逻辑代数是分析和设计数字电路的基本工具。因此首先
要了解逻辑代数有什么基本特性，逻辑代数和普通代数又有
什么异同之处。
逻辑代数和普通代数的区别：
共同点：
☆ 都用字母 A,B,C --- 等表示变量。
☆ 仍遵守与普通代数一样的运算优先顺序（先括号、
其次乘、最后加）。
不同点：
★ 这些变量 A.B.C 的取值范围是 0 和 1 。
★ 其运算规则是按逻辑规则来定义的。
★ 0,1不再表示数量的大小，只代表不同的逻辑状态。
逻辑代数也用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量。在二值
逻辑中，每个逻辑变量的取值只有 0和 1两种。
在逻辑代数中,0和 1不再表示数量的大小，只代表两种不同的逻
辑状态。
逻辑代数主要用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计。
一、基本逻辑运算,与、或、非 三种。
为了便于理解基本逻辑关系的基本含义，先通过一些简单例子
作一说明。
1,,与, 运算及与门
逻辑与的概念,若决定一件事的所有条件都成立，这件事的结果
就会发生。否则这件事就不会发生。这样的逻辑关系称为,逻辑与、
逻辑乘、或称为：“与”运算。
能够实现与逻辑运算的电子电路称为与门电路。
开关断开为 0
开关闭合为 1
灯亮为 1
灯不亮为 0
假设,用四个式子表示：
0 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1 · 0 = 0
1 · 1 = 1
与逻辑的表示方法：（四种）
☆ 真值表：
将输入变
量所有的取值
下对应的输出
值找出来，列
成表格，即可
得到真值表。
A B F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
☆ 逻辑表达式,
把输出与输入之间的逻辑
关系写出 与 运算的逻辑代数式
，即为逻辑表达式。
F = A · B
A B
F~ 220V 有 0为 0
全 1为 1
☆ 工作波形图
把输入和输出之
间的逻辑关系用波形
图的方法表示，即为
工作波形图。
有 0为 0，全 1为 1
☆ 逻辑图（符号）
将逻辑函数中各
变量之间的逻辑关系
用图形符号表示，即
为逻辑图。
把实现与逻辑运算
的单元电路叫做 与门 。
F
&AB F
A
B
逻辑或的概念,决定某一件事的诸条件中，只要有一
个或一个以上的条件满足，这件事的结果就会发生，否则
结果不会发生。这样的逻辑关系称为,逻辑或、逻辑加、
或称为,或”运算。
0 ＋ 0 = 0
0 ＋ 1 = 1
1 ＋ 0 = 1
1 ＋ 1 = 1
假设：
开关闭合为 1
开关断开为 0
灯亮为 1
灯不亮为 0
用四个式子表示：
用并联开关电路简单说明 或 逻辑关系：
或逻辑的表示方法：
~ 220V
A
B
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
☆ 真值表,☆ 工作波形图
☆ 逻辑图（符号）
☆ 逻辑表达式,
F = A + B
把实现或逻辑运算的
单元电路叫做或门。
有 1为 1
全 0为 0
F
≥1AB F
A
B
逻辑非的概念,条件具备了，结果不会发生。条件
不具备，结果一定发生。
A F
0 1
1 0
逻辑表达式：
AF ?
工作波形,
逻辑符号：
开关闭合为 1
开关断开为 0
灯亮为 1
灯不亮为 0
假设：
把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门。
~ 220V A F
A F1A
F
AAA ??
0??AA
逻辑运算 逻辑符号 真值表 基本运算规则
与
A B F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
AA ??1
00 ??A
AAA ?＋
1?AA＋
11?＋A
AA ?0＋
AA?
A F
0 1
1 0
逻辑表达式
BAF ??
BAF ??
AF ?
或
非
&AB F
≥1AB F
1A F
实际的逻辑问题比 与、或、非 复杂得多。利用这三种
基本逻辑关系，可以得出处理实际逻辑问题的各种复合逻
辑，如 与非、或非、与或非、异或、同或 逻辑等。
1,与非逻辑
与非逻辑是 与 逻辑运算和 非 逻辑运算的组合。它是将
输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。
◇ 与非逻辑表达式,BAF ??
◇ 与非门逻辑符号：
能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门 。
&A FB A FB A FB
◇ 与非门真值表：
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
有 0为 1,全 1为 0
与非门运算顺序是,先与后非
即：当输入 A,B中, 只要有一个
0,输出就是 1,只有输入全为 1时,
输出才是 0。
BAF ??
1
1
1
0
◇ 工作波形图,A
B
F
或非逻辑是 或 逻辑运算和 非 逻辑运算的组合。它是将
输入变量先进行或运算，然后再进行非运算。
能够实现或非逻辑运算的电路称为 或非门 。
◇ 或非逻辑表达式,BAF ??
