1
第二章 矩 阵
一, 矩阵概念
二, 矩阵的基本运算
三, 逆矩阵
四, 矩阵的分块
五, 初等变换与初等矩阵
2
一, 矩阵概念
1,矩阵的定义
2,特殊矩阵
3,矩阵的应用实例 1,矩阵的定义
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
??
?
?
21
22221
11211
记作
简记为 ? ?
nmijaA ??
nmA ? 或
),,2,1;,,2,1( njmianm ij ?? ??? 个数由
列的数表，行排成的 nm,列矩阵行称为 nm
.矩阵简称 nm ?
3
实矩阵, 元素是实数
复矩阵,元素是复数
例如,?
?
??
?
?
? 3469
5301
是一个 实矩阵,42?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
222
222
2613 i
是一个 复矩阵,33?
4
? ?9532
是一个 矩阵,41?
??4
是一个 矩阵, 11?
jiaA ij ??? 2 54,其元素矩阵问题：试写出
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
4
2
1
是一个 矩阵,13?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
34567
12345
10123
32101
A
5
2,一些特殊的矩阵
零矩阵 (Zero Matrix),
)( 型矩阵对 nmA ?
注意,? ?,0000
0000
0000
0000
0000
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
不同阶数的零矩阵是不相等的,
例如,
元素全为零的矩阵称为零矩阵,
零矩阵记作 或, nm? nmo ? o
6
行矩阵 (Row Matrix),
列矩阵 (Column Matrix),
方阵 (Square Matrix),
只有一行的矩阵 ? ?,,,,21 naaaA ??
称为行矩阵 (或 行向量 ).,
2
1
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
a
a
a
B
?
只有一列的矩阵
称为列矩阵 (或 列向量 ),
例如,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
222
222
2613 i
是一个 3 阶方阵,
行数与列数都等于 的矩阵,
称为 阶
n
n,nA方阵,也可记作
7
对角阵 (Diagonal Matrix),
方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
n
n
a
a
a
aaadi a g
?
?
2
1
21
),,(
数量矩阵 (Scalar Matrix),
nn
n
k
k
k
kE
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
方阵，主对角元素全为非零常数 k，其余元素全为零。
8
单位矩阵 (Identity Matrix),
nn
n
E
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
1
1
1
?
记作,
行列式与矩阵的区别,
1,一个是算式,一个是数表
2,一个行列数相同,一个行列数可不同,
3,对 n 阶方阵可求它的行列式, 记为, A
方阵，主对角元素全为 1，其余元素都为零。
EE n 或
9
3,矩阵的应用实例
省两个城市 a 21,aa 和
例 1,(通路矩阵 )
b 省三个城市
321,,bbb
的交通联结情况如图。 每条线上的数字表示联结该两城
市的不同通路总数,由该图提供的通路信息,可用矩阵形
式表示,称之为通路矩阵,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
23
21
04
1a 2a
1b
2b
3b
10
例 2,(价格矩阵 )
四种食品 (Food)在三家商店 (Shop)中,单位
量的售价 (以某种货币单位计 )可用以下矩阵给出
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1915818
1913915
2111717
1F 2F 3F 4F
1S
2S
3S
11
例 3,(赢得矩阵 )
我国古代有“齐王赛马”的事例,说的战国时代
齐王与其大将田忌赛马,双方约定各出上、中、下
3个等级的马各一匹进行比赛,这样共赛马 3次,每
次比赛的败者付给胜者一百金,
已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可稳操
胜券,但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中,
下等级的马,
12
齐王的赢得矩阵,
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
311111
131111
113111
111311
111131
111113
齐
王
策
略
田 忌 策 略 ?
?
比赛策略, (上、中、下 )
1
(中、上、下 )
2
(下、中、上 )
3
(上、下,中 )
4
(中、下、上 )
5
(下、上、中 )
6
13
例 4,(系数矩阵 )
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
?
????
?
?
2211
22221212
12121111
n 个变量 nxxx ?,,21 与 m 个变量
myyy ?,,21 之间的 关系式
表示从变量
nxxx ?,,21
到变量 myyy ?,,21 的 线性变换,
其中
ija
为常数, 称为系数矩阵nmijaA ?? )(
14
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
.
,
,
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
?
?????????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
11
22221
11211
??
系数矩阵
15
线性变换 与 矩阵 之间存在着 一一对应 关系,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
xy
xy
xy
???
