第一章 行列式
一, 二(三)阶行列式
二, 排列与逆序
三, n 阶行列式的定义
四, 行列式的性质
五, 行列式按一行(列)展开
六, Cramer 法则
?
?
?
行列式概念的形成
行列式的基本性质及计算方法
(定义)
利用行列式求解线性方程组
本章主要讨论以上三个问题。
首先来看行列式概念的形成
问题的提出,求解二、三元线性方程组
?
二阶、三阶行列式
引出
一, 二阶与三阶行列式
1,二阶行列式
二元线性方程组,
??
?
??
??
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
由消元法,得
??
?
??
??
2112221112111
2112211212111
baxaaxaa
abxaaxaa
得 211211221122211 )( abbaxaaaa ???
同理,得 212221121122211 )( baabxaaaa ???
于是,当 021122211 ?? aaaa 时,方程组有唯一解
21122211
212221
1 aaaa
baabx
?
??
21122211
211211
2 aaa
abbax
?
??
为便于记忆,引进 记号
2221
1211
aa
aaD ?
21122211 aaaa ??
称记号
2221
1211
aa
aaD ?
为 二阶行列式
其中,数 )2,1;2,1( ?? jia ij 称为元素
为行标,表明元素位于第 行 i i
为列标,表明元素位于第 列 j j
注,(1) 二阶行列式 算出来是一个数。
2221
1211
aa
aa
(2) 记忆方法:对角线法则
主对角线上两元素之积 - 副对角线上两元素之积
因此,上述二元线性方程组的解可表示为
21122211
212221
1 aaaa
baabx
?
??
222
1211
ab
ab
D?
21122211
211211
2 aaaa
abbax
?
??
221
1111
ba
ba
D?
综上,令
2221
1211
aa
aaD ?
222
121
1 ab
abD ?
221
111
2 ba
baD ?
则,DDx 11 ?
D
Dx 2
2 ?
称 D 为方程组的系数行列式。
例 1,解方程组
??
?
??
??
12
1223
21
21
xx
xx
解,因为 12
23 ??D
07)4(3 ?????
14)2(1211 2121 ??????D
2124312 1232 ?????D
所以,271411 ??? DDx 372122 ????? DDx
2,三阶行列式
类似地,为讨论三元线性方程组 ?
?
?
?
?
???
???
???
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
引进 记号
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
?
322311332112312213
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
??
称之为 三阶行列式
其中,数 )3,2,1;3,2,1( ?? jia ij 称为元素
为行标,i 为列标。 j
注,(1) 三阶行列式 算出来也是一个数。
(2) 记忆方法:对角线法则
例,
381
141
102
?
??
4164824
8)1(2310)1()4(1
811)1()1(03)4(2
???????
????????????
????????????
对于三元线性方程组,若其系数行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
0?
可以 验证,方程组有唯一解,
D
Dx 1
1 ? D
Dx 2
2 ? D
Dx 3
3 ?
其中,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D ?
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D ?
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
D ?
课堂练习,P31 1.1 1.2
二, 排列与逆序
定义 1,由自然数 1,2,······,n 组成的一个有序数组
称为一个 n 元 排列 。
例如,1,2,3,4,5
5,1,2,3,4
5,3,2,1,4
都是数 1,2,3,4,5的一个排列。
考虑,n个数的不同排列有 个。 n !
自然排列,按数的大小次序,由小到大排列。
考虑,n元排列中,自然排列只有一种
除此之外,任一 n元排列都一定出现较大数码
排在较小数码之前的情况。
定义 2,在一个排列中,若某个较大的数排在某个较小的
数前面,就称这两个数构成一个 逆序 。
一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的
奇排列,逆序数为奇数的排列。
偶排列,逆序数为偶数的排列。
),,,( 21 niii ??通常记为逆序数
计算排列的逆序数的方法,
法 1,n个数的任一 n元排列,先看数 1,看有多少个比 1大的数
排在 1前面,记为 ; 1m
再看有多少个比 2大的数排在 2前面,记为 ; 2m
继续下去,最后至数 n,前面比 n大的数显然没有,; 0 ?nm记为
则此排列的逆序数为 nmmm ???? ?21?
