1
三, 逆矩阵 1,逆矩阵的定义、唯一性 2,矩阵可逆的判别定理及求法
3,可逆矩阵的性质
1,逆矩阵的定义、唯一性
,111 ?? ?? aaaa
则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵, A1?A
概念的引入, 在数的运算中,当数 时,0?a 有
aa
11 ?? a其中 为 的倒数,a（或称 的逆）；
在矩阵的运算中,E单位阵 相当于数的乘法运算中的 1,
A那么，对于矩阵, 1?A如果存在一个矩阵,
,11 EAAAA ?? ??使得
2
定义,
BA
ABA
EBAAB
BA
?
??
? 1
n n
记作
的逆矩阵，称为是可逆的，方阵则称矩阵
，使得阶方阵阶方阵，若存在为设
例, 设,2121
2121,
11
11 ?
?
??
?
?
????
??
?
? ?? BA
,EBAAB ???
.的一个逆矩阵是 AB?
3
唯一性,若 A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的,
证明,
CCEABCBCAEBB
ECAACEBAAB
ACB
?????
????
)()(从而
，
的逆矩阵，则都是、设
4
则 ??
??
?
??
?
??
?
?
?? dc
baAB
01
12 ?
?
??
?
??
0
01
?
?
??
?
???
?
??
?
?
??
???
10
0122
ba
dbca
逆矩阵的求法一：待定系数法
例 1,设,01
12 ?
?
??
?
?
??A,的逆矩阵求 A
解,?
?
??
?
??
dc
baB
设 是 的逆矩阵,A
5
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
,1
,0
,02
,12
b
a
db
ca
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
.2
,1
,1
,0
d
c
b
a
又因为
?
?
??
?
?
? 01
12 ?
?
??
?
? ?
21
10 ?
?
??
?
?
? 01
12? ?
?
??
?
? ?
21
10,
10
01 ?
?
??
?
??
所以,21 101 ?
?
??
?
? ???A
A B AB
6
2,矩阵可逆的判别定理及求法
定理, 0 ?AAn 可逆当且仅当阶方阵
证明,
0
1
)(
11
11
?
??
?
?
??
??
A
AAAA
EAAAA
因此，
两边取行列式，得
，使可逆，则有1 1,AA
A
???且,的伴随矩阵为矩阵其中 AA ?
7
奇异矩阵,0?A
非奇异矩阵,0?A
（退化矩阵）
（非退化矩阵）
??
??
?
?
?
?
???
???
???
?
A
A
AEA
A
A
A
A
A
EA
A
A
AEAAA
E
A
A
AAEAAA
1
)()(
)(0
)(0
)(
1
，所以所以
，时，有，当又因为
，时，有，当因为
8
推论,
ABBA
BA
EABBA
??
?
?? 11,且
都可逆，和则方阵
，为同阶方阵，若、设
1
1111
1
)()(
,0
1
?
????
?
?
?????
?
???
BAB
AEAABABAAEBB
AA
BAABEAB
可逆，且同理，
有存在，所以所以
，则若
证明,
注,
中的一个即可和只需验证
的逆矩阵，是否为判断
EBAEAB
AB
??
9
.
1
nnn2n1
2n2212
1n2111
1
的代数余子式中元素为行列式
的伴随矩阵，为其中
，其中
ijij
aAA
AA
AAA
AAA
AAA
AA
A
A
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
?
?
(1)
(2)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
?
??
ac
bd
bcad
A
A
A
bcadA
dc
ba
A
11
0
1
时，有当
特别地，对二阶方阵逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
10
? ? ? ?,,,1 111 AAAA ???? 且亦可逆则可逆若
3,可逆矩阵的运算性质
? ?
且可逆则数可逆若,,0,2 AA ?? ?
? ? 且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3 ABBA
? ?? ? ? ? 1111 ???? ? ABBAABAB 1?? A E A
,1 EAA ?? ?? ?,111 ??? ?? ABAB
证明,
? ? ??1AB B 1? 1?A
? ?,1 11 ?? ? AA ??
? ?,1212 ?? ? AA ??推广 1A mA 1?mA 1?1A
11
? ? ? ?TTT AAAA 11 ?? ?? TE?,E?
? ? ? ?,11 TT AA ?? ??
? ?,,
,0,
10 kk AAEA
A
?? ??
? 定义时当另外
证明,
? ?为正整数k
? ? ? ? ? ?,,,4 AAAA T ?且亦可逆则可逆若 T T1? 1?
有为整数时当,,,0 ???A
,???? ?? AAA ? ?,???? A?
12
11 1,AA
A
?? ??
EAA ?? 1?
