1
四, 矩阵的秩
1.行秩、列秩、矩阵的秩
2.矩阵秩的求法
3.向量组的秩的求法
4.矩阵秩的性质
5.矩阵秩与行列式的关系 1,行秩、列秩、矩阵的秩
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些 行向量 组成,
把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些 列向量 组成。
定义 1,矩阵的行向量的秩，就称为 矩阵的行秩 ;
矩阵的列向量的秩，就称为 矩阵的列秩 。
例如：矩阵
1 1 3 1
0 2 1 4
0 0 0 5
0 0 0 0
A
??
??
?
?
??
??
的行向量组是
1
2
3
4
( 1,1,3,1 )
( 0,2,1,4 )
( 0,0,0,5 )
( 0,0,0,0 )
?
?
?
?
?
??
?
?
2
可以证明,1 2 3,,? ? ?是 A的行向量组的一个极大无关组,
因为，由 1 1 2 2 3 3 0k k k? ? ?? ? ?
即
1 2 3
1 1 2 1 2 1 2 3
( 1,1,3,1 ) ( 0,2,1,4 ) ( 0,0,0,5 )
(,2,3,4 5 )
( 0,0,0,0 )
k k k
k k k k k k k k
? ? ?
? ? ? ? ?
?
可知 1 2 3 0,k k k???即 1 2 3,,? ? ?线性无关；
而 4? 为零向量，包含零向量的向量组线性无关,
1 2 3 4,,,? ? ? ?? 线性相关。
所以向量组 1 2 3 4,,,? ? ? ?的秩为 3,
所以矩阵 A的行秩为 3。
3
矩阵 A的列向量组是
1 2 3 4
1 1 3 1
0 2 1 4
,,,
0 0 0 5
0 0 0 0
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
可以验证 1 2 4,,? ? ?线性无关,
而 3 1 2 471 022? ? ? ?? ? ?
所以向量组 1 2 3 4,,,? ? ? ?的一个极大无关组是 1 2 4,,? ? ?
所以向量组 1 2 3 4,,,? ? ? ?的秩是 3,
所以矩阵 A的列秩是 3。
4
问题：矩阵的行秩 ＝ 矩阵的列秩?
引理 1,矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
（列） （列）
证：把 mnA ? 按行分块，设
1
2
mn
m
A
?
?
?
?
??
??
???
??
??
??
M
（ 1）对换矩阵 A的两行
A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变,
所以矩阵 A的行秩不变。
（ 2）用非零常数 k乘以 A的第 i行
5
11
2
i
kr
ii
mm
kAA
??
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ??? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
MM
MM
显然，向量组 1,,,,imk? ? ?LL
可以由向量组 1,,,,im? ? ?LL
线性表示；
而向量组 1,,,,im? ? ?LL
也可以由向量组 1,,,,imk? ? ?LL线性表示。
所以矩阵 A 的行向量组与 2A 的行向量组等价,
又等价的向量组有相同的秩,
A? 的行秩＝ 2A 的行秩,即 A的行秩不变。
6
（ 3）非零常数 k乘以第 i行后加到第 j行上
11
3
i
ii
kr
j j i
mm
AA
k
??
??
? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ??? ?
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
MM
MM
MM
显然,3A 中的行向量组
可以由 A 的行向量组线性表示
A而 的行向量组可以由
3A 中的行向量组线性表示。
所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变,
所以矩阵的行秩不变。
7
引理 2,矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
（列） （行）
证：设矩阵 A经过初等行变换变为 B,
即存在有限个初等矩阵 12,,,SP P PL
使得 12 SP P P A B?L
令 12 SP P P P? L则 PA B?
把 mnA ? 按列分块，设 12(,,,)m n nA ? ? ?? ? L
不妨设 A的列向量组的极大无关组为 12,,,,r? ? ?L
（可交换列的次序把它们换到前 r列，矩阵的秩不变）
则 1 2 1 2(,,,) (,,,)nnP A P P P P? ? ? ? ? ??? LL
B?
8
下面证明 A的列向量组的极大无关组 12,,,r? ? ?L
经过初等行变换变为 12,,,rP P P? ? ?L
是矩阵 B的列向量组的极大无关组。
（ 1）先证 12,,,rP P P? ? ?L线性无关。
设数 12,,,rk k kL
使得 1 1 2 2 0rrk P k P k P? ? ?? ? ?成立
1 1 2 2( ) 0rrP k k k? ? ?? ? ?
因为 P为初等矩阵的乘积，所以 P可逆。
111 1 2 2( ) 0rrP P k k k P? ? ???? ? ? ?
1 1 2 2 0rrk k k? ? ?? ? ? ?又 12,,,r? ? ?L线性无关
1 2 3 0k k k? ? ? ?12,,,rP P P? ? ?? L线性无关。
9
（ 2）再证 B的列向量组中任一向量 jP?
