1
二, 相似矩阵的定义及性质
定义, 设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵,使得,AB n P
1P AP B? ?
则称矩阵 是矩阵 的 相似矩阵,AB
对 进行运算 称为对 进行 相似变换,A 1P AP－ A
P A B可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的 相似变换矩阵。
A B或称矩阵 与矩阵 相似,记作 AB:
注,矩阵相似是一种等价关系
（ 1）反身性,.AA:
（ 2）对称性：若 则 AB,.BA:
（ 3）传递性：若 则,,A B B C:,.AC:
2
性质 1,相似矩阵有 相同的特征多项式、相同特征值,
相同的行列式、相同的迹、相同的秩
推论,若矩阵 与对角阵 相似,nnA?
1
2
n
?
?
?
??
??
??
??
??
O
则 是 的 个特征值。 12,,,n? ? ?L A n
3
(1) 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。
当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。
其它的有关相似矩阵的性质,（介绍）
(3) 若 与 相似，则 与 相似。（ 为正整数） A B mA mB m
? ? ? ? ? ?1 1 11 2 1 2,P A A P P A P P A P? ? ??(5)
? ?1 1 11 1 2 2 1 1 2 2P k A k A P k P A P k P A P? ? ?? ? ?(6)
（ 为任意常数） 12,kk
(2) 若 与 相似，则 与 相似。（ 为正整数） A B kkA kB
(4) 若 与 相似，而 是一个多项式,A B ()fx
则 与 相似。 ()fA ()fB
4
（ 2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
注, （ 1） 与单位矩阵相似的 n阶矩阵只有单位阵 E本身,
与数量矩阵 kE 相似的 n阶方阵只有数量阵 kE本。
书 p136 例 5.2.1
三, 矩阵可对角化的条件 （利用相似变换把方阵对角化）
n A对 阶方阵,如果可以找到可逆矩阵, P
使得 为对角阵，就称为 把方阵 对角化。 1P A P? ?? A
5
定理 1,阶矩阵 可对角化（与对角阵相似） n A
? 有 个线性无关的特征向量。 A n
（ 2）可逆矩阵 由 的 个线性无关的特征向量
作列向量构成。
P A n
(逆命题不成立 )
推论,若 阶方阵 有 个互不相同的特征值,n A n
则 可对角化。（与对角阵相似） A
?注, （ 1）若 则 的主对角元素即为 的特征值，,A ?,A
A矩阵 的 相似标准形。
k? ?如果不计 的排列顺序，则 唯一，称之为
6
例 1,判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
( 1 ) 2 2 4
2 4 2
A
???
??? ? ?
?? ?
??
2 1 2
( 2 ) 5 3 3
1 0 2
A
???
????
????
??
解,
? ? ? ?72 2 ???? ?? 0?
1 2 2
( 1 ) 2 2 4
2 4 2
AE
?
??
?
??
? ? ? ? ?
??
得 1 2 32,7? ? ?? ? ? ?
7
得基础解系
12
22
1,0,
01
pp
?? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
当 时，齐次线性方程组为 12 2???? ? ?20A E X??
? ?
1 2 2
2 2 4 4
2 4 4
AE
????
??? ? ? ?
?? ?
??
1 2 2
0 0 0
0 0 0
???
???
??
??
1 2 322x x x? ? ?
当 时，齐次线性方程组为 ? ?70A E X??3 7? ??
? ?
8 2 2
7 2 5 4
2 4 5
AE
???
??? ? ?
??
??
1
10
2
0 1 1
0 0 0
??
??
??
? ??
??
??
??
8
得基础解系
3
1
2
2
p
??
???
??
???
??
13
23
1
2
xx
xx
?
???
?
? ??? 2 2 1
1 0 2 0
0 1 2
?
?
?
Q
1 2 3,,p p p? 线性无关
即 A有 3个线性无关的特征向量，所以 A可以对角化。
9
2 1 2
( 2 ) 5 3 3
1 0 2
AE
?
??
?
??
? ? ? ?
? ? ?
? ? 310?? ? ? ?
2 1 2
5 3 3
1 0 2
A
???
????
??????
得基础解系
1
1,
1
?
???
????
??
??
??
所以 不能化为对角矩阵, A
1 2 3 1.? ? ?? ? ? ? ?
当 时，齐次线性方程组为 ? ? 0A E X??1 2 3 1? ? ?? ? ? ?
? ?
3 1 2
5 2 3
1 0 1
AE
???
??? ? ?
??????
1 0 1
0 1 1
000
??
???
????
10
解,
4 6 0
3 5 0
3 6 1
AE
?
