1
第二章 矩阵习题课
一,主要内容
二, 典型例题
三, 测验题
2
一, 主要内容
1,矩阵的定义
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
??
?
?
21
22221
11211
记作
简记为 ? ?
nmijaA ?? nmA ? 或
),,2,1;,,2,1( njmianm ij ?? ??? 个数由
列的数表，行排成的 nm
.矩阵简称 nm ?
实矩阵, 元素是实数
复矩阵,元素是复数
3
一些特殊的矩阵,零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵,
对角阵、数量阵、单位阵
2,矩阵的基本运算
矩阵相等,
同型矩阵,两个矩阵的行数相等、列数也相等
两个矩阵同型，且对应元素相等
矩阵加（减）法,两个同型矩阵，对应元素相加（减）
加法满足 ? ?,1 ABBA ???交换律：
? ? ? ? ? ?, 2 CBACBA ?????结合律：
? ? ? ?,4 OAA ???
? ?,,03 是同型矩阵与其中 OAAA ??
4
数乘满足 );()( AA ???? ?;)( AAA ???? ???
.)( BABA ??? ???
数与矩阵相乘,数 与矩阵 的乘积记作 或,规定为 ? A A? A?
()ijA A a? ? ???
矩阵与矩阵相乘,( ) ( ),,i j i jm s s nABab????设
规定 (),ij mnA B C c ???
其中
1 1 2 2
1
( 1,2,,; 1,2,)
s
ij i j i j is sj ik k j
k
c a b a b a b a b
i m j n
?
? ? ? ? ?
??
?L
LL
5
乘法满足 );()( BCACAB ?
);(),()()( 为数其中 ???? BABAAB ??;)(
,)(
CABAACB
ACABCBA
???
???
.EAAAE nnmnmnmm ??? ??
矩阵乘法不满足,交换律、消去律
6
A是 n 阶方阵,??? ?? ?
个k
k AAAA ? 方阵的幂,
方阵的多项式,
0111)( axaxaxaxf kkkk ????? ?? ?
0111)( aAaAaAaAf kkkk ????? ?? ?E
m k m kA A A ??
? ? km m kAA?
并且
（ m,k为正整数）
方阵的行列式,
满足, ? ? ;1 AA T ?? ? ;2 AA n?? ?
? ? BAAB ?3
7
转置矩阵,
一些特殊的矩阵,
把矩阵 的行换成同序数的列得到的
新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作, ?A
A
A
满足,? ? ? ? ;1 AA TT ?
? ? ? ? ;2 TTT BABA ???
? ? ? ? ;3 TT AA ?? ?
? ? ? ?,4 TTT ABAB ?
对称矩阵和反对称矩阵,
AA
A A
T
T
A
A
??
?
?
?
是反对称矩阵
是对称矩阵
幂等矩阵,为 n阶方阵，且 A 2AA?
8
伴随矩阵,行列式 的各个元素的代数余子式 所
构成的如下矩阵
A ijA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
?
????
?
?
21
22212
12111
.EAAAAA ?? ??
9
3,逆矩阵
定义,A为 n阶方阵，若存在 n阶方阵,使得 A B B A E??
则称矩阵 A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）
矩阵 B称为矩阵 A的逆矩阵。
唯一性,若 A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的,
判定定理, n阶方阵 A可逆 0A?? 1 1AAA???且
推论,设 A,B为同阶方阵，若,A B E?
则 A,B都可逆，且 11A B B A????，
10
1 1 11
11 11
1
,( 0 )()()
,( ) ( )
TT
A A AA
AAAA
??
?
? ? ??
?? ??
? ? ??
??
满足规律,
逆矩阵求法,（ 1）待定系数法
（ 2）伴随矩阵法
（ 3）初等变换法
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,
4,分块矩阵
11
5,初等变换
对换变换、倍乘变换、倍加变换
初等变换 逆 变 换
三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的
初等变换,
)( ccrr jiji ?? )( ccrr jiji ??
)( kckr ii ?? )1(1 kckr ii ??
)( ckcrkr jiji ?? ))(()( ckcrkr jiji ????
