1
1,矩阵的初等变换
线性方程组的一般形式
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????
?
?
2211
22222121
11212111
什么是初等变换?
五, 矩阵的初等变换与初等矩阵
1.矩阵的初等变换
2.初等矩阵
3.用初等变换求可
逆矩阵的逆矩阵
2
用 矩阵形式 表示此线性方程组,
1 1 1 2 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2
12
n
n
m m m n n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
L
L
M M M M M M
L
令
1
2
n
x
x
x
x
??
??
???
??
??
??
M
1
2
m
b
b
b
b
??
??
???
??
??
??
M
? ?ij mnAa ??
则，线性方程组可表示为 A x b?
3
如何 解线性方程组？ 可以用 消元法 求解。
始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换,
（ 1）交换方程次序；
（ 2）以不等于０的数乘某个方程；
（ 3）一个方程加上另一个方程的 k倍,
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变
换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换,
4
若记
11 12 1 1
21 22 2 2
12
()
n
n
m m m n m
a a a b
a a a b
B A b
a a a b
??
??
??
??
??
L
L
M M M M M
L
则对方程组的变换完全可以转换为
对矩阵 B（ 方程组的 增广矩阵 ）的变换,
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数
进行运算，未知量并未参与运算,
5
即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行
3种初等运算,
(1) 对调矩阵的两行。
(2) 用非零常数 k乘矩阵的某一行的所有元素。
(3) 将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数 k后
加到另一行对应元素上。
统称为矩阵的
初等行变换
?
6
定义 1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换,
? ? ）；记作两行对调两行（对调 ji rrji ?,,1
? ? ;02 乘以某一行的所有元素以数 ?k
? ?
.
3
）记作
行上倍加到第行的对应的元素上去（第
倍加到另一行把某一行所有元素的
ji krr
ikj
k
?
同理可定义矩阵的初等列变换 (把,r”换成
,c”),
7
矩阵的初等变换
?
?
?
初等列变换
初等行变换
通常称 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变换
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相
同,
ji rr ?
kri ?
逆变换 ;ji rr ?
逆变换 ;)1( krkr ii ?? 或
ji krr ? 逆变换,)( jiji krrrkr ??? 或
8
等价关系的性质,；反身性）（ A A 1 ?
A;B,B A 2 ?? 则若对称性）（
C,AC,BB,A 3 ??? 则若）传递性（
．等价，记作与就称矩阵
，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵
BABA
BA
~
具有上述三条性质的关系称为等价,
例如，两个线性方程组同解,
就称这两个线性方程组等价
定义 2,
9
定义 3,由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方
阵称为初等矩阵,
E
三种初等变换对应着三种初等方阵,
矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛,
?
?
?
?
?
?
行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数
乘某行或某列；以数
对调两行或两列；
k
k
.3
0.2
.1
2,初等矩阵
10
，得初等方阵两行，即中第对调 )(,ji rrjiE ?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
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1
1
01
1
1
10
1
1
),(
?
?
???
?
?
jiE
行第 i?
行第 j?
(1) 对调两行或两列，得 初等对换矩阵 。
11
)).((
)(0
kiE
krik i
矩阵
，得初等行乘单位矩阵的第以数 ??
?
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?
?
1
1
1
1
))((
?
?
kkiE
行第 i?
(2) 以数 0k? 乘某行或某列，得 初等倍乘矩阵 。
12
，列上列加到第的第乘或以
行上行加到第的第乘以
)([
)(
ij
ji
kccjiEk
krrijEk
?
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?
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?
?
1
1
1
1
))((
?
?
?
?
k
kijE
行第 i?
行第 j?
(3) 以数 0k? 乘某行（列）加到另一行（列）上,
得 初等倍加矩阵 。
13
),(),( 1 ；则
的逆变换是其本身，变换
jiEjiE
rr ji
?
?
?
));
1
(())((
1
1
k
iEkiE
k
rkr ii
?
??
