
jkik aa
1
1,i =j,
0,i ? j,
同理由 AAT=E,可得
第七章
工 程 数 学
例如：
???
?
???
?
?? ??
??
c o ss i n
s i nc o sA 是正交矩阵,
第七章
工 程 数 学
§ 3,用正交变换化二次型为标准形
一、实对称方阵的对角化
引理 1.实对称方阵的特征值都是实数
引理 2.若 ? 是 n 阶实对称方阵 A 的 k 重特征
值，则 A 对应于 ? 的线性无关特征向
量的最大个数均为 k,
第七章
工 程 数 学
实对称方阵相似于一
个对角阵吗？
回答是肯定的！！！
第七章
工 程 数 学
n 阶实对称方阵 A 有 n 个实特征值 (重数计算在内 )
n 阶实对称方阵必有 n 个线性无关的特征向量,
?矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的
实对称方阵一定可以对角化 (相似于对角矩阵 ).
矩阵 A 的可对角化的充要条件
是 A 有 n 个线性无关特征向量
?A 的对应于 k 重特征值 ?的线性无关特征向量最
大个数为 k,
第七章
工 程 数 学
A相似于对角阵，即存在在可逆矩阵 P,使得
??? APP 1
若 P 又是正交阵,则
??APP T
第七章
工 程 数 学
定理 1
对于任一个 n阶实对称方阵 A,必存在一
个正交方阵 P 使 P?1AP 为对角形, 且 P?1AP
的对角线上的元素均为 A 的 n 个特征值 (重数
计算在内 ),P的列向量为相应于 n 个特征值的
标准正交特征向量,
第七章
工 程 数 学
证明思路
n 阶实对称方阵 A
A 有 n 个实特征值 ?i (重数在内 )
A 有 n 个线性无关的特征向量 Xi分别属于 ?i
将 Xi 单位化正交化后得 Pi,Pi 仍是属于 ?i 的特征向量
记 P = [P1,P2,…,Pn],P是一个正交矩阵
APi =?iPi (i=1,2,…,n),AP=P?
第七章
工 程 数 学
引理 3.设 A 是实对称方阵，则属于 A 的不同
特征值的特征向量是正交的,
第七章
工 程 数 学
例 1,求正交矩阵 Q 使 Q?1AQ 成对角形矩阵，
并求此对角形矩阵,
.
320
230
002
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A其中
第七章
工 程 数 学
,
320
230
002
||
??
??
?
??
?
?
?
? AE
= (? ? 2)(?2 ? 6? + 5 ) = 0
A 的特征值为 ?1=1,?2=2,?3 = 5.
解：
第七章
工 程 数 学
?1=1时,由 (E?A)X=0,即
,0
220
220
001
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
x
x
x
解得对应的特征向量为 ?1=(0,1,?1)T,
?2= 2 时,由 (2E?A)X = 0,
解得对应的特征向量为 ?2= (1,0,0)T,
?3= 5时,由 (5E?A)X = 0,
解得对应的特征向量为 ?3= (0,1,1)T.
第七章
工 程 数 学
将 ?1,?2,?3 单位化，得
,)
2
1,
2
1,0(0
1
T???,)0,0,1(02 T??
.)
2
1,
2
1,0(0
3
T???
第七章
工 程 数 学
故所求的正交变换矩阵为
2
1?
2
1
Q =
0
2
1
2
1
1 0
0
0
对应
于特
征值
1
对应
于特
征值
2
对应
于特
征值
5
第七章
工 程 数 学
且
.
500
020
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?Q ?1AQ =
第七章
工 程 数 学
定理 1'
任意一个 n 元 实二次型
AXXxxxf Tn ?? ),,,( 21,
1 1
? ?
? ?
?
n
i
n
j
jiij xxa
都存在正交变换 X=QY 使得
其中 ?1,?2,…,?n 就是 A 的全部特征值,Q的
n 个列向量是 A 的对应于特征值 ?1,?2,…,?n
的标准正交特征向量,
,2222211 nnT yyyAXX ??? ???? ?
