1
二, 线性相关性
三, 向量组的秩
一, n维向量空间
四, 矩阵的秩
第三章 向量空间
五, 内积与正交化
2
一, n维向量空间
分量全为复数的向量称为 复向量,
分量全为实数的向量称为 实向量,
1,n 维向量
定义,n 个有次序的数 12,,,na a aL所组成的有序数组
? ?12,,,na a aL称为一个 n 维向量。
这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 个数
称为第 个分量。
i
i
ia
以后我们用小写希腊字母 来代表向量。,,? ? ? L
3
例如,
),,3,2,1( n?
))1(,,32,21( innii ???? ?
n维实向量
n维复向量
第 1个分量
第 n个分量
第 2个分量
4
向量通常写成一行,? ?12,,,na a a? ? L
有时也写成一列,
1
2
n
a
a
a
?
??
??
???
??
??
??
M
称为 行向量。
称为 列向量。 它们的区别
只是写法上
的不同。
分量全为零的向量 称为 零向量。 ? ?0,0,,0L
2,向量的运算和性质
向量相等,如果 n 维向量 ? ?12,,,na a a? ? L
? ?12,,,nb b b? ? L
的对应分量都相等，即 ? ? 1,2,,iia b i n?? L
就称这两个向量相等，记为 ???
5
向量加法,向量 ? ?1 1 2 2,,,nna b a b a b? ? ? ? ?L
称为向量 ? ?12,,,na a a? ? L
? ?12,,,nb b b? ? L
的和，记为 ? ? ???
负向量,向量 ? ?12,,,na a a? ? ? ? ?L称为向量 的负向量 ?
向量减法,()? ? ? ?? ? ? ?
数乘向量,设 k为数域 p中的数，向量 ? ?12,,,nk a k a k aL
称为向量 ? ?12,,,na a a? ? L
与数 k的数量乘积。记为 k?
6
? ? 0)4(
0)3(
)())(2(
)1(
???
??
?????
???
??
??
??????
????
? ?
? ? ????
???
??
??
kkk
lklk
kllk
???
???
?
??
)8(
)7(
)()()6(
1)5(
满足运算律,
注,（ 1）对任意的向量,? 存在唯一的零向量,o
使得 o????
（ 2）对任意的向量,? 存在唯一的负向量,??
使得 () o??? ? ?
（ 4）如果 0,?? ? 则 00????或
0 0 ; ( 1 ) ; 0 0,? ? ? ?? ? ? ? ?（ 3）
7
3,n 维向量空间
说明,
,,.V k R k V??? ? ? ? ?有
,,;V V V? ? ? ?? ? ? ? ?有
V 定义,设 为 维向量的集合，如果集合 非空,
且集合 对于加法及数乘两种运算封闭,
那么就称集合 为向量空间,
n
V
V
V
集合 对于加法及数乘两种运算封闭指 V
例 1,3维向量的全体 是一个向量空间。 3R
n维向量的全体,也是一个向量空间。 nR
8
例 2,判别下列集合是否为向量空间, ? ?? ?
? ?? ?
1 2 2
2 2 2
( 1 ) 0,,,,,
( 2 ) 1,,,,,
T
nn
T
nn
V x x x x x R
V x x x x x R
? ? ?
? ? ?
LL
LL
解,? ? ? ?2 2 1( 1 ) 0,,,,0,,,TTnna a b b V??? ? ? ?LL
? ?2 2 10,,,Tnna b a b V?? ? ? ? ? ?L有
? ?21,0,,,.TnR a a V? ? ? ? ?? ? ? ?L有
所以,是向量空间。 1V
(2) 不是向量空间。 2V
? ?,2,,2,22 22 Vaa Tn ?? ??则
? ?,,,,1 22 Vaa Tn ?? ??因为若
9
? ?RbaxV ???? ????,是否为向量空间,
1 2 1 2 1 2( ) ( ),x x a b V? ? ? ?? ? ? ? ? ?有
1 1 1,( ) ( ),k R kx k a k b V??? ? ? ? ?有
（这个向量空间成为由向量 a,b生成的向量空间）
? ?RaaaxV mmm ?????? ??????,,,212211 ??
