1
三, 惯性定理和规范形
四, 正定二次型
一, 二次型及其矩阵表示
二, 二次型的标准形
第六章 二次型
2
一, 二次型及其矩阵表示
1,二次型、二次型的矩阵、二次型的秩
1.二次型,
二次型的矩阵、秩
2,非退化线性变换
3.矩阵的合同
称为 二次型。 （ 1）
12
2
11 1 12 1 2 13 1 3 1 1
2
22 2 23 2 3 2 2
2
1,1 1 1,1
(,,,)
2 2 2
2 2
2
n
nn
nn
n n n n n n n
f x x x
a x a x x a x x a x x
a x a x x a x x
a x a x x
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
??
L
L
L
L
2
n n n
ax?
含有 个变量 的二次齐次多项式 12,,,nx x xLn定义 1,
3
（我们仅讨论 实 二次型） 实二次型,为实数。 ija
复二次型,为复数。 ija
例如,22(,) 4 5f x y x x y y? ? ?
22(,,) 2f x y z x y x z y z? ? ? ?
1 2 3 4 1 2 2 3 2 4(,,,)f x x x x x x x x x x? ? ?
?
?
?
?
?
都是二次型。
22(,) 5f x y x y? ? ?
22(,) 2 2f x y x y x? ? ?
?
?
?
不是二次型。
4
只含有平方项 的二次型 2222211 nn ykykykf ???? ?
称为 二次型的标准形 （或法式）。
例如,? ? 31232221321 4542,,xxxxxxxxf ????
都为二次型；
? ? 232221321 44,,xxxxxxf ???
为二次型的标准形。
? ? 323121321,,xxxxxxxxxf ???
5
2
2
1111 12 2
2
1
21 1 22 2
1 1 2
22
2
1
2
nn
nn
n n n nnnn
f a a x a x
a x ax
x
ax
x
xx
xa a a
x
x
x
x
x? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
L
L
L
L
ij jiaa?取 2 ij i j ij i j ji i ja x x a x x a x x??则
则（ 1）式可以表示为
1 1 1 1 2 2 11 () nna x a x xx a? ? ? ?L
2 1 1 2 2 2 22 nna x a x xx a? ? ? ?L
?L
1 1 2 2()n n nn nn a x a xx ax? ? ? ?L
,1
n
ij i j
ij
a x x
?
? ?
二次型用和号表示
6
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
12
1 1 2 2
(,,,)
nn
nn
n
n n nn n
a x a x a x
a x a x a x
x x x
a x a x a x
? ? ???
??
? ? ?
?
??
? ? ???
L
L
L
M
L
11 1 1 2 1
2 1 2 2 2 2
12
12
(,,,)
n
n
n
n n nn n
xa a a
a a a x
x x x
a a a x
????
????
???
????
??
?? ??
L
L
L
M M
L
7
1
2
n
x
x
X
x
??
??
???
??
??
??
M
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
L
L
M
L
令
Tf X A X?则
其中 为对称 矩阵。 A
二次型的矩阵表示
1
1 2 3 2
3
1 - 2 0
1
(,,) - 2 0
2
1
0 - 3
2
x
x x x x
x
??
??
????
??
???
??
??
??
?? ??
??
??
221 2 3 1 3 1 2 2 3 (,,) 3 4f x x x x x x x x x? ? ? ?例如：二次型
8
在二次型的矩阵表示中,
任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵；
反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型,
这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,
把对称矩阵 称为 二次型 的矩阵 A f
也把二次型 称为对称矩阵 的二次型 f A
对称矩阵 的秩称为 二次型 的秩 A f
Tf X A X?二次型 定义 2,
9
221 2 1 2 2 3( 1 ) (,,) 2 2 3f x y z x x x x x x? ? ? ?
例 1：求二次型 的矩阵 f
1 1 0
3
12
2
3
00
2
A
??
???
??
????
??
??
??
??
解,
2221 2 3 4 1 2 4 1 2 2 3 3 4( 2 ) (,,,) 2 7 2 2 4f x x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?
1 1 0 0
1 2 1 0
0 1 0 2
0 0 2 7
A
???
??
??
?
???
??
解,
10
nnn xxxxxxxxf 132211 ),,()3( ????? ??
1
0 0 0 0
2
11
0 0 0
22
1
0 0 0 0
2
1
0 0 0 0
2
1
0 0 0 0
2
A
??
??
??
??
??
??
??
?
??
??
??
??
??
??
??
??
L
L
L
M M M M M M
L
L
解,
11
1
23
2
3 1 0
1
01
2
A
??
??
??
? ??
??
??
??
－
－例 2：求对称矩阵 所对应的二次型。 A
1 2 3
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3
(,,)
2 2 3
f x x x
x x x x x x x? ? ? ? ? ?
解,
( ) 2
0
3
rA
A
c
?
??
??
Q
例 3：已知二次型 的秩为 2，求参数 c。
2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3(,,) 5 5 2 6 6f x x x x x c x x x x x x x? ? ? ? ? ?
f
5 1 3
1 5 3
33
A
c
???
??? ? ?
???
??
解,
12
2,非退化线性变换（可逆线性变换）
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
ycycycx
ycycycx
ycycycx
?
?
?
?
2211
22221212
12121111
系数
矩阵 ??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
?
????
?
?
21
22221
11211
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
X
?
2
1
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
y
y
y
Y
?
2
1
线性变换，记作（ 2）
则线性变换（ 2）可记作,CYX ?
13
C若 是 可逆 矩阵,则称线性变换（ 2）是 非退化线性变换
C若 是 正交 矩阵,则称线性变换（ 2）是 正交线性变换
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的 线性变换
使二次型只含平方项,
,1
n
T
ij i j
ij
f X AX a x x
?
?? ?即二次型
经过可逆线性变换 CYX ?
这种只含平方项的二次型，称为 二次型的标准型
2 2 21 1 2 2 nnf k y k y k y? ? ? ?L使得
14
3,矩阵的合同
AXXf T? 二次型
经过非退化线性变换 CYX ?
可化为 )()( CYACYAXXf TT ?? YACCY TT )(?
ACCAf T变为的矩阵由则，二次型
)()( )2(
)1(
ArBr
ACCB T
?
? 仍是对称矩阵则
ACCB T?令
15
因为 BACCCACACCB TTTTTTTT ???? )()( )1(
)()()( )2( ArACrBrACCB T ??? 所以
11)( ??? BCCA T )()()( 1 BrBCrAr ?? ?所以
)()( ArBr ?所以
以上说明,
,
,
的秩不变且二次型
变为对称矩阵的矩阵由对称矩阵二次型
后，经过可逆线性变换二次型
f
ACCBAf
CYXAXXf
T
T
?
??
16
矩阵的合同,
,,
,,
BAACCB
CBAn
T 合同于则称使得
若存在可逆矩阵、阶方阵两个
?
所以，通过非退化线性变换,
新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的,
矩阵合同的性质,(1) 反身性 (2) 对称性 (3) 传递性
17
注释,
.,1 必为对称矩阵的矩阵二次型 Af
2,在变换二次型时，要求所作的线性变换是非退化的（可逆的）
3.,合同”定义中，矩阵 A, B为一般方阵，但实际中,
多针对对称矩阵考虑合同关系
4,任一对称矩阵，都存在对角矩阵与它合同
与对角矩阵合同的矩阵必是对称矩阵