第七章
工 程 数 学
二、用正交变换化二次型为标准形
步骤
1,写出二次型 f 的矩阵 A,并求 A 的全部特征
值 ?1,?2,…,?n (重数计算在内 )
2,求出各特征值的特征向量；若 ?i 是 k 重根
时, 找出 ?i的 k 个线性无关的特征向量,
并用施特正交化方法将它们正交化,
第七章
工 程 数 学
步骤
3,将所得的 n个正交向量再单位化, 得 n 个
两两正交的单位向量 P1,P2,…,Pn,记
P = [P1,P2,…,Pn]
则 X = PY 为所求正交变换,f 的标准形为
2222211 nn yyyf ??? ???? ?
第七章
工 程 数 学
例 2,求一个正交变换化二次型
323121232221 84444 xxxxxxxxxf ??????
成标准形,
解,二次型的矩阵
,
442
442
221
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?A
第七章
工 程 数 学
A 的特征多项式为
,
442
442
221
||
?
?
?
?
??
???
??
?? EA
).9(2 ??? ??
A 的特征值是 ?1 = ?2 = 0,?3 = 9.
第七章
工 程 数 学
对于 ?1= ?2 = 0,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
442
442
221
EA ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
000
000
221
从而可取特征向量 p1=(0,1,1)T,
及与 p1正交的另一特征向量 p2=(4,1,?1)T,
第七章
工 程 数 学
对于 ?3 = 9,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
??
542
452
228
EA ?,
000
990
54
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
取特征向量 p3 = (1,?2,2)T.
第七章
工 程 数 学
将上述相互正交的特征向量化，得
,)
2
1,
2
1,0(
1
T??
,)
23
1,
23
1,
23
4(
2
T???
,)32,32,31(3 T???
属于特征值 0
属于特征值 9
第七章
工 程 数 学
则在正交变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
3
2
1
3
2
23
1
2
1
3
2
23
1
2
1
3
1
23
4
0
y
y
y
x
x
x
下二次型的标准形式为,9 2
3yf ?
第七章
工 程 数 学
例 3.已知二次型
)0(2332),,( 32232221321 ????? axaxxxxxxxf
通过正交变换化成标准形
,52 232221 yyyf ???
求参数 a 及 有所用的正交变换矩阵,
第七章
工 程 数 学
解,二次型 f 的矩阵,
30
30
002
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
aA
特征方程为
,
30
30
002
||
??
??
?
??
?
?
?
?
a
aAI
=(??2)(?2?6?+9 ?a2)=0
A 的特征值为 ?1=1,?2=2,?3=5.
第七章
工 程 数 学
将 ?=1 (或 ?=5 )代入特征方程，得
a2?4=0,a=?2.
因 a >0,故取 a=2.
这时，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
320
230
002
A
第七章
工 程 数 学
?1=1时,由 (I?A)X=0,即
,0
220
220
001
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
x
x
x
解得对应的特征向量为 ?1=(0,1,?1)T,
?2= 2 时,由 (2I?A)X = 0,,
解得对应的特征向量为 ?2= (1,0,0)T,
?3= 5时,由 (5I?A)X = 0,,
解得对应的特征向量为 ?3= (0,1,1)T.
第七章
工 程 数 学
将 ?1,?2,?3 单位化，得
,)
2
1,
2
1,0(0
1
T???,)0,0,1(02 T??
.)
2
1,
2
1,0(0
3
T???
第七章
工 程 数 学
故所求的正交变换矩阵为
2
1?
2
1
T =
0
2
1
2
1
1 0
0
0
第七章
工 程 数 学
例 4.已知二次型
323121232221321 66255),,( xxxxxxcxxxxxxf ??????
的秩为 2,
(1)求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值,
(2)指出方程 f (x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面,
第七章
工 程 数 学
解, (1)此二次型对应矩阵为
.
33
351
315
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
c
A
用初等变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
300
120
351
33
351
315
cc
A
第七章
工 程 数 学
因 r(A)=2,解得 c =3.
这时，
333
351
315
||
??
?
??
??
?
?
?
? AI
= ? (??4)(??9),
故所求特征值为 ?=0,? = 4,? = 9.
第七章
工 程 数 学
(2) 由上述特征值可知二次型 f 通过变换，
可化为标准形为
,94 2322 yyf ??
