1
第三章 习题课
一, 向量组的线性相关性
二, 矩阵的秩、向量组的秩的求法
三, 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明
四, 正交化与正交矩阵
2
一, 向量组的线性相关性
1,向量间的线性运算：加法、数乘。
把向量理解为列矩阵或行矩阵时，事实上就是矩阵的加法
和数乘。
注意, (1)同维向量做加减。
(2)零向量参与运算时，维数与其它向量维数相同。
2,线性组合、线性表示
(1) 判断向量 可由向量组 线性表示的常用方法 ? 12,,,m? ? ?L
方法 1,1 1 2 2 1 0m m mk k k k? ? ? ??? ? ? ? ?L
只要证出 1 0,mk ? ?
就可得出 12 12
1 1 1
m
m
m m m
kkk
k k k? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?L
3
方法 2,证下列线性方程组有解
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
mm
mm
n n n m m n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ??
L
L
M M M M M M M M M
L
其中
11
22
,
i
i
i
ni n
ab
ab
ab
??
? ? ? ?
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? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
MM
方法 3,利用矩阵的初等行变换
12(,,,,)m? ? ? ? ???L行最简形矩阵
4
(2) 在判断或证明中，常用到的两个重要结论
结论 1,向量 可由向量组 线性表示 ? 12,,,m? ? ?L
1 2 1 2(,,,) (,,,,)mmrr? ? ? ? ? ? ??? LL
结论 2,若向量组 12,,,m? ? ?L线性无关,
而向量组 12,,,,m? ? ? ?L线性相关,
则向量 必能由向量组 线性表示,? 12,,,m? ? ?L
且表示式唯一。
5
(2) 利用常用结论,
1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。
2个非零向量线性相关 ? 对应分量成比例
n＋ 1个 n维向量线性相关。
部分相关 整体相关；整体无关 部分无关。 ? ?
3,线性相关性的判别方法
(1) 一般方法：设数 12,,,mk k kL
使得 1 1 2 2 0mmk k k? ? ?? ? ? ?L成立
转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。
原向量组无关，维数增加后得到的新向量组依然无关；
原向量组相关，维数减少后得到的新向量组依然相关。 ?
6
(3) 利用向量组的秩判断,
设向量组 12,,,m? ? ?L的秩为 r
当 时,线性无关。 rm? 12,,,m? ? ?L
当 时,线性相关； rm? 12,,,m? ? ?L?
4,极大无关组的选取或证明
(1) 初等变换法（最常用）
将列向量组写成矩阵 ???
初等行变换
行阶梯或行最简形矩阵
的一个极大无关组,
例如：求向量组
1 2 3
45
( 1,1,2,4 ),( 0,3,1,2 ),( 3,0,7,14 ),
( 1,1,2,0 ),( 2,1,5,6 )
? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ?
并把其余向量用该极大无关组线性表示。
7
解,
1 2 4,,? ? ?? 是一个极大无关组
并且 3 1 2
5 1 2 4
3
1 1 1
? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ?
考虑：还有那些极大无关组？
1 2 5
1 3 4
1 3 5
,,
,,
,,
? ? ?
? ? ?
? ? ?
初等行变换
1 0 3 1 2 1 0 3 0 1
1 3 0 1 1 0 1 1 0 1
2 1 7 2 5 0 0 0 1 1
4 2 14 0 6 0 0 0 0 0
A
? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ?? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
8
(2) 极大无关组的证明
方法 1,利用定义 12,,,r? ? ?L线性无关；
? 其它向量都可由 12,,,r? ? ?L线性表示。
（即向量组中任意 r+1个向量都线性相关）
方法 2,已知 12,,,r? ? ?L是向量组 A的一个极大无关组,
又 A中部分组 12,,,rl l l? ? ?L与 12,,,r? ?L等价,
则
12,,,rl l l? ? ?L也是 A的一个极大无关组。
例如：设 1 2 3,,? ? ?是向量组 A的极大无关组，且
1 1 2 3 2 1 2 3
3 1 2 3
,2,
2 3,
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
证明 也是 A的极大无关组。 1 2 3,,? ? ?
9
证明, （往证 与 等价） 1 2 3,,? ? ? 1 2 3,,? ? ?1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
,
2,
2 3,
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
Q
?向量组 可由向量组 线性表示。 1 2 3,,? ? ? 1 2 3,,? ? ?1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2
,
2,
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
Q
又
?向量组 可由向量组 线性表示。 1 2 3,,? ? ?1 2 3,,? ? ?
