固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 §1.6 点群 晶体中原子的周期性排列形成了晶体一定的宏观对称性，不同的形式的原子排列形成的宏观对称性， 其对称操作也具有一定的限制。 描述晶体周期性的布拉伐格子：}{ 332211 alalal KKK ++ —— 经历对称操作后晶体不变，相应的布拉伐格子也不变。 + 对称素 设想有一个对称轴垂直于平面，平面内晶面的格点可以用 2211 alal KK +来描述，如图XCH001_031所 示。绕转轴的任意对称操作，转过角度为：θ； B点转到B’点—该点必有一个格点； A点和B点是等价的，以通过B点的轴顺时针转过：θ A点转到A’点—该点必有一个格点； 且有：ABnAB ='' —— n为整数 )cos21('' θ?= ABAB，n=? θcos21 θ只能取值： —— 相应的的角度： 3,2,1,0,1? 0000 180,120,90,60=θ 任何晶体的宏观对称性只能有以下几种对称素： 6,4,3,2,1 6,4,3,2,1 例如长方形、正三角形、正方形和正六方形可以在平面内 周期性重复排列。 —— 而正五边形及其它正n边型则不能作周期性重复排 列，如图XCH001_032所示。 REVISED TIME: 05-9-29 - 1 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 + 点群 以10种对称素为基础组成的对称操作群，一般称为点群。 由对称素组合成群时，对称轴的数目、对称轴之间的夹角将受到严格的限制， 例如：两个2重轴之间的夹角只能为： 0000 90,60,45,30=θ 如果存在一个n重轴和与之垂直的二重轴，就一定存在n个与之垂直的二重轴。 如图XCH001_033所示，2个二重轴2和2’； 绕轴2的转动计为A，绕轴2’的转动计为B。连续进行操作AB，与之垂直的轴上一点N回到原处， 轴2转到2’’的位置。 A和B均为对称操作：—也是对称操作。 ABC = C的操作则是绕NN’轴转过θ2角度。 其 0000 180,120,90,602 =θ 0000 90,60,45,30=θ。 + 32种点群 理论证明由10种对称素只能组成32种不同的点群。即晶体的宏观对称只有32个不同类型。 1 C：不动操作，只含有一个元素，表示没有任何对称性的晶体； 回转群：只包含一个旋转轴的点群：，共4个；下标表示是几重旋转轴； n C 6432 ,,, CCCC 双面群：包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群：，共4个； n D 6432 ,,, DDDD i C群：群加上中心反演； 1 C S C群：群加上反演面； 1 C nh C群：群加上与n重轴垂直的反演面，共4个； n C nv C群：群加上含有n重轴的反演面，共4个； n C REVISED TIME: 05-9-29 - 2 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 nh D群：群加上与n重轴垂直的反演面，共4个； n D nd D群：群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线的反演面，共2个； n D dd DD 32 , n S群：只包含旋转反演轴的点群。其中 hsi CSCSCS 3321 ,, ===，只有共2个 64 , SS h O群：立方点群：含有48个对称操作 d T群：正四面体点群：含有24个对称操作； O群：立方点群中的24个纯转动操作； h O T群：群中的12个纯转动操作； d T h T群：T群加上中心反演； REVISED TIME: 05-9-29 - 3 - CREATED BY XCH