1
五, 行列式按行（列）展开
对于三阶行列式，容易验证,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3331
2321
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa ???
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。
问题：一个 n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－ 1 阶行列式
来计算？
2
定义 1,在 n 阶行列式中，把元素 ija 所在的第 i 行和
第 j 列划去后，余下的 n－ 1 阶行列式叫做元素
ija 的 余子式。 记为 ijM
称 ? ? ijjiij MA ??? 1为元素 ija 的 代数余子式。
例如,
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 233223 1 MA ???,23M??
3
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
444341
343331
242321
12
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 122112 1 MA ??? 12M??
333231
232221
131211
44
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 44444444 1 MMA ??? ?
注,行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个
代数余子式。
4
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应
的代数余子式乘积之和，即
ininiiii AaAaAaD ???? ?2211? ?ni,,2,1 ??
定理 1,
证明,（先特殊，再一般）
分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。
(1) 假定行列式 D的第一行除 11a 外都是 0 。
nnnn
n
aaa
aaa
a
D
?
???
?
?
21
22221
11
00
?
5
由行列式定义,D 中仅含下面形式的项
n
n njjjjjj aaaa ??
32
32 3211),,,,1()1( ??
n
n njjjjjj aaaa ??
32
32 32),,,,1(11 )1( ???
其中
n
n njjjjjj aaa ??
32
32 32),,,,1()1( ?? 恰是 11M 的一般项。
所以,1111 MaD ?
111111 )1( Ma ???
1111 Aa?
6
(2) 设 D 的第 i 行除了 ija 外都是 0 。
nnnjn
ij
nj
aaa
a
aaa
D
??
???
??
???
??
1
1111
00?
把 D转化为 (1)的情形
把 D 的第 i 行依次与第 1?i 行，第 2?i 行,······,
第 2行，第 1行交换；再将第 j 列依次与第 1?j 列,
第 2?j 列,······,第 2列，第 1列交换，这样共经过
2)1()1( ?????? jiji 次交换行与交换列的步骤。
7
由性质 2，行列式互换两行（列）行列式变号,
得,
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
D
??
???
??
???
??
1,
,11,1,1
2
00
)1(
?
????
??
??
ijjiijijji AMa ?? ???? )1()1(
8
(3) 一般情形
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
????
?
21
21
11211
?
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
?
????
????
????
?
21
21
11211
000000 ??????????
9
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
21
1
11211
00?
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
21
2
11211
00?
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
?
21
11211
00??
ininiiii AaAaAa ???? ?2211 ? ?ni,,2,1 ??
例如, 行列式
277
010
353
?
??
?D
27
013 ???D
.27?
按第一行展开，得
27
005?
77
103 ??
证毕。
10
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应
元素的代数余子式乘积之和等于零，即
.,02211 ikAaAaAa inknikik ????? ?
定理 2,
证明,由定理 1，行列式等于某一行的元素分别与它们
代数余子式的乘积之和。
在
nnnn
knkk
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
????
?
????
?
21
21
21
11211
?
中，如果令第 i 行的元素等于
另外一行，譬如第 k 行的元素
11
则,
???? inknikik AaAaAa ?2211
nnnn
knkk
knkk
n
aaa
aaa
aaa
aaa
?
????
?
????
?
????
?
21
21
21
11211
? 第 i行
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。
12
综上，得公式
???? inknikik AaAaAa ?2211 ??
?
?
?
），（当
）（当
ik
ikD
0
,
???? njnljljl AaAaAa ?2211
??
?
?
?
），（当
）（当
jl
jlD
0
,
在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定
简化计算，因为把一个 n阶行列式换成 n个（ n－ 1） 阶行列
式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一
列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理
在理论上是重要的。
13
利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简
化行列式计算：计算行列式时，可 先用行列式的性质将某
一行（列）化为仅含 1个非零元素, 再按此行（列）展开,
变为低一阶的行列式, 如此继续下去，直到化为三阶或
二阶行列式。
14
例 1,计算行列式
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
?D
0355
0100
13111
1115
??
??
?
? ? 31 2 cc ??
34 cc ?
055
1111
115
)1( 33
??
???? ?
15
055
026
115
??
?
55
26)1( 31
??
??? ?
50
28
?
??