12
矩阵的等价,
初等矩阵,由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的方阵
称为初等矩阵,
如果矩阵 A经过有限次初等变换变成矩阵 B,
就称矩阵 A与矩阵 B等价。记作 ~AB
三种初等变换对应着三种初等方阵,
初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵
6,初等矩阵
初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
1(,) (,)E i j E i j? ?
1 1( ( ) ) ( ( ) )E i k E i
k
? ?
1( ( ) ) ( ( ) )E ij k E ij k? ??
13
7,初等矩阵与初等变换的关系,
初等变换 初等矩阵
初等逆变换 初等逆矩阵
阶初等矩阵。乘一个相应的
的右边相当于在施行一次初等列变换，对
阶初等矩阵；的左边乘一个相应的相当于在
施行一次初等行变换，矩阵，对是设
n
AA
mA
AnmA ?定理,
14
8,用初等变换法求矩阵的逆矩阵
可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵, 定理,
可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 推论 1,
推论 2,A如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等 E
A行变换，那么当 变成单位矩阵 时,就变成 。 E E 1A?
15
.
,,)(
,
1
A
EEAEA
A
?变成了
就原来的时变成当把施行初等行变换
只需对分块矩阵的逆矩阵要求可逆矩阵
.,
,
1AEE
A
E
A
?
?
?
?
?
?
?
就变成了原来的时变成
当把施行初等列变换或者对分块矩阵
即,? ? ? ?
1,???? ?? AEEA,初等行变换
??
?
?
??
?
?
??? ????
?
?
??
?
?
? 1A
E
E
A 初等列变换
16
( 1 ) A X B?
9,解矩阵方程的初等变换法
)( BA )( 1~ BAE ?初等行变换 AX 1???
??????BA
( 2 ) XA B?
?????? ?AB E 1~
初等列变换 BAX
1???
)( BA TT ))(( 1~ BAE TT ?初等行变换
ABX 1???
BAX TTT )( 1???
或者
17
1,矩阵的基本运算
2,方阵的幂
3,逆矩阵的求解、证明
4,矩阵方程
5,矩阵的分块运算
二, 典型例题
1,矩阵的基本运算
例 1：设矩阵
11,
01A
???
????求与 A可交换的所有矩阵。
分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求
解：设所求矩阵为,
abX
cd
???
????
由,A X X A?
得 a c b d a a b
c d c c d
? ? ?? ? ? ??
? ? ? ??? ? ? ?
0,c a d? ? ?,0abX a???? ??
??
其中 a,b为实数
18
例 2：设
1 0 0
0 1 0,
3 0 3
A
??
???
??
???
12( 2 ) ( 2 ) ( 4 )TE A E A E A?? ? ?求 的行列式。
分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算
解,12( 2 ) ( 2 ) ( 4 )TE A E A E A?? ? ?
1( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )TE A E A E A E A?? ? ? ? ?
( 2 ) ( 2 )TE A E A? ? ?( 2 ) ( 2 )TE A E A? ? ?
2( 2 )EA??
2
3 0 0
0 3 0 2 0 2 5
305
??
?
19
例 3：设 4 阶方阵 ? ? ? ?2 3 4 2 3 4,,,,,,,,AB? ? ? ? ? ? ? ???
其中 均为 4 维列向量，且已知行列式 2 3 4,,,,? ? ? ? ?
4,3,AB??求行列式,AB?
分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求
解,? ?2 3 4,2,2,2AB ? ? ? ? ?? ? ?
? ?2 3 48,,,? ? ? ? ???
? ? ? ?2 3 4 2 3 48 (,,,,,,)? ? ? ? ? ? ? ?
8 ( )AB??
56?
20
2,方阵的幂
例 4：设
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
A
?????
??
? ? ?
?
??? ? ?
?????
求,mA
解, （递推法） 22
44
4
4
42
4
4
A E E
??
??
? ? ?
??
??3 2 22A A A A??
所以，当 时 2mk?
2mkAA? ? ?2 kA? ? ?2
42
kE? 2
42 k E? 42 m E?
当 时 21mk??
21mkAA ?? 2 kAA? 2 42 k EA?? 12 m A??