两个向量组等价 ?
1 2 3,,? ? ?? 也是极大无关组。
10
二, 矩阵的秩、向量组的秩的求法
初等变换后，看非零行的行数。
三, 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明
关于向量组的秩的两个重要定理,
（ 1）若向量组 可以由向量组 12,,,t? ? ?L
线性表示，则
12,,,s? ? ?L
1 2 1 2(,,,) (,,,)strr? ? ? ? ? ??LL
（ 2）若向量组 可以由向量组 12,,,t? ? ?L
线性表示，并且
12,,,s? ? ?L
st?12,,,s? ? ?L线性无关，那么
11
1,向量组秩的不等式的证明
例 1,设向量组 12:,,,sA ? ? ?L的秩为 1r
向量组 12:,,,tB ? ? ?L的秩为 2r
向量组 1 2 1 2:,,,,,,,stC ? ? ? ? ? ?LL的秩为 3r
证明,? ?1 2 3 1 2m a x,r r r r r? ? ?（书 p104 / 3.11）
证,（比较向量组秩的大小，通常从各自的极大无关组考虑）
当 或 时，结论显然成立。 1 0r ? 2 0r ?
当 120,0rr??时，不失一般性,
设向量组 A的极大无关组是
112,,,r? ? ?L
设向量组 B的极大无关组是
212,,,r? ? ?L
设向量组 B的极大无关组是
312,,,r? ? ?L
12
显然
312,,,r? ? ?L
可由
112,,,r? ? ?L 212,,,r? ? ?L线性表示,
又
312,,,r? ? ?L
线性无关,
3 1 2r r r? ? ?
又 112,,,r? ? ?L可由
312,,,r? ? ?L
线性表示,
而
112,,,r? ? ?L线性无关,
13rr??
同理,212,,,r? ? ?L可由 312,,,r? ? ?L线性表示,
而 线性无关,
212,,,r? ? ?L
23rr??
? ?1 2 3m a x,r r r??综上，有 ? ?1 2 3 1 2m a x,r r r r r? ? ?
13
有关矩阵秩的重要结论,
? ?( 1 ) 0 ( ) m in,mnr A m n???
(2) 设矩阵,mnA ? 若 ()r A s? 则存在可逆矩阵,PQ
使得 s
EoPA Q
oo
???
????
即矩阵 A可以经过初等变换化为 形式。
sEo
oo
??
????
(3) 若,PQ都可逆，则
( ) ( ) ( ) ( )r A r P A r AQ r P AQ? ? ?
14
2,矩阵秩的不等式的证明
例 2：证明
? ?
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( 2 ) ( ) m i n ( ),( )
r A B r A r B
r A B r A r B
? ? ?
?书 p104 / 3.12
证, （ 1） 设,m n m nAB??把它么用列向量组表示
12(,,,)nA ? ? ?? L设
设 A的列向量组的极大无关组为 12,,,s? ? ?L
则 ()r A s?
12(,,,)nB ? ? ?? L设
则
设 A的列向量组的极大无关组为 12,,,t? ? ?L
()r B t?
15
则 1 1 2 2(,,,)nnAB ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?L
可知 AB? 中任一列向量都可由向量组
12,,,,s? ? ?L 12,t? ? ?L线性表示,
1 2 1 2( ) (,,,,,,,)str A B r ? ? ? ? ? ?? ? ? LLst??
( ) ( )r A r B??
又 ( ) ( )r B r B??
( ) ( ( ) ) ( ) ( )r A B r A B r A r B? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( )r A r B??
综上,( ) ( ) ( )r A B r A r B? ? ?
16
（ 2）设,m s s nAB??
把 A用列向量组表示,
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
12
(,,,),
n
n
s
s s sn
b b b
b b b
b b b
? ? ?
??
??
??
??
??
L
L
L
M M M M
L
设
则
11 12 1
21 22 2
12
12
11 1 21 2 1 1 1 2 2
(,,,)
(,,)
n
n
s
s s sn
s s n n sn s
b b b
b b b
AB
b b b
b b b b b b
? ? ?
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?
??
??
? ? ? ? ? ? ?
L
L
L
M M M M
L
L L L
即 AB的列向量组可由 线性表示,12,,,s? ? ?L
即可由矩阵 A的列向量组线性表示,
17
( ) ( )r AB r A??