?则
，的逆变换为变换
,))(())((
)(
1 kijEkijE
rkrkrr jiji
??
???
?则
，的逆变换为变换
初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
14
初等变换 初等矩阵
初等逆变换 初等逆矩阵
例 1：计算 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
3 1 3 2 3
1 0 0
( 1 ) 0 0
0 0 1
n
n
n
a a a
k a a a
a a a
????
????
??
??
?? ??
L
L
L
11 12 1
21 22 2
31 32 3
n
n
n
a a a
ka ka ka
a a a
??
???
??
L
L
L
15
11 12
21 22
31 32
10
( 2 ) 0 1 0
0 0 1
k a a
aa
aa
????
????
????
?? ??
11 31 12 32
21 22
31 32
a ka a a
aa
aa
????
???
??
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 0 0
( 3 ) 0 0 1
0 1 0
b b b
b b b
b b b
?? ??
??
?? ??
??
????
11 13 12
21 23 22
31 33 32
b b b
b b b
b b b
??
???
??
??
定理,
阶初等矩阵。乘一个相应的
的右边相当于在施行一次初等列变换，对
阶初等矩阵；的左边乘一个相应的相当于在
施行一次初等行变换，矩阵，对是设
n
AA
mA
AnmA ?
证明,具体验证即可
行上，即倍加到第
行的第施行倍加变换，将按行分块，对设
ik
jAAA
17
另两种情形同理可证
?AkijE ))((
?
?
?
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?
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m
j
i
k
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1
1
1
1
1
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m
j
ji
k
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1
1
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i
r kr
j
m
A
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?
?
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??
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M
M
M
1
ij
j
m
k
?
??
?
?
??
??
??
???
??
??
??
??
??
??
??
M
M
M
18
? ?? ?
? ?? ?,A
,A
kikiAE
kiAkiE
列乘的第表示
行乘的第表示
? ?? ?
? ?? ?,A
,A
列上加到第列乘的第表示
行上加到第行乘的第表示
jkikijAE
ikjAkijE
? ?
? ?,A,
,A,
列对换列与第的第表示
行对换行与第的第表示
jijiAE
jiAjiE
一般记法,
19
1321321 )( ?PPPPPP 及求
例 2,(1) 设初等矩阵
12
3
1
0 0 1 0
1
0 1 0 0
1
1 0 0 0
1
0 0 0 1
1
1
1
PP
c
k
P
??
??
??
??
??
??
?? ??
??
??
??
??
?? ??
??
??
??
??
?
??
??
??
20
解,
1 2 3
( 1 )
0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 1 1
P P P
k
c
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1c
??
??
???
??
??
??
1
1
1
k
??
??
??
??
??
??
0 0 1 0
0 0 0
1 0 0 0
0 0 1
k
c
??
??
???
??
??
??
21
??
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??
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?
1
1
1
1
1
1
1
1000
0001
0010
0100
321
k
P
c
PP
1 1 1 11 2 3 3 2 1()P P P P P P? ? ? ??
1
1
1
1
k
??
??
??
?
??
??
??
1
1
1
1c
??
??
??
??
??
???
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
??
??
??
??
??
??
1
1
1
1
k
c
??
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?
??
??
???
1
1
1
1
k
c
??
?
??
??
???
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
??
??
??
??
??
22
?
?
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?
?
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?
?
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?
?
?
?
?
?
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?
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?
??
?
543
432
321
001
010
100
100
012
001
,:)2(
21
21
BPP
ABPPA
其中
求已知
解,
1 0 0 1 2 3 0 0 1
2 1 0 2 3 4 0 1 0
0 0 1 3 4 5 1 0 0
A
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?1 2 3
0 1 2
3 4 5
??
??? ? ?
??
??
0 0 1
0 1 0
1 0 0
??
??
??
??
3 2 1
2 1 0
5 4 3
??
??? ? ?
??
??
