固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 § 1.4 倒格子 由于晶格具有周期性，一些物理量具有周期性，如势能函数： )()( 332211 alalalxVxV GGGKK +++= —— 如图 XCH_001_024 所示， A 和 A’两点势能相同 。 —— 势能函数是以 321 ,, aaa GGG 为周期的三维周期函数 引入倒格子， 可以将三维周期性函数展开为傅里叶级数。 1. 倒格子的定义 根据基矢定义三个新的矢量： 321 21 3 2 aaa aa b GGG GG G ×? × = π ; 321 13 2 2 aaa aa b GGG GG G ×? × = π ； 321 32 1 2 aaa aa b GGG GG G ×? × = π ——倒格子基矢量 —— 以 321 ,, bbb KKK 为基矢，可以构成一个倒格子 倒格子每个格点的位置： 332211 321 bnbnbnG nnn KKKK ++= —— 倒格子矢量，或倒格矢。 容易验证倒格子基矢与正格子基矢满足： 2( 2 0( ij ij ij ab ij π πδ ) ) = = ? ?= ? = ≠ ? K K ， 3,2,1, =ji + 倒格子：与晶面密切相连的一类点子，这些点子在空间的规则周期性排列。  关于时间周期性函数的傅里叶级数展开含义 时间周期函数 )()( nTtftf += 令 Tt τ= ， 1~0:τ 可以将 )()( nTTftf += τ 看作是以 τ 为宗量、周期为 1 的周期函数。 将 )(τf 展开为傅里叶级数： 2( ) () im m m fFe π τ τ = ∑ —— m为整数 傅里叶系数： )( )(2 1 0 ττ τπ fedF mi m ? ∫ = REVISED TIME: 05-9-29 - 1 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 由 T π ω 2 = 和 Tt τ= 得到： π ω τ 2 t = 将 π ω τ 2 t = 代入 ∑ = m mi m eFf )(2 )( τπ τ —— () im t m m f tFe ω = ∑ 傅里叶系数： 0 1 () T im t m Fdtef T ω? = ∫ t —— ωm 为 的傅里叶展开中的各种频率 )(tf 时间——正格子：基矢： T ，正格矢： nT 频率——倒格子：基矢： ω ，倒格矢： ωm —— 满足： πω 2=T + 具有晶格周期性函数傅里叶级数的展开 晶格原胞中任一点： 332211 aaax GGGK ξξξ ++= —— 其中 321 ,, ξξξ 为宗量 —— 将 )()( 332211 alalalxVxV GGGKK +++= 可以看作是以 321 ,, ξξξ 为宗量，周期为 1 的周期函数 傅里叶级数： —— 其中： 为整数。 ∑ ++ = 321 332211 321 ,, )(2 ,,321 ),,( hhh hhhi hhh eVV ξξξπ ξξξ 321 ,, hhh 系数 ),,( 321 )(2 3 1 0 2 1 0 1 1 0 ,, 332211 321 ξξξξξξ ξξξπ VedddV hhhi hhh ++? ∫∫∫ = 由 321 21 3 2 aaa aa b GGG GG G ×? × = π ; 321 13 2 2 aaa aa b GGG GG G ×? × = π ； 321 32 1 2 aaa aa b GGG GG G ×? × = π 和 332211 aaax GGGK ξξξ ++= 得到： xb K K ?= 11 2 1 π ξ ， xb K K ?= 22 2 1 π ξ ， xb K K ?= 33 2 1 π ξ 代入 ∑ ++ = 321 332211 321 ,, )(2 ,,321 ),,( hhh hhhi hhh eVV ξξξπ ξξξ 得到： ∑ ?++ = 321 332211 321 ,, )( ,, )( hhh xbhbhbhi hhh eVxV K KKK K ， 123 123 123 ,, ,, () hhh iG x hhh hhh Vx V e ? = ∑ K K K —— 系数 11 2 2 33 123 123 () ,, 12 3 12 3 11 () () hhh iG x ihb hb hb x hhh VdxeVdxe aa a aa a ?? ?++? == ?× ?× ∫∫ V K K KK K K KKK GGG GGG —— 积分在一个原胞中进行 REVISED TIME: 05-9-29 - 2 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 2. 倒格子与正格子间的关系 + 倒格子原胞体积反比于正格子原胞体积 )()()( )2( )(* 211332 3 3 321 aaaaaabbb KKKKKK KKK ×××?× ? =×?=? π CBABCACBA KKKKKKKKK )()( ???=×× —— 31 1 2 Aaa Ba Ca →× → → K K K K K K K [][ ] 1211312132113 )())()()( aaaaaaaaaaaaa KKKKKKKKKKKKK ?=?×??×=××× ? =?× ? =? 3 132 2 3 )2( )( )2( * ππ aaa KKK + 正格子中一簇晶面 和 正交 )( 321 hhh 321 hhh G K 因为 ， ijji ba πδ2=? K K 332211 321 bhbhbhG hhh KKKK ++= 如图 XCH_001_047 所示。 3 3 2 2 3 3 1 1 , h a h a CB h a h a CA KKKK ?=?= 很容易证明： 0,0 321321 =?=? CBGCAG hhhhhh KK 即 与晶面簇 正交。 321 hhh G K )( 321 hhh + 为晶 面 的法 线方向 ，晶 面方程 可以表 示为： 321 hhh G K )( 321 hhh nxbhbhbh π2)( 332211 =?++ K KKK —— n取不同值代表一个一簇晶面系中，不同的晶面。如图 XCH_001_050 所示。 各晶面到原点的垂直距离： 332211 2 bhbhbh n d n KKK ++ = π ，面间距： 123 11 2 2 33 22 hhh d hb hb hb G π π == ++ KKKK REVISED TIME: 05-9-29 - 3 - CREATED BY XCH 固体物理学_黄昆 _第一章 固体结构_ 20050406 3. 倒格子与晶格的几何关系 如图 XCH_001_048 所示。 原点 O 引 晶面簇 ABC 的法线 ON， 在 法线上 截取一 段 ρ=OP ，使 πρ 2=d ； d 是晶面簇 ABC 的面间距。 对于每一簇晶面都有一点 P，以 OP 为该方向的周期， 把 P 平移，得出一个新的点阵。这个新格子称为原来的晶格的倒格子，而把原来的晶格称为正格子。 倒格子基矢和正格子基矢间的关系： 令正格子的基矢为 321 ,, aaa KKK ; 正格子的坐标面 133221 ,, aaaaaa KKKKKK 各有其对应的晶面簇， 设面簇 133221 ,, aaaaaa KKKKKK 的面间距分别为 d 。作 面， 在 OP 上截取一段 OP ，使 321 ,, dd 21 aaOP ⊥ KK = 3 b 3 3 2 d b π = 。 同样， 对于 32 aa KK 面， 得出 1 1 2 d b ；对 于 13 aa KK 面得出 2 2 2 d b π = π = 。 这样得出的三个矢量 321 ,, bbb KKK 就取为例格子的基矢。如图 XCH_001_049 所示。 正格子原胞的体积 223213 )sin( aadaad GG ×=?=? θ 倒格子基矢： [] ? × == 21 3 3 22 aa d b ; [ ] ? × == 13 2 2 22 aa d b GG G ππ ； [] ? × == 32 1 1 22 aa d b GG G ππ GG G ππ —— 晶格的一簇晶面转化为倒格子中的一点，这在处理晶格的问题上有很大的意义 REVISED TIME: 05-9-29 - 4 - CREATED BY XCH