.40?
12 rr ?
例 2,证明范德蒙德 (Vandermonde)行列式
?
???
???
???
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21
).(
111
jin
ji
n
n
nn
n
n
n
xx
xxx
xxx
xxx
D
?
???
?
?
?
)1(
16
证明,用数学归纳法
21
2
11
xxD ? 12 xx ??,)(12? ??? ?? ji ji xx(1) 当 n=2时,
结论成立。
(2) 设 n－ 1阶范德蒙德行列式成立，往证 n阶也成立。
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
???
?
n
n
nn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
D
?
???
?
?
?
11 ?? nn rxr
211 ?? ? nn rxr
?
112 rxr ?
17
)()()(0
)()()(0
0
1111
1
2
13
2
312
2
2
1133122
11312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
n
n
n
nn
nn
n
???
???
???
?
???
?
????
?
?
?
,)(1 1 提出因子列展开，并把每列的公按第 xx i ?
22
3
2
2
32
11312
111
)())((
???
????
n
n
nn
n
n
xxx
xxx
xxxxxx
?
???
?
?
?
n-1阶范德蒙德行列式
18
)()())((
2
11312 j
jin
in xxxxxxxx ????? ?
???
?
).(
1
j
jin
i xx ?? ?
??? 证毕。
练习,用降阶法
（按行按列展开）
计算行列式的值。
2421
1642
1411
2111
?
???
?
=57
19
五（加）, 利用性质及展开定理计算行列式的 例题,
例 1,
2903
11324
3412
4141 ?
21 4rr ?
23 2rr ? 2903
5500
3412
81707
?
???
按第二列展开
293
550
8177
)1(1 22 ?
???
?? ?
32 cc ?
2113
500
8257 ???
按第二行展开 113
257)1(5 32 ???? ?
10)7577(5 ???
20
例 2,
axaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax
D
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
nccc ??? ?21 ])2([ anx ??
axaa
aaxa
aaax
aaa
?
?
?
?
?????
?
?
?
1
1
1
1
21
1
13
12
rr
rr
rr
n?
?
?
?
])2([ anx ??
ax
ax
ax
aaa
2000
0200
0020
1
?
?
?
?
?????
?
?
?
1)2]()2([ ????? naxanx
22
例 3,
n
D
?
?????
?
?
?
001
0301
0021
1111
?
箭形行列式
目标：把第一列化为
0
0
11
?
a
成三角形行列式
ncnccc
13121
321 ???? ?
n
i
n
i
?
?????
?
?
?
000
0300
0020
111
1
1
2
?
?
?
)11(!
2
?
?
??
n
i i
n
23
例 4,
baaaa
abaaa
aabaa
aaaba
D
n
n
n
n
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
321
321
321
321
1
13
12
rr
rr
rr
n?
?
?
?
bb
bb
bb
aaaba
n
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
00
00
00
321
nccc ??? ?21
箭形行列式
24
b
b
b
aaabaaa
nn
?
?
?
???
?
?
?????
?
?
??
000
000
000
)(
3221
121 )]()[( ?????? nn bbaaa ?
25
例 5,
4
3
2
1
xaaa
axaa
aaxa
aaax
D ?
)4,3,2,1,( ?? iax i
（可以化为箭形行列式）
14
13
13
12
rr
rr
rr
rr
?
?
?
?
axxa
aaxxa
axxa
aaax
??
??
??
41
31
21
1
00
0
00
26
))((
))((
43
21
axax
axax
??
??
1001
0101
0011
4321
1
?
?
?
???? ax
a
ax
a
ax
a
ax
x
4321 cccc ??? ?
?
?
4
1
)(
i
i ax
1000
0100
0010
432
4
21
1
ax
a
ax
a
ax
a
ax
a
ax
x
i i
????
?
?
?
?
??
??
?????
4
1
4
21
1 )(][
i
i
i i
axax aax x
27
思考题, 阶行列式设 n
n
n
D
n
?
?????
?
?
?
001
0301
0021
321
?
求第一行各元素的代数
余子式之和
.11211 nAAA ??? ?
解, 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
nAAA 11211 ??? ?
n?
?????
?
?
?
001
0301
0021
1111
?
.11!
2
???
?
???
? ?? ?