可由向量组 12,,,rP P P? ? ?L线性表示。
是 A的列向量组的极大无关组 12,,,r? ? ?QL
所以对于 A中任一列向量 12,,,rl l lLj? 都存在数
使得 1 1 2 2j r rl l l? ? ? ?? ? ? ?L
等号两边左乘 P
有 1 1 2 2j r rP l P l P l P? ? ? ?? ? ? ?L
由 (1)(2)可知 12,,,rP P P? ? ?L是 B的列向量组的一个极大
无关组。
所以,B的列秩＝ r＝ A的列秩
10
综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理,矩阵的行秩＝矩阵的列秩
证：任何矩阵 A都可经过初等变换变为
0
00
rE????
??
形式,
而它的行秩为 r，列秩也为 r。
又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩,
所以,A的行秩＝ r＝ A的列秩
定义 2,矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为 矩阵的秩。
记为 r(A),或 rankA，或秩 A。
推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
11
2,矩阵秩的求法,
行阶梯形矩阵,
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
???
???
?
?? ?
??
例如,
1 1 2 1 4
0 2 1 1 0
0 0 0 5 3
0 0 0 0 0
A
???
???
?
?? ?
??
特点,
(1)可划出一条阶梯线，
线的下方全为零；
(2)每个台阶只有一行，台阶
数即是非零行的行数，阶梯
线的竖线后面的第一个元素
为非零元，即非零行的第一
个非零元,
1 1 2 1 4
0 2 1 1 0
0 0 0 5 3
0 0 0 0 0
???
??
?
?? ?
??
12
行最简形矩阵,
在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元
为数 1，且这些 1所在的列的其他元素全都为零。
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
B
???
??
?
?
?? ?
??
例如,
注,对于任何矩阵，总可以经过有限次初等 行变换 把它变
为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
13
例 1,对矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
222110
100220
100110
111110
111000
A
作行初等变换,使成为行阶梯矩阵,
解, 12rrA ?????
0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1
0 1 1 0 0 1
0 2 2 0 0 1
0 1 1 2 2 2
??
??
????
??
??
??
14
31
41
51
2
0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1
0 0 0 1 1 2
0 0 0 2 2 3
0 0 0 1 1 1
rr
rr
rr
?
?
?
??
??
??
???? ??
??
??
??
43
42
52
32
0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 1
000000
000000
rr
rr
rr
rr
?
?
?
?
??
???? ??
??
??
??
15
解：看行秩 ? ?1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5,,,,a a a a a? ?
? ?2 2 2 2 3 2 4 2 50,,,,aaaa? ?
? ?3 3 3 3 4 3 50,0,,,aaa? ?
? ?45 0,0,0,0,0????
例 2：求上三角矩阵的秩
11 12 13 14 15
22 23 24 25
33 34 35
0
0 1,2,300
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
ii
a a a a a
aaaa
A a iaaa
??
??
? ? ???
??
??
16
看 1 2 3,,? ? ?的线性相关性,
? ?1 1 1 1 2 1 3,,a a a? ? ?令
? ?2 2 2 2 30,,aa? ? ?
? ?3 3 30,0,a? ? ?1
2 1 2 3
3
0,,
?
? ? ? ?
?
?
? ? ? ???
?
Q
线性无关,
维数增加后得到的 依然线性无关,1 2 3,,? ? ?
1 2 3 4,,,? ? ? ?而 1 2 3 5,,,? ? ? ?与 都线性无关,
所以矩阵的秩＝行向量组的秩＝ 3＝非零行的行数
17
结论,行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数
证明：只要证明在行阶梯形矩阵中那些非零的行
是线性无关就行了。
设 A是一阶梯形矩阵，不为零的行数是 r。
因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以适当地
变换列的顺序，不妨设
11 12 1 1
22 2 2
0
00
0 0 0 0
0 0 0 0
rn
rn
rr rn
a a a a
a a a
A aa
??
??
??
?
??
??
??
??
LL
LL
M M M M M M
LL
LL
M M M M M M
LL
18
其中 0,1,2,,iia i r?? L
显然，左上角的 r个 r维行向量线性无关，当分量增加为
n维时依然无关，所以矩阵 A的非零行的向量是线性无关的。
加上任一零行即相关，所以
矩阵 A的秩＝矩阵 A的行向量组的秩＝非零行的行数
求矩阵秩的方法,
把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形
矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。
例 3,
3 2 0 5 0
3 2 3 6 1
2 0 1 5 3
1 6 4 1 4
A
??
??
??
?
?? ?
????
求 A的秩。
19
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
41461
35102
16323
05023
A
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
05023
35102
16323
41461
41 rr ?
20
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
41461
35102
16323
05023
A
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
05023
35102
11340
41461
42
41
rr
rr
?
?
21
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
??
??
