四, 实对称矩阵的对角化
实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化。
即存在可逆矩阵,使得 P 1P A P? ??
更可找到 正交矩阵, 使得 1T AT? ??T
定理 1,实对称矩阵的特征值为实数,
证：设 是 的任一特征值，（往证 ） ? A ???
是对应于 的特征向量,??
则,( 0 )A ? ? ? ???设
1
2
n
x
x
x
?
??
??
???
??
??
??
M
用 表示 的共轭复数,表示 的共轭复向量。 ? ? ? ?
则 ( 1 )A ? ? ? ? ?? ? ?
又 是实对称矩阵,且 AQ AA??,TAA?
= ( 2 )A A A? ? ?? ? ? ?
由 (1)(2)有 =,A? ? ???等号两边同时左乘 T?
左边 ()TT? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
右边 ( ) ( )
( )
T T T T
TT
A A A? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
TT? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
即 ( ) 0T? ? ? ?? ? ? ?
考虑
1
2
12
(,,,)
T
n
n
x
x
x x x
x
??
??
??
??
?
??
??
??
??
L
M
1 1 2 2 nnx x x x x x? ? ? ? ? ? ?L
222
12 0nx x x? ? ? ?L
( 0 )? ?Q0??? ? ????? 即 为实数。 ?
定理 1的意义,
因为对称矩阵 的特征值 为实数，所以齐次线性方程组
又因为,可知该齐次线性方程组一定有实的
基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。
A i?
( ) 0iA E x???
0iAE???
是实系数方程组。
定理 2,实对称矩阵 的对应于不同特征值的特征向量 正交。 A
12,pp是依次与之对应的特征向量。
证：设 是对称矩阵 的两个特征值，且 12,?? A 12,???
则 1 1 1 2 2 2 1 2,,( )A p p A p p? ? ? ?? ? ?
11,T T Tp A p A??
于是 ? ?1 1 2 1 2 1 2 2T T Tp p p A p p p??? ? ? ?
2 1 2,Tpp???
? ?1 2 1 2 0.Tpp??? ? ? ?
,21 ?? ?? 12 0.Tpp??
AQ 为实对称矩阵,TAA??
? ? ? ?1 1 1 1 1TTTp p Ap??考虑
1 2 1 2(,) 0Tp p p p? ? ?
即 正交。 12,pp
定理 3,为 阶实对称矩阵,是 的 重特征值,A n 0? A k
即 的基础解系所含向量个数为,k0( ) 0A E X???
则对应于 的特征向量中，线性无关的向量的个数为 0?,k
0( ),k n r A E?? ? ?（ 则 ） 0( ),r A E n k?? ? ? ?
知
道
结
论
即
可
定理 4,(实对称矩阵必可对角化 )
对于任一 阶 实对称矩阵, n A
一定存在 阶 正交矩阵 使得 n,T 1,T A T? ??
其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角阵。 ? A n
证：设实对称阵 的互不相等的特征值为 A 12,,,s? ? ?L
它们的重数依次为 12,,,sr r rL
则 12 sr r r n? ? ? ?L
由定理，特征值 （重数为 ）对应的线性无关的
特征向量为 个。 i
? ir
ir
把它们正交化，再单位化，即得 个单位正交的特征向量。 ir
12 sr r r n? ? ? ?QL
所以，可得这样的单位正交向量 个。 n
又 是实对称阵,AQ
?上面得到的 个单位特征向量两两正交。 n
以它们为列向量构成正交矩阵,有 T
11T A T T T??? ? ? ? ? ?
不同特征值对应的特征向量正交,?
其中 的对角元素含有 个 ? 1r 1?
2r 2?个
srL s?个 恰是 的 个特征值。 A n
求正交矩阵,把实对称矩阵 化为对角阵的方法,T A
1,解特征方程 0,AE???
求出对称阵 的全部不同的特征值。 A
即求齐次线性方程组 ( ) 0iA E X???的基础解系。
3,将属于每个 的特征向量先正交化，再单位化。 i?
2,对每个特征值,求出对应的特征向量,i?
这样共可得到 个两两正交的单位特征向量 n 12,,,n? ? ?L
4,以 为列向量构成正交矩阵 12,,,n? ? ?L 12(,,,)nT ? ? ?? L
有 1T AT? ??
即
1
1
1
r
r
T AT
?
