1
第四章 线性方程组
一, 高斯消元法
二, 齐次线性方程组
三, 非齐次线性方程组
2
一, 高斯消元法
设一般线性方程组为
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
( 1)
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ??
L
L
M M M M M M M M M
L
则称矩阵
11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
L
L
M M M M
L
为方程组 (1)的 系数矩阵。
3
称矩阵
11 12 1 1
21 22 2 2
12
(,)
n
n
m m m n m
a a a b
a a a b
B A b
a a a a
??
??
??
??
??
L
L
M M M M M
L
为方程组 (1)的 增广矩阵。
称为方程组（ 1）的 导出组,
或称为（ 1） 对应的齐次线性方程组。
当 0 ( 1,2,,)ib i m?? L时,齐次线性方程组
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
( 2)
0
nn
nn
m m m n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ??
L
L
M M M M M M M M M
L
4
定义,线性方程组的初等变换
（ 1） 用一非零的数乘某一方程
（ 2） 把一个方程的倍数加到另一个方程
（ 3） 互换两个方程的位置
可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换,
所得到的新的线性方程组与原方程组同解
对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵
做初等行变换
(,)B A b? ???
初等行变换
5
11 12 1 1,1 1 1
22 1 2,1 2 2
,1
1
0
00
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
r r n
r r n
rr r r rn r
r
s s s s s t
s s s s t
s s s t
t
?
?
?
?
??
??
??
??
???
??
??
??
LL
LL
M M M M M M
LL
LL
LL
M M M M M M
LL
化为行阶
梯形矩阵
6
则以矩阵（ 3）为增广矩阵的方程组与方程组（ 1）同解。
1,1 1 1
2,1 2 2
,1
1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
( 3)
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
rn
rn
r r rn r
r
c c d
c c d
c c d
d
?
?
?
?
??
??
??
??
??
??
???
??
??
??
??
??
??
LL
LL
M M M M M M
LL
LL
LL
M M M M M M
LL
化为行最
简形矩阵
7
由矩阵（ 3）可讨论方程组（ 1）的解的情况
1) 若,则方程组无解。 1 0rd ? ?
2) 若 1 0,rd ? ? 则方程组有解,
当
rn
rn
??
? ?
?
有唯一解。
有无穷多解。
3) 特别地，方程组 (1)的导出组，即对应的齐次线性方程组
一定有解。
当
rn
rn
??
? ?
?
有唯一的零解。
有无穷多解，即有非零解。
8
举例说明消元法具体步骤,
例 1：书 P108 例 4.1.1
例 2：解线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1
4 2 5 4
2 4 0
x x x
x x x
x x x
? ? ??
?
? ? ??
? ? ? ?
?
解,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1000
2100
1312
2 1 3 1
0 0 1 2
0 0 1 1
???
????
?? ?
??
最后一行有 30 1,x ?
可知方程组无解。
2 1 3 1
(,) 4 2 5 4
2 1 4 0
Ab ??
?
9
例 3：解线性方程组
1 2 3 4
2 3 4
1 2 4
2 3 4
2 3 4 1
0
3 3 1
7 3 0
x x x x
xxx
x x x
xxx
? ? ? ??
?
? ? ??
?
? ? ??
? ? ? ? ??
解,?),( bA
1 2 3 4 1
0 1 1 1 0
0 0 2 4 0
0 0 4 8 0
????
???
?
?? ?
??? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
00000
02100
01110
14321
1 2 3 4 1
0 1 1 1 0
1 3 0 3 1
0 7 3 1 0
????
???
?
???
10
1 2 0 2 1
0 1 0 1 0
0 0 1 2 0
0 0 0 0 0
???
?? ?
???
?? ?
??
1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 0 1 2 0
0 0 0 0
??
?? ?
???
?? ?
??
对应的方程组为
1
24
34
1
0
20
x
xx
xx
??
?
???
? ??
?
1
24
34
1
2
x
xx
xx
??
?
??
? ?
?
即
所以一般解为
1
2
3
4
1
2
x
xk
xk
xk
??
?
??
?
?
?
? ?
?
（ k为任意常数）
11
二, 齐次线性方程组 110 ( 2 )m n n mAx? ? ??