23
3,用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵
可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵, 定理,
可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 推论 1,
证明,由定理，知,即存在初等矩阵 AE,12,,,sP P PL
? ?21,sP P P A E?L使得
? ? 1 1 1 12 1 1 2ssA P P P P P P? ? ? ???LL
又因为初等矩阵可逆，所以等号两边左乘 ? ? 121sP P P ?L
初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，定理得证。
24
等号两边右乘 1,A?
121()sP P P E A ??L
推论 2,A如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等 E
A行变换，那么当 变成单位矩阵 时,就变成 。 E E 1A?
? ?21,sP P P E?L
即,? ? ? ?
1,???? ?? AEEA,初等行变换
,1 EAA ??又
? ? 121,sE P P P A ??L
? ?21,sA P P P E?L
??
?
?
??
?
?
??? ????
?
?
??
?
?
? 1A
E
E
A 初等列变换
即,
25
.,
343
122
321
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? AA 求设
解,
例 3,
?
?
?
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?
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???
???
103620
012520
001321
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100343
010122
001321
EA
21
31
2
3
rr
rr
?
?????
12
32
rr
rr
?
?????
26
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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???
???
??
111100
012520
011201
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
??
??
?
11100
563020
231001
.
111
2
5
3
2
3
231
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?? ?A
1 0 0 1 3 2
35
0 1 0 3
22
0 0 1 1 1 1
???
??
??
??
???
13
23
2
5
rr
rr
?
?????
2
3
( 2 )
( 1 )
r
r
??
??????
27
练习,用初等行变换求可逆矩阵 A的逆矩阵
? ?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
100111
010211
001120
,EA
?
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?
?
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?
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?
?
???
??? ?? ?
100111
001120
010211
21 rr
A
???
???
?????
??
0 2 1
1 1 2
111
28
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ?? ?
110100
001120
010211
13 rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?? ?
110100
111020
010211
32 rr
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?? ??
?
110100
2
1
2
1
2
1
010
010211
2
1
2r
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
??? ??
??
110100
2
1
2
1
2
1
010
2
5
2
3
2
1
001
321
2 rrr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?
?
110
2
1
2
1
2
1
2
5
2
3
2
1
1
A
29
2,若作初等行变换时,出现 全行为 0,则矩阵的行列式
等于 0。结论,矩阵不可逆 !
1,求逆时,若用初等行变换必须坚持始 终,不能夹杂
任何列变换,
注,
E
)()( 11 BAEBAA ?? ??
)( BA
BA 1?
即
初等行变换
另,利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵 1,AB?
30
例 4,.
34
13
52
,
343
122
321
,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
BA
BAXX,其中使求矩阵
解,.1 BAXA ??可逆，则若
方法 1,先求出,再计算 。 1A? 1AB?
方法 2,直接求 。 1AB?
1( ) ( )A B E A B????
初等行变换
31
13
23
2
5
rr
rr
?
?????
12
32
rr
rr
?
?????
21
31
2
3
rr
rr
?
????? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
34343
13122
52321
)( BA
?
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?
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????
????
122620
91520
5231
?
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?
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?
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???
????
?
31100
91520
41201
?
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?
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?
?
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??
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31100
64020
23001
1
32
2 3,
13
X A B?
??
??? ? ? ? ?
??
??
2
3
( 2 )
( 1 )
r
r
??
??????
，
?
?
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?
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?
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31100
32010
23001
32
.1?? CAY即可得
作初等行变换，也可改为对 ),( TT CA
,1 作初等列变换，则可对矩阵如果要求 ?
?
??
?
?? ?
C
ACAY
,CA 1 ?
?
??
?
??
?
??
?
?
?CA
E列变换
),)(,(),1 TTTT CAECA ?（
列变换
TT1 C)( ?? AY T即可得,C)( T1?? TA
.Y即可求得
1,YA C Y C A ???
又,1( ) ( )T T T T T T T TY A C A Y C Y A C?? ? ? ? ?
