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第五章 矩阵的对角化问题
一, 方阵的特征值与特征向量
二, 相似矩阵及其性质
三, 矩阵可对角化的条件
四, 实对称矩阵的对角化
2
一, 方阵的特征值与特征向量
1,特征值与特征向量的定义
定义 1,
注,
设 是 阶方阵,A n
若数 和 维非零列向量,使得 ? n x
A x x?? 成立，则称
是方阵 的一个 特征值,? A
为方阵 的对应于特征值 的一个 特征向量。 x A ?
(1) A是方阵
1.定义
2.求法
3.性质
（ 2）特征向量 是非零列向量 x
（ 4）一个特征向量只能属于一个特征值
（ 3）方阵 的与特征值 对应的特征向量不唯一 A ?
3
2,特征值与特征向量的求法
A x x??
? ? 0A E x?? ? ?或 ? ? 0E A x??
已知 0,x ? 所以齐次线性方程组有非零解
0AE?? ? ?或 0EA? ??
11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
AE
a a a
?
?
?
?
?
?
??
?
L
L
M M M M
L
定义 2,? ?,n n ij
nnAa? ?? 数 ?
是关于 的一个多项式，称为矩阵 的 特征多项式。 ? A
4
? ?
11 12 1
21 22 2
12
0
n
n
n n n n
a a a
a a a
f A E
a a a
?
?
??
?
?
?
? ? ? ?
?
L
L
M M M M
L
称为矩阵 的 特征方程。 A
求特征值、特征向量,
( 1 ) 0AE???求出 即为特征值 ; ?
( 2 ) A x x?? ? ? 0A E x?? ? ?
把得到的特征值 代入上 式,?
求齐次线性方程组 的非零解 ? ? 0A E x???x
即为所求特征向量。
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解,第一步：写出矩阵 A的特征方程，求出特征值,
例 1,求矩阵 的特征值和全部特征向量,
1 1 0
4 3 0
1 0 2
A
???
????
??
??
AE???
1 1 0
4 3 0 0
1 0 2
?
?
?
??
? ? ?
?
? ? ? ? 22 1 0??? ? ?
特征值为 1 2 32,1? ? ?? ? ?
第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 ?
? ? 0,A E x???求非零解。
6
齐次线性方程组为 当 时,1 2? ? ? ?20A E x??
系数矩阵
? ?
3 1 0
2 4 1 0
1 0 0
AE
???
??? ? ?
??
??
1 0 0
0 1 0
000
??
???
??
??
自由未知量, 3x
12 0xx??令 得基础解系, 3 1x ?
1
0
0
1
p
??
???
??
??
??
1 1 1(0k p k??常数 )是对应于 1 2? ? 的全部特征向量。
7
齐次线性方程组为 当 时,23 1???? ? ? 0A E x??
? ?
2 1 0
4 2 0
1 0 1
AE
???
??? ? ?
??
??
1 0 1
0 1 2
0 0 0
??
???
??
??
13
232
xx
xx
???
? ??
?
得基础解系
2
1
2
1
p
??
????
??
??
??
2 2 2(0k p k??常数 )是对应于 23 1????的全部特征向量。
书 P130,例 4,例 5
8
3,特征值和特征向量的性质
性质 1,若 的特征值是, 是 的对应于 的特征向量，则 A ? x A ?
(1) kA的特征值是, (kk? 是任意常数 )
(2) mA 的特征值是, (m m? 是正整数 )
( 3 ) A若 可逆，则 的特征值是 1A? 1.??
A? 的特征值是 1,A?
1,,,mkA A A A??且 仍然是矩阵 x
分别对应于 的特征向量。 1 1,,,A mk ? ? ? ??
( 4 ) ( )fx为 x的多项式，则 的特征值为 ()fx ( ).f ?
9
性质 2,矩阵 和 的特征值相同。 TAA
定理 2,设 阶方阵 的 个特征值为 n ? ?ijAa? n 12,,,n? ? ?L
则
1 2 n 1 1 2 2
1
1 )
()
n
i
nn
i
i
a tr
aa
A
a? ? ?
?
?
??
? ? ?
?
＋ ＋ ＋LL
称为矩阵 A的 迹。 （主对角元素之和）
1
1
2n2 )
n
i
i
A? ? ??
?
?? ＝L
10
例 2,
例 3：设
解, （ 1）
设 为矩阵 的特征值，求 的特征值； ? A 2 2A A E??
若 可逆，求 的特征值。 A ? ?*1,A E A ??1 1 1
2 2 2
1 1 1
A
???
????
????
??
求,（ 1） 的特征值和特征向量。 A
（ 2）求可逆矩阵,使得 为对角阵。 1P AP?P 1 1 1
2 2 2 0
1 1 1
AE
?
??
?
??
? ? ? ? ?
? ? ?
11
? ? 022 ??? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
111
222
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
000
000
111
?A
321 xxx ??
,021 时当 ?? ?? 0Ax ?
自由未知量,
32,xx
得基础解系
12
11
0,1
10
pp
?? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
全部特征向量
的＝＝是对应于的常数不同时为 0)0,( 21212211 ??kkpkpk ?
2,0 321 ???? ???
得
12
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
210
111
111
202
113
自由未知量, 3x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
210
101
?
?
?
??
??
32
31
2 xx
xx
的全部特征向量＝是对应于，常数 0)0 ( 3333 ??kpk
得基础解系
3
1
2
1
p
???
????
??
??
??
时当 23 ??? ( 2 ) 0A E x??
13 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3
2
1
?
?
?
1 1 1 2 2 2 3 3 3( 2 ),,.A p p A p p A p p? ? ?? ? ?
? ? ? ?1 2 3 1 2 3A p p p A p A p A p?
? ?1 1 2 2 3 3p p p? ? ??
? ?
1
1 2 3 2
3
p p p
?
?
?
??
???
????
取 ? ?1 2 3P p p p?
1 1 1
0 1 2
101
????
????
????0
0
2
??
???
?????
14
20P ? ? ?QA P P? ? ? 1P?? 存在
11P A P P P??? ? ? ? ?
本题启示,
问题,矩阵 是否唯一？矩阵 是否唯一？ P ?
2,提供了一种求 的方法, kA
1P A P??? 其中 为对角阵。 ?
1,通过求 A的特征值,特征向量,有可能把 A写成
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.02211 ???? mm pxpxpx ?
则 ? ?,02211 ???? mm pxpxpxA ?
,0222111 ???? mmm pxpxpx ??? ?
定理 3,设 是方阵 的 个特征值,12,,,m? ? ?L A m
12,,,mp p pL依次是与之对应的特征向量。
如果 各不相等,12,,,m? ? ?L
12,,,mp p pL则 线性无关。 书 p138 定理 5.3.2
即,方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。 A
证明,设常数 使得 12,,,mx x xL
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类推之，有,0222111 ???? mmkmkk pxpxpx ??? ?
? ?1,,2,1 ?? mk ?
把上列各式合写成矩阵形式，得 ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
22
1
11
2211
1
1
1
,,,
m
mm
m
m
mm
pxpxpx
??
??
??
?
???
?
?
?
? ?0,,0,0 ??
等号左边第二个矩阵的行列式为 Vandermonde行列式,
当 各不相同时，该行列式的值不等于零，所以存在逆矩阵。 i?
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等号两边同时右乘它的逆矩阵，有
? ? ? ?,0,,0,0,,,2211 ?? ?mm pxpxpx
即 ? ?0 1,2,,.jjx p j m?? L
又因为 为特征向量,0,jp ?jp
所以 ? ?0 1,2,,.jx j m?? L
12,,,mp p p? L线性无关。