?
n
j j
n
28
六, Cramer 法则
引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，当系数
行列式 0?D 时，方程组有唯一解,)3,2,1( ?? iDDx ii
含有 n个未知数,n个方程的线性方程组，与二、三元线性方
程组类似，它的解也可以用 n阶行列式表示。
Cramer法则,如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
的系数行列式不等于零,
29
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
???????
?
?
21
22221
11211
?
0?即
.,,,,232211 DDxDDxDDxDDx nn ???? ?
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程
组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 j
D D jn
nnjnnjnn
njj
j
aabaa
aabaa
D
??
???????????
??
1,1,1
11,111,111
??
??
?
则线性方程组 (1)有唯一解,
30
证明,
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
????
????
????
njnnjnnnnn
jjnn
jjnn
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
?
????????????
?
?
2211
2222222121
1111212111
? ? 得个方程的依次乘方程组
列元素的代数余子式中第用
,1
,,,21
n
AAAjD njjj ?
再把 方程依次相加，得 n
,
1
11
1
1
1
?
???
?
???
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
n
k
kjk
n
n
k
kjknj
n
k
kjkj
n
k
kjk
Ab
xAaxAaxAa ??
31
由代数余子式的性质可知,
? ?njDDx jj,,2,1 ???
D
Dx
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n ????,,,,
2
3
2
2
1
1 ?
于是 ??2
当 时,方程组 (2)有唯一的一个解 0?D
上式中除了 jx 的系数等于 D,
其余 )( jix i ? 的系数均等于 0，而等式右端为 jD
由于方程组 (2)与方程组 (1)等价,所以
.,,,,232211 DDxDDxDDxDDx nn ???? ?
也是方程组的 (1)解。
32
例 1,用 Cramer法则解线性方程组。
?
?
?
?
?
?
?
????
????
???
????
0674
522
963
852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解,
6741
2120
6031
1512
?
?
??
?
?D
21 2rr ?
24 rr ?
12770
2120
6031
13570
?
?
??
?
33
1277
212
1357
?
?
?
??
21 2cc ?
23 2cc ? 277
010
353
???
?
??
?
27
33
??
?? 27?
6740
2125
6039
1518
1
?
??
??
?
?D
81?
6701
2150
6091
1582
2
?
??
?
?
?D
108??
6041
2520
6931
1812
3 ?
??
?D
27??
0741
5120
9031
8512
4
?
??
?
?
?D
27?
,32781 11 ??? DDx所以,42 ??x,13 ??x,14 ?x
34
注,
1,Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数 相等 的情形。
2,理论意义：给出了解与系数的明显关系。
但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。
3,撇开求解公式,DDx jj ? Cramer法则可叙述为下面定理,
定理 1,如果线性方程组 (1)的系数行列式
则 (1)一定有解,且解是唯一的,
定理 2,如果线性方程组 (1)无解或有两个不同的解，
则它的系数行列式必为零,
0?D
35
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
2211
22222121
11212111
线性方程组
不全为零,若常数项 nbbb,,,21 ?
则称此方程组为 非齐次线性方程组。
,,,,21 全为零若常数项 nbbb ?
此时称方程组为 齐次线性方程组。
非齐次与齐次线性方程组的概念,
36
? ?2
0
0
0
2211
2222121
1212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
齐次线性方程组
易知,021 ???? nxxx ?一定是 (2)的解,
称为 零解 。
若有一组不全为零的数是 (2)的解，称为 非零解 。
37
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
?
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
有非零解,
系数行列式 0?D
定理 3,
定理 4,如果齐次线性方程组有非零解,
则它的系数行列式必为 0。
如果齐次线性方程组的系数行列式,0?D
则齐次线性方程组没有非零解。
38
例 2,问 取何值时,
齐次线性方程组
有非零解？
? ?
? ?
? ???
?
?
?
????
????
????
01
032
0421
321
321
321
xxx
xxx
xxx
?
?
?
?
解,
?
?
?
?
?
??
?
111
132
421
D
?
?
??
?
?
???
?
101
112
431
? ? ? ? ? ? ? ?? ?????? ?????????? 3121431 3
? ? ? ? )3)(2(3121 23 ?????????? ??????
齐次方程组有非零解，则 0?D
所以 或 时齐次方程组有非零解。 2,0 ?? ?? 3??