21
例 5：已知
1 0 0 1 0 0
,0 0 0,2 1 0
0 0 1 2 1 1
A P PB B P
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
求 与 A 5.A
解,10 PP ??? 存 在
1A P B P ???
? ? ? ?2 1 1 2 1A PBP PBP PB P? ? ?? ? ?
? ? ? ?3 2 1 1 3 1A P B P P BP P B P? ? ?? ? ?
5 5 1A P B P ???
22
又
2
1 0 0
0 0 0,
0 0 1
B
??
???
??
??
3
1 0 0
0 0 0
0 0 1
BB
??
????
??
???
5BB??
5 5 1 1A P B P P B P A??? ? ? ?
1
1 0 0
2 1 0
4 1 1
P ?
??
????
???
??
又
5
1 0 0
2 0 0
6 1 1
AA
??
??? ? ?
????
??
23
3,逆矩阵的求解、证明
例 6,求 A的逆矩阵,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
111
211
120
A
解,
0 2 1 1 0 0
( ) 1 1 2 0 1 0
1 1 1 0 0 1
AE
???
???
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
100111
001120
010211
~
21 rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
110100
001120
010211
~
13 rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
110100
111020
010211
~
32 rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?????
110100
111020
21011
~
31
)2( rr
24
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
110100
212121010
210011
~
2
1
2r
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??????
110100
212121010
252321001
~
21
)1( rr
.
110
212121
252321
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?? ?A
注意, 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，
其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵
时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换,
25
4,矩阵方程
例 7,解矩阵方程,,,A X B X A B A X B C? ? ?
其中 均为可逆矩阵。,AB
注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与 X的位置关系,
例如解 AX=B,需先考察 A是否可逆，只有 A可逆才可以解
此矩阵方程，在方程两边同时左乘 A的逆，而不能右乘,
因为矩阵乘法不满足交换律。
矩阵方程 解
BAX 1??
BAX 1??
BCAX 11 ???
BAX ?
BXA ?
CAXB ?
26
例 8,
.,2,
410
011
103
XXAAXA 求矩阵且设 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解：,2 XAAX ???,)2( AXEA ???
? ?
1 0 1 3 0 1
2 1 1 0 1 1 0
0 1 2 0 1 4
A E A
??
??? ? ?
??
由 于
,
322100
234010
225001
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
初等行变换
.
322
234
225
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?? X
（用初等变换法）
例 9：书 p68 2.14
27
5,矩阵的分块运算
例 10,(书 p70 2.21)
设 n阶矩阵 A及 s阶矩阵 B都可逆，求
10
.A
BO
???
????
解：设所求逆矩阵为 1 1 1 2
2 1 2 2
,XXXX????
??
则 1 1 1 2
2 1 2 2
00
00
nn
ss
AEXX
BEXX
? ? ? ??? ?
? ? ? ?????? ? ? ?
21
22
11
12
0
nn
n
s
ss
A X E
A X o
BX
B X E
??
?
??
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??
? ?
?
1
21
22
11
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0
XA
Xo
X
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?
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1 1
1
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28
.:)2(;)1(
.
,,
,
,,,,,
1
1
1
BACDA
DC
BA
XYZ
EO
BAE
Z
DC
BA
Y
EAC
OE
X
nE
AnDCBA
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
证明
求乘积
并且阶单位阵是
是非奇异的阶方阵都是设
例 11,
29
解, （１）根据分块矩阵的乘法，得
???
?
???
? ??
?
??
?
??
?
??
?
?
??
?
? EO
BAE
DC
BA
EAC
OEX Y Z 1
1
???
?
???
? ??
?
??
?
?
??
?
? EO
BAE
BACDO
BA 1
1,??
??
?
?
?? ? BACDO
OA
（２）由（１）可得
1
1,
AOXYZ A D C B
AO D C BA ??? ? ? ??
1 1,ABX YZ X Y Z Y Y CD? ? ? ? ? ?又
.1 BACDADC BA ?????
第二章 矩阵习题课
一,主要内容
二, 典型例题
三, 测验题
2
一, 主要内容
1,矩阵的定义
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
??