11 ?? ?AA
11 1AA
A
?? ??因 此
证明,
(5) 若 可逆，则有 A
13
例 2,求方阵 的逆矩阵, ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
343
122
321
A
解
343
122
321
?A?
0,?,1 存在?? A
,234 1211 ??A,333 1212 ????A
14
同理可得,2,6,6,2 23222113 ????? AAAA
,2,5,4 333231 ????? AAA
,
222
563
462
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??A得
故
?? ? A
AA
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
222
563
462
2
1,
111
25323
231
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
15
,
331
212
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
2 3 1
1 3 5,
153
B
???
????
??
??
解,
331
212
321
?A
010
430
321
???
.
,?,
矩阵
求出其逆若可逆是否可逆下列矩阵 BA例 3,
16
010
430
321
???
01
43 ???
4?,0?,A 可逆所以
,333 2111 ???A?
,431 2212 ????A
,531 1213 ??A
2 1 3 1
2 2 3 2
2 3 3 3
3,1,
0,4,
1,3.
AA
AA
AA
??
??
? ? ? ?
同 理 可 求 得
17
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
332313
322212
312111
1 1
AAA
AAA
AAA
AA
A
A
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
315
404
133
4
1
2 3 1
1 3 5
153
B ??由 于
,0?,B 不可逆故
18
,0!5 ??A因
由伴随矩阵法得 1,
AA
A
?
? ?
解,.1存在故 ?A
.
50000
04000
00300
00020
00001
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? AA 求已知
例 4,
19
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
???
???
?
43210000
05321000
00542100
00054310
00005432
5
1
!
.
510000
041000
003100
000210
00001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
20
,
13
02
31
,
35
12
,
343
122
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? CBA
例 5,设
.CAXBX ?使满足求矩阵
解
,02
343
122
321
???A?
,0135 12 ???B
.,11 都存在??? BA
21
,
111
25323
231
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??A且
,25 131 ?
?
??
?
?
?
???B
CAXB ?又由 1111 ???? ?? CBAAXBBA
.11 ???? CBAX
于是 11 ??? CBAX
?
?
?
?
?
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?
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?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
25
13
13
02
31
111
25323
231
E
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
25
13
20
20
11
.
410
410
12
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
23
? ? ;
510
402
321
112
011
111
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
X
? ?,
112
510
324
123
011
111
112
011
111
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
X
? ? ;41 2341 511 ?
?
??
?
???
?
??
?
?
?
? X解矩阵方程例 6,
24
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
???
?
??
?
?
?
??
?
??
?
?
?
? ??
41
23
41
51
41
51
41
51 11 X得
?
?
??
?
??
?
??
?
?
??
???
41
23
11
54,
64
2817 ?
?
??
?
?
??
???
解,? ? ?
?
??
?
???
?
??
?
?
?
?
41
23
41
511 X
给方程两端 左 乘矩阵,41
51 1??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
? ??? ?
41
23
41
51 1X
E
25
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
510
402
321
112
011
111
2 X
1
112
011
111
510
402
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?X
给方程两端 右 乘矩阵
,
112
011
111
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
得
.
9144
682
592
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
26
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
112
510
324
123
011
111
112
011
111
3 X
给方程两端 左 乘矩阵
1
1 1 1
1 1 0,
2 1 1
?
???
??
??
??
右 乘矩阵
,
123
011
111
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
27
1 2 1 4 2 3 1 3 1
1 1 1 0 1 5 1 2 1
1 3 2 2 1 1 1 5 2
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?9 52 21
5 29 12,
11 60 21
????
????
???
??
11
1 1 1 4 2 3 1 1 1
1 1 0 0 1 5 1 1 0
2 1 1 2 1 1 3 2 1
X
??
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
得
28
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
71
41
21
,61 ABAABAA 且
o
o
.B求
ABABAA 61 ??? ? ?1 6A E BA A?? ? ?解,
:,满足关系设三阶矩阵 BA例 7,
1
2
4
7
A ?
??
???
??
??
29
而 1AE? ?
2 0 0 1 0 0
0 4 0 0 1 0
0 0 7 0 0 1
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 0 0
0 3 0
006
??
???
??
??
所以 ? ? 11AE ?? ?
1 0 0
0 1 3 0
0 0 1 6
??
???
??
??
原方程两端 右 乘矩阵,1A? 左 乘矩阵 ? ? 11AE? ? －
? ? 116B A E ????则
1 0 0
6 0 1 3 0
0 0 1 6
??
???
??
??
.
100
020
006
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
30
注,111)( ??? ??? BABA
111
)(
10
02
,
00
02
,
20
01
10
01
10
01
???
????