◇ 或非门逻辑符号：
◇ 或非门真值表：
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
BAF ??
或非门运算顺序是,先或后非
1
0
0
0
有 1为 0,全 0为 1
即：当输入 A,B中,
只要有一个 1,输出就
是 0,只有输入全为 0时,
输出才是 1。
◇ 或非门工作波形
≥1 FAB +A FBA FB
A
B
F
与或非逻辑是 与 逻辑运算和 或非 逻辑运算的组合。它是
将输入变量 A,B及 C,D先进行与运算，然后再进行或非运算。
能够实现与或非逻辑运算的电路称为 与或非门 。
A B C D F
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
◇ 逻辑符号,◇ 与或非门真值表：
◇ 工作 波形图：
◇ 逻辑表达式：
CDABF ??
每组有 0为 1,
某组全 1为 0。
A
F
B
C
D
&
&
≥1AB
C
D
F
C
+AB
D
F
F
A
B
C
D
A,B为两个单刀双掷开关。
灯亮的条件是：一个开关打在上
面，另一个开关打在下面。两个开关
同时打在上面或者下面，则灯不亮。
假设：
开关打在上面为 1
开关打在下面为 0
灯亮为 1
灯灭为 0
真值表：
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
◇ 由真值表写出逻辑表达式：
★ 取 F=1列与项逻辑式。
★ 对任何一种输入变量组合，
变量之间是, 与, 运算。
★ 如果输入变量是, 1”,记原
变量。如果输入变量是, 0”,
记反变量。
★ 各组合之间是, 或, 逻辑关
系。
BABABAF ????
异或运算特点：
相异为 1，相同为 0
A
F
B
220V
◇ 异或 逻辑符号：
异或逻辑基本运算规律：
0 ? 0 = 0 1 ? 1 = 0
1 ? 0 = 0 ? 1 = 1
推论,◇ 异或门工作 波形图：
1?? AA
0?? AA
AA ?? 0
AA ?? 1
BABA ???
⊕
=1A FB
F
A
B
假设：
开关打在上面为 1
开关打在下面为 0
灯亮为 1
灯灭为 0
灯亮的条件是：
两个开关均打
在上面，或均
打在下面。
A B F
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1ABBAF ??
☆ 同或运算特点,
相同为 1,相异为 0。
◇ 同或 逻辑符号：
同或逻辑和异
或逻辑互为反
函数。
◇ 同或逻辑真值表
◇ 同或逻辑表达式
A B A B??
A B A B??
AB?
⊙=1A
FB
A
F
B
220V
1、逻辑函数间的相等
设有两个逻辑函数 F = f (A1A2---An)
G = g (A1A2---An)
看出,F和 G都是变量 A1A2---An的逻辑函数 。
如果,2n 种组合中每一状态组合 F和 G值相同，
则称为 F和 G相等，记作 F=G。
如果 F=G，其真值表相同。反之,F和 G真值
表相同,F一定等于 G。
因此，要证明两个逻辑函数相等，只需列出真
值表，若真值表相同，那么这两个函数一定相等。
? ? ? ?CBAC,B,AF ??? ?
CAABC,B,AG ??例：设 证明 F = G证：
(1)、列出 F和 G的真值表
从真值表中可以看出：
每一种组合 F 和 G 都相
等，所以 F = G。
即,F 和 G是同一逻
辑的两种不同表达式。
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
? ?CBA ?? CAAB?
0 0
0 0
0 0
0 0
1 1
0 0
1 1
1 1
? ?F A B C??
G A B A C??
(2)、实现 F和 G的逻辑电路图
两种不同的电路形式，表示同一种逻辑功能。
C CB?
BA?
C
CA?
将运算符号变为逻辑符号
≥11 &
A
B
C
A
B
C
&
&
≥1
1
交换率 A+B=B+A AB=BA
结合率 A+(B+C)=(A+B)+C A(BC)=(AB)C
分配率 A(B+C)=AB+AC A+(BC)=(A+B)(A+C)
吸收率 A+AB=A A(A+B)=A
0－ 1率 A+1=1,A+O=A A·0=0,A·1=A
互补率
重叠率 A+A=A A·A=A
非非率
反演率
包含率
1?? AA
AA?
BABA ???
CAABBCCAAB ????
BAAB ??
? ?? ?? ? ? ?? ?CABACBCABA ??????
0??AA
两点说明：
1、乘法运算中乘号, ·”可以省略,A ·B 可写为 AB
2、运算顺序，先括号，再算乘，最后加。
这些基本定律反应了逻辑代数的基本规律，其正确性
都可以利用真值表加以验证。
例：证明反演率 BAABBABA ?????,
00 1 1 1 1
01 0 0 1 1
10 0 0 1 1
11 0 0 0 0
BA? BA?