一般地，由向量组 所 生成的向量空间 为 12,,,ma a aL
例 3：设 a,b为两个已知的 n维向量，判断集合
1 1 1 2 2 2,x a b x a b V? ? ? ?? ? ? ? ? ?解,
所以 V是一个向量空间。
10
1,线性组合与线性表示
二, 线性相关性 1.线性组合与线性表示 2.向量组等价
3.线性相关、无关
4.判断线性相关性的定理
5.线性相关及表示的定理 定义 1,给定向量组
12:,,,,mA ? ? ?L
对于任何一组实数 12,,,,mk k kL
向量 1 1 2 2 mmk k k? ? ?? ? ?L称为向量组 A的一个
线性组合,12,,,mk k kL称为这个线性组合的系数。
定义 2,给定向量组 12:,,,,mA ? ? ?L和向量 ?
如果存在一组实数 12,,,m? ? ?L
使得 1 1 2 2 mm? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?L
则称向量 是向量组 A的 线性组合,
或称向量 能由向量组 A线性表示。
?
?
11
例如,1 2 3 4
2 1 0 0 0
5 0 1 0 0
,,,,
3 0 0 1 0
0 0 0 0 1
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
有
2 1 0 0 0
5 0 1 0 0
2 5 3 0
3 0 0 1 0
0 0 0 0 1
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 3 4= 2 5 3 0? ? ? ? ?? ? ?即
所以，称 是 的线性组合,
或 可以由 线性表示。
?
?
1 2 3 4,,,? ? ? ?
1 2 3 4,,,? ? ? ?
12
定理 1,
判断向量 可否由向量组 线性表示的定理。 ? 12,,,m? ? ?L
向量 可由向量组 线性表示的
充分必要条件是,
? 12,,,m? ? ?L
以 12,,,m? ? ?L为 系数列向量,以 ? 为 常数项列向量
的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。
线性方程组的矩阵表示和向量表示,
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????
?
?
2211
22222121
11212111
13
令
11 12 1
21 22 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
L
L
M M M M
L
11
nm
xb
xb
xb
xb
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
MM
方程组可表示为 Ax b?
? ?12,,,nA ? ? ?? L若
则方程组的向量表示为 1 1 2 2 nnx x x b? ? ?? ? ? ?L
14
2,向量组等价
定义 3,如果向量组 中的每一个向量 12:,,,mA ? ? ?L
( 1,2,,)i it? ? L都可以由向量组 12:,,,sB ? ? ?L
线性表示，那么就称向量组 A可以由向量组 B线性表示。
若同时向量组 B 也可以由向量组 A线性表示，就称
向量组 A与向量组 B等价。
? ?1,,2,12211 mikkk sisiii ?? ????? ????
? ?2,,2,12211 silll mimiii ?? ????? ????
即
15
3,线性相关,线性无关及其几何说明
.A,A
0
,,,,
,,,,:
2211
21
21
线性无关否则称向量组线性相关称向量组
使
如果存在不全为零实数
给定向量组
????
mm
m
m
kkk
kkk
A
???
???
?
?
?
几何意义,(1)两向量线性相关,两向量共线,
(2)三向量线性相关,三向量共面,
定义 4,
例 1：用定义判断线性相关性。
(1) 向量,,,o ? ? ?线性 ______关。
(2) 向量,,,? ? ? ?线性 ______关。
相
相
16
4,判断线性相关性的定理
?
至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示
向量组 线性相关 )2(,,,
21 ?mm??? ?定理 2,
推论,向量组 线性无关 )2(,,,
21 ?mm??? ?
任一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表示
??
(1)
?
(2)
n维向量组 线性相关 m???,,,21 ?定理 3,
.0 有非零解?Ax ? ?
mA ???,,,21 ??其中
?
推论,n维向量组 线性无关
m???,,,21 ??
.0 只有零解?Ax ? ?12,,,mA ? ? ?? L其 中
17
例 2,? ? ? ? ? ? TTT 7,4,2,5,2,0,1,1,1:
321 ??? ???已知
试讨论向量组 及向量组
的线性相关性, 321,,??? 21
,??