39
对于 n元齐次线性方程组的 Cramer法则的推论，常被用来
解决解析几何的问题。
例 3,求空间的四个平面 0???? iiii dzcybxa
相交于一点的条件。
解,四个平面相交于一点，即线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
????
0
0
0
0
4444
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
有唯一解。
40
从另一角度看，形式上可以把 )1,,,( zyx 看作是四元
线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
????
0
0
0
0
44342414
43332313
42322212
41312111
xdxcxbxa
xdxcxbxa
xdxcxbxa
xdxcxbxa
的一组非零解。
因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是 0?D
所以，四平面相交于一点的条件为 0
4444
3333
2222
1111
?
dcba
dcba
dcba
dcba
41
例 4,已知三次曲线 332210)( xaxaxaaxfy ?????
在四个点 2,1 ???? xx 处的值为
6)2(,6)2()1()1( ??????? ffff
试求系数,,,,3210 aaaa
解,
?
?
?
?
?
?
?
????????
???????
???????
????
6)2()2()2(
6222
6)1()1()1(
6
3
3
2
210
3
3
2
210
3
3
2
210
3210
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
42
若用 Cramer法则求此方程组的解，有
32
32
32
)2()2(21
2221
)1()1(11
1111
???
???
?D
（考虑 范德蒙德行列式）
3333
2222
)2(2)1(1
)2(2)1(1
2211
1111
??
??
??
?
T
DD
)(
14
j
ji
i xx ?? ?
???
72
)22)(12)(12)(12)(12)(11(
?
???????????
43
576
8426
8426
1116
1116
1 ?
???
??
?D 72
8461
8461
1161
1161
2 ??
??
?
?D
144
8621
8621
1611
1611
3 ??
???
??
?D 72
6421
6421
6111
6111
4 ?
??
?
?D
87257610 ???? DDa 1727221 ????? DDa
27214432 ????? DDa 1727243 ??? DDa
44
课堂练习,P33 1.10 1.13 1.15(1)
思考题,
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默
法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
解答,
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解,
五, 行列式按行（列）展开
对于三阶行列式，容易验证,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3331
2321
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa ???
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。
问题：一个 n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－ 1 阶行列式
来计算？
2
定义 1,在 n 阶行列式中，把元素 ija 所在的第 i 行和
第 j 列划去后，余下的 n－ 1 阶行列式叫做元素
ija 的 余子式。 记为 ijM
称 ? ? ijjiij MA ??? 1为元素 ija 的 代数余子式。
例如,
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 233223 1 MA ???,23M??
3
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
444341
343331
242321
12
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 122112 1 MA ??? 12M??
333231
232221
131211
44
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 44444444 1 MMA ??? ?
注,行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个
代数余子式。
4
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应
的代数余子式乘积之和，即
ininiiii AaAaAaD ???? ?2211? ?ni,,2,1 ??
定理 1,
证明,（先特殊，再一般）
分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。
(1) 假定行列式 D的第一行除 11a 外都是 0 。
nnnn
n
aaa
aaa
a
D
?
???
?
?
21
22221
11
00
?
5
由行列式定义,D 中仅含下面形式的项
n
n njjjjjj aaaa ??
32
32 3211),,,,1()1( ??
n
n njjjjjj aaaa ??
32
32 32),,,,1(11 )1( ???
其中
n
n njjjjjj aaa ??
32
32 32),,,,1()1( ?? 恰是 11M 的一般项。
所以,1111 MaD ?
111111 )1( Ma ???
1111 Aa?
6
(2) 设 D 的第 i 行除了 ija 外都是 0 。
nnnjn
ij
nj
aaa
a
aaa
D
??
???
??
???
??
1
1111
00?
把 D转化为 (1)的情形
把 D 的第 i 行依次与第 1?i 行，第 2?i 行,······,
第 2行，第 1行交换；再将第 j 列依次与第 1?j 列,
第 2?j 列,······,第 2列，第 1列交换，这样共经过
2)1()1( ?????? jiji 次交换行与交换列的步骤。
7
由性质 2，行列式互换两行（列）行列式变号,
得,
nnjnnj
nijiji
ij
ji
aaa
aaa
a
D
??
???