AB BA?AB 从真值表中看出：
BABA ???
BAAB ??
BABA ???
BAAB ??
（ 1）、代入规则
任何一个含变量 A 的等式中，如果将出现 A 的地
方，都代之一个逻辑函数 F,则等式仍然成立。
例 1：分配率 A(B+C) = AB+AC 令,C = EF 代入公式
A(B+EF)
证,A(B+EF) 用乘对加的分配率证明
例 2,BABAA ???
BCDBCDCD ???则：
令,A = CD
证,? ? BCDBCDCDCDBCDCD ?????? )(
代入规则之所以正确：
是因为任何一个逻辑函数和任何一个逻辑变量一样，只有
两种可能取值 (0,1),所以可以将逻辑函数当作一个逻辑变量
对待。
= AB+AEF
= AB+AEF
☆ 有了代
入规则，基本
定律不受变量
限制，扩大了
基本公式的应
用范围。
（ 2）、反演规则,（摩根定理）
目的,求原函数的反函数
已知函数为 F,将 F 中的所有, ·” 换为, ＋,,, ＋, 换为
,·”, 0 换为 1, 1 换为 0，原变量换为反变量，反变量换为原变量。
得到的函数式就是原函数的反函数，或称为补函数。记作
F
CDBAF ?? F求例 1:已知
解,由反演规则直接得出 ? ?DCBAF ??? )(
CDBAF ??由反演率得
2、在运算过程中适当增加括号，以保证原函数的运算顺序不变。
本例说明：
1、由反演规则求反函数，比直接用反演率求反函数方便、简单。
CDBA ?? ? ?DCBA ??? )(
例 2,已知 EDCBAF ?????
? ?EDCBAF ?????解,利用反演规则直接写出
注意：不属于单个变量上的反号保持不变。
（ 3）、对偶规则：
对偶式：已知函数为 F,将 F 中的所有, ·” 换为
,＋,,, ＋, 换为, ·”, 0 换为 1, 1 换为 0,变
量保持不变 。得到的函数式就是原函数的对偶式 F′ 。
例,? ?CBAF ?? CBAF ??'
)1)(( ???? CABAF ? ?0' ??? CABAF
CBAF ??? CBAF ???'
F求
首先了解什么是对偶式；
对偶规则：
如果两个函数 F 和 G 相等，那么它们各自的对偶式
F′ 和 G′ 也相等。
例, F = A(B+C)
由乘对加的分配率知：
F′= A+BC
由加对乘的分配率知,
G′= (A+B)(A+C)G = AB+AC
F = A(B+C)=AB+AC
∴ F = G ∴ F′= G′
F′= A+BC = (A+B)(A+C)
掌握对偶规则的 目的, 当证明某一等式相等
后，根据对偶规则，其对偶式也相等。使证明的
式子数目减少一半。起到事半功倍的效果。
目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的
基本定律，得出一些常用公式。
ABAAB ??
? ? AABBABAAB ?????? 1证：
? ?? ? ABABA ???
1?? BB
BABAA ???
? ?? ? ? ? BABABAAABAA ????????? 1证：
? ? ABBAA ???
吸收律：
（互补率）
说明：两个乘积项相加
时, 若乘积项分别包含
B和 /B两个因子 。 而其
余因子相同 。 则两项定
能合并成一项, 消去 B
和 /B两个因子 。
说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好
是另一乘积项的补 （ /A),则该乘积项中的 /A是多余的。
吸收律,
对偶式：
对偶式：
若 两 个 乘 积 项 中 分 别
包 含 A 和 A 两 个 因 子,
而 这 两 个 乘 积 项 的 其
余 因 子 组 成 第 三 个 乘
积 项, 则 第 三 个 乘 积
项 是 多 余 的 。 可 消 去
CAABBCCAAB ????
? ?BCAACAABBCCAAB ??????
? ? ? ?BCACAB ???? 11
CAAB ??
CAABB C D ECAAB ???? ?
?B C D EBCCAAB ???证：
? ??DEBCCAAB ???? 1
CAABBCCAAB ?????
? ? ? ?? ? ? ? ? ?CABAEDCBCABA ????????? ?
包含律：
推论：
对偶式：
BCAA B CCAAB ????
证：
? ?? ?BACACAAB ????
? ?? ? BCCAABAABACA ??????证右,CAABBCCAAB ?????? 0
? ?? ? BAACCABA ????