解：设数 1 2 3,,k k k使得 1 1 2 2 3 3 0k k k? ? ?? ? ?成立。
即
1 2 3
1 0 2 0
1 2 4 0
1 5 7 0
k k k
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
未知量为 1 2 3,,k k k
系数行列式
1 0 2
1 2 4 0
1 5 7
?齐次线性方程组有
非零解，所以向量
1 2 3,,? ? ?线性相关。
向量 12,??对应分量不成比例，所以线性无关。
18
例 3,n维向量
? ? ? ? ? ? TnTT eee 1,,0,0,,0,,1,0,0,,0,1 21 ???? ???
讨论它们的线性相关性,
? ?neeeE,,,21 ??
结论, 线性无关
解,
上述向量组又称
基本向量组 或 单位坐标向量组,
问题, n=3时,
321,,eee
分别是什么？
19
?
(3)
则向量组 1 2 1:,,,,mmB ? ? ? ? ?L也线性相关。
则，向量组 12:,,,mA ? ? ?L也线性无关。
12:,,,mA ? ? ?L若向量组 线性相关,定理 4,
若向量组 1 2 1:,,,,mmB ? ? ? ? ?L线性无关,定理 5,
部分相关则整体相关
整体无关则部分无关
?
(4)
定理 6,n维向量组 线性无关,12,,,m? ? ?L
把每个向量的维数增加后，得到的新向量组
仍线性无关。
定理 7,n维向量组 线性相关,12,,,m? ? ?L
把每个向量的维数减少后，得到的新向量组
仍线性相关。
20
5,线性相关及表示的定理
则向量 必能由向量组 A线性表示，且表示式唯一,
?
定理 8,向量组 12:,,,mA ? ? ?L线性无关,
而向量组 12:,,,,mB ? ? ? ?L线性相关,
6,一些结论
(1) 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关；
(2) 包含零向量的任何向量组线性相关；
(4) 有两个向量相等的向量组线性相关；
(3) 基本向量组 线性无关 ;
neee,,,21 ?
21
(5) m>n时,m 个 n维向量必线性相关, 特别,m=n+1
(6) n个 n维向量线性无关
(7) n维向量空间任一线性无关组最多只能包含 n 向量,
它们所构成方阵的行列式不为零,
?
（书 p81例 10）
例 5：书 p103/3.6
例 4：已知向量 1 2 3,,? ? ?线性无关,
1 2 2 3 1 3,,? ? ? ? ? ?? ? ?证明：向量 线性无关。
例 6：书 p103/3.5
二, 线性相关性
三, 向量组的秩
一, n维向量空间
四, 矩阵的秩
第三章 向量空间
五, 内积与正交化
2
一, n维向量空间
分量全为复数的向量称为 复向量,
分量全为实数的向量称为 实向量,
1,n 维向量
定义,n 个有次序的数 12,,,na a aL所组成的有序数组
? ?12,,,na a aL称为一个 n 维向量。
这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 个数
称为第 个分量。
i
i
ia
以后我们用小写希腊字母 来代表向量。,,? ? ? L
3
例如,
),,3,2,1( n?
))1(,,32,21( innii ???? ?
n维实向量
n维复向量
第 1个分量
第 n个分量
第 2个分量
4
向量通常写成一行,? ?12,,,na a a? ? L
有时也写成一列,
1
2
n
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?
??
??
???
??
??
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M
称为 行向量。
称为 列向量。 它们的区别
只是写法上
的不同。
分量全为零的向量 称为 零向量。 ? ?0,0,,0L
2,向量的运算和性质
向量相等,如果 n 维向量 ? ?12,,,na a a? ? L
? ?12,,,nb b b? ? L
的对应分量都相等，即 ? ? 1,2,,iia b i n?? L
就称这两个向量相等，记为 ???
5
向量加法,向量 ? ?1 1 2 2,,,nna b a b a b? ? ? ? ?L
称为向量 ? ?12,,,na a a? ? L
? ?12,,,nb b b? ? L
的和，记为 ? ? ???
负向量,向量 ? ?12,,,na a a? ? ? ? ?L称为向量 的负向量 ?
向量减法,()? ? ? ?? ? ? ?
数乘向量,设 k为数域 p中的数，向量 ? ?12,,,nk a k a k aL
称为向量 ? ?12,,,na a a? ? L
与数 k的数量乘积。记为 k?