?
?
21
22221
11211
记作
简记为 ? ?
nmijaA ?? nmA ? 或
),,2,1;,,2,1( njmianm ij ?? ??? 个数由
列的数表，行排成的 nm
.矩阵简称 nm ?
实矩阵, 元素是实数
复矩阵,元素是复数
3
一些特殊的矩阵,零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵,
对角阵、数量阵、单位阵
2,矩阵的基本运算
矩阵相等,
同型矩阵,两个矩阵的行数相等、列数也相等
两个矩阵同型，且对应元素相等
矩阵加（减）法,两个同型矩阵，对应元素相加（减）
加法满足 ? ?,1 ABBA ???交换律：
? ? ? ? ? ?, 2 CBACBA ?????结合律：
? ? ? ?,4 OAA ???
? ?,,03 是同型矩阵与其中 OAAA ??
4
数乘满足 );()( AA ???? ?;)( AAA ???? ???
.)( BABA ??? ???
数与矩阵相乘,数 与矩阵 的乘积记作 或,规定为 ? A A? A?
()ijA A a? ? ???
矩阵与矩阵相乘,( ) ( ),,i j i jm s s nABab????设
规定 (),ij mnA B C c ???
其中
1 1 2 2
1
( 1,2,,; 1,2,)
s
ij i j i j is sj ik k j
k
c a b a b a b a b
i m j n
?
? ? ? ? ?
??
?L
LL
5
乘法满足 );()( BCACAB ?
);(),()()( 为数其中 ???? BABAAB ??;)(
,)(
CABAACB
ACABCBA
???
???
.EAAAE nnmnmnmm ??? ??
矩阵乘法不满足,交换律、消去律
6
A是 n 阶方阵,??? ?? ?
个k
k AAAA ? 方阵的幂,
方阵的多项式,
0111)( axaxaxaxf kkkk ????? ?? ?
0111)( aAaAaAaAf kkkk ????? ?? ?E
m k m kA A A ??
? ? km m kAA?
并且
（ m,k为正整数）
方阵的行列式,
满足, ? ? ;1 AA T ?? ? ;2 AA n?? ?
? ? BAAB ?3
7
转置矩阵,
一些特殊的矩阵,
把矩阵 的行换成同序数的列得到的
新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作, ?A
A
A
满足,? ? ? ? ;1 AA TT ?
? ? ? ? ;2 TTT BABA ???
? ? ? ? ;3 TT AA ?? ?
? ? ? ?,4 TTT ABAB ?
对称矩阵和反对称矩阵,
AA
A A
T
T
A
A
??
?
?
?
是反对称矩阵
是对称矩阵
幂等矩阵,为 n阶方阵，且 A 2AA?
8
伴随矩阵,行列式 的各个元素的代数余子式 所
构成的如下矩阵
A ijA
?
?
?
?
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nnnn
n
n
AAA
AAA
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A
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21
22212
12111
.EAAAAA ?? ??
9
3,逆矩阵
定义,A为 n阶方阵，若存在 n阶方阵,使得 A B B A E??
则称矩阵 A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）
矩阵 B称为矩阵 A的逆矩阵。
唯一性,若 A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的,
判定定理, n阶方阵 A可逆 0A?? 1 1AAA???且
推论,设 A,B为同阶方阵，若,A B E?
则 A,B都可逆，且 11A B B A????，
10
1 1 11
11 11
1
,( 0 )()()
,( ) ( )
TT
A A AA
AAAA
??
?
? ? ??
?? ??
? ? ??
??
满足规律,
逆矩阵求法,（ 1）待定系数法
（ 2）伴随矩阵法
（ 3）初等变换法
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,
4,分块矩阵
11
5,初等变换
对换变换、倍乘变换、倍加变换
初等变换 逆 变 换
三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的
初等变换,
)( ccrr jiji ?? )( ccrr jiji ??
)( kckr ii ?? )1(1 kckr ii ??
)( ckcrkr jiji ?? ))(()( ckcrkr jiji ????