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
CACACACA
BABA
CBA
可逆，但可逆，
不可逆可逆，但
，，
例如：
31
,022 ??? EAA由
? ? EEAA 2??得 EEAA ??? 2
.,2,
:,022
并求它们的逆矩阵都可逆
证明满足方程设方阵
EAA
EAAA
?
???例 8,
1?A
? ?1 1,2A A E? ??所以 可逆，且 A
证,
022 ??? EAA又由
? ? ? ?2 3 4 0A E A E E? ? ? ?
? ? ? ?123 4A E A E E??? ? ? ?????
? ? ? ?1 123 4A E A E?? ? ? ?? ? 12 ?? EA所以 可逆,2AE?
32
练习,设方阵满足方程
逆矩阵都可逆，并求出它们的和证明 EAA 4,?
01032 ??? EAA
证,(1)
)3(
10
1
10
3
10)3(
1
EAAA
E
EA
A
EEAA
??
?
?
??
?
可逆，且所以
(2)
)(
6
1
6
)4(
6))(4(
1
EAAA
E
EA
EA
EEAEA
??
?
?
?
???
?
可逆，且所以
33
例 9,设方阵 B为幂等矩阵,
2BB?（即,从而对正整数 k,） kBB?
,A E B??证明,A是可逆矩阵，且
? ?1 1 32A E A? ??
证明,? ?1 3
2A E A?? ? ? ? ?
1 3
2 E B E A? ? ?
? ? ? ?1 32 E B E E B? ? ? ?? ? ? ?1 22 E B E B? ? ?
? ?21 222 E B B B? ? ? ?? ?1 222 E B B B? ? ? ?E?
? ?1 1 32A E A?? ? ?
34
1,逆矩阵的概念及运算性质,
.0?A
3,逆矩阵的计算方法,
? ? ;2 1 AAA
?
? ?利用公式
2,逆矩阵 存在 1?A ?
? ? ;1 待定系数法
? ? ? ?.3 下一章介绍初等变换法
小结,
35
,
1
1
?
?
?
??
?
BAY
BYABAX
BAXA
是否有唯一解矩阵方程
是否有唯一解那么矩阵方程可逆若思考题,
.,1 的唯一性决定的这是由于是的 ?A答,
三, 逆矩阵 1,逆矩阵的定义、唯一性 2,矩阵可逆的判别定理及求法
3,可逆矩阵的性质
1,逆矩阵的定义、唯一性
,111 ?? ?? aaaa
则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵, A1?A
概念的引入, 在数的运算中,当数 时,0?a 有
aa
11 ?? a其中 为 的倒数,a（或称 的逆）；
在矩阵的运算中,E单位阵 相当于数的乘法运算中的 1,
A那么，对于矩阵, 1?A如果存在一个矩阵,
,11 EAAAA ?? ??使得
2
定义,
BA
ABA
EBAAB
BA
?
??
? 1
n n
记作
的逆矩阵，称为是可逆的，方阵则称矩阵
，使得阶方阵阶方阵，若存在为设
例, 设,2121
2121,
11
11 ?
?
??
?
?
????
??
?
? ?? BA
,EBAAB ???
.的一个逆矩阵是 AB?
3
唯一性,若 A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的,
证明,
CCEABCBCAEBB
ECAACEBAAB
ACB
?????
????
)()(从而
，
的逆矩阵，则都是、设
4
则 ??
??
?
??
?
??
?
?
?? dc
baAB
01
12 ?
?
??
?
??
0
01
?
?
??
?
???
?
??
?
?
??
???
10
0122
ba
dbca
逆矩阵的求法一：待定系数法
例 1,设,01
12 ?
?
??
?
?
??A,的逆矩阵求 A
解,?
?
??
?
??
dc
baB
设 是 的逆矩阵,A
5
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
,1
,0
,02
,12
b
a
db
ca
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
.2
,1
,1
,0
d
c
b
a
又因为
?
?
??
?
?
? 01
12 ?
?
??
?
? ?
21
10 ?
?
??
?
?
? 01
12? ?
?
??
?
? ?
21
10,
10
01 ?
?
??
?
??
所以,21 101 ?
?
??
?
? ???A
A B AB
6
2,矩阵可逆的判别定理及求法
定理, 0 ?AAn 可逆当且仅当阶方阵
证明,
0
1
)(
11
11
?
??
?
?
??
??
A
AAAA
EAAAA
因此，
两边取行列式，得
，使可逆，则有1 1,AA
A
???且,的伴随矩阵为矩阵其中 AA ?
7
奇异矩阵,0?A
非奇异矩阵,0?A
（退化矩阵）
（非退化矩阵）
??
