固体物理学_黄昆 _第一章 晶体结构_ 20050406 § 1.2 晶格的周期性 1. 晶格周期性的描述 — 原胞和基矢 晶格的共同特点是具有周期性，可以用原胞和基矢来描述。 + 原胞：一个晶格中最小重复单元（体积最小） 如图XCH001_011所示。 + 基矢：原胞的边矢量，三维格子的重复单元是平 行六面体，是重复单元的边长矢量 321 ,, aaa KKK K K K + 单胞（结晶学元胞）：为了反映晶格的对称性， 常取最小重复单元的几倍作为重复单元。 单胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期，代表单胞三个边的矢量称为单胞的基矢。 + 基矢：a表示单胞的基矢。在一些情况下，单胞就是原胞，而在一些情况下，单胞不是原胞。 c,b, 例如面心立方晶格，如图XCH001_013所示。 原胞基矢： )( 2 )( 2 )( 2 3 2 1 ji a a ik a a kj a a KK K KK K KK K += += += , 原胞的体积 3 321 4 1 )( aaaaV =×?= KKK 单胞基矢： kac jab iaa K K KK K K = = = ，单胞的体积V 3 )( acba =×?= K K K REVISED TIME: 05-9-29 - 1 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 晶体结构_ 20050406 2. 简单晶格 简单晶格中，某一个原胞只包含一个原子，所有的原子在几何位置和化学性质上是完全等价的。碱 金属具有体心立方晶格结构；Au、Ag和Cu具有面心立方晶格结构，它们均为简单晶格。 + 简单立方晶格 如图XCH001_012所示, 原胞为简单立方晶格的立方单元，基矢： 123 ,,aaiaajaa===k KK K K KK 原胞体积：V 3 321 )( aaaa =×?= KKK —— 原胞中只包含一个原子。 + 面心立方晶格 如图XCH001_007和XCH001_013所示，八个顶角上各有一个原子，六个面的中心有6个原子故称 面心立方。 由立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢： 321 ,, aaa KKK 基矢： )( 2 )( 2 )( 2 3 2 1 ji a a ik a a kj a a KK K KK K KK K += += += ，原胞的体积 3 321 4 1 )( aaaaV =×?= KKK ，原胞中只包含一个原子。 + 体心立方晶格 体心立方：除顶角上有原子外，还有一个原子在立方体的中心，故称体心。就整个空间的晶格来看， 完全可把原胞的顶点取在原胞的体心上。这样心就变成角，角也就变成心。如图XCH001_014所示。 由立方体的中心到三个顶点引三个基矢： 321 ,, aaa KKK REVISED TIME: 05-9-29 - 2 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 晶体结构_ 20050406 基矢： )( 2 )( 2 )( 2 3 2 1 kji a a kji a a kji a a KKK K KKK K KKK K +?= +?= ++?= , 3 321 2 1 )( aaaaV =×?= KKK —— 所以包含一个原子。 3, 复式晶格 复式格子包含两种或两种以上的等价原子。 一种是不同原子或离子构成的晶体，如：NaCl、CsCl、ZnS等； 一种是相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体，如：具有金刚石结构的C、Si、Ge以及具有 六角密排结构的Be、Mg、Zn等； 复式格子的特点：不同等价原子各自构成相同的简单晶格（子晶格），复式格子由它们的子晶格相套 而成。 + NaCl由Na + 和Cl － 结合而成（如图XCH001_009所示。），是一种典型的离子晶体，Na + 构成一个面 心立方晶格；Cl － 也构成相同的一个面心立方晶格。两个面心立方子晶格各自的原胞具有相同的基矢， 由它们相套形成NaCl复式晶格。 REVISED TIME: 05-9-29 - 3 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 晶体结构_ 20050406 + CsCl结构是由两个简立方的子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1／2 的长度套构而成。如图 XCH001_010所示。 + 立方系的硫化锌（ZnS）：硫和锌分别组成面心立方结构的子晶格而沿空间对角线位移 1／4 的长 度套构而成。如图XCH001_044所示。 + 钛酸钡（BaTiO 3 ）的整个晶格是由 Ba、 Ti和 OI、 OII、 OIII各自组成的简立方结构子晶格 （共5个）套构而成的。如图XCH001_038所示。 复式格子的原胞：即是相应简单晶格的原胞，一个原胞中包含各种等价原子各一个。如钛酸钡原胞 可以取简单立方体，立方体中包含3个不等价的O原子、一个Ba原子和一个Ti原子，共五个原子。 + 六角密排晶格的原胞基矢选取，如图XCH001_015所示，一个原胞中包含A层和B层原子各一 个，共两个原子。 REVISED TIME: 05-9-29 - 4 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 晶体结构_ 20050406 补充例题 001试做出简单立方晶格、面心立方晶格和 体心立方晶格的维格纳—塞茨原胞(Wingner-Seitz)。 维格纳—塞茨原胞：由某一个格点为中心，做出最 近各点和次近各点连线的中垂面，这些所包围的空间为 维格纳—塞茨原胞。如图所示为一种二维格子的维格纳 —塞茨原胞。 简单立方、面心立方晶格和体心立方晶格如图XCH001_002、007和003所示。 简单立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立正方体。 如图XCH001_058所示. 面心立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体。如 图XCH001_059所示. 体心立方格子的维格纳—塞茨原胞为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿 立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体。八个面是正六边 形，六个面是正四边形。如图XCH001_060所示. REVISED TIME: 05-9-29 - 5 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 晶体结构_ 20050406 4. 晶格周期性的描述 — 布拉伐格子 对于简单晶格，任一原子A的位矢 l R K ： 332211 alalalR l KKK K ++= 如图XCH001_045所示是二维晶格原子A的位矢： 12 23 l R aa=+ K K K 图XCH001_045_02所示的三维格子，A原子的位矢： 12 3 l 3 R aaa= ++ K K KK 对于复式晶格：任一原子A的位矢 l R K ：如图XCH001_008所示 ……=+++= 3,2,1, 332211 αalalalrR al KKKK K 其中： α r K 是原胞中各种等价原子之间的相对位移。 例如：对于金刚石晶格，面心立方位置（绿色标记）的原 子B的位置：l 332211 alala KKK ++ 对角线原子（红色标记）的位置： 332211 alalal KKKK +++τ , 其 中τ K 是沿对角线1/4位移 因此可以用l 332211 alala KKK ++表示一个空间格子，一组l 332211 alala KKK ++的取值可以囊括所有的格点。 + 布拉伐格子：由 332211 alalal KKK ++确定的空间格子； + 晶体可以看作是在布拉伐格子（Lattice）的每一个格点上放上一组原子（Basis基元）构成的。 + 图XCH001_040~XCH_001_41所示的是基元是2个原子，布拉伐格子是二维斜方格子时，晶体的 构成。 REVISED TIME: 05-9-29 - 6 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 晶体结构_ 20050406 + 图XCH001_042所示的是基元是1个原子，布拉伐格子是三维斜方格子时，晶体的构成。 + 图XCH001_043为基元是多个原子，二维布拉伐格子是斜方格子时晶体的构成。 REVISED TIME: 05-9-29 - 7 - CREATED BY XCH