12812160
1179120
11340
41461
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
41461
35102
16323
05023
A
42
41
rr
rr
?
?
14
13
3
2
rr
rr
?
?
22
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
??
84000
84000
11340
41461
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
00000
84000
1134
41461
由阶梯形矩阵有三个非零行可知,3)( ?AR
23 3rr ?
24 4rr ?
34 rr ?
23
3,向量组的秩、极大无关组的求法,
（ 1）向量组 12,,,s? ? ?L作列向量构成矩阵 A。
（ 2） AB???初等行变换 （行最简形矩阵）
r(A)=B的非零行的行数
（ 3）求出 B的列向量组的极大无关组
（ 4） A中与 B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组
即为 A的极大无关组。
（根据见引理 2，幻灯片 7）
24
例 4：向量组
12
34
5
( 7,2,1,11 ),( 1,1,5,8 )
( 3,1,1,4 ),( 5,3,7,0 ),
( 4,2,1,11 )
TT
TT
T
??
??
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?求向量组的秩和
一个极大无关组。
解,
7 1 3 5 4
2 1 1 3 2
1 5 1 7 1
11 8 4 0 11
A
????
??
? ? ?
?
?? ??
????
1 5 1 7 1
2 1 1 3 2
7 1 3 5 4
11 8 4 0 11
????
? ? ?
?
??
????
25
1 5 1 7 1
0 9 1 11 0
0 36 4 44 3
0 63 7 77 0
????
??
??
?
????
????
1 5 1 7 1
0 9 1 11 0
0 0 0 0 3
0 0 0 0 0
B
????
??
??
??
??
??( ) 3rA??
又因为 B的 1,2,5列是 B的列向量组的一个极大无关组
所以,1 2 5,,? ? ?是 1 2 3 4 5,,,,? ? ? ? ?的一个极大无关组。
考虑：是否还有其他的极大无关组？
1 3 5,,? ? ? 1 4 5,,? ? ?与
26
例 5：求向量组 1 2 3
4
( 2,4,2 ),( 1,1,0 ),( 2,3,1 ),
( 3,5,2 )
? ? ?
?
? ? ?
?的一个极大无关组，并把其余
向量用该极大无关组线性表示。
解：设
2 1 2 3
4 1 3 5
2 0 1 2
A
??
???
??
??
2 1 2 3
0 1 1 1
0 1 1 1
??
??? ? ? ?
?????
??
2 1 2 3
0 1 1 1
0 0 0 0
??
???
??
??
2 0 1 2
0 1 1 1
0 0 0 0
??
???
??
??
1
21 0 1
0 1 1 1
0 0 0 0
B
??
????
??
??
则 B的 1,2列为极大无关组，且 123 1 2 4 1 21,1 1? ? ? ? ? ?? ? ? ?
所以 12,??为所求的一个极大无关组，且
123 1 2 4 1 21 ; 1 1? ? ? ? ? ?? ? ? ?
27
4,矩阵秩的性质
(1) 等价的矩阵，秩相同。
(2) 任意矩阵,A 有 ( ) ( )Tr A r A?
(3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。
,A?可逆,P 有 ( ) ( ) ( )r PA r A r A P??
(4),m n n pAB??
? ?
( ) ( ) ( ) ;
( ) m in ( ),( ) ;
( ) ( ) ( ) ;
r A B r A r B
r A B r A r B
r A B r A r B n
? ? ?
?
? ? ?
? 当 AB=0时，有 ( ) ( ),r A r B n??
（证明在习题课讲）
28
5,矩阵的秩与行列式的关系
定理, n阶方阵 A,
0,A??即 A为可逆矩阵（也称为 满秩矩阵 ）
? A的 n个行（列）向量线性无关 ()r A n?
()r A n? ? A的 n个行（列）向量线性相关
0A??
定义 3,矩阵 A中，任取 k行 k列，交叉处的元素保持原来的
相对位置不变而组成的一个 k阶子式，称为矩阵 A的
k阶子式。
29
矩阵的秩的另一种定义,
定义 4,设在矩阵 A中有一个 r阶子式不为零，而所有的 r＋ 1阶
子式（如果有的话）都为零，则 r(A)=r,
mn? 阶矩阵 A的秩 r是 A中不等于零的子式的最高阶数。 注,
零矩阵的秩为零。
例,问题,1) 可研究它的几阶子式?
2) 各阶子式分别有几个?
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
a a a a
a a a a
a a a a
??
??
??
??
30
例 6,
.
174
532
321
的秩求矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??A
中，在 A,032
21 ?解,
，阶子式只有一个的又 AA 3?,且 0?A
.2)( ?? AR
31
例 7,
.
00000
34000
52130
23012
的秩求矩阵
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?B
解,行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵,3B?
.4 阶子式全为零的所有B?
,0
400
230
312
??
?
而
.3)( ?? BR
例 8：书 p95 例 3.4.3