??
?
?
?
?
???
???
???
?
A
A
AEA
A
A
A
A
A
EA
A
A
AEAAA
E
A
A
AAEAAA
1
)()(
)(0
)(0
)(
1
，所以所以
，时，有，当又因为
，时，有，当因为
8
推论,
ABBA
BA
EABBA
??
?
?? 11,且
都可逆，和则方阵
，为同阶方阵，若、设
1
1111
1
)()(
,0
1
?
????
?
?
?????
?
???
BAB
AEAABABAAEBB
AA
BAABEAB
可逆，且同理，
有存在，所以所以
，则若
证明,
注,
中的一个即可和只需验证
的逆矩阵，是否为判断
EBAEAB
AB
??
9
.
1
nnn2n1
2n2212
1n2111
1
的代数余子式中元素为行列式
的伴随矩阵，为其中
，其中
ijij
aAA
AA
AAA
AAA
AAA
AA
A
A
?
???
?
?
?
?
?
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?
?
?
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(1)
(2)
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??
???
?
?
?
?
?
?
?
??
ac
bd
bcad
A
A
A
bcadA
dc
ba
A
11
0
1
时，有当
特别地，对二阶方阵逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
10
? ? ? ?,,,1 111 AAAA ???? 且亦可逆则可逆若
3,可逆矩阵的运算性质
? ?
且可逆则数可逆若,,0,2 AA ?? ?
? ? 且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3 ABBA
? ?? ? ? ? 1111 ???? ? ABBAABAB 1?? A E A
,1 EAA ?? ?? ?,111 ??? ?? ABAB
证明,
? ? ??1AB B 1? 1?A
? ?,1 11 ?? ? AA ??
? ?,1212 ?? ? AA ??推广 1A mA 1?mA 1?1A
11
? ? ? ?TTT AAAA 11 ?? ?? TE?,E?
? ? ? ?,11 TT AA ?? ??
? ?,,
,0,
10 kk AAEA
A
?? ??
? 定义时当另外
证明,
? ?为正整数k
? ? ? ? ? ?,,,4 AAAA T ?且亦可逆则可逆若 T T1? 1?
有为整数时当,,,0 ???A
,???? ?? AAA ? ?,???? A?
12
11 1,AA
A
?? ??
EAA ?? 1?
11 ?? ?AA
11 1AA
A
?? ??因 此
证明,
(5) 若 可逆，则有 A
13
例 2,求方阵 的逆矩阵, ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
343
122
321
A
解
343
122
321
?A?
0,?,1 存在?? A
,234 1211 ??A,333 1212 ????A
14
同理可得,2,6,6,2 23222113 ????? AAAA
,2,5,4 333231 ????? AAA
,
222
563
462
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??A得
故
?? ? A
AA
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
222
563
462
2
1,
111
25323
231
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
15
,
331
212
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
2 3 1
1 3 5,
153
B
???
????
??
??
解,
331
212
321
?A
010
430
321
???
.
,?,
矩阵
求出其逆若可逆是否可逆下列矩阵 BA例 3,
16
010
430
321
???
01
43 ???
4?,0?,A 可逆所以
,333 2111 ???A?
,431 2212 ????A
,531 1213 ??A
2 1 3 1
2 2 3 2
2 3 3 3
3,1,
0,4,
1,3.
AA
AA
AA
??
??
? ? ? ?
同 理 可 求 得
17
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
332313
322212
312111
1 1
AAA
AAA
AAA
AA
A
A
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
315
404
133
4
1
2 3 1
1 3 5
153
B ??由 于
,0?,B 不可逆故
18
,0!5 ??A因
由伴随矩阵法得 1,
AA
A
?
? ?
解,.1存在故 ?A
.
50000
04000
00300
00020
00001
1?
?
?
?
?
?
?
?
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?
? AA 求已知
例 4,
19
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?
?
?
???
???
???
???
???
?
43210000
05321000
00542100
00054310
00005432
5
1
!
.
510000
041000
003100
000210
00001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
20
,
13
02
31
,
35
12
,
343
122
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
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?
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?
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?
? CBA
例 5,设
.CAXBX ?使满足求矩阵
解
,02
343
122
321
???A?
,0135 12 ???B
.,11 都存在??? BA
21
,
111
25323
231
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??A且
,25 131 ?
?
??
?
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?
???B
CAXB ?又由 1111 ???? ?? CBAAXBBA
.11 ???? CBAX
于是 11 ??? CBAX
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??
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25
13
13
02
31
111
25323
231
E
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
??
25
13
20
20
11
.