??
?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?21 2 0??? ? ? ? ?
例 2：设
4 6 0
3 5 0,
3 6 1
A
??
??? ? ?
????
??
若能对角化，求出可逆矩阵 使得 为对角阵。 P 1P AP?
问 能否对角化？ A
1 2 31,2,? ? ?? ? ? ? ?
11
得基础解系
1
2
1,
0
p
???
???
??
??
??
2
0
0.
1
p
??
???
??
??
??
当 时，齐次线性方程组为 12 1???? ? ? 0A E X??
? ?
3 6 0
3 6 0
3 6 0
AE
??
??? ? ? ?
????
1 2 0
000
000
??
???
????
122xx??
当 时，齐次线性方程组为 3 2? ?? ? ?20A E X??
? ?
6 6 0
2 3 3 0
3 6 3
AE
??
??? ? ? ?
??????
1 0 1
0 1 1
0 0 0
??
????
????
12
13
23
xx
xx
???
? ?
? 得基础解系
3
1
1.
1
p
???
???
??
??
??
2 0 1
1 0 1 0
0 1 1
??
?Q
1 2 3,,p p p? 线性无关,
A? 可以对角化。
令
? ?1 2 3
2 0 1
,,1 0 1
0 1 1
P p p p
????
????
??
??
则有
1
1 0 0
0 1 0
0 0 2
P A P?
??
???
??
???
13
注意,若令
? ?3 1 2
1
1
1
2
1
0
0
1
,,0,P p p p
??
????
?
?
?
?
?
??
?
即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的
位置要相互对应,
P
1
1
2
1,P A P?
??
???
??
??
?
则有
14
把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且
在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下 几种应用,
1,由特征值、特征向量反求矩阵
例 3：已知方阵 的特征值是 A 1 2 30,1,3,? ? ?? ? ?
相应的特征向量是
1 2 3
1 1 1
1,0,2,
1 1 1
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
求矩阵,A 书 p142 例 5.3.4
15
解：因为特征向量是 3维向量，所以矩阵 是 3 阶方阵。 A
因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。 AA
即存在可逆矩阵,使得 P 1P A P? ??
其中
1 1 1
1 0 2,
1 1 1
P
??
????
???
??
0
1,
3
??
????
??
??
求得
1
1 1 1
3 3 3
11
0,
22
1 1 1
6 3 6
P
?
??
??
??
??
??
???
??
16
1A P P ?? ? ?
1 1 1
3 3 3
1 1 1 0
11
1 0 2 1 0
22
1 1 1 3
1 1 1
6 3 6
??
??
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
? ? ?
? ? ? ? ??
? ? ? ?
? ??? ? ? ?
?? ?
??
1 1 0
1 2 1
0 1 1
???
??? ? ?
???
??
17
2,求方阵的幂
例 4：设 求
45,
23A
????
?????100.A
解,
45
23AE
??
?
????
??( 2 ) ( 1 ) 0??? ? ? ?
121,2,??? ? ? ?A? 可以对角化。
齐次线性方程组为 当 时,1 1? ?? ? ? 0A E x??
11
00
????
????? ?
55
22AE
?????
?????系数矩阵
12xx? 令 得基础解系, 2 1x ? 1
1
1p
???
????
18
齐次线性方程组为 当 时,2 2? ? ? ?20A E x??
25
00
????
????? ?
252
25AE
?????
?????系数矩阵
12
5
2xx? 令 得基础解系, 2 1x ? 2
5
2p
???
????
令 12(,)P p p? 15
12
???
????求得 1
251
3 11P
? ???? ??
???
即存在可逆矩阵,使得 P 1
1
2P A P
? ???? ? ? ??
??
19
1A P P ?? ? ?
1 0 0 1 0 0 1A P P ???
1001 5 1 0 2 51
31 2 0 2 1 1
??? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?
100
100
1 5 2 5( 1 ) 0 1
31 2 1 102
????? ? ? ??
??? ? ? ??? ? ? ?
??
100 100
101 101
2 5 2 5 5 21
3 2 2 5 2
??? ? ? ? ??
??? ? ?
??
20
3,求行列式
例 5：设 是 阶方阵,是 的 个特征值,A n 2,4,,2 nL A n
计算 3.AE?
解, 方法 1 求 的全部特征值,
再求乘积即为行列式的值。
3AE?
( ) 3f x x??设
AQ 的特征值是 2,4,,2 nL 即 2,i i? ?
3AE?? 的特征值是 ( ) 2 3ifi? ??