12
矩阵的等价,
初等矩阵,由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的方阵
称为初等矩阵,
如果矩阵 A经过有限次初等变换变成矩阵 B,
就称矩阵 A与矩阵 B等价。记作 ~AB
三种初等变换对应着三种初等方阵,
初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵
6,初等矩阵
初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。
1(,) (,)E i j E i j? ?
1 1( ( ) ) ( ( ) )E i k E i
k
? ?
1( ( ) ) ( ( ) )E ij k E ij k? ??
13
7,初等矩阵与初等变换的关系,
初等变换 初等矩阵
初等逆变换 初等逆矩阵
阶初等矩阵。乘一个相应的
的右边相当于在施行一次初等列变换，对
阶初等矩阵；的左边乘一个相应的相当于在
施行一次初等行变换，矩阵，对是设
n
AA
mA
AnmA ?定理,
14
8,用初等变换法求矩阵的逆矩阵
可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵, 定理,
可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 推论 1,
推论 2,A如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等 E
A行变换，那么当 变成单位矩阵 时,就变成 。 E E 1A?
15
.
,,)(
,
1
A
EEAEA
A
?变成了
就原来的时变成当把施行初等行变换
只需对分块矩阵的逆矩阵要求可逆矩阵
.,
,
1AEE
A
E
A
?
?
?
?
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就变成了原来的时变成
当把施行初等列变换或者对分块矩阵
即,? ? ? ?
1,???? ?? AEEA,初等行变换
??
?
?
??
?
?
??? ????
?
?
??
?
?
? 1A
E
E
A 初等列变换
16
( 1 ) A X B?
9,解矩阵方程的初等变换法
)( BA )( 1~ BAE ?初等行变换 AX 1???
??????BA
( 2 ) XA B?
?????? ?AB E 1~
初等列变换 BAX
1???
)( BA TT ))(( 1~ BAE TT ?初等行变换
ABX 1???
BAX TTT )( 1???
或者
17
1,矩阵的基本运算
2,方阵的幂
3,逆矩阵的求解、证明
4,矩阵方程
5,矩阵的分块运算
二, 典型例题
1,矩阵的基本运算
例 1：设矩阵
11,
01A
???
????求与 A可交换的所有矩阵。
分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求
解：设所求矩阵为,
abX
cd
???
????
由,A X X A?
得 a c b d a a b
c d c c d
? ? ?? ? ? ??
? ? ? ??? ? ? ?
0,c a d? ? ?,0abX a???? ??
??
其中 a,b为实数
18
例 2：设
1 0 0
0 1 0,
3 0 3
A
??
???
??
???
12( 2 ) ( 2 ) ( 4 )TE A E A E A?? ? ?求 的行列式。
分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算
解,12( 2 ) ( 2 ) ( 4 )TE A E A E A?? ? ?
1( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )TE A E A E A E A?? ? ? ? ?
( 2 ) ( 2 )TE A E A? ? ?( 2 ) ( 2 )TE A E A? ? ?
2( 2 )EA??
2
3 0 0
0 3 0 2 0 2 5
305
??
?
19
例 3：设 4 阶方阵 ? ? ? ?2 3 4 2 3 4,,,,,,,,AB? ? ? ? ? ? ? ???
其中 均为 4 维列向量，且已知行列式 2 3 4,,,,? ? ? ? ?
4,3,AB??求行列式,AB?
分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求
解,? ?2 3 4,2,2,2AB ? ? ? ? ?? ? ?
? ?2 3 48,,,? ? ? ? ???
? ? ? ?2 3 4 2 3 48 (,,,,,,)? ? ? ? ? ? ? ?
8 ( )AB??
56?
20
2,方阵的幂
例 4：设
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
A
?????
??
? ? ?
?
??? ? ?
?????
求,mA
解, （递推法） 22
44
4
4
42
4
4
A E E
??
??
? ? ?
??
??3 2 22A A A A??
所以，当 时 2mk?
2mkAA? ? ?2 kA? ? ?2
42
kE? 2
42 k E? 42 m E?
当 时 21mk??
21mkAA ?? 2 kAA? 2 42 k EA?? 12 m A??