33
,
,
1000
1100
1110
2222
A
1,
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?
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n
ji
ij
AA
n
式之和中所有元素的代数余子求
方阵已知
?
????
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?
?
解,
例 5,
,02 ??A?,可逆A?
.1* ?? AAA且
34
???
? ?
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?
?
?
?
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10001000
01001100
00101110
00012222
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10001000
11000100
01100010
001
2
1
0001
??
??
?????????
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35
,
1000
1100
0110
001
2
1
1
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?
?
?
?
?
?
?
?
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2
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3 4 0 2
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?? ? ? ?
E?
EA ???
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?
?
?
?
?
????
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?
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13
01
2
1
0
01
10
21
???
?
???
?
???
?
???
?
??
?
?
?
???
??
10
21
20
01
13
01
122
10
01
rr? ?????? ??
??
110
31
A
???
?? ??
???
110
1
0
2
?
??
??
?
112
01
??
??
??
??
例 6：将矩阵 A表示成三个初等矩阵的乘积。
12
34A
???
????
解,
2
1
2 12
01
r ??????
?? ?????? ??
??
37
1,单位矩阵 初等矩阵, 一次初等变换
2,利用初等变换求逆阵的步骤是,
? ? ? ? ;1 ?
?
??
?
?
E
AEA 或构造矩阵 ?
? ? ? ?
.,,
(,
,2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
AEEA
E
A
AE
EAEA
对应部分即为后划为单位阵将变换
施行初等列或对对应部分即为右边后
化为单位矩阵将施行初等行变换对 ?
小结,
38
要求掌握 内容,
(1)掌握三种初等变换及与之对应的三种初等矩阵, 做到
给出变换会写相应的初等矩阵,反之亦然,
(2)明确初等矩阵与其他矩阵做乘积的含义,
(3)会用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵,
? ? ? ?1,???? ?? AEEA,初等行变换
???
?
???
???? ??
???
?
???
?
? 1A
E
E
A 初等列变换
思考题,将矩阵表示成有限
个初等矩阵的乘积
1 0 0
2 0 1
0 1 0
A
??
????
??
???
39
解,A可逆，所以存在初等矩阵 12,sp p pL
使得 21SP P P A E?L
1 1 112 SA P P P? ? ??? L
1 0 0
2 0 1
0 1 0
A
??
????
?????
212
1 0 0
0 0 1
0 1 0
rr?
??
?????? ?
?????
23
1 0 0
0 1 0
0 0 1
rr?
??
?????? ?
?? ???
2 ( 1 )
1 0 0
0 1 0
0 0 1
r ??
??
??????
?? ???
3 ( 1 )
1 0 0
0 1 0
0 0 1
r ??
??
???? ??
??
40
A
1
1
1
??
???
??
??
1
1
1
??
??
??
???
1
21
1
??
???
??
??
1
1
1
??
??
??
??
E?
A??
1
1
1
1
?
??
??
??
???
1
1
1
1
?
??
???
??
??
1
1
1
1
?
??
??
??
??
1
1
21
1
?
??
???
??
??
1
21
1
??
???
??
??
1
1
1
??
??
??
??
1
1
1
??
???
??
??
1
1
1
??
??
??
???
1,矩阵的初等变换
线性方程组的一般形式
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????
?
?
2211
22222121
11212111
什么是初等变换?
五, 矩阵的初等变换与初等矩阵
1.矩阵的初等变换
2.初等矩阵
3.用初等变换求可
逆矩阵的逆矩阵
2
用 矩阵形式 表示此线性方程组,
1 1 1 2 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2
12
n
n
m m m n n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
L
L
M M M M M M
L
令
1
2
n
x
x
x
x
??
??
???
??
??
??
M
1
2
m
b
b
b
b
??
??
???
??
??
??
M
? ?ij mnAa ??
则，线性方程组可表示为 A x b?