1
3 2 3 ( 1 ) 1 3 ( 2 3 )
n
i
A E i n
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?? L
21
方法 2,已知 有 个不同的特征值，所以 可以对角化,A n A
即存在可逆矩阵,使得 P
1
2
4
2
P A P
n
?
??
??
? ? ?
??
??
O
1A P P ?? ? ?
1133A E P P P EP??? ? ? ? ?1( 3 )P E P ?? ? ?
13P E P ?? ? ? 3 E? ? ?
23
43
23n
?
?
?
?
O
( 1 ) 1 3 ( 2 3 )n? ? ? ? ?L
22
4,判断矩阵是否相似
解,方法 1
3( ) 3,B f A A A E? ? ? ?
B? 的特征值为
(1 ) 1
( 2 ) 3
( 3 ) 19
f
f
f
??
?
?
令 3( ) 3 1f x x x? ? ?
3阶矩阵 有 3个不同的特征值，所以 可以对角化。 B B
例 6：已知 3阶矩阵 的特征值为 1,2,3,A
2 3,B A A E? ? ?设 问矩阵 能否与对角阵相似？ A
书 p144 例 5.3.6
23
即存在可逆矩阵,使得 P
1
1
2
3
P A P?
??
??? ? ?
??
??1 1 3( 3 )P B P P A A E P??? ? ? ?
1 3 1 1( 3 )P A P P A P P E P? ? ?? ? ?
1 1 1 1( ) ( ) ( ) 3P A P P A P P A P P A P E? ? ? ?? ? ?
3
1 1 1
2 3 2 1
3 3 1
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1
3
19
???
???
??
??
方法 2,因为矩阵 有 3个不同的特征值，所以可以对角化,A
所以矩阵 能与对角阵相似。 B
24
例 7：设 阶方阵 有 个互异的特征值,n A n
阶方阵 与 有相同的特征值。 n B A
证明,BA 与 相似。
证：设 的 n个互异的特征值为 A 12,,,n? ? ?L
则存在可逆矩阵,使得 1P
1
21
11
n
P AP
?
?
?
?
??
??
? ? ?
??
??
O
25
又 12,,,n? ? ?L也是矩阵 的特征值,B
所以存在可逆矩阵,使得 2P
1
21
22
n
P BP
?
?
?
?
??
??
? ? ?
??
??
O
111 1 2 2P AP P BP????
112 1 1 2P P AP P B??
即 1 1 11 2 1 2( ) ( )P P A P P B? ? ? ?
即存在可逆矩阵,使得 1P AP B? ?112P P P? ?
BA即 与 相似。
二, 相似矩阵的定义及性质
定义, 设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵,使得,AB n P
1P AP B? ?
则称矩阵 是矩阵 的 相似矩阵,AB
对 进行运算 称为对 进行 相似变换,A 1P AP－ A
P A B可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的 相似变换矩阵。
A B或称矩阵 与矩阵 相似,记作 AB:
注,矩阵相似是一种等价关系
（ 1）反身性,.AA:
（ 2）对称性：若 则 AB,.BA:
（ 3）传递性：若 则,,A B B C:,.AC:
2
性质 1,相似矩阵有 相同的特征多项式、相同特征值,
相同的行列式、相同的迹、相同的秩
推论,若矩阵 与对角阵 相似,nnA?
1
2
n
?
?
?
??
??
??
??
??
O
则 是 的 个特征值。 12,,,n? ? ?L A n
3
(1) 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。
当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。
其它的有关相似矩阵的性质,（介绍）
(3) 若 与 相似，则 与 相似。（ 为正整数） A B mA mB m
? ? ? ? ? ?1 1 11 2 1 2,P A A P P A P P A P? ? ??(5)
? ?1 1 11 1 2 2 1 1 2 2P k A k A P k P A P k P A P? ? ?? ? ?(6)
（ 为任意常数） 12,kk
(2) 若 与 相似，则 与 相似。（ 为正整数） A B kkA kB
(4) 若 与 相似，而 是一个多项式,A B ()fx
则 与 相似。 ()fA ()fB
4
（ 2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
注, （ 1） 与单位矩阵相似的 n阶矩阵只有单位阵 E本身,
与数量矩阵 kE 相似的 n阶方阵只有数量阵 kE本。
书 p136 例 5.2.1
三, 矩阵可对角化的条件 （利用相似变换把方阵对角化）
n A对 阶方阵,如果可以找到可逆矩阵, P
使得 为对角阵，就称为 把方阵 对角化。 1P A P? ?? A
5
定理 1,阶矩阵 可对角化（与对角阵相似） n A
? 有 个线性无关的特征向量。 A n
（ 2）可逆矩阵 由 的 个线性无关的特征向量
作列向量构成。
P A n
(逆命题不成立 )
推论,若 阶方阵 有 个互不相同的特征值,n A n
则 可对角化。（与对角阵相似） A
?注, （ 1）若 则 的主对角元素即为 的特征值，,A ?,A
A矩阵 的 相似标准形。
k? ?如果不计 的排列顺序，则 唯一，称之为
6
例 1,判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
( 1 ) 2 2 4
2 4 2
A
???
