固体物理学（一）：01_05

固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 §1.5 晶体的宏观对称性 晶体在几何外形上表现出明显的对称性，同时这些对称性性质也在物理性质上得以体现。 —— 介电常数可以表示为一个二阶张量：),,,( zyx=βαε αβ —— 电位移分量 ∑ = β βαβα ε ED 可以证明对于立方对称的晶体： αβαβ δεε 0 =——对角张量 所以：ED KK 0 ε=—— 介电常数可以看作一个简单的标量。 在六角对称的晶体中，如果将坐标轴选取在六角轴和垂直于六角轴的平面内， 介电常数具有如下形式： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⊥ ⊥ ε ε ε 00 00 00 // 对于平行轴（六角轴）的分量： // E ////// ED ε= 对于垂直于轴（垂直于六角轴的平面）的分量： ⊥ E ⊥⊥⊥ = ED ε 正是由于六角晶体的各向异性，而具有光的折射现象。而立方晶体的光学性质则是各向同性的。 原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同的宏观对称性，怎样描述晶体的宏观对称性？ 概括晶体宏观对称性的系统方法就是考察晶体在正交变换的不变性。 在三维情况下，正交变换表示为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? → ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z y x aaa aaa aaa z y x z y x 331313 232212 131211 ' ' ' —— 矩阵是正交矩阵。 3,2,1,},{ =jia ij —— 如图XCH001_062所示，绕z轴转θ角的正交矩 REVISED TIME: 05-9-29 - 1 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 阵： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 0cossin 0sincos θθ θθ —— 中心反演的正交矩阵： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 —— 一个变换为空间转动，矩阵行列式等于＋1； —— 变换为空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1。 一个物体在某一个正交变换下保持不变，称之为物体的一个对称操作，物体的对称操作越多，其对 称性越高。 1 立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动： 2 3 ,, 2 π π π ，共有9个对称操作；如图XCH001_026_01所示。 2) 绕6条面对角线轴转动π，共有6个对称操作；如图XCH001_026_02所示。 3) 绕4个立方体对角线轴转动 3 4 , 3 2 ππ ，共有8个对称操作；如图XCH001_026_03所示。 4) 正交变换也是一个对称操作； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操 作 —— 立方体的对称操作共有48个。标 记如图XCH001_056所示。 REVISED TIME: 05-9-29 - 2 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 2 正四面体的对称操作 四个原子位于正四面体的四个顶角上，显然正四面体的对称操作包含在立方体操作之中。 如图XCH001_027所示。 1) 绕三个立方轴转动：π，共有3个对称操作； 2) 绕4个立方体对角线轴转动 3 4 , 3 2 ππ ，共有8个对称操作； 3) 正交变换也是一个对称操作； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 4) 绕三个立方轴转动： 2 3 , 2 ππ ，加上中心反演，共有6个对 称操作； 5) 绕6条面对角线轴转动π，加上中心反演，共有6个对称 操作； 因此正四面体的对称操作共有24个。 3 正六面柱的对称操作 1) 绕中心轴线转动： 3 5 , 3 4 ,, 3 2 , 3 ππ π ππ ，共有5个对称操作；如图XCH001_028所示。 2) 绕对棱中点连线转动π，共有3个对称操作； 3) 绕相对面中心连线转动π，共有3个对称操作； 4) 正交变换也是一个对称操作； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 5) 以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作 因此正六面柱的对称操作共有24个。 REVISED TIME: 05-9-29 - 3 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 4 对称素 为简洁明了地概括一个物体的对称性，不去一一列举所有的对称操作，而是描述它所具有的“对称 素”。对称素就是一个物体的旋转轴，以及旋转－反演轴。 一个物体绕某一个转轴转动 n π2 ，以及其倍数不变时，称该轴为物体n重旋转轴，计为n。 一个物体绕某一个转轴转动 n π2 加上中心反演的联合操作，以及其联合操作的倍数不变时，称该轴 为物体n重旋转－反演轴轴，计为n。 + 立方体 —— 立方轴（ 2 3 ,, 2 π π π ）为4重轴，计为4；同时也是4重旋转－反演轴，计为4； —— 面对角线（π）为2重轴，计为2；同时也是2重旋转－反演轴，计为2； —— 体对角线轴（ 3 4 , 3 2 ππ ）为3重轴，计为3；同时也是3重旋转－反演轴，计为3； + 正四面体 —— 立方轴是4重旋转－反演轴，但不是4重轴； —— 面对角线是2重旋转－反演轴，但不是2重轴； —— 体对角线轴是3重轴，但不是3重旋转－反演轴。 + 对称素2，它的含义：先绕轴转动π，再作中心反演，如图XCH001_029所示。A’’点实际上是A 点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像，表明对称素2存在一个对称面M。所以称对称素2为镜 面，用σorm,表示。 + 对称操作群 —— 一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群 5 群的基本知识 REVISED TIME: 05-9-29 - 4 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 群代表一组“元素”的集合，G≡{E,A,B,C,D……}这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下 列性质： 1) 集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素，即，若 A, B ∈ G, 则AB=C ∈ G. 叫做群 的封闭性。 2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A 3) 对于任意元素A, 存在逆元素A -1 , 有：AA -1 =E 4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C + 几个简单的群 1) 所有正实数(0除外)的集合，以普通乘法为运算法则，组成正实数群。 2) 所有整数的集合，以加法为运算法则，组成整数群。 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义，其运算法则就是连续操作。 单位元素：不动操作 任意元素的逆元素：绕转轴θ角度，其逆操作为绕转轴θ?角度；中心反演的逆操作仍是中心反演； 连续进行A和B操作，相对于C操作，如图XCH_001_030 所示。 A操作：绕OA轴转动 2 π ，S点转到T’点； B操作：绕OC轴转动 2 π ，T’点转到S点； 上述操作中S和O没动，而T点转动到T’点。相当于一个操作C：绕OS轴转动 3 2π 表示为：—群的封闭性 BAC = 可以证明：－满足结合律 CABBCA )()( = REVISED TIME: 05-9-29 - 5 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 6 立方对称晶体的介电系数 ∑ = β βαβα ε ED， βααβ εε = —— βα,表示沿X，Y，Z轴的分量，选取X，Y，Z轴为立方体的 三个立方轴方向。如图XCH001_037所示。 假设电场E K 沿Y轴方向：0, === zxy EEEE ∑ = β βαβα ε ED， xxxxyxz yyxyyz zzxzyz DEεεε εεε εεε ?? ?? ? ?? ?? ? = ?? ? ?? ? ?? ? ?? x y z ? ? ? ? ? 可以写成：ED xyx ε=，ED yyy ε=，ED zyz ε= 现将晶体和电场同时绕Y轴转动 2 π ，D K 也作相应的转动。如图XCH001_037所示。 yyzxxz →?→→ ,,：EDD zyzx ε=='，EDD yyyy ε=='，EDD xyxz ε?=?=' 该转动的实施，电场没有变，同时又是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别。 应有：，即DD KK =' EEDD zyxyxx εε == ,'，EEDD zyxyzz εε =?= ,' 得到： zyxy εε =和 zyxy εε ?= —— 表明：0== zyxy εε 同样如果电场沿Z方向，晶体和电场绕Z轴转动 2 π ，如图XCH001_037_01所示。 可以得到：0== yzxy εε REVISED TIME: 05-9-29 - 6 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 所以 αααα ε ED =，zyx ,,=α ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z y x zz yy xx z y x E E E D D D ε ε ε 00 00 00 再取电场方向沿方向，如图XCH001_037_02所示。]111[ EEEE xxx 3 1 === 则有：EDEDED zzzyyyxxx 3 1 , 3 1 , 3 1 εεε === 绕轴转动]111[ 3 2π ：zyyxxz →→→ ,, 电位移矢量变成：EDDEDDEDD yyyzxxxyzzzx 3 1 ', 3 1 ', 3 1 ' εεε ====== 实施转动后，电场未变，晶体经历一个电场操作：DD KK =' 所以： 0 εεεε === zzyyxx 0 0 0 00 00 00 αβ ε εε ε ?? ?? = ?? 0 DEε= K K 在立方晶体中： αβαβ δεε 0 =， —— 一个正四面体也具有以上的对称操作，因此，对于正四面体晶体上述结论亦然成立。此外关于介电 常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形式的宏观性质：如导电率、热导率……等。 —— 上述结果的另外一种证明方法 设对称操作对应的正交变换：，且有： 11 12 13 12 22 23 13 13 33 aaa Aaaa aaa ?? ? = ?? ?? ? 1 * ? = AA REVISED TIME: 05-9-29 - 7 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 介电常数： 11 12 13 12 22 23 13 13 33 ε εε ε εεε ε εε ?? ?? = ?? —— 在坐标变换下：， 1 ' ? = AAεε *' AAεε =， ∑ = ij ijji aa εε βααβ ' 因为A为对称变换：'εε =， ∑ = ij ijji aa εε βααβ 对于立方晶体：选取对称操作A为绕Z轴旋转 2 π —— 11 12 13 12 22 23 13 13 33 cos sin 0 22 sin cos 0 22 00 aaa Aaaa aaa ππ ππ ?? ? ?? ?? ?? == ?? ?? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 100 001 010 A，代入得到： ∑ = ij ijji aa εε βααβ 2112 1221 εε εε ?= = ，0 2112 ==εε 进一步选择其它的对称操作，最后得到： ijij δεε 0 = 对于n阶张量形式的物理量，其系数可以用n阶张量来表示：。 ……rst T 在坐标变换下： ∑ …… ………… …… rst rstltjsirijl TaaaT＝' 如果A为对称操作：, 这样可以简化n阶张量。 ………… ijlijl TT＝' REVISED TIME: 05-9-29 - 8 - CREATED BY XCH