3
如何 解线性方程组？ 可以用 消元法 求解。
始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换,
（ 1）交换方程次序；
（ 2）以不等于０的数乘某个方程；
（ 3）一个方程加上另一个方程的 k倍,
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变
换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换,
4
若记
11 12 1 1
21 22 2 2
12
()
n
n
m m m n m
a a a b
a a a b
B A b
a a a b
??
??
??
??
??
L
L
M M M M M
L
则对方程组的变换完全可以转换为
对矩阵 B（ 方程组的 增广矩阵 ）的变换,
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数
进行运算，未知量并未参与运算,
5
即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行
3种初等运算,
(1) 对调矩阵的两行。
(2) 用非零常数 k乘矩阵的某一行的所有元素。
(3) 将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数 k后
加到另一行对应元素上。
统称为矩阵的
初等行变换
?
6
定义 1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换,
? ? ）；记作两行对调两行（对调 ji rrji ?,,1
? ? ;02 乘以某一行的所有元素以数 ?k
? ?
.
3
）记作
行上倍加到第行的对应的元素上去（第
倍加到另一行把某一行所有元素的
ji krr
ikj
k
?
同理可定义矩阵的初等列变换 (把,r”换成
,c”),
7
矩阵的初等变换
?
?
?
初等列变换
初等行变换
通常称 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变换
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相
同,
ji rr ?
kri ?
逆变换 ;ji rr ?
逆变换 ;)1( krkr ii ?? 或
ji krr ? 逆变换,)( jiji krrrkr ??? 或
8
等价关系的性质,；反身性）（ A A 1 ?
A;B,B A 2 ?? 则若对称性）（
C,AC,BB,A 3 ??? 则若）传递性（
．等价，记作与就称矩阵
，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵
BABA
BA
~
具有上述三条性质的关系称为等价,
例如，两个线性方程组同解,
就称这两个线性方程组等价
定义 2,
9
定义 3,由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方
阵称为初等矩阵,
E
三种初等变换对应着三种初等方阵,
矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛,
?
?
?
?
?
?
行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数
乘某行或某列；以数
对调两行或两列；
k
k
.3
0.2
.1
2,初等矩阵
10
，得初等方阵两行，即中第对调 )(,ji rrjiE ?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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?
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?
?
?
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1
1
01
1
1
10
1
1
),(
?
?
???
?
?
jiE
行第 i?
行第 j?
(1) 对调两行或两列，得 初等对换矩阵 。
11
)).((
)(0
kiE
krik i
矩阵
，得初等行乘单位矩阵的第以数 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
))((
?
?
kkiE
行第 i?
(2) 以数 0k? 乘某行或某列，得 初等倍乘矩阵 。
12
，列上列加到第的第乘或以
行上行加到第的第乘以
)([
)(
ij
ji
kccjiEk
krrijEk
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
))((
?
?
?
?
k
kijE
行第 i?
行第 j?
(3) 以数 0k? 乘某行（列）加到另一行（列）上,
得 初等倍加矩阵 。
13
),(),( 1 ；则
的逆变换是其本身，变换
jiEjiE
rr ji
?
?
?
));
1
(())((
1
1
k
iEkiE
k
rkr ii
?
??
?则
，的逆变换为变换
,))(())((
)(
1 kijEkijE
rkrkrr jiji
??
???
?则
，的逆变换为变换
初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
14
初等变换 初等矩阵
初等逆变换 初等逆矩阵
例 1：计算 1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
3 1 3 2 3
1 0 0
( 1 ) 0 0
0 0 1
n
n
n
a a a
k a a a
a a a
????
????
??
??
?? ??
L
L
L
11 12 1
21 22 2
31 32 3
n
n
n
a a a
ka ka ka
a a a
??
???
??
L
L
L
15
11 12
21 22
31 32
10
( 2 ) 0 1 0
0 0 1
k a a
aa
aa
????
????
????
?? ??
11 31 12 32
21 22
31 32
a ka a a
aa
aa
????
???
??