??
???
??
1,
,11,1,1
2
00
)1(
?
????
??
??
ijjiijijji AMa ?? ???? )1()1(
8
(3) 一般情形
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
????
?
21
21
11211
?
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
?
????
????
????
?
21
21
11211
000000 ??????????
9
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
21
1
11211
00?
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
21
2
11211
00?
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
?
21
11211
00??
ininiiii AaAaAa ???? ?2211 ? ?ni,,2,1 ??
例如, 行列式
277
010
353
?
??
?D
27
013 ???D
.27?
按第一行展开，得
27
005?
77
103 ??
证毕。
10
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应
元素的代数余子式乘积之和等于零，即
.,02211 ikAaAaAa inknikik ????? ?
定理 2,
证明,由定理 1，行列式等于某一行的元素分别与它们
代数余子式的乘积之和。
在
nnnn
knkk
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
????
?
????
?
21
21
21
11211
?
中，如果令第 i 行的元素等于
另外一行，譬如第 k 行的元素
11
则,
???? inknikik AaAaAa ?2211
nnnn
knkk
knkk
n
aaa
aaa
aaa
aaa
?
????
?
????
?
????
?
21
21
21
11211
? 第 i行
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。
12
综上，得公式
???? inknikik AaAaAa ?2211 ??
?
?
?
），（当
）（当
ik
ikD
0
,
???? njnljljl AaAaAa ?2211
??
?
?
?
），（当
）（当
jl
jlD
0
,
在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定
简化计算，因为把一个 n阶行列式换成 n个（ n－ 1） 阶行列
式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一
列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理
在理论上是重要的。
13
利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简
化行列式计算：计算行列式时，可 先用行列式的性质将某
一行（列）化为仅含 1个非零元素, 再按此行（列）展开,
变为低一阶的行列式, 如此继续下去，直到化为三阶或
二阶行列式。
14
例 1,计算行列式
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
?D
0355
0100
13111
1115
??
??
?
? ? 31 2 cc ??
34 cc ?
055
1111
115
)1( 33
??
???? ?
15
055
026
115
??
?
55
26)1( 31
??
??? ?
50
28
?
??
.40?
12 rr ?
例 2,证明范德蒙德 (Vandermonde)行列式
?
???
???
???
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21
).(
111
jin
ji
n
n
nn
n
n
n
xx
xxx
xxx
xxx
D
?
???
?
?
?
)1(
16
证明,用数学归纳法
21
2
11
xxD ? 12 xx ??,)(12? ??? ?? ji ji xx(1) 当 n=2时,
结论成立。
(2) 设 n－ 1阶范德蒙德行列式成立，往证 n阶也成立。
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
???
?
n
n
nn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
D
?
???
?
?
?
11 ?? nn rxr
211 ?? ? nn rxr
?
112 rxr ?
17
)()()(0
)()()(0
0
1111
1
2
13
2
312
2
2
1133122
11312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
n
n
n
nn
nn
n
???
???
???
?
???
?
????
?
?
?
,)(1 1 提出因子列展开，并把每列的公按第 xx i ?
22
3
2
2
32
11312
111
)())((
???
????
n
n
nn
n
n
xxx
xxx
xxxxxx
?
???
?
?
?
n-1阶范德蒙德行列式
18
)()())((
2
11312 j
jin
in xxxxxxxx ????? ?
???
?
).(
1
j
jin
i xx ?? ?
??? 证毕。
练习,用降阶法
（按行按列展开）
计算行列式的值。
2421
1642
1411
2111
?
???
?
=57
19
五（加）, 利用性质及展开定理计算行列式的 例题,
例 1,
2903
11324
3412
4141 ?
21 4rr ?
23 2rr ? 2903
5500
3412
81707
?
???
按第二列展开
293
550
8177
)1(1 22 ?
???
?? ?
32 cc ?
2113
500
8257 ???
按第二行展开 113
257)1(5 32 ???? ?
10)7577(5 ???
20
例 2,
axaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax
D
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
nccc ??? ?21 ])2([ anx ??
axaa
aaxa
aaax
aaa
?
?
?
?
?????
?
?
?
1
1
1
1
21
1
13
12
rr
rr
rr
n?
?
?
?