,
,
22
11
对应
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
100
010
001
?
????
?
?
恒
等
变
换
单
位
阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnn
xy
xy
xy
?
?
?
?
222
111
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
n
?
?
?
?
2
1
对应
16
二, 矩阵的基本运算 1.矩阵相等 2.加减法
3.数乘矩阵
4.矩阵的乘法
5.矩阵的转置
6.方阵的行列式
1,矩阵相等,
矩阵相等,
?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ??
420
13
40
81 z
y
x例,
同型矩阵,两个矩阵的行数相等、列数也相等
.
),..,,2,1,(
BABA
nji
ij
b
ij
a
nmBnmA
?
??
??
相等，记作与称矩阵
且对应元素相等，即
是同型矩阵，与设矩阵
17
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
???
???
??
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
BA
?
????
?
?
2211
2222222121
1112121111
2,矩阵的加减法
设有两个 矩阵 那末矩阵
与 的和记作,规定为
nm? ? ? ? ?,,ijij bBaA ??
A B BA?
加法,
18
注意,只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算,
例如,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
123
456
981
863
091
5312
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
????
?
182633
405961
9583112
.
986
447
41113
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
19
减法,
负矩阵,
)( BABA ????
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
???
???
??
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
11
22221
11211
? ?ija??
。的
称为矩阵
负矩阵
A
矩阵加法满足的运算规律,
? ?,1 ABBA ???交换律：
? ? ? ? ? ?, 2 CBACBA ?????结合律：
? ? ? ?,4 OAA ???
? ?,,03 是同型矩阵与其中 OAAA ??
20
3,数与矩阵相乘
数乘,
.
11
22221
11211
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
AA
???
???
???
??
?
????
?
?
规定为或的乘积记作与矩阵数,??? AAA
注意,矩阵数乘与行列式数乘的区别,
?
?
??
?
?
250
231
2 ?
?
??
?
??
4100
46
52
21
2
54
22
?
21
? ? ? ? ? ?;1 AA ???? ?
? ? ? ? ;2 AAA ???? ???
? ? ? ?,3 BABA ??? ???
数乘矩阵满足的运算规律,
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算,
（设 为 矩阵,为数） ??,nm?BA、
22
定义,
?
?
?????
s
k
kjiksjisjijiij babababac
1
2211 ?
? ?,,,2,1;,2,1 njmi ?? ??
并把此乘积记作,ABC ?
4,矩阵与矩阵相乘
? ?ijcC ?
设 是一个 矩阵,是一个
矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积
是一个 矩阵,其中
? ?ijaA ? sm? ? ?ijbB ?
ns?
nm?
A B
23
例１,
2222 63
42
21
42
??
?
?
??
?
?
????
??
?
?
?
??C
22 ?
?
?
??
?
?? 16? 32?
8 16
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4150
0311
2101
A
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
121
113
121
430
B例 2,
求 AB
24
故
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
121
113
121
430
4150
0311
2101
ABC
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解, ? ?,43 ?? ijaA? ? ?,34?? ijbB
? ?,33 ??? ijcC
5? 6 7
10 2 6?
2? 17 10
25
注意,只有当 第一个矩阵的列数 等于 第二个矩阵的行数 时,
两个矩阵才能相乘,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
106
861
985
123
321
例如,
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
3
321
? ?132231 ?????? ? ?.10?
不存在,
26
例 3,计算下列矩阵的乘积,
? ? ? ?21
3
2
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解,
? ?21
3
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 12? 22?
12? 22?
13? 23?
.
63
42
42
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
27
332222112 bababa ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
b
b
b
.222 322331132112233322222111 bbabbabbabababa ??????
331221111 bababa ??=( 333223113 bababa ??）
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
333231
232221
131211
321 2
b
b
b
aaa
aaa
aaa
bbb
28
例 4,计算下列矩阵的乘积,
4333
73110
2085
4121
1
1
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
44
43
1
1
1
1
73110
2085
4121
?
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
43
73110
2085
4121
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
43
73110
2085
4121
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
29
snnsnn
s
s
nnn
aaa
aaa
aaa
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
21
22221
11211
2
1
?
?
?
nnnnnnnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
2
1
21
22221
11211
snnsnnnn
s
s
aaa
aaa
aaa
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
????
?
?
21
22222212
11121111
nnnnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
????
?
?