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? ? 0)4(
0)3(
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???
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)8(
)7(
)()()6(
1)5(
满足运算律,
注,（ 1）对任意的向量,? 存在唯一的零向量,o
使得 o????
（ 2）对任意的向量,? 存在唯一的负向量,??
使得 () o??? ? ?
（ 4）如果 0,?? ? 则 00????或
0 0 ; ( 1 ) ; 0 0,? ? ? ?? ? ? ? ?（ 3）
7
3,n 维向量空间
说明,
,,.V k R k V??? ? ? ? ?有
,,;V V V? ? ? ?? ? ? ? ?有
V 定义,设 为 维向量的集合，如果集合 非空,
且集合 对于加法及数乘两种运算封闭,
那么就称集合 为向量空间,
n
V
V
V
集合 对于加法及数乘两种运算封闭指 V
例 1,3维向量的全体 是一个向量空间。 3R
n维向量的全体,也是一个向量空间。 nR
8
例 2,判别下列集合是否为向量空间, ? ?? ?
? ?? ?
1 2 2
2 2 2
( 1 ) 0,,,,,
( 2 ) 1,,,,,
T
nn
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V x x x x x R
V x x x x x R
? ? ?
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LL
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解,? ? ? ?2 2 1( 1 ) 0,,,,0,,,TTnna a b b V??? ? ? ?LL
? ?2 2 10,,,Tnna b a b V?? ? ? ? ? ?L有
? ?21,0,,,.TnR a a V? ? ? ? ?? ? ? ?L有
所以,是向量空间。 1V
(2) 不是向量空间。 2V
? ?,2,,2,22 22 Vaa Tn ?? ??则
? ?,,,,1 22 Vaa Tn ?? ??因为若
9
? ?RbaxV ???? ????,是否为向量空间,
1 2 1 2 1 2( ) ( ),x x a b V? ? ? ?? ? ? ? ? ?有
1 1 1,( ) ( ),k R kx k a k b V??? ? ? ? ?有
（这个向量空间成为由向量 a,b生成的向量空间）
? ?RaaaxV mmm ?????? ??????,,,212211 ??
一般地，由向量组 所 生成的向量空间 为 12,,,ma a aL
例 3：设 a,b为两个已知的 n维向量，判断集合
1 1 1 2 2 2,x a b x a b V? ? ? ?? ? ? ? ? ?解,
所以 V是一个向量空间。
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1,线性组合与线性表示
二, 线性相关性 1.线性组合与线性表示 2.向量组等价
3.线性相关、无关
4.判断线性相关性的定理
5.线性相关及表示的定理 定义 1,给定向量组
12:,,,,mA ? ? ?L
对于任何一组实数 12,,,,mk k kL
向量 1 1 2 2 mmk k k? ? ?? ? ?L称为向量组 A的一个
线性组合,12,,,mk k kL称为这个线性组合的系数。
定义 2,给定向量组 12:,,,,mA ? ? ?L和向量 ?
如果存在一组实数 12,,,m? ? ?L
使得 1 1 2 2 mm? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?L
则称向量 是向量组 A的 线性组合,
或称向量 能由向量组 A线性表示。
?
?
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例如,1 2 3 4
2 1 0 0 0
5 0 1 0 0
,,,,
3 0 0 1 0
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所以，称 是 的线性组合,
或 可以由 线性表示。
?
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1 2 3 4,,,? ? ? ?
12
定理 1,
判断向量 可否由向量组 线性表示的定理。 ? 12,,,m? ? ?L
向量 可由向量组 线性表示的
充分必要条件是,
? 12,,,m? ? ?L
以 12,,,m? ? ?L为 系数列向量,以 ? 为 常数项列向量
的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。
线性方程组的矩阵表示和向量表示,
?
?
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mnmnmm
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bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
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2211
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11212111
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令
11 12 1
21 22 2
12
n
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m m m n
a a a
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A
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M M M M
L
11
nm
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MM
方程组可表示为 Ax b?