])2([ anx ??
ax
ax
ax
aaa
2000
0200
0020
1
?
?
?
?
?????
?
?
?
1)2]()2([ ????? naxanx
22
例 3,
n
D
?
?????
?
?
?
001
0301
0021
1111
?
箭形行列式
目标：把第一列化为
0
0
11
?
a
成三角形行列式
ncnccc
13121
321 ???? ?
n
i
n
i
?
?????
?
?
?
000
0300
0020
111
1
1
2
?
?
?
)11(!
2
?
?
??
n
i i
n
23
例 4,
baaaa
abaaa
aabaa
aaaba
D
n
n
n
n
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
321
321
321
321
1
13
12
rr
rr
rr
n?
?
?
?
bb
bb
bb
aaaba
n
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
00
00
00
321
nccc ??? ?21
箭形行列式
24
b
b
b
aaabaaa
nn
?
?
?
???
?
?
?????
?
?
??
000
000
000
)(
3221
121 )]()[( ?????? nn bbaaa ?
25
例 5,
4
3
2
1
xaaa
axaa
aaxa
aaax
D ?
)4,3,2,1,( ?? iax i
（可以化为箭形行列式）
14
13
13
12
rr
rr
rr
rr
?
?
?
?
axxa
aaxxa
axxa
aaax
??
??
??
41
31
21
1
00
0
00
26
))((
))((
43
21
axax
axax
??
??
1001
0101
0011
4321
1
?
?
?
???? ax
a
ax
a
ax
a
ax
x
4321 cccc ??? ?
?
?
4
1
)(
i
i ax
1000
0100
0010
432
4
21
1
ax
a
ax
a
ax
a
ax
a
ax
x
i i
????
?
?
?
?
??
??
?????
4
1
4
21
1 )(][
i
i
i i
axax aax x
27
思考题, 阶行列式设 n
n
n
D
n
?
?????
?
?
?
001
0301
0021
321
?
求第一行各元素的代数
余子式之和
.11211 nAAA ??? ?
解, 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
nAAA 11211 ??? ?
n?
?????
?
?
?
001
0301
0021
1111
?
.11!
2
???
?
???
? ?? ?
?
n
j j
n
28
六, Cramer 法则
引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，当系数
行列式 0?D 时，方程组有唯一解,)3,2,1( ?? iDDx ii
含有 n个未知数,n个方程的线性方程组，与二、三元线性方
程组类似，它的解也可以用 n阶行列式表示。
Cramer法则,如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
的系数行列式不等于零,
29
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
???????
?
?
21
22221
11211
?
0?即
.,,,,232211 DDxDDxDDxDDx nn ???? ?
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程
组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 j
D D jn
nnjnnjnn
njj
j
aabaa
aabaa
D
??
???????????
??
1,1,1
11,111,111
??
??
?
则线性方程组 (1)有唯一解,
30
证明,
? ?
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
????
????
????
njnnjnnnnn
jjnn
jjnn
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
?
????????????
?
?
2211
2222222121
1111212111
? ? 得个方程的依次乘方程组
列元素的代数余子式中第用
,1
,,,21
n
AAAjD njjj ?
再把 方程依次相加，得 n
,
1
11
1
1
1
?
???
?
???
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
n
k
kjk
n
n
k
kjknj
n
k
kjkj
n
k
kjk
Ab
xAaxAaxAa ??
31
由代数余子式的性质可知,
? ?njDDx jj,,2,1 ???
D
Dx
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n ????,,,,
2
3
2
2
1
1 ?
于是 ??2
当 时,方程组 (2)有唯一的一个解 0?D
上式中除了 jx 的系数等于 D,
其余 )( jix i ? 的系数均等于 0，而等式右端为 jD
由于方程组 (2)与方程组 (1)等价,所以
.,,,,232211 DDxDDxDDxDDx nn ???? ?
也是方程组的 (1)解。
32
例 1,用 Cramer法则解线性方程组。
?
?
?
?
?
?
?
????
????
???
????
0674
522
963
852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解,
6741
2120
6031
1512
?
?
??
?
?D
21 2rr ?
24 rr ?
12770
2120
6031
13570
?
?
??
?
33
1277
212
1357
?
?
?
??
21 2cc ?
23 2cc ? 277
010
353
???