又 () T T TA B B A?
( ) ( ) ( )T T Tr AB r AB r B A??? ? ???
( ) ( )Tr B r B??
综上 ? ? ( ) mi n ( ),( )r A B r A r B?
18
例 3,已知,m n n pAB??
证明,( ) ( ) ( )r AB r A r B n? ? ?
当 时,0AB ? ( ) ( )r A r B n??书 p104 / 3.13
证：设 则存在可逆矩阵 ( ),r A s?,PQ
使得
0
00
s
m m m n n n
EP A Q
? ? ?
???
????
又 1()P A B P A Q Q B??
10
00
s
n n n p
E QB?
??
???
????（令 ） 1C Q B??
0
00
s
np
E C
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???
???? （令 ）
1
2
CC
C
???
????
19
1
2
0
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s CE
C
?????
?????? ??S行 ??? n-S行 ???
1
0
C???
????
PQ 可逆
1( ) ( )
0
Cr A B r PAB r ??? ? ?
????1()rC?
2( ) ( )r C r C?? ( ) ( )r n s? ? ?
1()r Q B n s?? ? ?（ Q可逆）
( ) ( )r B n r A? ? ?
( ) ( ) ( )r AB r A r B n? ? ? ?
20
例 4：证明
0 ( ) ( )
0
Ar r A r B
B
?? ??
????
证：设 ( ),( )r A s r B t??
则经过初等变换，有
00,
0 0 0 0
stEEAB? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
::
0
0 0 0 0
0 0 0 0
00
s
st
t
E
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BE
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??
??
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??? ? ? ?
??
::
0 ( ) ( )
0
Ar s t r A r B
B
??? ? ? ? ?
????
21
3,矩阵秩的等式的证明
（ 1）证 ( ) ( ),r A r B?
思路
( ) ( )
( ) ( )
r A r B
r B r A
??
? ?
?
（ 2）证 ( ) ( ),r A r B n??
思路
0,( ) ( )
,( ) ( )
A B r A r B n
A B kE r A r B n
? ? ??
? ? ? ? ?
?
则
则
22
例 5：设 为 阶矩阵，,AB n 1,A B A B ??E 为 阶单位矩阵。 n
证明,( ) ( )r E A B r E A B n? ? ? ?
证,( ) ( )E A B E A B??E A B A B A B A B? ? ? ? ?
()E A B A B??
1E B B??? 0EE???
( ) ( )r E AB r E AB n? ? ? ? ?
( ) ( )E AB E AB? ? ?2E?
( ) ( )r E AB r E AB n? ? ? ? ?
综上,( ) ( )r E A B r E A B n? ? ? ?
23
证：设 1 2 1 2(,,,),(,,,)srAB? ? ? ? ? ??? LL
则,B A K?
? srK? ()r K r??
又,B A K? ( ) ( ) ( )r B r AK r K? ? ?
由 线性无关，得 12,,,r? ? ?L ( ),r B r? ()r K r??
综上,()r K r?
例 6：设向量组 能由向量组 12:,,,rB ? ? ?L 12:,,,sA ? ? ?L
线性表示为 1 2 1 2(,,,) (,,,),rs K? ? ? ? ? ??LL
其中 为 矩阵，且 线性无关。 K sr? 12,,,s? ? ?L
证明,12,,,r? ? ?L线性无关的充分必要条件是 ()r K r?
书 p105 / 3.14
24
?（反证法）
若 线性无关,12,,,r? ? ?L 则存在不全为零的数 12,,,rk k kL
使得 1 1 2 2 0rrk k k? ? ?? ? ?L成立,
即
1
2
12
(,,,) 0
r
r
k
k
k
? ? ?
??
??
?? ?
??
??
??
L
M
又,B A K?
有
1
2
12
(,,,) 0
s
r
k
k
K
k
? ? ?
??
??
?? ?
??
??
??
L
M
（思路,无关） 12,,,s? ? ?L
找矛盾，推相关。
25
又已知 ( ),r K r? 而
1
2
0
r
k
k
k
??
??
???
??
??
??
M
1
2
11
0
0
0
sr
r sr
k
k
K
k
?
??
?? ??
?? ??
?? ????
?? ??
?? ??
????
M M
否则，若＝ 0，则 K的列向量组
线性相关，则 r（ K） <r，矛盾。
设
11
22
1 1
sr
sr r s
lk
lk
K
lk
?
? ?
????
????
???? ?