A+BC = (A+B)(A+C)
证,(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC
=(A+AC+AB)+BC
=A(1+C+B)+BC
= A+BC
A(B+C)=AB+AC
交叉互换率：
对偶式：
加对乘的分配率：
对偶式：
常用逻辑函数表示方法有：
1、逻辑真值表
2、逻辑表达式
3、逻辑图
各种表示方法间的相互转换
一、从真值表写出逻辑表达式
例：已知一个奇偶判别函数的真值表（偶
为 1,奇为 0)，试写出它的逻辑函数式。
A B C Y
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1
0
0
0
0
1
1
0
BCA
CBA
CAB
解,当 ABC=011时,1?BCA使乘积项
当 ABC=101时,1?CBA使乘积项
当 ABC=110时,1?CAB使乘积项
因此,Y的逻辑函数应当等于这三个乘积项之和。
CABCBABCAY ???
4、工作波形图
通过以上例题可以总结出从真值表写出逻辑函数式的一般方法。
1、找出真值表中使逻辑函数 Y=1的输入变量取值组合。
2、每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，输入变量取值为
1的写入原变量，取值为 0的写入反变量。
3、将取值为 1的乘积项相加，即得到 Y的逻辑函数式。
二、从逻辑表达式列出真值表
将输入变量的所有状态组合
逐一代入逻辑式，求出函数值，
列成表，即可得到真值表。
例：已知函数 CBACBAY ???
求其对应真值表。
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
CB CBA Y
解：将三变量所有取值组合代
入 Y式中，将计算结果列表。
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
&
&1
1
1
≥1 ≥1
三、从逻辑表达式画出逻辑图
用图形符号代替逻辑式中的运算符号，就可以画
出逻辑图。
例：已知逻辑函数,CCBACBAY ???? 画出对应逻辑图。
解：将式中所有的与、或、非运算符号用逻辑符号代替
，并根据运算优先顺序把这些逻辑符号连接起来，就得到 Y
的逻辑图。
A
B
C
A
B
C
CBA
CB CBA? CCBACBA ???
Y
≥1
≥1
≥111
A
B
Y
四,从逻辑图写出逻辑表达式
从输入端到输出端逐级写出每个逻辑符号的逻辑式，
就得到对应的逻辑表达式。
例：已知逻辑图，试写出逻辑表达式。
解：从输入 A,B开始逐个写出每个逻辑符号输出端
的逻辑式。
A B
BA?
BA?
BABA ???
BABAY ????
))(( BABA ???
BABA ??
BA??
与 -或式
与非－与非式
或 -与式
或非－或式
或 -与非式
逻辑函数的八种形式可以用八种逻辑电路来实现。
八种不同的逻辑电路可以实现同一逻辑功能。
F A B C A C B C? ? ?
A B C AC B C? ? ?
( ) ( ) ( )A B C A C B C? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( )A B C A C B C? ? ? ? ? ? ?
A B C A C B C? ? ?与 -或非式
A B C A C B C? ? ?
与非－与式
( ) ( ) ( )A B C A C B C? ? ? ? ?
( ) ( ) ( )A B C A C B C? ? ? ? ? ? ?或非－或非式
BCAAC,?如：
BCAAC ?
,B C A B C? ? ?如,
? ?? ?CBACB ???
目的：为图解化简法打好基础。
与项,逻辑变量间只进行乘运算的表达式称为与项 。
与－或表达式,与项和与项间只进行加运算的表达式
称为与 — 或表达式。如,
或项,逻辑变量间只进行或运算的表达式称为或项。
或－与表达式,或项和或项间只进行乘运算的表达式
称为或－与表达式。如,
在介绍逻辑函数的标准形式之前，先介绍最小项和最
大项的概念，然后介绍逻辑函数的,最小项之和” 及,最
大项之积” 两种标准形式。
几个概念：
(1) 定义,最小项是一个与项。
(2) 特点,
n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式
出现一次，且仅出现一次。称这个 与项 为最小项。 n 变量
有 2n 个最小项。
例如：在三变量 A,B,C的最小项中：
1、最小项
输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的
值等于 1。
当 A=1,B=0,C=1时,乘 积 项 A B C = 1 。
如 果 将 A B C 的 取 值 101 看 作 一 个 二 进 制 数,
所对应的十进制数就是 5。
5一 般 将 A B C 这 个 最 小 项 记 做 m 。按照上述约定，作出三变量最小项编号表。
原取 1,
反取 0.
最小项 使最小项为 1的变量取值 对应十进制数 编号A B C
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 2
0 1 1 3
1 0 0 4
1 0 1 5
1 1 0 6
1 1 1 7
CBA
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
CAB
ABC
0m
1m
2m
3m
4m
5m
6m
7m
（ 3）最小项的重要性质
① 在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且
仅有一个最小项的值为 1。
② 所有最小项之和为 1。 112
0
??
?
?
n
i
im
③ 任意两个最小项的乘积为 0。 0??
ji mm ji?