??? ? ?
?? ?
??
2 1 2
( 2 ) 5 3 3
1 0 2
A
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? ? ? ?72 2 ???? ?? 0?
1 2 2
( 1 ) 2 2 4
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?
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? ? ? ? ?
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得 1 2 32,7? ? ?? ? ? ?
7
得基础解系
12
22
1,0,
01
pp
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? ? ? ?
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当 时，齐次线性方程组为 12 2???? ? ?20A E X??
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1 2 2
2 2 4 4
2 4 4
AE
????
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?? ?
??
1 2 2
0 0 0
0 0 0
???
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1 2 322x x x? ? ?
当 时，齐次线性方程组为 ? ?70A E X??3 7? ??
? ?
8 2 2
7 2 5 4
2 4 5
AE
???
??? ? ?
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1
10
2
0 1 1
0 0 0
??
??
??
? ??
??
??
??
8
得基础解系
3
1
2
2
p
??
???
??
???
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13
23
1
2
xx
xx
?
???
?
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1 0 2 0
0 1 2
?
?
?
Q
1 2 3,,p p p? 线性无关
即 A有 3个线性无关的特征向量，所以 A可以对角化。
9
2 1 2
( 2 ) 5 3 3
1 0 2
AE
?
??
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??
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2 1 2
5 3 3
1 0 2
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1
1,
1
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所以 不能化为对角矩阵, A
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当 时，齐次线性方程组为 ? ? 0A E X??1 2 3 1? ? ?? ? ? ?
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3 1 2
5 2 3
1 0 1
AE
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1 0 1
0 1 1
000
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10
解,
4 6 0
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3 6 1
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例 2：设
4 6 0
3 5 0,
3 6 1
A
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??? ? ?
????
??
若能对角化，求出可逆矩阵 使得 为对角阵。 P 1P AP?
问 能否对角化？ A
1 2 31,2,? ? ?? ? ? ? ?
11
得基础解系
1
2
1,
0
p
???
???
??
??
??
2
0
0.
1
p
??
???
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??
当 时，齐次线性方程组为 12 1???? ? ? 0A E X??
? ?
3 6 0
3 6 0
3 6 0
AE
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??? ? ? ?
????
1 2 0
000
000
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???
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122xx??
当 时，齐次线性方程组为 3 2? ?? ? ?20A E X??
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6 6 0
2 3 3 0
3 6 3
AE
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??????
1 0 1
0 1 1
0 0 0
??
????
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12
13
23
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? 得基础解系
3
1
1.
1
p
???
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2 0 1
1 0 1 0
0 1 1
??
?Q
1 2 3,,p p p? 线性无关,
A? 可以对角化。
令
? ?1 2 3
2 0 1
,,1 0 1
0 1 1
P p p p
????
????
??
??
则有
1
1 0 0
0 1 0
0 0 2
P A P?
??
???
??
???
13
注意,若令
? ?3 1 2
1
1
1
2
1
0
0
1
,,0,P p p p
??
????
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即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的
位置要相互对应,
P
1
1
2
1,P A P?
??
???
??
??
?
则有
14
把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且
在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下 几种应用,
1,由特征值、特征向量反求矩阵
例 3：已知方阵 的特征值是 A 1 2 30,1,3,? ? ?? ? ?
相应的特征向量是
1 2 3
1 1 1
1,0,2,
1 1 1
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
求矩阵,A 书 p142 例 5.3.4
15
解：因为特征向量是 3维向量，所以矩阵 是 3 阶方阵。 A
因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。 AA
即存在可逆矩阵,使得 P 1P A P? ??
其中
1 1 1
1 0 2,
1 1 1
P
??
????
???
??
0
1,
3
??
????
??
??
求得
1
1 1 1
3 3 3
11
0,
22
1 1 1
6 3 6
P
?
??
??
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???
??
16
1A P P ?? ? ?
1 1 1
3 3 3
1 1 1 0
11
1 0 2 1 0
22
1 1 1 3
1 1 1
6 3 6
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? ? ?