2211
2222211
1122111
30
nnnnnn
b
b
b
a
a
a
??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
2
1
2
1
nnnn
ba
ba
ba
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
22
11
31
矩阵乘法满足的运算规律,
? ? ? ? ? ?;,1 BCACAB ?结合律
? ? ? ?,:2 ACABCBA ???分配律 ? ? ;CABAACB ???
? ? ? ? ? ? ? ?BABAAB ??? ??3 （其中 为数） ; ?
? ? ;4 AEAAE ??
矩阵乘法不满足交换律,BAAB ?即：
例, 设 ?????? ??? 11
11A ?
?
??
?
?
?
??
11
11B
则,00 00 ???????AB,22 22 ?????? ???BA,BAAB ?
注意,
32
但也有 例外,比如设
,20 02 ?
?
??
?
??A,
11
11 ?
?
??
?
?
?
??B
则有,?
?
??
?
??AB 2 2?
2? 2
?
?
??
?
??BA 2 2?
2? 2
.BAAB ??
33
矩阵乘法不满足消去律
CBAACAB ??? 0,不能推出
?????? ??? 11 11A ?????? ? ?? 11 11B
,00 00 ???????AB
,22 22 ?????? ? ??C例如,
,00 00 ???????AC有
CB ?但是
ACAB ?
0 0 0 ??? BAAB 或不能推出
34
若 A是 n 阶方阵,则 为 A的 次幂，即 kA k
??? ?? ?
个k
k AAAA ?
,kmkm AAA ??
? ?,mkkm AA ? ? ?为正整数km,
方阵的幂,
并且
,时当 BAAB ?? ?,BAAB kkk ?
方阵的多项式,
0111)( axaxaxaxf kkkk ????? ?? ?
0111)( aAaAaAaAf kkkk ????? ?? ?E
35
5,矩阵的转置
定义, 把矩阵 的行换成同序数的列得到的
新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作, ?A
A
A
例,,854
221 ?
?
??
?
??A ;
82
52
41
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?TA
? ?,618?B,618 ???????TB
转置矩阵满足的运算规律,
? ? ? ? ;1 AA TT ?
? ? ? ? ;2 TTT BABA ???
? ? ? ? ;3 TT AA ?? ?
? ? ? ?,4 TTT ABAB ?
36
例 5, 已知
,
102
324
171
,
231
102
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
? ?
? BA
? ?,TAB求
解法 1,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
?
102
324
171
231
102
AB?
,101317 3140 ?
?
??
?
? ??
? ?,
103
1314
170
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
T
AB
37
解法 2,? ? TTT ABAB ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
30
12
131
027
241
.
103
1314
170
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
课堂练习,
38
,称为反对称的则矩阵如果 AATA ??
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等, 说明,
AA
A A
T
T
A
A
??
?
?
?
是反对称矩阵
是对称矩阵
例 6,.,都是对称矩阵和则设 TT
nm BBBBB ?
设 为 阶方阵，如果满足,即
那末 称为对称阵,
A n
? ?njiaa jiij,,2,1,???A
.
601
086
1612
为对称阵例如
??
?
?
?
??
?
?
?
?A
对称阵, TAA ?
39
例 8,
? ?
? ?,2
.,1
:.
对称矩阵之和可表示为对称矩阵和反
是反对称矩阵是对称矩阵
证明阶矩阵对于任意的
A
AAAA
An
TT ??
注,对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
311
121
111
100
001
010
例
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
311
11
12
例 7,
.n
,,,
阶反对称矩阵是则 BAAB
BBBAAA TnnTnn
?
??? ??
40
6,方阵的行列式
定义,由 阶方阵 的元素所构成的行列式,
叫做方阵 的行列式，记作 或
n A
A A,det A
?
?
??
?
??
86
32,A例
86
32?A则
.2??
运算规律：, ? ? ;1 AA T ?? ? ;2 AA n?? ?
? ? BAAB ?3
.AB BA?注,虽然,A B B A? 但
41
定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所
构成的如下矩阵
A ijA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
?
????
?
?
21
22212
12111
称为矩阵 的 伴随矩阵, A
42
故 ? ?ijAAA ??? ? ?
ij??,EA?
同理可得
??????? ?
?
?
n
k
kjki aAAA
1
? ?ijA ?? ? ?ijA ??,EA?
性质,.EAAAAA ?? ??
证明,? ?,ijaA ?设 ? ?,ijbAA ??记
则 jninjijiij AaAaAab ???? ?2211,ij??