④ 具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消
去一对因子。
A B CCABCBACBABCACBACBACBA ???????证：
ABBABABA ???? 1??? AA
0)( ???? CCBACBACBA证：
相邻性：
若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，
则称这两个最小项具有相邻性。
例,?CBACBA ＋ BACCBA ?)( ＋
定理,任何逻辑函数 F 都可以用最小项之和的形式表示。
而且这种形式是唯一的。
1,真值表法：
将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最
小项之和。
例：将 CABCCBAF ??? 表示为最小项之和的形式。
解,由最小项特点知,n 个变量都出现,BC 缺变量 A,
所以 F 是一般与－或式，不是最小项之和的标准形式。
列,F 真值表：
AC 缺 变 量 B,BC 和 AC 不 是 最 小 项 。
000 1 0 0 1
001 0 0 0 0
010 0 0 0 0
011 0 1 0 1
100 0 0 1 1
101 0 0 0 0
110 0 0 1 1
111 0 1 0 1
CBA BC CA F
A B CCABCBABCACBAF ?????
76430 mmmmm ?????
? ??? 7.6.4.3.0
ABC
由最小项性质①、知：每
个最小项等于 1的自变量取值是
惟一的。
那么：将 F = 1 的输入变
量组合相加即可。 1表示 原变
量,0表示 反变量
CABCCBAF ???
2,摩根定律及配项法
将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法，将其表示为
最小项之和的形式。
例 1,CABCCBAF ???
解,? ? ? ? CABBBCAACBAF ?????
CBACABBCAA B CCBA ?????
46370 mmmmm ?????
? ??? m 7.6.4.3.0
原取 1
反取 0
例 2：将 表示为最小项之和的形式。? ?ABCBAABF ???
ABCBAAB ????
ABCBAAB ????
解,? ?ABCBAABF ???
? ?? ? ABCBABA ????
? ? ? ?CCABCBABA ????
CABA B CBCACBA ????
6735 mmmm ????
? ??? m 7,6,5,3
说明,全部由最小
项相加构成的与 -或
表达式称为最小项
表达式, 是与 -或表
达式的标准形式 。
(都是最小项, 不是
全部最小项 )。
(1) 定义,最大项是一个或项。
(2) 特点：
n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式
出现一次，且仅出现一次。称这个 或项 为最大项。 n 变量
有 2n 个最大项。
例如：在三变量 A,B,C的最大项中：
2、最大项
输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等
于 0。
当 A=1,B=0,C=1时,或 项 （ A ＋ B ＋ C ） =0 。
按照上述约定，作出三变量最大项编号表。
如果将最大项为 0的 ABC取值视为一个二进制数，并以
其对应的十进制数给出最大项编号，
5则 ( A + B + C ) 可 记 做 M 。
原取 0,
反取 1。
最大项 使最大项为 0的变量取值 对应十进制数 编号A B C
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 2
0 1 1 3
1 0 0 4
1 0 1 5
1 1 0 6
1 1 1 7
CBA ＋＋
CBA ＋＋
CBA ＋＋
CBA ＋＋
CBA ＋＋
CBA ＋＋
CBA ＋＋
CBA ＋＋
0M
1M
2M
3M
4M
5M
6M
7M
（ 3）最大项的重要性质
① 在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有
一个最大项的值为 0。
1MM ji ?? ji?② 所有最大项之积为 0③ 任意两个最大项之和为 1。
④ 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量
之和。
例,? ?? ? BACBACBA ??????
(4)、用最大项表示逻辑函数的方法：
定理,任何逻辑函数 F 都可以用最大项之积的形式
表示。而且这种形式是惟一的。
用最大项表示逻辑函数的方法有两种：
◇ 真值表法
◇ 加对乘的分配率及配项法
? ? ? ?A B C A A A B A C B A B B B C C A C B C C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?证, A+B+C
? ?1A B C C? ? ? ? ? ?1B A C C? ? ? ?AB??
一,真值表法,
例, 将 F = A B C + B C + A C表示为最大项之积的形式。
列,F 真值表,
000 1 0 0 1
001 0 0 0 0
010 0 0 0 0
011 0 1 0 1
100 0 0 1 1
101 0 0 0 0
110 0 0 1 1
111 0 1 0 1
ABC CBA BC CA F
解,把真值表中 F = 0 的输入变量，
以最大项的形式表示。输入 0 表示
原变量,1 表示反变量。
? ? ? ? ? ?CBACBACBAF ?????????
521 MMM ???
函 数 F = A B C + B C + A C
既可以用最大项之积表示，又可以用
最小项之和表示。
? ??? M 5,2,1
A B CCABCBABCACBAF ?????
★ 比较函数 F的最大项之积和最小项之和表达式，可以发现；
只要知道一种形式就可以直接写出另一种表达形式。
? ???????? mmmmmm 7643076430,，，，
例, 将 F = A + A B C? ?? ?? ?CABAAAF ????
加对乘的分配率? ?? ?
CABA ??? ? ?? ?
BBCACCBA ??????? 配项? ?? ?