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 0 0
( 3 ) 0 0 1
0 1 0
b b b
b b b
b b b
?? ??
??
?? ??
??
????
11 13 12
21 23 22
31 33 32
b b b
b b b
b b b
??
???
??
??
定理,
阶初等矩阵。乘一个相应的
的右边相当于在施行一次初等列变换，对
阶初等矩阵；的左边乘一个相应的相当于在
施行一次初等行变换，矩阵，对是设
n
AA
mA
AnmA ?
证明,具体验证即可
行上，即倍加到第
行的第施行倍加变换，将按行分块，对设
ik
jAAA
17
另两种情形同理可证
?AkijE ))((
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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m
j
i
k
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
1
1
1
1
1
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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?
?
m
j
ji
k
?
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?
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1
1
ij
i
r kr
j
m
A
?
?
?
?
?
??
??
??
??
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? ????
??
??
??
??
??
??
M
M
M
1
ij
j
m
k
?
??
?
?
??
??
??
???
??
??
??
??
??
??
??
M
M
M
18
? ?? ?
? ?? ?,A
,A
kikiAE
kiAkiE
列乘的第表示
行乘的第表示
? ?? ?
? ?? ?,A
,A
列上加到第列乘的第表示
行上加到第行乘的第表示
jkikijAE
ikjAkijE
? ?
? ?,A,
,A,
列对换列与第的第表示
行对换行与第的第表示
jijiAE
jiAjiE
一般记法,
19
1321321 )( ?PPPPPP 及求
例 2,(1) 设初等矩阵
12
3
1
0 0 1 0
1
0 1 0 0
1
1 0 0 0
1
0 0 0 1
1
1
1
PP
c
k
P
??
??
??
??
??
??
?? ??
??
??
??
??
?? ??
??
??
??
??
?
??
??
??
20
解,
1 2 3
( 1 )
0 0 1 0 1 1
0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 1
0 0 0 1 1 1
P P P
k
c
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1c
??
??
???
??
??
??
1
1
1
k
??
??
??
??
??
??
0 0 1 0
0 0 0
1 0 0 0
0 0 1
k
c
??
??
???
??
??
??
21
??
?
?
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?
?
??
?
?
?
?
?
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??
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??
?
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?
??
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?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
1
1
1
1000
0001
0010
0100
321
k
P
c
PP
1 1 1 11 2 3 3 2 1()P P P P P P? ? ? ??
1
1
1
1
k
??
??
??
?
??
??
??
1
1
1
1c
??
??
??
??
??
???
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
??
??
??
??
??
??
1
1
1
1
k
c
??
??
??
?
??
??
???
1
1
1
1
k
c
??
?
??
??
???
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
??
??
??
??
??
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
543
432
321
001
010
100
100
012
001
,:)2(
21
21
BPP
ABPPA
其中
求已知
解,
1 0 0 1 2 3 0 0 1
2 1 0 2 3 4 0 1 0
0 0 1 3 4 5 1 0 0
A
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?1 2 3
0 1 2
3 4 5
??
??? ? ?
??
??
0 0 1
0 1 0
1 0 0
??
??
??
??
3 2 1
2 1 0
5 4 3
??
??? ? ?
??
??
23
3,用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵
可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵, 定理,
可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 推论 1,
证明,由定理，知,即存在初等矩阵 AE,12,,,sP P PL
? ?21,sP P P A E?L使得
? ? 1 1 1 12 1 1 2ssA P P P P P P? ? ? ???LL
又因为初等矩阵可逆，所以等号两边左乘 ? ? 121sP P P ?L
初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，定理得证。
24
等号两边右乘 1,A?
121()sP P P E A ??L
推论 2,A如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等 E
A行变换，那么当 变成单位矩阵 时,就变成 。 E E 1A?
? ?21,sP P P E?L
即,? ? ? ?
1,???? ?? AEEA,初等行变换
,1 EAA ??又
? ? 121,sE P P P A ??L
? ?21,sA P P P E?L
??