第二章 矩 阵
一, 矩阵概念
二, 矩阵的基本运算
三, 逆矩阵
四, 矩阵的分块
五, 初等变换与初等矩阵
2
一, 矩阵概念
1,矩阵的定义
2,特殊矩阵
3,矩阵的应用实例 1,矩阵的定义
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
??
?
?
21
22221
11211
记作
简记为 ? ?
nmijaA ??
nmA ? 或
),,2,1;,,2,1( njmianm ij ?? ??? 个数由
列的数表，行排成的 nm,列矩阵行称为 nm
.矩阵简称 nm ?
3
实矩阵, 元素是实数
复矩阵,元素是复数
例如,?
?
??
?
?
? 3469
5301
是一个 实矩阵,42?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
222
222
2613 i
是一个 复矩阵,33?
4
? ?9532
是一个 矩阵,41?
??4
是一个 矩阵, 11?
jiaA ij ??? 2 54,其元素矩阵问题：试写出
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
2
1
是一个 矩阵,13?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
34567
12345
10123
32101
A
5
2,一些特殊的矩阵
零矩阵 (Zero Matrix),
)( 型矩阵对 nmA ?
注意,? ?,0000
0000
0000
0000
0000
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
不同阶数的零矩阵是不相等的,
例如,
元素全为零的矩阵称为零矩阵,
零矩阵记作 或, nm? nmo ? o
6
行矩阵 (Row Matrix),
列矩阵 (Column Matrix),
方阵 (Square Matrix),
只有一行的矩阵 ? ?,,,,21 naaaA ??
称为行矩阵 (或 行向量 ).,
2
1
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
a
a
a
B
?
只有一列的矩阵
称为列矩阵 (或 列向量 ),
例如,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
222
222
2613 i
是一个 3 阶方阵,
行数与列数都等于 的矩阵,
称为 阶
n
n,nA方阵,也可记作
7
对角阵 (Diagonal Matrix),
方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
n
n
a
a
a
aaadi a g
?
?
2
1
21
),,(
数量矩阵 (Scalar Matrix),
nn
n
k
k
k
kE
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
方阵，主对角元素全为非零常数 k，其余元素全为零。
8
单位矩阵 (Identity Matrix),
nn
n
E
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
1
1
1
?
记作,
行列式与矩阵的区别,
1,一个是算式,一个是数表
2,一个行列数相同,一个行列数可不同,
3,对 n 阶方阵可求它的行列式, 记为, A
方阵，主对角元素全为 1，其余元素都为零。
EE n 或
9
3,矩阵的应用实例
省两个城市 a 21,aa 和
例 1,(通路矩阵 )
b 省三个城市
321,,bbb
的交通联结情况如图。 每条线上的数字表示联结该两城
市的不同通路总数,由该图提供的通路信息,可用矩阵形
式表示,称之为通路矩阵,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
23
21
04
1a 2a
1b
2b
3b
10
例 2,(价格矩阵 )
四种食品 (Food)在三家商店 (Shop)中,单位
量的售价 (以某种货币单位计 )可用以下矩阵给出
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1915818
1913915
2111717
1F 2F 3F 4F
1S
2S
3S
11
例 3,(赢得矩阵 )
我国古代有“齐王赛马”的事例,说的战国时代
齐王与其大将田忌赛马,双方约定各出上、中、下
3个等级的马各一匹进行比赛,这样共赛马 3次,每
次比赛的败者付给胜者一百金,
已知在同一等级马的比赛中，齐王之马可稳操
胜券,但田忌的上、中等级的马分别可胜齐王中,
下等级的马,
12
齐王的赢得矩阵,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
311111
131111
113111
111311
111131
111113
齐
王
策
略
田 忌 策 略 ?
?
比赛策略, (上、中、下 )
1
(中、上、下 )
2
(下、中、上 )
3
(上、下,中 )
4
(中、下、上 )
5
(下、上、中 )
6
13
例 4,(系数矩阵 )
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
?
????
?
?
2211
22221212
12121111
n 个变量 nxxx ?,,21 与 m 个变量
myyy ?,,21 之间的 关系式
表示从变量
nxxx ?,,21
到变量 myyy ?,,21 的 线性变换,
其中
ija
为常数, 称为系数矩阵nmijaA ?? )(
14
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
.
,
,
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
?
?????????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
11
22221
11211
??
系数矩阵
15
线性变换 与 矩阵 之间存在着 一一对应 关系,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
xy
xy
xy
???