BBHCCG ????? 代入规则? ?? ?? ?? ?
BHBHCGCG ????? 加对乘的分配率? ?? ?? ?? ?
BCABCACBACBA ????????? ? ?? ?? ?
CBACBACBA ??????? 合并项
210 MMM ??? ? ?
?? 2.1.0
二,加对乘的分配率及配项法
表示成最大项之积和最小项之和的形式。
解：
最大项原变量记做 0，反变量记做 1。
最小项之和为,? ??? 7,6,5,4,3F
BAG ??
CAH ??
A+B缺变量 C,A+C缺变量 B
由以上讨论可知：全部由最大项相乘构成的或 -与表达式
称为最大项的标准表达式，又称为标准或 -与表达式。
3、最小项与最大项之间的关系：
★ 脚号相同，互为反演。 ii Mm ? ii m?
00 MCBACBAm ?????
77 MCBAA B Cm ?????
? ??? 7.4.3.2F
74327432 mmmmmmmmF ????????
例 1:
例 2:
7432 MMMM?
? ??? 7.4.3.2
DCBAm 9 ? 6'9 MDCBAm ?????
DCBAm 0 ? 15'0 MDCBAm ?????
? ??? 9.8.7.6.5F例：
? ??? 6.7.8.9.10F '
★ 因子相同，互为对偶。
150 M'm ?
求其对偶式。
141 M'm ?
132 M'm ?
123 M'm ?
114 M'm ?
105 M'm ?
96 M'm ?
87 M'm ?
最小项与对偶
项之和为 15.
3、最小项与最大项之间的关系：
★ 脚号相同，互为反演。 ii Mm ? ii m?
00 MCBACBAm ?????
77 MCBAA B Cm ?????
? ??? 7.4.3.2F
74327432 mmmmmmmmF ????????
例 1:
例 2:
7432 MMMM?
? ??? 7.4.3.2
DCBAm 9 ? 6'9 MDCBAm ?????
DCBAm 0 ? 15'0 MDCBAm ?????
? ??? 9.8.7.6.5F例：
? ??? 6.7.8.9.10F '
★ 因子相同，互为对偶。
150 M'm ?
求其对偶式。
141 M'm ?
132 M'm ?
123 M'm ?
114 M'm ?
105 M'm ?
96 M'm ?
87 M'm ?
最小项与对偶
项之和为 15.
要了解逻辑代数有什么基本特性，逻辑代数和普通代数又有
什么异同之处。
逻辑代数和普通代数的区别：
共同点：
☆ 都用字母 A,B,C --- 等表示变量。
☆ 仍遵守与普通代数一样的运算优先顺序（先括号、
其次乘、最后加）。
不同点：
★ 这些变量 A.B.C 的取值范围是 0 和 1 。
★ 其运算规则是按逻辑规则来定义的。
★ 0,1不再表示数量的大小，只代表不同的逻辑状态。
逻辑代数也用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量。在二值
逻辑中，每个逻辑变量的取值只有 0和 1两种。
在逻辑代数中,0和 1不再表示数量的大小，只代表两种不同的逻
辑状态。
逻辑代数主要用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计。
一、基本逻辑运算,与、或、非 三种。
为了便于理解基本逻辑关系的基本含义，先通过一些简单例子
作一说明。
1,,与, 运算及与门
逻辑与的概念,若决定一件事的所有条件都成立，这件事的结果
就会发生。否则这件事就不会发生。这样的逻辑关系称为,逻辑与、
逻辑乘、或称为：“与”运算。
能够实现与逻辑运算的电子电路称为与门电路。
开关断开为 0
开关闭合为 1
灯亮为 1
灯不亮为 0
假设,用四个式子表示：
0 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1 · 0 = 0
1 · 1 = 1
与逻辑的表示方法：（四种）
☆ 真值表：
将输入变
量所有的取值
下对应的输出
值找出来，列
成表格，即可
得到真值表。
A B F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
☆ 逻辑表达式,
把输出与输入之间的逻辑
关系写出 与 运算的逻辑代数式
，即为逻辑表达式。
F = A · B
A B
F~ 220V 有 0为 0
全 1为 1
☆ 工作波形图
把输入和输出之
间的逻辑关系用波形
图的方法表示，即为
工作波形图。
有 0为 0，全 1为 1
☆ 逻辑图（符号）
将逻辑函数中各
变量之间的逻辑关系
用图形符号表示，即
为逻辑图。
把实现与逻辑运算
的单元电路叫做 与门 。
F
&AB F
A
B
逻辑或的概念,决定某一件事的诸条件中，只要有一
个或一个以上的条件满足，这件事的结果就会发生，否则
结果不会发生。这样的逻辑关系称为,逻辑或、逻辑加、
或称为,或”运算。
0 ＋ 0 = 0
0 ＋ 1 = 1
1 ＋ 0 = 1
1 ＋ 1 = 1
假设：
开关闭合为 1
开关断开为 0
灯亮为 1
灯不亮为 0
用四个式子表示：
用并联开关电路简单说明 或 逻辑关系：
或逻辑的表示方法：
~ 220V
A
B
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
☆ 真值表,☆ 工作波形图
☆ 逻辑图（符号）
☆ 逻辑表达式,
F = A + B
把实现或逻辑运算的
单元电路叫做或门。
有 1为 1
全 0为 0
F
≥1AB F
A
B
逻辑非的概念,条件具备了，结果不会发生。条件
不具备，结果一定发生。
A F
0 1
1 0
逻辑表达式：
AF ?