那么 f (x1,x2,x3)=1表示椭圆柱面,
第七章
工 程 数 学
定理 1
§ 4,用配方法化二次型为标准形
每个二次型都可以用满秩线性变换
化为标准形,
定理 2
每个实对称矩阵 A, 都存在一个可逆
矩阵 P,使 PTAP 为对角矩阵,
第七章
工 程 数 学
例 1.
解,
用配方法化二次型
.62262 222 为标准形yzxzxyzyxf ??????
因 f 中含有 x 的平方项, 可将含 x 的项归到
一起,配成一个完全平方的形式,
f = (x2+2xy+2xz) +2y2+6z2 +6yz
= (x2+2xy+2xz +2yz +y2 + z2 ) +(2y2–y2)
+ (6z2 – z2) + (6yz – 2yz)
= (x +y+z)2 + y2 +5z2 +4yz
第七章
工 程 数 学
f = (x +y+z)2 + (y2 + 4yz) +5z2
= (x +y+z)2 + (y +2z)2 +z2
令
?
?
?
?
?
???
???
????
zz
zyy
zyxx
2
222 zyxf ??????
第七章
工 程 数 学
例 2.
解,
用配方法化 f = 2xy + 2xz – 6yz为标准形,
令
?
?
?
?
?
??
????
????
zz
yxy
yxx
zyzxyxf ?????????? 8422,22得代入
2222 282)242( zzyyzzxx ??????????????
第七章
工 程 数 学
2222 6)44(2)(2 zzzyyzx ?????????????
22 6)2(2)(2 zzyzx ??????????
令
?
?
?
?
?
????
??????
??????
zz
zyy
zxx
2
222 622 zyxf ?????????从而
第七章
工 程 数 学
通过配方法将二次型 f 化成标准形
后,对应矩阵的秩不变,即二次型 f 的秩
就等于它的标准形的秩,也就等于标准
形中的项数,
第七章
工 程 数 学
利用配方法能保持二次型的矩阵
的秩不变,
但配方法不能保持 R3 中向量的长
度,从而不能保持几何图形不变,
第七章
工 程 数 学
在变换 x = x'+
y',y = x'– y' 下, 变成 (x' +y' )2 + (x'– y' )2 =1,即
.2122 ???? yx 也就是变成了 x'y'平面上一个半径为
.22 的圆
比如,xy面上圆周 x2 + y2 =1,
第七章
工 程 数 学
定理
§ 5 正定二次型
设 f 是一个秩为 r 的实二次型，则 f
经过一适当的满秩线性变换总可以变成如下
形式的 规范形
22 122221 rpp zzzzzf ??????? ? ??
规范形 是唯一的,
第七章
工 程 数 学
22 122221 rpp zzzzzf ??????? ? ??
p 称为 正惯性指数, r?p 称为 负惯性指数,
第七章
工 程 数 学
定义
设秩为 r 的 n 元二次型 f = XTAX 经满秩
线性变换化为规范形
22 122221 rpp zzzzzf ??????? ? ??
则
(2) 若 p = r < n,则称 f 为 半正定二次型,
A 为 半正定矩阵,
(1) 若 p= r = n,则称 f 为 正定二次型, A
为 正定矩阵,
正定二次型和正定矩阵
第七章
工 程 数 学
XTAX 为正
定二次型 ?
实对称方阵 A
为正定矩阵
A 合同于
单位阵?
第七章
工 程 数 学
定理
若 A是实对称矩阵，则下列命题是等价的：
(1) A 是正定矩阵
(2) 对任意的非零向量 X,有 X TAX > 0
(3) A 的所有特征值都大于零,
正定二次型的判别
第七章
工 程 数 学
证,因 A 是正定阵,存在可逆阵 P,使
PTAP = E
?X?Rn,X?0,而 P 可逆，
即 A=(PT)?1P?1,
故 X TAX = X T ( P T ) P?1 X = X T ( P ?1)T P?1 X
= ( P ?1 X )T ( P?1 X )>0
故 PX ? 0,同理 P?1X?0,
(1) A 是正定矩阵
(2) 对任意的非零向量 X,有 X TAX > 0
第七章
工 程 数 学
证,若 A有一个非正的特征值，不妨设 ?i≤0,
存在正交阵 P,使得
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
T
APP
?