,
,
22
11
对应
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
100
010
001
?
????
?
?
恒
等
变
换
单
位
阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnn
xy
xy
xy
?
?
?
?
222
111
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
n
?
?
?
?
2
1
对应
16
二, 矩阵的基本运算 1.矩阵相等 2.加减法
3.数乘矩阵
4.矩阵的乘法
5.矩阵的转置
6.方阵的行列式
1,矩阵相等,
矩阵相等,
?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ??
420
13
40
81 z
y
x例,
同型矩阵,两个矩阵的行数相等、列数也相等
.
),..,,2,1,(
BABA
nji
ij
b
ij
a
nmBnmA
?
??
??
相等，记作与称矩阵
且对应元素相等，即
是同型矩阵，与设矩阵
17
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
???
???
??
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
BA
?
????
?
?
2211
2222222121
1112121111
2,矩阵的加减法
设有两个 矩阵 那末矩阵
与 的和记作,规定为
nm? ? ? ? ?,,ijij bBaA ??
A B BA?
加法,
18
注意,只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算,
例如,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
123
456
981
863
091
5312
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
????
?
182633
405961
9583112
.
986
447
41113
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
19
减法,
负矩阵,
)( BABA ????
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
???
???
??
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
11
22221
11211
? ?ija??
。的
称为矩阵
负矩阵
A
矩阵加法满足的运算规律,
? ?,1 ABBA ???交换律：
? ? ? ? ? ?, 2 CBACBA ?????结合律：
? ? ? ?,4 OAA ???
? ?,,03 是同型矩阵与其中 OAAA ??
20
3,数与矩阵相乘
数乘,
.
11
22221
11211
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
AA
???
???
???
??
?
????
?
?
规定为或的乘积记作与矩阵数,??? AAA
注意,矩阵数乘与行列式数乘的区别,
?
?
??
?
?
250
231
2 ?
?
??
?
??
4100
46
52
21
2
54
22
?
21
? ? ? ? ? ?;1 AA ???? ?
? ? ? ? ;2 AAA ???? ???
? ? ? ?,3 BABA ??? ???
数乘矩阵满足的运算规律,
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算,
（设 为 矩阵,为数） ??,nm?BA、
22
定义,
?
?
?????
s
k
kjiksjisjijiij babababac
1
2211 ?
? ?,,,2,1;,2,1 njmi ?? ??
并把此乘积记作,ABC ?
4,矩阵与矩阵相乘
? ?ijcC ?
设 是一个 矩阵,是一个
矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积
是一个 矩阵,其中
? ?ijaA ? sm? ? ?ijbB ?
ns?
nm?
A B
23
例１,
2222 63
42
21
42
??
?
?
??
?
?
????
??
?
?
?
??C
22 ?
?
?
??
?
?? 16? 32?
8 16
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4150
0311
2101
A
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
121
113
121
430
B例 2,
求 AB
24
故
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
121
113
121
430
4150
0311
2101
ABC
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解, ? ?,43 ?? ijaA? ? ?,34?? ijbB
? ?,33 ??? ijcC
5? 6 7
10 2 6?
2? 17 10
25
注意,只有当 第一个矩阵的列数 等于 第二个矩阵的行数 时,
两个矩阵才能相乘,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
106
861
985
123
321
例如,
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
3
321
? ?132231 ?????? ? ?.10?
不存在,
26
例 3,计算下列矩阵的乘积,
? ? ? ?21
3
2
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解,
? ?21
3
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 12? 22?
12? 22?
13? 23?
.
63
42
42
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
27
332222112 bababa ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
b
b
b
.222 322331132112233322222111 bbabbabbabababa ??????
331221111 bababa ??=( 333223113 bababa ??）
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
333231
232221
131211
321 2
b
b
b
aaa
aaa
aaa
bbb
28
例 4,计算下列矩阵的乘积,
4333
73110
2085
4121
1
1
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
44
43
1
1
1
1
73110
2085
4121
?
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
43
73110
2085
4121
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
43
73110
2085
4121
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
29
snnsnn
s
s
nnn
aaa
aaa
aaa
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
21
22221
11211
2
1
?
?
?
nnnnnnnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
2
1
21
22221
11211
snnsnnnn
s
s
aaa
aaa
aaa
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
????
?
?
21
22222212
11121111
nnnnnnn
nn
nn
aaa
aaa
aaa
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
????