工作波形,
逻辑符号：
开关闭合为 1
开关断开为 0
灯亮为 1
灯不亮为 0
假设：
把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门。
~ 220V A F
A F1A
F
AAA ??
0??AA
逻辑运算 逻辑符号 真值表 基本运算规则
与
A B F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
AA ??1
00 ??A
AAA ?＋
1?AA＋
11?＋A
AA ?0＋
AA?
A F
0 1
1 0
逻辑表达式
BAF ??
BAF ??
AF ?
或
非
&AB F
≥1AB F
1A F
实际的逻辑问题比 与、或、非 复杂得多。利用这三种
基本逻辑关系，可以得出处理实际逻辑问题的各种复合逻
辑，如 与非、或非、与或非、异或、同或 逻辑等。
1,与非逻辑
与非逻辑是 与 逻辑运算和 非 逻辑运算的组合。它是将
输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。
◇ 与非逻辑表达式,BAF ??
◇ 与非门逻辑符号：
能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门 。
&A FB A FB A FB
◇ 与非门真值表：
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
有 0为 1,全 1为 0
与非门运算顺序是,先与后非
即：当输入 A,B中, 只要有一个
0,输出就是 1,只有输入全为 1时,
输出才是 0。
BAF ??
1
1
1
0
◇ 工作波形图,A
B
F
或非逻辑是 或 逻辑运算和 非 逻辑运算的组合。它是将
输入变量先进行或运算，然后再进行非运算。
能够实现或非逻辑运算的电路称为 或非门 。
◇ 或非逻辑表达式,BAF ??
◇ 或非门逻辑符号：
◇ 或非门真值表：
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
BAF ??
或非门运算顺序是,先或后非
1
0
0
0
有 1为 0,全 0为 1
即：当输入 A,B中,
只要有一个 1,输出就
是 0,只有输入全为 0时,
输出才是 1。
◇ 或非门工作波形
≥1 FAB +A FBA FB
A
B
F
与或非逻辑是 与 逻辑运算和 或非 逻辑运算的组合。它是
将输入变量 A,B及 C,D先进行与运算，然后再进行或非运算。
能够实现与或非逻辑运算的电路称为 与或非门 。
A B C D F
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
◇ 逻辑符号,◇ 与或非门真值表：
◇ 工作 波形图：
◇ 逻辑表达式：
CDABF ??
每组有 0为 1,
某组全 1为 0。
A
F
B
C
D
&
&
≥1AB
C
D
F
C
+AB
D
F
F
A
B
C
D
A,B为两个单刀双掷开关。
灯亮的条件是：一个开关打在上
面，另一个开关打在下面。两个开关
同时打在上面或者下面，则灯不亮。
假设：
开关打在上面为 1
开关打在下面为 0
灯亮为 1
灯灭为 0
真值表：
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
◇ 由真值表写出逻辑表达式：
★ 取 F=1列与项逻辑式。
★ 对任何一种输入变量组合，
变量之间是, 与, 运算。
★ 如果输入变量是, 1”,记原
变量。如果输入变量是, 0”,
记反变量。
★ 各组合之间是, 或, 逻辑关
系。
BABABAF ????
异或运算特点：
相异为 1，相同为 0
A
F
B
220V
◇ 异或 逻辑符号：
异或逻辑基本运算规律：
0 ? 0 = 0 1 ? 1 = 0
1 ? 0 = 0 ? 1 = 1
推论,◇ 异或门工作 波形图：
1?? AA
0?? AA
AA ?? 0
AA ?? 1
BABA ???
⊕
=1A FB
F
A
B
假设：
开关打在上面为 1
开关打在下面为 0
灯亮为 1
灯灭为 0
灯亮的条件是：
两个开关均打
在上面，或均
打在下面。
A B F
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1ABBAF ??
☆ 同或运算特点,
相同为 1,相异为 0。
◇ 同或 逻辑符号：
同或逻辑和异
或逻辑互为反
函数。
◇ 同或逻辑真值表
◇ 同或逻辑表达式
A B A B??
A B A B??
AB?