21
例 5：已知
1 0 0 1 0 0
,0 0 0,2 1 0
0 0 1 2 1 1
A P PB B P
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
求 与 A 5.A
解,10 PP ??? 存 在
1A P B P ???
? ? ? ?2 1 1 2 1A PBP PBP PB P? ? ?? ? ?
? ? ? ?3 2 1 1 3 1A P B P P BP P B P? ? ?? ? ?
5 5 1A P B P ???
22
又
2
1 0 0
0 0 0,
0 0 1
B
??
???
??
??
3
1 0 0
0 0 0
0 0 1
BB
??
????
??
???
5BB??
5 5 1 1A P B P P B P A??? ? ? ?
1
1 0 0
2 1 0
4 1 1
P ?
??
????
???
??
又
5
1 0 0
2 0 0
6 1 1
AA
??
??? ? ?
????
??
23
3,逆矩阵的求解、证明
例 6,求 A的逆矩阵,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
111
211
120
A
解,
0 2 1 1 0 0
( ) 1 1 2 0 1 0
1 1 1 0 0 1
AE
???
???
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
100111
001120
010211
~
21 rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
110100
001120
010211
~
13 rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
110100
111020
010211
~
32 rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?????
110100
111020
21011
~
31
)2( rr
24
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
110100
212121010
210011
~
2
1
2r
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??????
110100
212121010
252321001
~
21
)1( rr
.
110
212121
252321
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?? ?A
注意, 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，
其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵
时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换,
25
4,矩阵方程
例 7,解矩阵方程,,,A X B X A B A X B C? ? ?
其中 均为可逆矩阵。,AB
注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与 X的位置关系,
例如解 AX=B,需先考察 A是否可逆，只有 A可逆才可以解
此矩阵方程，在方程两边同时左乘 A的逆，而不能右乘,
因为矩阵乘法不满足交换律。
矩阵方程 解
BAX 1??
BAX 1??
BCAX 11 ???
BAX ?
BXA ?
CAXB ?
26
例 8,
.,2,
410
011
103
XXAAXA 求矩阵且设 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解：,2 XAAX ???,)2( AXEA ???
? ?
1 0 1 3 0 1
2 1 1 0 1 1 0
0 1 2 0 1 4
A E A
??
??? ? ?
??
由 于
,
322100
234010
225001
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
初等行变换
.
322
234
225
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?? X
（用初等变换法）
例 9：书 p68 2.14
27
5,矩阵的分块运算
例 10,(书 p70 2.21)
设 n阶矩阵 A及 s阶矩阵 B都可逆，求
10
.A
BO
???
????
解：设所求逆矩阵为 1 1 1 2
2 1 2 2
,XXXX????
??
则 1 1 1 2
2 1 2 2
00
00
nn
ss
AEXX
BEXX
? ? ? ??? ?
? ? ? ?????? ? ? ?
21
22
11
12
0
nn
n
s
ss
A X E
A X o
BX
B X E
??
?
??
? ?
??
? ?
?
1
21
22
11
1
12
0
XA
Xo
X
XB
?
?
? ?
?
??
? ?
?
?
? ?
?
1 1
1
0 0,A B
BO AO
? ?
?
??????
????
?? ??
28
.:)2(;)1(
.
,,
,
,,,,,
1
1
1
BACDA
DC
BA
XYZ
EO
BAE
Z
DC
BA
Y
EAC
OE
X
nE
AnDCBA
?
?
?
???
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?
?
?
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?
??
?
?
?
?
?
?
?
证明
求乘积
并且阶单位阵是
是非奇异的阶方阵都是设
例 11,
29
解, （１）根据分块矩阵的乘法，得
???
?
???
? ??
?
??
?
??
?
??
?
?
??
?
? EO
BAE
DC
BA
EAC
OEX Y Z 1
1
???
?
???
? ??
?
??
?
?
??
?
? EO
BAE
BACDO
BA 1
1,??
??
?
?
?? ? BACDO
OA
（２）由（１）可得
1
1,
AOXYZ A D C B
AO D C BA ??? ? ? ??
1 1,ABX YZ X Y Z Y Y CD? ? ? ? ? ?又
.1 BACDADC BA ?????
