1
三, 向量组的秩
1,向量组的一个基本性质
2,极大线性无关组
3,向量组的秩
4,向量空间的基和维数 1,向量组的一个基本性质
定理,设 12,,,s? ? ?L与 是两个向量组，如果 12,,,t? ? ?L
(2) st?
则向量组 必线性相关。 12,,,s? ? ?L
推论 1,如果向量组 可以由向量组 12,,,t? ? ?L
线性表示，并且
12,,,s? ? ?L
st?12,,,s? ? ?L线性无关，那么
推论 2,两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。
12,,,s? ? ?L(1) 向量组 12,,,t? ? ?L线性表示； 可以由向量组
2
2,极大线性无关组
定义 1,
注, （ 1）只含零向量的向量组没有极大无关组,
简称 极大无关组。
对向量组 A，如果在 A中有 r个向量 12,,,r? ? ?L
满足,
（ 2）任意 r＋ 1个向量都线性相关。（如果有的话）
0 1 2:,,,rA ? ? ?L线性无关。 （ 1）
那么称部分组 为向量组 的一个 极大线性无关组。 0A A
（ 2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
（ 3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性
表示
3
例如：在向量组 中,
1 2 3
2 4 2
1 2 1
,,
3 5 4
1 4 1
? ? ?
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? ? ? ? ? ?? ? ?
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12,??首先 线性无关,又 1 2 3,,? ? ?线性相关,
所以 12,??组成的部分组是极大无关组。
还可以验证 23,??也是一个极大无关组。
注,一个向量组的 极大无关组 一般 不是唯一的。
4
极大无关组的一个基本性质,
任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都
与向量组等价，所以,
向量组的任意两个极大无关组都是等价的。
由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得
一个向量组的任意两个极大无关组等价,
且所含向量的个数相同。
定理,
5
3,向量组的秩
定义 2,向量组的极大无关组所含向量的个数
称为这个 向量组的秩,记作
例如,向量组 的
1 2 3
2 4 2
1 2 1
,,
3 5 4
1 4 1
? ? ?
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秩为 2。
12(,,,)sr ? ? ?L
6
（ 4）等价的向量组必有相同的秩。
关于向量组的秩的结论,
（ 1）零向量组的秩为 0。
（ 2）向量组 12,,,s? ? ?L线性无关 ? 12(,,,)srs? ? ? ?L
向量组 12,,,s? ? ?L线性相关 ? 12(,,,)s? ? ? ?L
（ 3）如果向量组 可以由向量组 12,,,t? ? ?L
线性表示，则
12,,,s? ? ?L
1 2 1 2(,,,) (,,,)strr? ? ? ? ? ??LL
注,两个有相同的秩的向量组不一定等价。
两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个
线性表示，则这两个向量组等价。
7
4,向量空间的基与维数
定义,设 V是向量空间，如果 r个向量 12,,,,r V? ? ? ?L
且满足
12,,,r? ? ?L线性无关。 （ 1）
（ 2） V中任一向量都可由 12,,,r? ? ?L线性表示,
那么，就称向量组 12,,,r? ? ?L是向量空间 V的
一个基, r称为向量空间 V的 维数,记作 dimV＝ r
并称 V是 r维向量空间。
注, （ 1） 只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为 0。
（ 2）如果把向量空间看作向量组，可知,V的基就是向
量组的极大无关组,V的维数就是向量组的秩。
（ 3）向量空间的基不唯一。
三, 向量组的秩
1,向量组的一个基本性质
2,极大线性无关组
3,向量组的秩
4,向量空间的基和维数 1,向量组的一个基本性质
定理,设 12,,,s? ? ?L与 是两个向量组，如果 12,,,t? ? ?L
(2) st?
则向量组 必线性相关。 12,,,s? ? ?L
推论 1,如果向量组 可以由向量组 12,,,t? ? ?L
线性表示，并且
12,,,s? ? ?L
st?12,,,s? ? ?L线性无关，那么
推论 2,两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。
12,,,s? ? ?L(1) 向量组 12,,,t? ? ?L线性表示； 可以由向量组
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2,极大线性无关组
定义 1,
注, （ 1）只含零向量的向量组没有极大无关组,
简称 极大无关组。
对向量组 A，如果在 A中有 r个向量 12,,,r? ? ?L
满足,
（ 2）任意 r＋ 1个向量都线性相关。（如果有的话）
0 1 2:,,,rA ? ? ?L线性无关。 （ 1）
那么称部分组 为向量组 的一个 极大线性无关组。 0A A
（ 2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
（ 3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性
表示
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例如：在向量组 中,
1 2 3
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12,??首先 线性无关,又 1 2 3,,? ? ?线性相关,
所以 12,??组成的部分组是极大无关组。
还可以验证 23,??也是一个极大无关组。
注,一个向量组的 极大无关组 一般 不是唯一的。
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极大无关组的一个基本性质,
任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都
与向量组等价，所以,
向量组的任意两个极大无关组都是等价的。
由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得
一个向量组的任意两个极大无关组等价,
且所含向量的个数相同。
定理,
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3,向量组的秩
定义 2,向量组的极大无关组所含向量的个数
称为这个 向量组的秩,记作
例如,向量组 的
1 2 3
2 4 2
1 2 1
,,
3 5 4
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秩为 2。
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（ 4）等价的向量组必有相同的秩。
关于向量组的秩的结论,
（ 1）零向量组的秩为 0。
（ 2）向量组 12,,,s? ? ?L线性无关 ? 12(,,,)srs? ? ? ?L
向量组 12,,,s? ? ?L线性相关 ? 12(,,,)s? ? ? ?L
（ 3）如果向量组 可以由向量组 12,,,t? ? ?L
线性表示，则
12,,,s? ? ?L
1 2 1 2(,,,) (,,,)strr? ? ? ? ? ??LL
注,两个有相同的秩的向量组不一定等价。
两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个
线性表示，则这两个向量组等价。
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4,向量空间的基与维数
定义,设 V是向量空间，如果 r个向量 12,,,,r V? ? ? ?L
且满足
12,,,r? ? ?L线性无关。 （ 1）
（ 2） V中任一向量都可由 12,,,r? ? ?L线性表示,
那么，就称向量组 12,,,r? ? ?L是向量空间 V的
一个基, r称为向量空间 V的 维数,记作 dimV＝ r
并称 V是 r维向量空间。
注, （ 1） 只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为 0。
（ 2）如果把向量空间看作向量组，可知,V的基就是向
量组的极大无关组,V的维数就是向量组的秩。
（ 3）向量空间的基不唯一。