法 2,n 元排列 niii,,,21 ? 的逆序数
?),,,( 21 niii ?? 小的数的个数后面比数 11 ii
小的数的个数后面比数 22 ii?
??
小的数的个数后面比数 11 ??? nn ii
法 3,?),,,( 21 niii ?? 大的数的个数前面比数 nn ii
大的数的个数前面比数 11 ??? nn ii
??
大的数的个数前面比数 22 ii?
例 1,求排列 3,2,5,1,4 的逆序数。
解,(法 1),31 ?m,12 ?m,03 ?m,14 ?m 05 ?m
5113)3 2 51 4( ?????
(法 2)
500212)3 2 5 1 4( ???????
后前 ?
(法 3) 前后 ?
501031)3 2 5 1 4( ???????
例 2,求排列 4,5,3,1,6,2 的逆序数。 9??
课堂练习,p32 1.3
加 ( 7) 1,3,···,2n- 1,2,4,···,2n
( 8) 1,3,···,2n- 1,2n,2n- 2,···,4,2
思考 p32 1.4
考虑,在 1,2,3 的全排列中
有 个偶排列,
有 个奇排列,
123,231,312
132,213,321
3
3
一般说来,在 n个数码的全排列中,奇偶排列各占一半
定义 3,把一个排列中的任意两个数交换位置,其余数码
不动,叫做对该排列作一次对换,简称 对换 。
将相邻的两个数对换,称为 相邻对换 。
定理 1,对换改变排列的奇偶性。 (书 p10定理 1.2.1)
证明思路,先证相邻变换,再证一般对换。
定理 2,2?n 时,n个数的所有排列中,奇偶排列各占
一半,各为 2!n 个。 (书 p11定理 1.2.2)
证明,设 n个数的排列中,
奇排列有 p 个,偶排列有 q 个,则 p+ q= n!
对 p 个奇排列,施行同一对换,
则由定理 1得到 p 个偶排列。 (而且是 p个不同的偶排列)
因为总共有 q 个偶排列,所以 qp?
同理 pq?
所以 2!nqp ??
三, n阶行列式的定义 观察三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
?
322311332112312213
322113312312332211
aaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
??
寻找 规律,
1,三阶行列式是 3! 项的代数和。
2,每一项都是 元素的乘积。
3.(每项的符号规律)
取自不同行、不同列的 3 个
其任一项可写成,
321 321 jjj
aaa 其中 321 jjj 是 123的一个排列
当 321 jjj 是偶排列时,项
321 321 jjj
aaa 取正号
当 321 jjj 是奇排列时,项
321 321 jjj
aaa 取负号
二阶行列式有类似规律。
根据二、三阶行列式的构造规律,我们来定义 n阶行列式
定义 1,n 阶行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
指的是 n! 项的代数和,
其中每一项都是取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积,
其一般项为,
21 21 nnjjj
aaa ?这里 njjj ?21 是 12··n的一个排列
当 是偶排列时,项前面带正号 njjj ?21
当 是奇排列时,项前面带负号 njjj ?21

nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
? ??
n
n
n
jjj
njjj
jjj aaa
?
? ?
21
21
21
21
)()1( ?
其中 ?
njjj ?21
表示对所有 n元排列取和
注,(1) 当 n=1时,一阶行列式 aa ?
此处 a 不是 a的绝对值,例如行列式 11 ???
(2) 定义表明,计算 n阶行列式,首先必须作出所有的
可能的位于不同行、不同列的 n个元素的乘积,把这些
乘积的元素的第一个下标(行标)按自然顺序排列,
然后看第二个下标(列标)所成的奇偶性来决定这一
项的符号。
例 1,写出四阶行列式中含有因子 2311aa 的项。
例 2,若 443312432211432213,,kikiki aaaaaaaaaaaa
为四阶行列式的项,试确定 i与 k,使前两项带正号,
后一项带负号。
例 4,计算四阶行列式
hg
fe
dc
ba
D
00
00
00
00
?