?
??
?
27
33
??
?? 27?
6740
2125
6039
1518
1
?
??
??
?
?D
81?
6701
2150
6091
1582
2
?
??
?
?
?D
108??
6041
2520
6931
1812
3 ?
??
?D
27??
0741
5120
9031
8512
4
?
??
?
?
?D
27?
,32781 11 ??? DDx所以,42 ??x,13 ??x,14 ?x
34
注,
1,Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数 相等 的情形。
2,理论意义：给出了解与系数的明显关系。
但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。
3,撇开求解公式,DDx jj ? Cramer法则可叙述为下面定理,
定理 1,如果线性方程组 (1)的系数行列式
则 (1)一定有解,且解是唯一的,
定理 2,如果线性方程组 (1)无解或有两个不同的解，
则它的系数行列式必为零,
0?D
35
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
2211
22222121
11212111
线性方程组
不全为零,若常数项 nbbb,,,21 ?
则称此方程组为 非齐次线性方程组。
,,,,21 全为零若常数项 nbbb ?
此时称方程组为 齐次线性方程组。
非齐次与齐次线性方程组的概念,
36
? ?2
0
0
0
2211
2222121
1212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
齐次线性方程组
易知,021 ???? nxxx ?一定是 (2)的解,
称为 零解 。
若有一组不全为零的数是 (2)的解，称为 非零解 。
37
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
?
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
有非零解,
系数行列式 0?D
定理 3,
定理 4,如果齐次线性方程组有非零解,
则它的系数行列式必为 0。
如果齐次线性方程组的系数行列式,0?D
则齐次线性方程组没有非零解。
38
例 2,问 取何值时,
齐次线性方程组
有非零解？
? ?
? ?
? ???
?
?
?
????
????
????
01
032
0421
321
321
321
xxx
xxx
xxx
?
?
?
?
解,
?
?
?
?
?
??
?
111
132
421
D
?
?
??
?
?
???
?
101
112
431
? ? ? ? ? ? ? ?? ?????? ?????????? 3121431 3
? ? ? ? )3)(2(3121 23 ?????????? ??????
齐次方程组有非零解，则 0?D
所以 或 时齐次方程组有非零解。 2,0 ?? ?? 3??
39
对于 n元齐次线性方程组的 Cramer法则的推论，常被用来
解决解析几何的问题。
例 3,求空间的四个平面 0???? iiii dzcybxa
相交于一点的条件。
解,四个平面相交于一点，即线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
????
0
0
0
0
4444
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
有唯一解。
40
从另一角度看，形式上可以把 )1,,,( zyx 看作是四元
线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
????
0
0
0
0
44342414
43332313
42322212
41312111
xdxcxbxa
xdxcxbxa
xdxcxbxa
xdxcxbxa
的一组非零解。
因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是 0?D
所以，四平面相交于一点的条件为 0
4444
3333
2222
1111
?
dcba
dcba
dcba
dcba
41
例 4,已知三次曲线 332210)( xaxaxaaxfy ?????
在四个点 2,1 ???? xx 处的值为
6)2(,6)2()1()1( ??????? ffff
试求系数,,,,3210 aaaa
解,
?
?
?
?
?
?
?
????????
???????
???????
????
6)2()2()2(
6222
6)1()1()1(
6
3
3
2
210
3
3
2
210
3
3
2
210
3210
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
42
若用 Cramer法则求此方程组的解，有
32
32
32
)2()2(21
2221
)1()1(11
1111
???
???
?D
（考虑 范德蒙德行列式）
3333
2222
)2(2)1(1
)2(2)1(1
2211
1111
??
??
??
?
T
DD
)(
14
j
ji
i xx ?? ?
???
72
)22)(12)(12)(12)(12)(11(
?
???????????
43
576
8426
8426
1116
1116
1 ?
???
??
?D 72
8461
8461
1161
1161
2 ??
??
?
?D
144
8621
8621
1611
1611
3 ??
???
??
?D 72
6421
6421
6111
6111
4 ?
??
?
?D
87257610 ???? DDa 1727221 ????? DDa
27214432 ????? DDa 1727243 ??? DDa
44
课堂练习,P33 1.10 1.13 1.15(1)
思考题,
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默
法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
解答,
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解,
