固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 §1.5 晶体的宏观对称性 晶体在几何外形上表现出明显的对称性,同时这些对称性性质也在物理性质上得以体现。 —— 介电常数可以表示为一个二阶张量:),,,( zyx=βαε αβ —— 电位移分量 ∑ = β βαβα ε ED 可以证明对于立方对称的晶体: αβαβ δεε 0 =——对角张量 所以:ED KK 0 ε=—— 介电常数可以看作一个简单的标量。 在六角对称的晶体中,如果将坐标轴选取在六角轴和垂直于六角轴的平面内, 介电常数具有如下形式: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⊥ ⊥ ε ε ε 00 00 00 // 对于平行轴(六角轴)的分量: // E ////// ED ε= 对于垂直于轴(垂直于六角轴的平面)的分量: ⊥ E ⊥⊥⊥ = ED ε 正是由于六角晶体的各向异性,而具有光的折射现象。而立方晶体的光学性质则是各向同性的。 原子的周期性排列形成晶格,不同的晶格表现出不同的宏观对称性,怎样描述晶体的宏观对称性? 概括晶体宏观对称性的系统方法就是考察晶体在正交变换的不变性。 在三维情况下,正交变换表示为: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? → ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z y x aaa aaa aaa z y x z y x 331313 232212 131211 ' ' ' —— 矩阵是正交矩阵。 3,2,1,},{ =jia ij —— 如图XCH001_062所示,绕z轴转θ角的正交矩 REVISED TIME: 05-9-29 - 1 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 阵: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 0cossin 0sincos θθ θθ —— 中心反演的正交矩阵: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 —— 一个变换为空间转动,矩阵行列式等于+1; —— 变换为空间转动加中心反演,矩阵行列式等于-1。 一个物体在某一个正交变换下保持不变,称之为物体的一个对称操作,物体的对称操作越多,其对 称性越高。 1 立方体的对称操作 1) 绕三个立方轴转动: 2 3 ,, 2 π π π ,共有9个对称操作;如图XCH001_026_01所示。 2) 绕6条面对角线轴转动π,共有6个对称操作;如图XCH001_026_02所示。 3) 绕4个立方体对角线轴转动 3 4 , 3 2 ππ ,共有8个对称操作;如图XCH001_026_03所示。 4) 正交变换也是一个对称操作; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操 作 —— 立方体的对称操作共有48个。标 记如图XCH001_056所示。 REVISED TIME: 05-9-29 - 2 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 2 正四面体的对称操作 四个原子位于正四面体的四个顶角上,显然正四面体的对称操作包含在立方体操作之中。 如图XCH001_027所示。 1) 绕三个立方轴转动:π,共有3个对称操作; 2) 绕4个立方体对角线轴转动 3 4 , 3 2 ππ ,共有8个对称操作; 3) 正交变换也是一个对称操作; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 4) 绕三个立方轴转动: 2 3 , 2 ππ ,加上中心反演,共有6个对 称操作; 5) 绕6条面对角线轴转动π,加上中心反演,共有6个对称 操作; 因此正四面体的对称操作共有24个。 3 正六面柱的对称操作 1) 绕中心轴线转动: 3 5 , 3 4 ,, 3 2 , 3 ππ π ππ ,共有5个对称操作;如图XCH001_028所示。 2) 绕对棱中点连线转动π,共有3个对称操作; 3) 绕相对面中心连线转动π,共有3个对称操作; 4) 正交变换也是一个对称操作; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 010 001 5) 以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作 因此正六面柱的对称操作共有24个。 REVISED TIME: 05-9-29 - 3 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 4 对称素 为简洁明了地概括一个物体的对称性,不去一一列举所有的对称操作,而是描述它所具有的“对称 素”。对称素就是一个物体的旋转轴,以及旋转-反演轴。 一个物体绕某一个转轴转动 n π2 ,以及其倍数不变时,称该轴为物体n重旋转轴,计为n。 一个物体绕某一个转轴转动 n π2 加上中心反演的联合操作,以及其联合操作的倍数不变时,称该轴 为物体n重旋转-反演轴轴,计为n。 + 立方体 —— 立方轴( 2 3 ,, 2 π π π )为4重轴,计为4;同时也是4重旋转-反演轴,计为4; —— 面对角线(π)为2重轴,计为2;同时也是2重旋转-反演轴,计为2; —— 体对角线轴( 3 4 , 3 2 ππ )为3重轴,计为3;同时也是3重旋转-反演轴,计为3; + 正四面体 —— 立方轴是4重旋转-反演轴,但不是4重轴; —— 面对角线是2重旋转-反演轴,但不是2重轴; —— 体对角线轴是3重轴,但不是3重旋转-反演轴。 + 对称素2,它的含义:先绕轴转动π,再作中心反演,如图XCH001_029所示。A’’点实际上是A 点在通过中心垂直于转轴的平面M的镜像,表明对称素2存在一个对称面M。所以称对称素2为镜 面,用σorm,表示。 + 对称操作群 —— 一个物体的全部对称操作构成一个对称操作群 5 群的基本知识 REVISED TIME: 05-9-29 - 4 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 群代表一组“元素”的集合,G≡{E,A,B,C,D……}这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”,满足下 列性质: 1) 集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素,即,若 A, B ∈ G, 则AB=C ∈ G. 叫做群 的封闭性。 2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足:AE = A 3) 对于任意元素A, 存在逆元素A -1 , 有:AA -1 =E 4) 元素间的“乘法运算”满足结合律:A(BC)=(AB)C + 几个简单的群 1) 所有正实数(0除外)的集合,以普通乘法为运算法则,组成正实数群。 2) 所有整数的集合,以加法为运算法则,组成整数群。 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义,其运算法则就是连续操作。 单位元素:不动操作 任意元素的逆元素:绕转轴θ角度,其逆操作为绕转轴θ?角度;中心反演的逆操作仍是中心反演; 连续进行A和B操作,相对于C操作,如图XCH_001_030 所示。 A操作:绕OA轴转动 2 π ,S点转到T’点; B操作:绕OC轴转动 2 π ,T’点转到S点; 上述操作中S和O没动,而T点转动到T’点。相当于一个操作C:绕OS轴转动 3 2π 表示为:—群的封闭性 BAC = 可以证明:-满足结合律 CABBCA )()( = REVISED TIME: 05-9-29 - 5 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 6 立方对称晶体的介电系数 ∑ = β βαβα ε ED, βααβ εε = —— βα,表示沿X,Y,Z轴的分量,选取X,Y,Z轴为立方体的 三个立方轴方向。如图XCH001_037所示。 假设电场E K 沿Y轴方向:0, === zxy EEEE ∑ = β βαβα ε ED, xxxxyxz yyxyyz zzxzyz DEεεε εεε εεε ?? ?? ? ?? ?? ? = ?? ? ?? ? ?? ? ?? x y z ? ? ? ? ? 可以写成:ED xyx ε=,ED yyy ε=,ED zyz ε= 现将晶体和电场同时绕Y轴转动 2 π ,D K 也作相应的转动。如图XCH001_037所示。 yyzxxz →?→→ ,,:EDD zyzx ε==',EDD yyyy ε==',EDD xyxz ε?=?=' 该转动的实施,电场没有变,同时又是一个对称操作,晶体转动前后没有任何差别。 应有:,即DD KK =' EEDD zyxyxx εε == ,',EEDD zyxyzz εε =?= ,' 得到: zyxy εε =和 zyxy εε ?= —— 表明:0== zyxy εε 同样如果电场沿Z方向,晶体和电场绕Z轴转动 2 π ,如图XCH001_037_01所示。 可以得到:0== yzxy εε REVISED TIME: 05-9-29 - 6 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 所以 αααα ε ED =,zyx ,,=α ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z y x zz yy xx z y x E E E D D D ε ε ε 00 00 00 再取电场方向沿方向,如图XCH001_037_02所示。]111[ EEEE xxx 3 1 === 则有:EDEDED zzzyyyxxx 3 1 , 3 1 , 3 1 εεε === 绕轴转动]111[ 3 2π :zyyxxz →→→ ,, 电位移矢量变成:EDDEDDEDD yyyzxxxyzzzx 3 1 ', 3 1 ', 3 1 ' εεε ====== 实施转动后,电场未变,晶体经历一个电场操作:DD KK =' 所以: 0 εεεε === zzyyxx 0 0 0 00 00 00 αβ ε εε ε ?? ?? = ?? 0 DEε= K K 在立方晶体中: αβαβ δεε 0 =, —— 一个正四面体也具有以上的对称操作,因此,对于正四面体晶体上述结论亦然成立。此外关于介电 常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形式的宏观性质:如导电率、热导率……等。 —— 上述结果的另外一种证明方法 设对称操作对应的正交变换:,且有: 11 12 13 12 22 23 13 13 33 aaa Aaaa aaa ?? ? = ?? ?? ? 1 * ? = AA REVISED TIME: 05-9-29 - 7 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 介电常数: 11 12 13 12 22 23 13 13 33 ε εε ε εεε ε εε ?? ?? = ?? —— 在坐标变换下:, 1 ' ? = AAεε *' AAεε =, ∑ = ij ijji aa εε βααβ ' 因为A为对称变换:'εε =, ∑ = ij ijji aa εε βααβ 对于立方晶体:选取对称操作A为绕Z轴旋转 2 π —— 11 12 13 12 22 23 13 13 33 cos sin 0 22 sin cos 0 22 00 aaa Aaaa aaa ππ ππ ?? ? ?? ?? ?? == ?? ?? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 100 001 010 A,代入得到: ∑ = ij ijji aa εε βααβ 2112 1221 εε εε ?= = ,0 2112 ==εε 进一步选择其它的对称操作,最后得到: ijij δεε 0 = 对于n阶张量形式的物理量,其系数可以用n阶张量来表示:。 ……rst T 在坐标变换下: ∑ …… ………… …… rst rstltjsirijl TaaaT=' 如果A为对称操作:, 这样可以简化n阶张量。 ………… ijlijl TT=' REVISED TIME: 05-9-29 - 8 - CREATED BY XCH