例 3,计算行列式
0004
0030
0200
1000
?D
四个结论,
(1) 上三角形行列式 (主对角线下侧元素都为 0)
nn
n
n
a
aa
aaa
D
?
????
?
?
00
0
222
11211
?
nnaaa ?2211?
(2) 下三角形行列式 (主对角线上侧元素都为 0)
nnaaa ?2211?
nnnn
aaa
aa
a
D
?
????
?
?
21
2221
11
0
00
?
(3)
nn
a
a
a
D
?
22
11
?
nnaaa ?2211? (显然)
(4)
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
D
?
?
?
11,21
2
)1()1(
nnn
nn aaa ?
?
???
符号定理,令
nn jijiji aaa ?2211
是 n阶行列式中的任一项,
则项 nn jijiji aaa ?2211 的符号等于 )()( 2121)1( nn jjjiii ?? ?? ??
证明,由行列式定义可知,确定项 )1(2211 nn jijiji aaa ?的符号,
需要把各元素的次序进行调动,使其行标成自然排列。
为此,我们先来研究若交换项( 1)中某两个元素的
位置时,其行标和列标排列的奇偶性如何变化。
对换任意两元素,相当于项( 1)的元素行标排列及
列标排列同时经过一次对换。
设对换前行标排列的逆序数为 s,列标排列的逆序数为 t。
设经过一次对换后行标排列的逆序数为 s?
列标排列的逆序数为 t?
由定理,对换改变排列的奇偶性
所以,ss ?? 是奇数
tt ?? 也是奇数
所以 )()( ttss ????? 是偶数,
即 )()( tsts ????? 是偶数,
所以 ts ??? 与 ts? 同时为奇数或同时为偶数。
即,交换项( 1)中任意两个元素的位置后,其行标和列标
所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变。
另一方面,经过若干次对换项( 1)中元素的次序,总可以
把项( 1)变为
,21 21 nnkkk aaa ?
所以 tsts ???? ??? )1()1(
)()12( 21)1( nkkkn ?? ?? ???
)( 21)1( nkkk ???? 得证。
由此,得行列式的等价定义
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
? ??
n
n
n
jjj
njjj
jjj aaa
?
? ?
21
21
21
21
)()1( ?
? ???
n
n
nn
nn
iii
jjj
jijiji
jjjiii aaa
?
?
?? ?
21
21
2211
2121 )()()1( ??
? ??
n
n
n
iii
niii
iii aaa
?
? ?
21
21
21
21
)()1( ?
四, 行列式的性质
性质 1,行列式与它的转置行列式相等。
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
nnnn
n
n
T
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22212
12111
?
称为 D的 转置行列式
证明,
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
nnnn
n
n
T
bbb
bbb
bbb
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?设
则 jiij ab ? ),,2,1,( nji ??
由行列式定义
? ??
n
n
n
jjj
njjj
jjjT bbbD
?
? ?
21
21
21
21
)()1( ?
Daaa
n
n
n
jjj
njjj
jjj ??? ?
?
? ?
21
21
21
21
)()1( ?
说明,行列式中行与列地位相同,对行成立的性质
对列也成立,反之亦然。
性质 2,互换行列式的两行(列),行列式的值变号。
证明,

nnnn
tntt
snss
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
????
?
????
?
21
21
21
11211
?
交换 s,t 两行,得
nnnn
snss
tntt
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
????
?
????
?
21
21
21
11211
1
?
? s行
? t行
由行列式定义可知,D中任一项 可以写成
nts
nts njtjsjjjjjj aaaa ??????
1
1 1)()1( ??
因为
nstnts njsjtjjnjtjsjj aaaaaaaa ?????? 11 11 ?