? ?12,,,nA ? ? ?? L若
则方程组的向量表示为 1 1 2 2 nnx x x b? ? ?? ? ? ?L
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2,向量组等价
定义 3,如果向量组 中的每一个向量 12:,,,mA ? ? ?L
( 1,2,,)i it? ? L都可以由向量组 12:,,,sB ? ? ?L
线性表示，那么就称向量组 A可以由向量组 B线性表示。
若同时向量组 B 也可以由向量组 A线性表示，就称
向量组 A与向量组 B等价。
? ?1,,2,12211 mikkk sisiii ?? ????? ????
? ?2,,2,12211 silll mimiii ?? ????? ????
即
15
3,线性相关,线性无关及其几何说明
.A,A
0
,,,,
,,,,:
2211
21
21
线性无关否则称向量组线性相关称向量组
使
如果存在不全为零实数
给定向量组
????
mm
m
m
kkk
kkk
A
???
???
?
?
?
几何意义,(1)两向量线性相关,两向量共线,
(2)三向量线性相关,三向量共面,
定义 4,
例 1：用定义判断线性相关性。
(1) 向量,,,o ? ? ?线性 ______关。
(2) 向量,,,? ? ? ?线性 ______关。
相
相
16
4,判断线性相关性的定理
?
至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示
向量组 线性相关 )2(,,,
21 ?mm??? ?定理 2,
推论,向量组 线性无关 )2(,,,
21 ?mm??? ?
任一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表示
??
(1)
?
(2)
n维向量组 线性相关 m???,,,21 ?定理 3,
.0 有非零解?Ax ? ?
mA ???,,,21 ??其中
?
推论,n维向量组 线性无关
m???,,,21 ??
.0 只有零解?Ax ? ?12,,,mA ? ? ?? L其 中
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例 2,? ? ? ? ? ? TTT 7,4,2,5,2,0,1,1,1:
321 ??? ???已知
试讨论向量组 及向量组
的线性相关性, 321,,??? 21
,??
解：设数 1 2 3,,k k k使得 1 1 2 2 3 3 0k k k? ? ?? ? ?成立。
即
1 2 3
1 0 2 0
1 2 4 0
1 5 7 0
k k k
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未知量为 1 2 3,,k k k
系数行列式
1 0 2
1 2 4 0
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?齐次线性方程组有
非零解，所以向量
1 2 3,,? ? ?线性相关。
向量 12,??对应分量不成比例，所以线性无关。
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例 3,n维向量
? ? ? ? ? ? TnTT eee 1,,0,0,,0,,1,0,0,,0,1 21 ???? ???
讨论它们的线性相关性,
? ?neeeE,,,21 ??
结论, 线性无关
解,
上述向量组又称
基本向量组 或 单位坐标向量组,
问题, n=3时,
321,,eee
分别是什么？
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?
(3)
则向量组 1 2 1:,,,,mmB ? ? ? ? ?L也线性相关。
则，向量组 12:,,,mA ? ? ?L也线性无关。
12:,,,mA ? ? ?L若向量组 线性相关,定理 4,
若向量组 1 2 1:,,,,mmB ? ? ? ? ?L线性无关,定理 5,
部分相关则整体相关
整体无关则部分无关
?
(4)
定理 6,n维向量组 线性无关,12,,,m? ? ?L
把每个向量的维数增加后，得到的新向量组
仍线性无关。
定理 7,n维向量组 线性相关,12,,,m? ? ?L
把每个向量的维数减少后，得到的新向量组
仍线性相关。
20
5,线性相关及表示的定理
则向量 必能由向量组 A线性表示，且表示式唯一,
?
定理 8,向量组 12:,,,mA ? ? ?L线性无关,
而向量组 12:,,,,mB ? ? ? ?L线性相关,
6,一些结论
(1) 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关；
(2) 包含零向量的任何向量组线性相关；
(4) 有两个向量相等的向量组线性相关；
(3) 基本向量组 线性无关 ;
neee,,,21 ?
21
(5) m>n时,m 个 n维向量必线性相关, 特别,m=n+1
(6) n个 n维向量线性无关
(7) n维向量空间任一线性无关组最多只能包含 n 向量,
它们所构成方阵的行列式不为零,
?
（书 p81例 10）
例 5：书 p103/3.6
例 4：已知向量 1 2 3,,? ? ?线性无关,
1 2 2 3 1 3,,? ? ? ? ? ?? ? ?证明：向量 线性无关。
例 6：书 p103/3.5