1,齐次线性方程组（ 2）有解的条件
定理 1,齐次线性方程组 有非零解 110m n n mAx? ? ??
? ?r A n??
定理 2,齐次线性方程组 只有零解 110m n n mAx? ? ??
? ?r A n??
推论,齐次线性方程组 只有零解 110n n n nAx? ? ??
? ?r A n??
即 0,A ? 即系数矩阵 A可逆。
1,有解的条件
2,解的性质
3,基础解系
4,解的结构
12
二, 解的性质
（可推广至有限多个解）
解向量,每一组解都构成一个向量
性质,若 是（ 2）的解,12,??
则 仍然是（ 2）的解。 1 1 2 2x k k????
解空间, 0AX ? 的所有解向量的集合，对加法和数乘
都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次
线性方程组的解空间。
13
3,基础解系
设 12,,,nr? ? ? ?L是 0AX ? 的解，满足
121,,,nr? ? ? ?L（ ） 线性无关；
2 0AX ?（ ） 的任一解都可以由 12,,,nr? ? ? ?L线性表示。
则称 12,,,nr? ? ? ?L是 0AX ? 的一个 基础解系。
定理,设 A 是 mn? 矩阵，如果 ( ),r A r n??
则齐次线性方程组 0AX ? 的基础解系存在,
且每个基础解系中含有 nr? 个解向量。
14
证明分三步, 1,以某种方法找 个解。 nr?
2,证明这 nr? 个解线性无关。
3,证明任一解都可由这 nr? 个解线性表示。
注,0AX ? 的基础解系实际上就是解空间的一个基。 (1)
(2) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。
(3) 基（基础解系）不是唯一的。
(4) 当 ()r A n?时，解空间是 {0}.
当 ()r A r n??时，求得基础解系是
12,,,,nr? ? ? ?L
则 1 1 2 2 n r n rx k k k? ? ???? ? ? ?L是 0AX ? 的解,
称为 通解。
4,解的结构
0AX ? 的通解是 1 1 2 2 n r n rx k k k? ? ???? ? ? ?L
15
例 4, 求下列齐次方程组的通解。
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
2 4 0
( 1 ) 2 4 8 0
3 6 2 0
x x x x
x x x x
x x x
? ? ? ??
?
? ? ? ??
? ? ? ?
?
解,
1 2 4 1
2 4 8 1
3 6 2 0
A
??
???
??
??
1
1 2 0
5
1 2 4 1
3
0 0 10 3 0 0 1
10
0 0 0 0
0 0 0 0
??
?
??
?? ??
?? ??
??? ? ? ?
?? ??
????
??
??
初等行变换
16
行最简形矩阵对应的方程组为
法 1,先求通解，再求基础解系
1 2 4
34
1
20
5
3
0
10
x x x
xx
?
? ? ??
?
?
? ??
??
即
1 2 4
34
1
2
5
3
10
x x x
xx
?
? ? ??
?
?
? ??
?? 24,xx
是自由
未知量。
令 2 1 4 2,x c x c??
则
1 1 2
21
32
42
1
2
5
3
10
x c c
xc
xc
xc
?
? ? ?
?
?
??
?
?
? ?
?
?
??
即
1
2
12
3
4
1
2 5
10
03
100
1
x
x
cc
x
x
??
????? ??
???? ??
???? ??
??
???? ?? ?
???? ??
???? ??
??
??
12,cc为任意常数。
17
法 2,先求基础解系，再求通解。
1 2 4
34
1
2
5
3
10
x x x
xx
?
? ? ??
?
?
? ??
??
由
令
2
4
1
0
x
x
?? ???
?? ?????? 得
1
2
1
0
0
?
???
??
???
??
??
??
令
2
4
0
1
x
x
?? ???
?? ?????? 得
2
1
5
0
3
10
1
?
??
??
?
???
??
??
??
??
则通解为
1 1 2 2x k k????
12(,kk为任意常数）
18
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 0
3 6 10 0
( 2 )
2 5 7 0
2 4 0
x x x
x x x
x x x
x x x
? ? ??
?
? ? ??
?
? ? ??
? ? ? ??
解,
1 2 3
3 6 10
2 5 7
1 2 4
A
??
??
???
??
??
??