????
????
?? ??
MM
则 不全为零,12,,,sl l lL
26
由
1
2
12
(,,,) 0
s
s
l
l
l
? ? ?
??
??
?? ?
??
??
??
L
M
即 1 1 2 2 0ssl l l? ? ?? ? ? ?L
得 12,,,s? ? ?L线性相关，与已知矛盾,
所以假设不成立。
12,,,r? ? ?? L线性无关。
27
4,用矩阵 k阶子式定义证明矩阵秩
(1) A 有 r阶子式不为 0
所有 r+1阶子式全为 0 ? ()r A r??
(2 ) nnA ?下列说法等价
A 是可逆矩阵
A? 是满秩矩阵
A? 是非奇异矩阵
0A??
()r A n??
28
例 7：设 是 n阶矩阵 的伴随矩阵,A? A 2,n?
证明,
,
( ) 1,
0,
n
rA ?
?
?
? ?
?
?
若 ( ) ;r A n?
若 ( ) 1 ;r A n??
若 ( ) 1.r A n??书 p105 / 3.16
证,(1) 若 ( ),r A n? 则 0.A ?
,A A A E? ?
,nA A A? ?
0,A? ?
( ),r A n???
29
(2) 若 ( ) 1,r A n??
则 中至少有一个 n－ 1阶子式不为 0，而 中元素都是 A A?
A 的 n－ 1阶子式，所以 中至少有一个元素不为 0,A?
则 ( ) 1,rA ? ?
又由 ( ) 1,r A n??知 0,A ?
0A A A E? ??则 则 ( ) ( ),r A r A n???
( ) ( ) ( 1 ) 1,r A n r A n n? ? ? ? ? ? ?
综上,( ) 1,rA ? ?
(3) 若 ( ) 1,r A n??则 中所有 n－ 1阶子式全为 0,A
0,A? ?则 中元素全为 0，即 A? ( ) 0,rA ???
练习 p104 / 3.9; 作业 p105 / 3.17
30
四, 正交化与正交矩阵
1,正交化、单位化
2,正交矩阵 A TA A E?
1 TAA? ?
A 的 n个列（行）向量组为单位正交向量组
1A ??
TA 也是正交矩阵
是正交矩阵，则 也是正交矩阵,AB AB
?
例 8：书 p106 / 3.24
例 9：书 p106 / 3.25
第三章 习题课
一, 向量组的线性相关性
二, 矩阵的秩、向量组的秩的求法
三, 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明
四, 正交化与正交矩阵
2
一, 向量组的线性相关性
1,向量间的线性运算：加法、数乘。
把向量理解为列矩阵或行矩阵时，事实上就是矩阵的加法
和数乘。
注意, (1)同维向量做加减。
(2)零向量参与运算时，维数与其它向量维数相同。
2,线性组合、线性表示
(1) 判断向量 可由向量组 线性表示的常用方法 ? 12,,,m? ? ?L
方法 1,1 1 2 2 1 0m m mk k k k? ? ? ??? ? ? ? ?L
只要证出 1 0,mk ? ?
就可得出 12 12
1 1 1
m
m
m m m
kkk
k k k? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?L
3
方法 2,证下列线性方程组有解
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
mm
mm
n n n m m n
a x a x a x b
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a x a x a x b
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方法 3,利用矩阵的初等行变换
12(,,,,)m? ? ? ? ???L行最简形矩阵
4
(2) 在判断或证明中，常用到的两个重要结论
结论 1,向量 可由向量组 线性表示 ? 12,,,m? ? ?L
1 2 1 2(,,,) (,,,,)mmrr? ? ? ? ? ? ??? LL
结论 2,若向量组 12,,,m? ? ?L线性无关,
而向量组 12,,,,m? ? ? ?L线性相关,
则向量 必能由向量组 线性表示,? 12,,,m? ? ?L
且表示式唯一。
5
(2) 利用常用结论,
1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。
2个非零向量线性相关 ? 对应分量成比例
n＋ 1个 n维向量线性相关。
部分相关 整体相关；整体无关 部分无关。 ? ?
3,线性相关性的判别方法
(1) 一般方法：设数 12,,,mk k kL
使得 1 1 2 2 0mmk k k? ? ?? ? ? ?L成立
转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。
原向量组无关，维数增加后得到的新向量组依然无关；
原向量组相关，维数减少后得到的新向量组依然相关。 ?
