1
五, 内积、正交化、正交矩阵,
1.向量的内积、长度、夹角。
2.Schmidt正交化、单位化法。
3.正交矩阵。
1,向量的内积、长度、夹角
定义 1,n维实向量
1
2
n
a
a
a
?
??
??
???
??
??
??
M
1
2
n
b
b
b
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M
称 1 1 2 2(,) nna b a b a b?? ? ? ? ?L
1
2
12
(,,,)
T
n
n
b
b
a a a
b
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L
M
为向量 与 的 内积。 ? ?
若 为行向量，则,?? (,) T? ? ???
2
向量内积的性质,
( 1 ) (,) (,)? ? ? ??
( 2) (,) (,) (,)? ? ? ? ? ? ?? ? ?
( 3 ) (,) (,)kk? ? ? ???
线性性
对称性
( 4) (,) 0?? ?
等号成立当且仅当 0? ?
正定性
定义 2,实数 2 2 212(,) na a a? ? ?? ? ? ? ?L
称为 向量的长度 （或 模,或 范数 ）
若 1,? ? 称 为单位向量。 ?
3
把向量单位化,若 0,? ? 则 0? ?
考虑
2
22
11(,) (,) 1?? ? ? ?
?? ??? ? ?
即
?
? 的模为 1，为单位向量，称为把 单位化。 ?
向量长度的性质,
0? ? 0? ?（ 1）非负性,当 时,
当 时,0? ? 0? ?
（ 2）齐次性,kk???
（ 3）柯西 — 施瓦兹不等式,(,)? ? ? ??
（ 4）三角不等式,? ? ? ?? ? ?
4
非零向量 和 的夹角余弦, ? ?
(,)c o s,????
???
定义 3,非零向量,??的 夹角 是 (,)
,a r c c o s ???? ???
注, （ 1） 零向量与任何向量都正交。
（ 2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。
当向量,??的内积为零时，即 (,) 0?? ?时,
即 ??? 时，称 向量,??正交。
定义 4,
5
2,Schmidt正交化、单位化法。
定义 5,
正交向两组,非零实向量 12,,,s? ? ?L两两正交。
正交单位向量组,
（标准正交向量组）
非零实向量 12,,,s? ? ?L两两正交,
且每个向量长度全为 1。
1 ( )(,)
0 ( )ij
ij
ij??
???
? ?
?
即
定理,正交向量组是线性无关的。
schmidt正交化、单位化法,
例：书 p100例 3.5.1
6
3,正交矩阵
定义 6,A是一个 n阶实矩阵，若,TA A E?
则称 A为 正交矩阵。
定理,设 A,B都是 n阶正交矩阵，则
(1 ) 1A ?或 1A ??
1( 2 ) TAA? ?
1( 3 ) ( )TAA ?即也是正交矩阵。
(4) AB也是正交矩阵。
7
定理,n阶实矩阵 A是正交矩阵
? A的列（行）向量组为单位正交向量组。
证明：设
11 1
1
n
n n n
aa
A
aa
??
??
?
??
??
K
M O M
L
将 A按列分块，设 12(,,,)nA ? ? ?? L
A是正交矩阵
1
2
12
(,,,)
T
T
T
n
T
n
AA
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L
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8
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
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n
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1 ( )(,)
0 ( )ij
ij
ij??
???
? ?
?
即 即 A的列向量组是单位正交向量组。
注,n个 n维向量，若长度为 1，且两两正交，责备以它们为列
（行） 向量构成的矩阵一定是正交矩阵。
练习：书 p105 3.21
五, 内积、正交化、正交矩阵,
1.向量的内积、长度、夹角。
2.Schmidt正交化、单位化法。
3.正交矩阵。
1,向量的内积、长度、夹角
定义 1,n维实向量
1
2
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a
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称 1 1 2 2(,) nna b a b a b?? ? ? ? ?L
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为向量 与 的 内积。 ? ?
若 为行向量，则,?? (,) T? ? ???
2
向量内积的性质,
( 1 ) (,) (,)? ? ? ??
( 2) (,) (,) (,)? ? ? ? ? ? ?? ? ?
( 3 ) (,) (,)kk? ? ? ???
线性性
对称性
( 4) (,) 0?? ?
等号成立当且仅当 0? ?
正定性
定义 2,实数 2 2 212(,) na a a? ? ?? ? ? ? ?L
称为 向量的长度 （或 模,或 范数 ）
若 1,? ? 称 为单位向量。 ?
3
把向量单位化,若 0,? ? 则 0? ?
考虑
2
22
11(,) (,) 1?? ? ? ?
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即
?
? 的模为 1，为单位向量，称为把 单位化。 ?
向量长度的性质,
0? ? 0? ?（ 1）非负性,当 时,
当 时,0? ? 0? ?
（ 2）齐次性,kk???
（ 3）柯西 — 施瓦兹不等式,(,)? ? ? ??
（ 4）三角不等式,? ? ? ?? ? ?
4
非零向量 和 的夹角余弦, ? ?
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定义 3,非零向量,??的 夹角 是 (,)
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注, （ 1） 零向量与任何向量都正交。
（ 2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。
当向量,??的内积为零时，即 (,) 0?? ?时,
即 ??? 时，称 向量,??正交。
定义 4,
5
2,Schmidt正交化、单位化法。
定义 5,
正交向两组,非零实向量 12,,,s? ? ?L两两正交。
正交单位向量组,
（标准正交向量组）
非零实向量 12,,,s? ? ?L两两正交,
且每个向量长度全为 1。
1 ( )(,)
0 ( )ij
ij
ij??
???
? ?
?
即
定理,正交向量组是线性无关的。
schmidt正交化、单位化法,
例：书 p100例 3.5.1
6
3,正交矩阵
定义 6,A是一个 n阶实矩阵，若,TA A E?
则称 A为 正交矩阵。
定理,设 A,B都是 n阶正交矩阵，则
(1 ) 1A ?或 1A ??
1( 2 ) TAA? ?
1( 3 ) ( )TAA ?即也是正交矩阵。
(4) AB也是正交矩阵。
7
定理,n阶实矩阵 A是正交矩阵
? A的列（行）向量组为单位正交向量组。
证明：设
11 1
1
n
n n n
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A
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K
M O M
L
将 A按列分块，设 12(,,,)nA ? ? ?? L
A是正交矩阵
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即 即 A的列向量组是单位正交向量组。
注,n个 n维向量，若长度为 1，且两两正交，责备以它们为列
（行） 向量构成的矩阵一定是正交矩阵。
练习：书 p105 3.21