? ? ? ? ??
? ? ? ?
? ??? ? ? ?
?? ?
??
1 1 0
1 2 1
0 1 1
???
??? ? ?
???
??
17
2,求方阵的幂
例 4：设 求
45,
23A
????
?????100.A
解,
45
23AE
??
?
????
??( 2 ) ( 1 ) 0??? ? ? ?
121,2,??? ? ? ?A? 可以对角化。
齐次线性方程组为 当 时,1 1? ?? ? ? 0A E x??
11
00
????
????? ?
55
22AE
?????
?????系数矩阵
12xx? 令 得基础解系, 2 1x ? 1
1
1p
???
????
18
齐次线性方程组为 当 时,2 2? ? ? ?20A E x??
25
00
????
????? ?
252
25AE
?????
?????系数矩阵
12
5
2xx? 令 得基础解系, 2 1x ? 2
5
2p
???
????
令 12(,)P p p? 15
12
???
????求得 1
251
3 11P
? ???? ??
???
即存在可逆矩阵,使得 P 1
1
2P A P
? ???? ? ? ??
??
19
1A P P ?? ? ?
1 0 0 1 0 0 1A P P ???
1001 5 1 0 2 51
31 2 0 2 1 1
??? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?
100
100
1 5 2 5( 1 ) 0 1
31 2 1 102
????? ? ? ??
??? ? ? ??? ? ? ?
??
100 100
101 101
2 5 2 5 5 21
3 2 2 5 2
??? ? ? ? ??
??? ? ?
??
20
3,求行列式
例 5：设 是 阶方阵,是 的 个特征值,A n 2,4,,2 nL A n
计算 3.AE?
解, 方法 1 求 的全部特征值,
再求乘积即为行列式的值。
3AE?
( ) 3f x x??设
AQ 的特征值是 2,4,,2 nL 即 2,i i? ?
3AE?? 的特征值是 ( ) 2 3ifi? ??
1
3 2 3 ( 1 ) 1 3 ( 2 3 )
n
i
A E i n
?
? ? ? ? ? ? ? ? ?? L
21
方法 2,已知 有 个不同的特征值，所以 可以对角化,A n A
即存在可逆矩阵,使得 P
1
2
4
2
P A P
n
?
??
??
? ? ?
??
??
O
1A P P ?? ? ?
1133A E P P P EP??? ? ? ? ?1( 3 )P E P ?? ? ?
13P E P ?? ? ? 3 E? ? ?
23
43
23n
?
?
?
?
O
( 1 ) 1 3 ( 2 3 )n? ? ? ? ?L
22
4,判断矩阵是否相似
解,方法 1
3( ) 3,B f A A A E? ? ? ?
B? 的特征值为
(1 ) 1
( 2 ) 3
( 3 ) 19
f
f
f
??
?
?
令 3( ) 3 1f x x x? ? ?
3阶矩阵 有 3个不同的特征值，所以 可以对角化。 B B
例 6：已知 3阶矩阵 的特征值为 1,2,3,A
2 3,B A A E? ? ?设 问矩阵 能否与对角阵相似？ A
书 p144 例 5.3.6
23
即存在可逆矩阵,使得 P
1
1
2
3
P A P?
??
??? ? ?
??
??1 1 3( 3 )P B P P A A E P??? ? ? ?
1 3 1 1( 3 )P A P P A P P E P? ? ?? ? ?
1 1 1 1( ) ( ) ( ) 3P A P P A P P A P P A P E? ? ? ?? ? ?
3
1 1 1
2 3 2 1
3 3 1
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1
3
19
???
???
??
??
方法 2,因为矩阵 有 3个不同的特征值，所以可以对角化,A
所以矩阵 能与对角阵相似。 B
24
例 7：设 阶方阵 有 个互异的特征值,n A n
阶方阵 与 有相同的特征值。 n B A
证明,BA 与 相似。
证：设 的 n个互异的特征值为 A 12,,,n? ? ?L
则存在可逆矩阵,使得 1P
1
21
11
n
P AP
?
?
?
?
??
??
? ? ?
??
??
O
25
又 12,,,n? ? ?L也是矩阵 的特征值,B
所以存在可逆矩阵,使得 2P
1
21
22
n
P BP
?
?
?
?
??
??
? ? ?
??
??
O
111 1 2 2P AP P BP????
112 1 1 2P P AP P B??
即 1 1 11 2 1 2( ) ( )P P A P P B? ? ? ?
即存在可逆矩阵,使得 1P AP B? ?112P P P? ?
BA即 与 相似。