6
(3) 利用向量组的秩判断,
设向量组 12,,,m? ? ?L的秩为 r
当 时,线性无关。 rm? 12,,,m? ? ?L
当 时,线性相关； rm? 12,,,m? ? ?L?
4,极大无关组的选取或证明
(1) 初等变换法（最常用）
将列向量组写成矩阵 ???
初等行变换
行阶梯或行最简形矩阵
的一个极大无关组,
例如：求向量组
1 2 3
45
( 1,1,2,4 ),( 0,3,1,2 ),( 3,0,7,14 ),
( 1,1,2,0 ),( 2,1,5,6 )
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并把其余向量用该极大无关组线性表示。
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解,
1 2 4,,? ? ?? 是一个极大无关组
并且 3 1 2
5 1 2 4
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1 1 1
? ? ?
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考虑：还有那些极大无关组？
1 2 5
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,,
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初等行变换
1 0 3 1 2 1 0 3 0 1
1 3 0 1 1 0 1 1 0 1
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(2) 极大无关组的证明
方法 1,利用定义 12,,,r? ? ?L线性无关；
? 其它向量都可由 12,,,r? ? ?L线性表示。
（即向量组中任意 r+1个向量都线性相关）
方法 2,已知 12,,,r? ? ?L是向量组 A的一个极大无关组,
又 A中部分组 12,,,rl l l? ? ?L与 12,,,r? ?L等价,
则
12,,,rl l l? ? ?L也是 A的一个极大无关组。
例如：设 1 2 3,,? ? ?是向量组 A的极大无关组，且
1 1 2 3 2 1 2 3
3 1 2 3
,2,
2 3,
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? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
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证明 也是 A的极大无关组。 1 2 3,,? ? ?
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证明, （往证 与 等价） 1 2 3,,? ? ? 1 2 3,,? ? ?1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
,
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Q
?向量组 可由向量组 线性表示。 1 2 3,,? ? ? 1 2 3,,? ? ?1 1 2 3
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Q
又
?向量组 可由向量组 线性表示。 1 2 3,,? ? ?1 2 3,,? ? ?
两个向量组等价 ?
1 2 3,,? ? ?? 也是极大无关组。
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二, 矩阵的秩、向量组的秩的求法
初等变换后，看非零行的行数。
三, 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明
关于向量组的秩的两个重要定理,
（ 1）若向量组 可以由向量组 12,,,t? ? ?L
线性表示，则
12,,,s? ? ?L
1 2 1 2(,,,) (,,,)strr? ? ? ? ? ??LL
（ 2）若向量组 可以由向量组 12,,,t? ? ?L
线性表示，并且
12,,,s? ? ?L
st?12,,,s? ? ?L线性无关，那么
11
1,向量组秩的不等式的证明
例 1,设向量组 12:,,,sA ? ? ?L的秩为 1r
向量组 12:,,,tB ? ? ?L的秩为 2r
向量组 1 2 1 2:,,,,,,,stC ? ? ? ? ? ?LL的秩为 3r
证明,? ?1 2 3 1 2m a x,r r r r r? ? ?（书 p104 / 3.11）
证,（比较向量组秩的大小，通常从各自的极大无关组考虑）
当 或 时，结论显然成立。 1 0r ? 2 0r ?
当 120,0rr??时，不失一般性,
设向量组 A的极大无关组是
112,,,r? ? ?L
设向量组 B的极大无关组是
212,,,r? ? ?L
设向量组 B的极大无关组是
312,,,r? ? ?L
12
显然
312,,,r? ? ?L
可由
112,,,r? ? ?L 212,,,r? ? ?L线性表示,
又
312,,,r? ? ?L
线性无关,
3 1 2r r r? ? ?
又 112,,,r? ? ?L可由
312,,,r? ? ?L
线性表示,
而
112,,,r? ? ?L线性无关,
13rr??
同理,212,,,r? ? ?L可由 312,,,r? ? ?L线性表示,
而 线性无关,
212,,,r? ? ?L
23rr??
? ?1 2 3m a x,r r r??综上，有 ? ?1 2 3 1 2m a x,r r r r r? ? ?
13
有关矩阵秩的重要结论,
? ?( 1 ) 0 ( ) m in,mnr A m n???
(2) 设矩阵,mnA ? 若 ()r A s? 则存在可逆矩阵,PQ
使得 s
EoPA Q
oo
???
????
即矩阵 A可以经过初等变换化为 形式。
sEo
oo
??