?
?
?
?
??
??
??
? ? ? ?
??
??
??
??
O
O
O
必须注意：对角阵中 的顺序 12,,,n? ? ?L
12,,,n? ? ?L要与特征向量 的排列顺序一致。
例 1：设
3 2 4
2 0 2,
4 2 3
A
??
???
??
??
T求正交矩阵,
1T AT?使得 为对角阵。
解,
3 2 4
22
4 2 3
AE
?
??
?
?
? ? ?
?
? ? ? ?218??? ? ?0?
1 2 31,8,? ? ?? ? ? ? ?
当 时，齐次线性方程组为 12 1??? ? ? ? ? 0A E X??
? ?
4 2 4
2 1 2
4 2 4
AE
??
????
????
2 1 2
000
000
??
???
????
得基础解系
1
1
2,
0
p
??
????
??
??
??
2
0
2.
1
p
??
????
??
??
??
2 1 322x x x? ? ? ?令
1
3
10,
01
x
x
?? ? ? ? ??
?? ? ? ? ?? ? ? ?
??
令 先正交化,
11
1
2,
0
p?
??
??? ? ?
????
??
21
2 2 1
11
4
5
01
(,) 4 2
22
(,) 5 5
10
1
p
p
?
??
??
??
???
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ??
? ? ? ?
??? ? ? ?
????
??再单位化：令
1
1
5
1
12
2,
55
0
0
?
??
??
????
????
? ? ? ?
????
?? ??
??
??
??
??
2
44
355
5 2 2
53 5 3 5
1 5
35
?
????
?? ??
??
????
????
? ? ? ?
????
????
????
?? ??
?? ??
当 时，齐次线性方程组为 3 8? ? ? ?80A E X??
? ?
5 2 4
8 2 8 2
4 2 5
AE
???
??? ? ?
?? ???
1 0 1
101
2
0 0 0
???
??
??
??
??13
23
1
2
xx
xx
??
?
? ?
??
?
令 3 1x ? 得基础解系
3
1
1
,
2
1
p
??
??
???
??
??
??
单位化得
3
2
1 3
2 1 1
,
3 2 3
1 2
3
?
??
????
????
??????
????
????
?? ??
??
??
1 2 3(,,)T ? ? ??得正交矩阵
1 4 2
35 3 5
2 2 1
35 3 5
52
0
335
??
?
??
??
??
? ? ?
??
??
??
??
有
1
1
1
8
T A T?
???
????
??
??
例 2：设 T求正交矩阵,
1T AT?使得 为对角阵。
2 2 0
2 1 2,
0 2 0
A
???
??? ? ?
???
??
解,
?
?
?
?
??
???
??
??
20
212
022
EA
? ?? ?? ?214 ???? ???0?
1 2 34,1,2,? ? ?? ? ? ? ?
当 时，由 1 4? ? ? ?4 0,A E x?? 2 2 0
4 2 3 2
0 2 4
AE
????
??? ? ? ? ?
??????
1 0 2
0 1 2
0 0 0
???
???
????
1
2
2.
1
p
??
????
??
??
??
即 13
23
2
2
xx
xx
??
? ??
?
得基础解系
只需 把 单位化,得 1p
1
23
2 3,
13
?
??
????
??
??
??（考虑为什么？）
当 时，由 2 1? ? ? ? 0,A E x?? 1 2 0
2 0 2
0 2 1
AE
???
??? ? ? ?
??????
1 2 0
0 2 1
000
?
?
2
2
1.
2
p
??
???
??
???
??
即 12
32
2
2
xx
xx
??
? ??
?
得基础解系
只需 把 单位化,得 2p
,
32
31
32
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
当 时，由 2 2? ?? ? ?2 0,A E x?? 4 2 0
2 2 3 2
0 2 2
AE
???
??? ? ? ?
?????
2 0 1
2 1 0
0 0 0
???
????
????
3
1
2.
2
p
??
???
??
??
??
即 31
21
2
2
xx
xx
??
? ?
?
得基础解系
只需 把 单位化,得 3p
.
32
32
31
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ?1 2 3
2 2 1
1
,,2 1 2,
3
1 2 2
T ? ? ?
??
??? ? ?
?? ?
??
得正交矩阵
1
4 0 0
0 1 0,
0 0 2
T A T?
??
???
??
???
有