410
410
12
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
23
? ? ;
510
402
321
112
011
111
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
X
? ?,
112
510
324
123
011
111
112
011
111
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
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?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
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?
? ?
X
? ? ;41 2341 511 ?
?
??
?
???
?
??
?
?
?
? X解矩阵方程例 6,
24
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
???
?
??
?
?
?
??
?
??
?
?
?
? ??
41
23
41
51
41
51
41
51 11 X得
?
?
??
?
??
?
??
?
?
??
???
41
23
11
54,
64
2817 ?
?
??
?
?
??
???
解,? ? ?
?
??
?
???
?
??
?
?
?
?
41
23
41
511 X
给方程两端 左 乘矩阵,41
51 1??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
? ??? ?
41
23
41
51 1X
E
25
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
510
402
321
112
011
111
2 X
1
112
011
111
510
402
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?X
给方程两端 右 乘矩阵
,
112
011
111
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
得
.
9144
682
592
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
26
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
112
510
324
123
011
111
112
011
111
3 X
给方程两端 左 乘矩阵
1
1 1 1
1 1 0,
2 1 1
?
???
??
??
??
右 乘矩阵
,
123
011
111
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
27
1 2 1 4 2 3 1 3 1
1 1 1 0 1 5 1 2 1
1 3 2 2 1 1 1 5 2
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?9 52 21
5 29 12,
11 60 21
????
????
???
??
11
1 1 1 4 2 3 1 1 1
1 1 0 0 1 5 1 1 0
2 1 1 2 1 1 3 2 1
X
??
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
得
28
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
71
41
21
,61 ABAABAA 且
o
o
.B求
ABABAA 61 ??? ? ?1 6A E BA A?? ? ?解,
:,满足关系设三阶矩阵 BA例 7,
1
2
4
7
A ?
??
???
??
??
29
而 1AE? ?
2 0 0 1 0 0
0 4 0 0 1 0
0 0 7 0 0 1
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1 0 0
0 3 0
006
??
???
??
??
所以 ? ? 11AE ?? ?
1 0 0
0 1 3 0
0 0 1 6
??
???
??
??
原方程两端 右 乘矩阵,1A? 左 乘矩阵 ? ? 11AE? ? －
? ? 116B A E ????则
1 0 0
6 0 1 3 0
0 0 1 6
??
???
??
??
.
100
020
006
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
30
注,111)( ??? ??? BABA
111
)(
10
02
,
00
02
,
20
01
10
01
10
01
???
????
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
CACACACA
BABA
CBA
可逆，但可逆，
不可逆可逆，但
，，
例如：
31
,022 ??? EAA由
? ? EEAA 2??得 EEAA ??? 2
.,2,
:,022
并求它们的逆矩阵都可逆
证明满足方程设方阵
EAA
EAAA
?
???例 8,
1?A
? ?1 1,2A A E? ??所以 可逆，且 A
证,
022 ??? EAA又由
? ? ? ?2 3 4 0A E A E E? ? ? ?
? ? ? ?123 4A E A E E??? ? ? ?????
? ? ? ?1 123 4A E A E?? ? ? ?? ? 12 ?? EA所以 可逆,2AE?
32
练习,设方阵满足方程
逆矩阵都可逆，并求出它们的和证明 EAA 4,?
01032 ??? EAA
证,(1)
)3(
10
1
10
3
10)3(
1
EAAA
E
EA
A
EEAA
??
?
?
??
?
可逆，且所以
(2)
)(
6
1
6
)4(
6))(4(
1
EAAA
E
EA
EA
EEAEA
??
?
?
?
???
?
可逆，且所以
33
例 9,设方阵 B为幂等矩阵,
2BB?（即,从而对正整数 k,） kBB?
,A E B??证明,A是可逆矩阵，且
? ?1 1 32A E A? ??
证明,? ?1 3
2A E A?? ? ? ? ?
1 3
2 E B E A? ? ?
? ? ? ?1 32 E B E E B? ? ? ?? ? ? ?1 22 E B E B? ? ?
? ?21 222 E B B B? ? ? ?? ?1 222 E B B B? ? ? ?E?
? ?1 1 32A E A?? ? ?
34
1,逆矩阵的概念及运算性质,
.0?A
3,逆矩阵的计算方法,
? ? ;2 1 AAA
?
? ?利用公式
2,逆矩阵 存在 1?A ?
? ? ;1 待定系数法
? ? ? ?.3 下一章介绍初等变换法
小结,
35
,
1
1
?
?
?
??
?
BAY
BYABAX
BAXA
是否有唯一解矩阵方程
是否有唯一解那么矩阵方程可逆若思考题,
.,1 的唯一性决定的这是由于是的 ?A答,