????
(3) 若,PQ都可逆，则
( ) ( ) ( ) ( )r A r P A r AQ r P AQ? ? ?
14
2,矩阵秩的不等式的证明
例 2：证明
? ?
( 1 ) ( ) ( ) ( )
( 2 ) ( ) m i n ( ),( )
r A B r A r B
r A B r A r B
? ? ?
?书 p104 / 3.12
证, （ 1） 设,m n m nAB??把它么用列向量组表示
12(,,,)nA ? ? ?? L设
设 A的列向量组的极大无关组为 12,,,s? ? ?L
则 ()r A s?
12(,,,)nB ? ? ?? L设
则
设 A的列向量组的极大无关组为 12,,,t? ? ?L
()r B t?
15
则 1 1 2 2(,,,)nnAB ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?L
可知 AB? 中任一列向量都可由向量组
12,,,,s? ? ?L 12,t? ? ?L线性表示,
1 2 1 2( ) (,,,,,,,)str A B r ? ? ? ? ? ?? ? ? LLst??
( ) ( )r A r B??
又 ( ) ( )r B r B??
( ) ( ( ) ) ( ) ( )r A B r A B r A r B? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( )r A r B??
综上,( ) ( ) ( )r A B r A r B? ? ?
16
（ 2）设,m s s nAB??
把 A用列向量组表示,
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
12
(,,,),
n
n
s
s s sn
b b b
b b b
b b b
? ? ?
??
??
??
??
??
L
L
L
M M M M
L
设
则
11 12 1
21 22 2
12
12
11 1 21 2 1 1 1 2 2
(,,,)
(,,)
n
n
s
s s sn
s s n n sn s
b b b
b b b
AB
b b b
b b b b b b
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
??
??
? ? ? ? ? ? ?
L
L
L
M M M M
L
L L L
即 AB的列向量组可由 线性表示,12,,,s? ? ?L
即可由矩阵 A的列向量组线性表示,
17
( ) ( )r AB r A??
又 () T T TA B B A?
( ) ( ) ( )T T Tr AB r AB r B A??? ? ???
( ) ( )Tr B r B??
综上 ? ? ( ) mi n ( ),( )r A B r A r B?
18
例 3,已知,m n n pAB??
证明,( ) ( ) ( )r AB r A r B n? ? ?
当 时,0AB ? ( ) ( )r A r B n??书 p104 / 3.13
证：设 则存在可逆矩阵 ( ),r A s?,PQ
使得
0
00
s
m m m n n n
EP A Q
? ? ?
???
????
又 1()P A B P A Q Q B??
10
00
s
n n n p
E QB?
??
???
????（令 ） 1C Q B??
0
00
s
np
E C
?
???
???? （令 ）
1
2
CC
C
???
????
19
1
2
0
00
s CE
C
?????
?????? ??S行 ??? n-S行 ???
1
0
C???
????
PQ 可逆
1( ) ( )
0
Cr A B r PAB r ??? ? ?
????1()rC?
2( ) ( )r C r C?? ( ) ( )r n s? ? ?
1()r Q B n s?? ? ?（ Q可逆）
( ) ( )r B n r A? ? ?
( ) ( ) ( )r AB r A r B n? ? ? ?
20
例 4：证明
0 ( ) ( )
0
Ar r A r B
B
?? ??
????
证：设 ( ),( )r A s r B t??
则经过初等变换，有
00,
0 0 0 0
stEEAB? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
::
0
0 0 0 0
0 0 0 0
00
s
st
t
E
AE
BE
?
??
??
? ? ? ?
? ? ? ? ?
??? ? ? ?
??
::
0 ( ) ( )
0
Ar s t r A r B
B
??? ? ? ? ?
????
21
3,矩阵秩的等式的证明
（ 1）证 ( ) ( ),r A r B?
思路
( ) ( )
( ) ( )
r A r B
r B r A
??
? ?
?
（ 2）证 ( ) ( ),r A r B n??
思路
0,( ) ( )
,( ) ( )
A B r A r B n
A B kE r A r B n
? ? ??
? ? ? ? ?
?
则
则
22
例 5：设 为 阶矩阵，,AB n 1,A B A B ??E 为 阶单位矩阵。 n
证明,( ) ( )r E A B r E A B n? ? ? ?
证,( ) ( )E A B E A B??E A B A B A B A B? ? ? ? ?
()E A B A B??