?
?
?
2
1
(2) 对任意的非零向量 X,有 X TAX > 0
(3) A 的所有特征值都大于零,
第七章
工 程 数 学
令 X=P ?1?,其中 ?=(0,0,…,0,1,0,…,0),
X TAX= ( P?1? ) T A P ?1?则
?的第 i 个分量是 1，其余分量全为 0,
= ?i≤0.
= ? T (P?1) T AP ?1 ?
= ? T ??
矛盾
= ? T P AP T ?
第七章
工 程 数 学
证,因为 A 的全部特征值都大于 0,则 A 所
对应的二次型的规范形的正惯性指数就
是 n, 故 A 是正定矩阵,
(1) A 是正定矩阵
(3) A 的所有特征值都大于零,
第七章
工 程 数 学
二次型 f = XTAX 正定的充要条件是 A
的各阶顺序主子式 Dk >0,k =1,2,…,n
其中
,
333231
232221
131211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
aaa
aaa
aaa
A
AT =A
,11111 aaD ??,
2221
1211
2 aa
aaD ?
.AD n ?
k =1,2,…,n
定理
…,
第七章
工 程 数 学
例 1.
解, f 的矩阵
.,232 222 的正定性判断设 fxyzyxf ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
300
021
011
A
由于 D1 = 1 > 0,0112 21
11
2 ?????D
|D3 | = | A | = 3D2 = 3 > 0.
故 f 正定,
第七章
工 程 数 学
定义
22 122221 rpp zzzzzf ??????? ? ??
(1) 若 p=0,r < n时,则称 f 为 半负定二次型,
A 为 半负定矩阵,
(2) 若 p=0,r = n时,则称 f 为 负定二次型,
A 为 负定矩阵,
(3)若 0 < p< r ≤ n时,则称 f 为 不定二次型,
A 为 不定矩阵,
二次型的其它分类：
第七章
工 程 数 学
例 2.设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩 (A)=n,Aij 是
A=(aij)n?n 中元素 aij 的代数余子式 (i,j=1,
2,…,n),二次型
.||),,,(
1 1
21 ? ?
? ?
??
n
i
ji
n
j
ij
n xxA
Axxxf
(1) 记 X = (x1,x2,…,xn)T,把 f (x1,x2,…,xn)写
成矩阵形式，并证明二次型 f ( X ) 的矩
阵为 A?1;
(2) 二次型 g( X ) = X T AX 与 f (X) 的规范形
是否相同？说明理由,
第七章
工 程 数 学
.||),,,(
1 1
21 ? ?
? ?
??
n
i
ji
n
j
ij
n xxA
Axxxf
解, (1)二次型 f (x1,x2,…,xn)的矩阵形式为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
nnnnn
n
n
n
x
x
x
AAA
AAA
AAA
A
xxxXf
?
?
???
?
?
2
1
21
22212
12111
21
||
1
),,,()(
A?1
第七章
工 程 数 学
因秩 (A) = n,故 A 可逆，且
,|| 1 *1 AAA ??
从而
,)()( 111 ??? ?? AAA TT
故 A?1 也是实对称矩阵，因此二次型 f (X) 的
矩阵为 A?1.
第七章
工 程 数 学
(2)因为
,)()( 1111 ???? ?? AEAAAA TT
所以 A 与 A?1合同，于是 g(X) = X TAX 与 f (X)
有相同的规范形,
第七章
工 程 数 学
1,理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性
质,会求矩阵的特征值和特征向量；
2,了解相似矩阵的概念性质及矩阵可相似对
角化的充分必要条件；
掌握用相似变换化实对称矩阵为对角形矩
阵的方法；
六、七章要求
第七章
工 程 数 学
4,掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型秩
的概念，了解惯性定理；
5,掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，
了解用配方法化二次型为标准形的方法，
了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法,
3,了解线性变换的概念及其在一组基下的矩
阵表示，了解线性变换的特征值与其矩阵
特征值之间的关系；
第七章
工 程 数 学
作业,P169 1(3)(4);
P171 1;
P178 1(1); 2(1);
p180 1(3)(4); 3