?
?
??
?
?
??? ????
?
?
??
?
?
? 1A
E
E
A 初等列变换
即,
25
.,
343
122
321
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? AA 求设
解,
例 3,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
103620
012520
001321
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100343
010122
001321
EA
21
31
2
3
rr
rr
?
?????
12
32
rr
rr
?
?????
26
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
111100
012520
011201
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
11100
563020
231001
.
111
2
5
3
2
3
231
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?? ?A
1 0 0 1 3 2
35
0 1 0 3
22
0 0 1 1 1 1
???
??
??
??
???
13
23
2
5
rr
rr
?
?????
2
3
( 2 )
( 1 )
r
r
??
??????
27
练习,用初等行变换求可逆矩阵 A的逆矩阵
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
100111
010211
001120
,EA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??? ?? ?
100111
001120
010211
21 rr
A
???
???
?????
??
0 2 1
1 1 2
111
28
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ?? ?
110100
001120
010211
13 rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?? ?
110100
111020
010211
32 rr
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?? ??
?
110100
2
1
2
1
2
1
010
010211
2
1
2r
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
??? ??
??
110100
2
1
2
1
2
1
010
2
5
2
3
2
1
001
321
2 rrr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?
?
110
2
1
2
1
2
1
2
5
2
3
2
1
1
A
29
2,若作初等行变换时,出现 全行为 0,则矩阵的行列式
等于 0。结论,矩阵不可逆 !
1,求逆时,若用初等行变换必须坚持始 终,不能夹杂
任何列变换,
注,
E
)()( 11 BAEBAA ?? ??
)( BA
BA 1?
即
初等行变换
另,利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵 1,AB?
30
例 4,.
34
13
52
,
343
122
321
,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
BA
BAXX,其中使求矩阵
解,.1 BAXA ??可逆，则若
方法 1,先求出,再计算 。 1A? 1AB?
方法 2,直接求 。 1AB?
1( ) ( )A B E A B????
初等行变换
31
13
23
2
5
rr
rr
?
?????
12
32
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rr
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rr
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32
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作初等行变换，也可改为对 ),( TT CA
,1 作初等列变换，则可对矩阵如果要求 ?
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C
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),)(,(),1 TTTT CAECA ?（
列变换
TT1 C)( ?? AY T即可得,C)( T1?? TA
.Y即可求得
1,YA C Y C A ???
又,1( ) ( )T T T T T T T TY A C A Y C Y A C?? ? ? ? ?
33
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1100
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例 5,
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34
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例 6：将矩阵 A表示成三个初等矩阵的乘积。
12
34A
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解,
2
1
2 12
01
r ??????
?? ?????? ??
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37
1,单位矩阵 初等矩阵, 一次初等变换
2,利用初等变换求逆阵的步骤是,
? ? ? ? ;1 ?
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E
AEA 或构造矩阵 ?
? ? ? ?
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(,
,2
1
1
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AEEA
E
A
AE
EAEA
对应部分即为后划为单位阵将变换
施行初等列或对对应部分即为右边后
化为单位矩阵将施行初等行变换对 ?
小结,
38
要求掌握 内容,
(1)掌握三种初等变换及与之对应的三种初等矩阵, 做到
给出变换会写相应的初等矩阵,反之亦然,
(2)明确初等矩阵与其他矩阵做乘积的含义,
(3)会用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵,
? ? ? ?1,???? ?? AEEA,初等行变换
???
?
???
???? ??
???
?
???
?
? 1A
E
E
A 初等列变换
思考题,将矩阵表示成有限
个初等矩阵的乘积
1 0 0
2 0 1
0 1 0
A
??
????
??
???
39
解,A可逆，所以存在初等矩阵 12,sp p pL
使得 21SP P P A E?L
1 1 112 SA P P P? ? ??? L
1 0 0
2 0 1
0 1 0
A
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0 0 1
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0 0 1
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0 1 0
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