( 2)
( 1)
显然这是 1D 中取自不同行、不同列的 n个元素的乘积,而且
( 2)式右端的 n个元素是按它们在 1D 中所处的行标为自然顺序
排好的。因此
nst
nst njsjtjjjjjj aaaa ??????
1
1 1)()1( ??
是 1D 中的一项。
( 3)
因为,排列 nts jjjj ???1 与排列 nst jjjj ???1 的
奇偶性相反,所以项( 1)与项( 3)相差一符号,这就证明
了 D的任一项的反号是 1D 中的项,同样可以证明 1D 中的
任一项的反号也是 D中的项。
因此,D=- D
记法 行列式的第 s行,sr
行列式的第 s列,sc
交换 s,t两行,ts rr ?
交换 s,t两列,ts cc ?
推论,如果行列式有两行(列)相同,则行列式为 0 。
证明,把相同的两行互换,有 D=- D,所以 D= 0
性质 3,用数 k 乘行列式的某一行(列)中所有元素,
等于用数 k 乘此行列式。
推论,行列式中某一行(列)的公因子可以提到行列式符号外面
记法 第 s行乘以 k,skr 第 s列乘以 k,
skc
nnnn
snss
n
nnnn
snss
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
aaa
aaa
k
?
????
?
????
?
?
????
?
????
?
21
21
11211
21
21
11211
?
推论,若行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式等于 0 。
性质 4,
nnnn
nn
n
aaa
cbcbcb
aaa
?
????
?
????
?
21
2211
11211
???
nnnn
n
n
aaa
bbb
aaa
?
????
?
????
?
21
21
11211
?
nnnn
n
n
aaa
ccc
aaa
?
????
?
????
?
21
21
11211

即,如果某一行是两组数的和,则此行列式就等于两个行
列式的和,而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的
对应的行一样。
nnnnnn
n
n
acbaa
acbaa
acbaa
??
??????
??
??
?
?
?
21
2222221
1111211

nnnnn
n
n
abaa
abaa
abaa
??
??????
??
??
21
222221
111211
nnnnn
n
n
acaa
acaa
acaa
??
?????
??
??
21
222221
111211
?
性质 5,行列式的某一行(列)的所有元素乘以同一数 k后再加
到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变。
记法 数 k乘第 t 行加到第 s 行上,ts krr ?
)( ts kcc ?
证明,
nnnn
tntt
snss
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
????
?
????
?
21
21
21
11211
?
作 ts krr ?

nnnn
tntt
tnsntsts
n
aaa
aaa
kaakaakaa
aaa
D
?
????
?
????
?
????
?
21
21
2211
11211
1
???
?
nnnn
tntt
snss
n
aaa
aaa
aaa
aaa
?
????
?
????
?
????
?
21
21
21
11211
?
nnnn
tntt
tntt
n
aaa
aaa
kakaka
aaa
?
???
?
???
?
???
?
21
21
21
11211
?
DD ??? 0
利用行列式性质计算,目标 ? 化为三角形行列式
例 1,计算
2421
1642
1411
2111
?
???
?
?D
例 2,计算
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
?D
例 3,计算
3111
1311
1131
1113
?D
例 4,计算
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcbacbabaa
dcba
D
??????
??????
??????
?
3610363
234232
注,上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法,
要注意各个运算次序一般不能颠倒,因为后一次
运算是作用在前一次运算结果上。
例如,
dc
ba
21 rr ? dc
dbca ??
12 rr ? ba
dbca
??
??
dc
ba
12 rr ? bdac
ba
?? 21 rr ? bdac
dc
??
课堂练习,
1,计算行列式
0112
0121
2011
2110
)1(
??
?
??
?D
201041
10631
4321
1111
)2( ?D
2,一个 n阶行列式,它的元素满足 njiaa jiij,,2,1,????
证明:当 n 为奇数时,此行列式为零。
= 4 = 1