?
?
2211
2222211
1122111
30
nnnnnn
b
b
b
a
a
a
??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
2
1
2
1
nnnn
ba
ba
ba
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
22
11
31
矩阵乘法满足的运算规律,
? ? ? ? ? ?;,1 BCACAB ?结合律
? ? ? ?,:2 ACABCBA ???分配律 ? ? ;CABAACB ???
? ? ? ? ? ? ? ?BABAAB ??? ??3 （其中 为数） ; ?
? ? ;4 AEAAE ??
矩阵乘法不满足交换律,BAAB ?即：
例, 设 ?????? ??? 11
11A ?
?
??
?
?
?
??
11
11B
则,00 00 ???????AB,22 22 ?????? ???BA,BAAB ?
注意,
32
但也有 例外,比如设
,20 02 ?
?
??
?
??A,
11
11 ?
?
??
?
?
?
??B
则有,?
?
??
?
??AB 2 2?
2? 2
?
?
??
?
??BA 2 2?
2? 2
.BAAB ??
33
矩阵乘法不满足消去律
CBAACAB ??? 0,不能推出
?????? ??? 11 11A ?????? ? ?? 11 11B
,00 00 ???????AB
,22 22 ?????? ? ??C例如,
,00 00 ???????AC有
CB ?但是
ACAB ?
0 0 0 ??? BAAB 或不能推出
34
若 A是 n 阶方阵,则 为 A的 次幂，即 kA k
??? ?? ?
个k
k AAAA ?
,kmkm AAA ??
? ?,mkkm AA ? ? ?为正整数km,
方阵的幂,
并且
,时当 BAAB ?? ?,BAAB kkk ?
方阵的多项式,
0111)( axaxaxaxf kkkk ????? ?? ?
0111)( aAaAaAaAf kkkk ????? ?? ?E
35
5,矩阵的转置
定义, 把矩阵 的行换成同序数的列得到的
新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作, ?A
A
A
例,,854
221 ?
?
??
?
??A ;
82
52
41
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?TA
? ?,618?B,618 ???????TB
转置矩阵满足的运算规律,
? ? ? ? ;1 AA TT ?
? ? ? ? ;2 TTT BABA ???
? ? ? ? ;3 TT AA ?? ?
? ? ? ?,4 TTT ABAB ?
36
例 5, 已知
,
102
324
171
,
231
102
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
? ?
? BA
? ?,TAB求
解法 1,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
?
102
324
171
231
102
AB?
,101317 3140 ?
?
??
?
? ??
? ?,
103
1314
170
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
T
AB
37
解法 2,? ? TTT ABAB ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
30
12
131
027
241
.
103
1314
170
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
课堂练习,
38
,称为反对称的则矩阵如果 AATA ??
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等, 说明,
AA
A A
T
T
A
A
??
?
?
?
是反对称矩阵
是对称矩阵
例 6,.,都是对称矩阵和则设 TT
nm BBBBB ?
设 为 阶方阵，如果满足,即
那末 称为对称阵,
A n
? ?njiaa jiij,,2,1,???A
.
601
086
1612
为对称阵例如
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?A
对称阵, TAA ?
39
例 8,
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? ?,2
.,1
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对称矩阵之和可表示为对称矩阵和反
是反对称矩阵是对称矩阵
证明阶矩阵对于任意的
A
AAAA
An
TT ??
注,对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵
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311
121
111
100
001
010
例
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311
11
12
例 7,
.n
,,,
阶反对称矩阵是则 BAAB
BBBAAA TnnTnn
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40
6,方阵的行列式
定义,由 阶方阵 的元素所构成的行列式,
叫做方阵 的行列式，记作 或
n A
A A,det A
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86
32,A例
86
32?A则
.2??
运算规律：, ? ? ;1 AA T ?? ? ;2 AA n?? ?
? ? BAAB ?3
.AB BA?注,虽然,A B B A? 但
41
定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所
构成的如下矩阵
A ijA
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nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
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21
22212
12111
称为矩阵 的 伴随矩阵, A
42
故 ? ?ijAAA ??? ? ?
ij??,EA?
同理可得
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?
n
k
kjki aAAA
1
? ?ijA ?? ? ?ijA ??,EA?
性质,.EAAAAA ?? ??
证明,? ?,ijaA ?设 ? ?,ijbAA ??记
则 jninjijiij AaAaAab ???? ?2211,ij??