1E B B??? 0EE???
( ) ( )r E AB r E AB n? ? ? ? ?
( ) ( )E AB E AB? ? ?2E?
( ) ( )r E AB r E AB n? ? ? ? ?
综上,( ) ( )r E A B r E A B n? ? ? ?
23
证：设 1 2 1 2(,,,),(,,,)srAB? ? ? ? ? ??? LL
则,B A K?
? srK? ()r K r??
又,B A K? ( ) ( ) ( )r B r AK r K? ? ?
由 线性无关，得 12,,,r? ? ?L ( ),r B r? ()r K r??
综上,()r K r?
例 6：设向量组 能由向量组 12:,,,rB ? ? ?L 12:,,,sA ? ? ?L
线性表示为 1 2 1 2(,,,) (,,,),rs K? ? ? ? ? ??LL
其中 为 矩阵，且 线性无关。 K sr? 12,,,s? ? ?L
证明,12,,,r? ? ?L线性无关的充分必要条件是 ()r K r?
书 p105 / 3.14
24
?（反证法）
若 线性无关,12,,,r? ? ?L 则存在不全为零的数 12,,,rk k kL
使得 1 1 2 2 0rrk k k? ? ?? ? ?L成立,
即
1
2
12
(,,,) 0
r
r
k
k
k
? ? ?
??
??
?? ?
??
??
??
L
M
又,B A K?
有
1
2
12
(,,,) 0
s
r
k
k
K
k
? ? ?
??
??
?? ?
??
??
??
L
M
（思路,无关） 12,,,s? ? ?L
找矛盾，推相关。
25
又已知 ( ),r K r? 而
1
2
0
r
k
k
k
??
??
???
??
??
??
M
1
2
11
0
0
0
sr
r sr
k
k
K
k
?
??
?? ??
?? ??
?? ????
?? ??
?? ??
????
M M
否则，若＝ 0，则 K的列向量组
线性相关，则 r（ K） <r，矛盾。
设
11
22
1 1
sr
sr r s
lk
lk
K
lk
?
? ?
????
????
???? ?
????
????
?? ??
MM
则 不全为零,12,,,sl l lL
26
由
1
2
12
(,,,) 0
s
s
l
l
l
? ? ?
??
??
?? ?
??
??
??
L
M
即 1 1 2 2 0ssl l l? ? ?? ? ? ?L
得 12,,,s? ? ?L线性相关，与已知矛盾,
所以假设不成立。
12,,,r? ? ?? L线性无关。
27
4,用矩阵 k阶子式定义证明矩阵秩
(1) A 有 r阶子式不为 0
所有 r+1阶子式全为 0 ? ()r A r??
(2 ) nnA ?下列说法等价
A 是可逆矩阵
A? 是满秩矩阵
A? 是非奇异矩阵
0A??
()r A n??
28
例 7：设 是 n阶矩阵 的伴随矩阵,A? A 2,n?
证明,
,
( ) 1,
0,
n
rA ?
?
?
? ?
?
?
若 ( ) ;r A n?
若 ( ) 1 ;r A n??
若 ( ) 1.r A n??书 p105 / 3.16
证,(1) 若 ( ),r A n? 则 0.A ?
,A A A E? ?
,nA A A? ?
0,A? ?
( ),r A n???
29
(2) 若 ( ) 1,r A n??
则 中至少有一个 n－ 1阶子式不为 0，而 中元素都是 A A?
A 的 n－ 1阶子式，所以 中至少有一个元素不为 0,A?
则 ( ) 1,rA ? ?
又由 ( ) 1,r A n??知 0,A ?
0A A A E? ??则 则 ( ) ( ),r A r A n???
( ) ( ) ( 1 ) 1,r A n r A n n? ? ? ? ? ? ?
综上,( ) 1,rA ? ?
(3) 若 ( ) 1,r A n??则 中所有 n－ 1阶子式全为 0,A
0,A? ?则 中元素全为 0，即 A? ( ) 0,rA ???
练习 p104 / 3.9; 作业 p105 / 3.17
30
四, 正交化与正交矩阵
1,正交化、单位化
2,正交矩阵 A TA A E?
1 TAA? ?
A 的 n个列（行）向量组为单位正交向量组
1A ??
TA 也是正交矩阵
是正交矩阵，则 也是正交矩阵,AB AB
?
例 8：书 p106 / 3.24
例 9：书 p106 / 3.25