1 2 3
0 1 1
0 0 1
0 0 0
??
??
?????
??
??
??
初等行变换
? ? 3,r A n??
所以只有零解。
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
000
100
010
021
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
000
100
010
001
19
三, 非齐次性线性方程组 11 ( 1 )m n n mA x b? ? ??
1,有解的条件
定理 3,非齐次线性方程组 11m n n mA x b? ? ??有解
? ? ? ?,r A r A b??
并且，当 ? ? ? ?,r A r A b n??时，有唯一解；
当 ? ? ? ?,r A r A b n??时，有无穷多解。
2,解的性质
性质,12,??是 的解，则 12??? 是
0Ax ?
11m n n mA x b? ? ??
对应的齐次线性方程组 的解。
20
分析,
3,解的结构
若 11 ( 1 )m n n mA x b? ? ??有解，则其通解为 *x ?? ???
其中 *? 是（ 1）的一个特解,
?? 是（ 1）对应的齐次线性方程组 的通解。 0Ax ?
1,证明 *x ?? ???是解；
2,任一解都可以写成 *x ?? ???的形式。
例 5, 书 P117例 1
21
例 6, 求解非齐次方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
51
2 3 3
3 8 1
9 3 7 7
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
? ? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ??
解,
1 5 1 1 1
1 2 1 3 3
(,)
3 8 1 1 1
1 9 3 7 7
Ab
?????
??
?
?
?? ?
??
1 5 1 1 1
0 7 2 4 4
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
?????
?
?????
??
??
22
3 13 13
10
7 7 7
2 4 4
01
7 7 7
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
??
??
???
?????
??
??1 3 4
2 3 4
13 3 13
7 7 7
4 2 4
7 7 7
x x x
x x x
?
? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
??
令 3 1 4 2,x c x c??则
1 1 2
2 1 2
31
42
13 3 13
7 7 7
4 2 4
7 7 7
x c c
x c c
xc
xc
?
? ? ?
?
?
?
? ? ? ??
?
??
?
??
12(,cc为任意常数）
法 1,
23
法 2,令,043 ?? xx 得 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
0
7
4
7
13
?
又原方程组对应的齐次方程组的通解是
?
?
?
?
?
??
???
432
431
7
4
7
2
7
13
7
3
xxx
xxx
令 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
?
1
0,
0
1
4
3
x
x
得基础解系 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
7
4
7
13
,
0
1
7
2
7
3
21
??
所以原方程组的通解是 2211 ??? kk ??? 12(,kk为任意常数）
24
例 7,
k取何值时有唯一解,
无穷多解或无解,
有无穷多解时求出通解,
1 2 3
1 2 3
23
5
3 2 1 8 5
22
k x x x
x x k x k
xx
? ? ??
?
? ? ? ??
? ??
?
解,? ?
1 1 5
,3 2 18 5
0 1 2 2
k
A b k k
??
????
??
??
3 2 18 5
1 1 5
0 1 2 2
kk
k
???
???
??
??
法 1,
25
? ?
2
3 2 18 5
42
0 0 1 2 5 18 5 2 1
3 3 3 3
0 1 2 2
kk
kk
k k k
???
??
??
? ? ? ? ? ? ???
??
??
22
3 2 18 5
0 1 2 2
4 1 5 14
0 0 1 3
3 3 3 3
kk
k k k k
??
?? ?
??
? ? ? ?
??
? ?
? ? ? ? 时，有唯一解
且即时
3,
,31,01
3
1
3
4
1 2
???
?????
nbArAr
kkkk
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?,,,,3 )3(
,32,,1 2
无解时
有无穷多解时
bArArk
bArArk
??
????
26
法 2,利用 Cramer法则
11
3 2 ( 1 ) ( 3 )
0 1 2
k
D k k k? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2210
13123
5111
),( bA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
0000
2210
3101
有无穷多解,
?
?
?
??
??
32
31
22
3
xx
xx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
1
0
2
3
3
2
1
c
x
x
即
当 时,1k?
当 时，即 且 时，方程组有唯一解。 0D? 1k? 3k?
27
时，当 3?k
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2210
3323
5113
),( bA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
4000
2210
113
所以方程组无解。 ),()( bArAr ?