⊙=1A
FB
A
F
B
220V
1、逻辑函数间的相等
设有两个逻辑函数 F = f (A1A2---An)
G = g (A1A2---An)
看出,F和 G都是变量 A1A2---An的逻辑函数 。
如果,2n 种组合中每一状态组合 F和 G值相同，
则称为 F和 G相等，记作 F=G。
如果 F=G，其真值表相同。反之,F和 G真值
表相同,F一定等于 G。
因此，要证明两个逻辑函数相等，只需列出真
值表，若真值表相同，那么这两个函数一定相等。
? ? ? ?CBAC,B,AF ??? ?
CAABC,B,AG ??例：设 证明 F = G证：
(1)、列出 F和 G的真值表
从真值表中可以看出：
每一种组合 F 和 G 都相
等，所以 F = G。
即,F 和 G是同一逻
辑的两种不同表达式。
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
? ?CBA ?? CAAB?
0 0
0 0
0 0
0 0
1 1
0 0
1 1
1 1
? ?F A B C??
G A B A C??
(2)、实现 F和 G的逻辑电路图
两种不同的电路形式，表示同一种逻辑功能。
C CB?
BA?
C
CA?
将运算符号变为逻辑符号
≥11 &
A
B
C
A
B
C
&
&
≥1
1
交换率 A+B=B+A AB=BA
结合率 A+(B+C)=(A+B)+C A(BC)=(AB)C
分配率 A(B+C)=AB+AC A+(BC)=(A+B)(A+C)
吸收率 A+AB=A A(A+B)=A
0－ 1率 A+1=1,A+O=A A·0=0,A·1=A
互补率
重叠率 A+A=A A·A=A
非非率
反演率
包含率
1?? AA
AA?
BABA ???
CAABBCCAAB ????
BAAB ??
? ?? ?? ? ? ?? ?CABACBCABA ??????
0??AA
两点说明：
1、乘法运算中乘号, ·”可以省略,A ·B 可写为 AB
2、运算顺序，先括号，再算乘，最后加。
这些基本定律反应了逻辑代数的基本规律，其正确性
都可以利用真值表加以验证。
例：证明反演率 BAABBABA ?????,
00 1 1 1 1
01 0 0 1 1
10 0 0 1 1
11 0 0 0 0
BA? BA?
AB BA?AB 从真值表中看出：
BABA ???
BAAB ??
BABA ???
BAAB ??
（ 1）、代入规则
任何一个含变量 A 的等式中，如果将出现 A 的地
方，都代之一个逻辑函数 F,则等式仍然成立。
例 1：分配率 A(B+C) = AB+AC 令,C = EF 代入公式
A(B+EF)
证,A(B+EF) 用乘对加的分配率证明
例 2,BABAA ???
BCDBCDCD ???则：
令,A = CD
证,? ? BCDBCDCDCDBCDCD ?????? )(
代入规则之所以正确：
是因为任何一个逻辑函数和任何一个逻辑变量一样，只有
两种可能取值 (0,1),所以可以将逻辑函数当作一个逻辑变量
对待。
= AB+AEF
= AB+AEF
☆ 有了代
入规则，基本
定律不受变量
限制，扩大了
基本公式的应
用范围。
（ 2）、反演规则,（摩根定理）
目的,求原函数的反函数
已知函数为 F,将 F 中的所有, ·” 换为, ＋,,, ＋, 换为
,·”, 0 换为 1, 1 换为 0，原变量换为反变量，反变量换为原变量。
得到的函数式就是原函数的反函数，或称为补函数。记作
F
CDBAF ?? F求例 1:已知
解,由反演规则直接得出 ? ?DCBAF ??? )(
CDBAF ??由反演率得
2、在运算过程中适当增加括号，以保证原函数的运算顺序不变。
本例说明：
1、由反演规则求反函数，比直接用反演率求反函数方便、简单。
CDBA ?? ? ?DCBA ??? )(
例 2,已知 EDCBAF ?????
? ?EDCBAF ?????解,利用反演规则直接写出
注意：不属于单个变量上的反号保持不变。
（ 3）、对偶规则：
对偶式：已知函数为 F,将 F 中的所有, ·” 换为
,＋,,, ＋, 换为, ·”, 0 换为 1, 1 换为 0,变
量保持不变 。得到的函数式就是原函数的对偶式 F′ 。
例,? ?CBAF ?? CBAF ??'
)1)(( ???? CABAF ? ?0' ??? CABAF
CBAF ??? CBAF ???'
F求
首先了解什么是对偶式；
对偶规则：
如果两个函数 F 和 G 相等，那么它们各自的对偶式
F′ 和 G′ 也相等。
例, F = A(B+C)
由乘对加的分配率知：
F′= A+BC
由加对乘的分配率知,
G′= (A+B)(A+C)G = AB+AC
F = A(B+C)=AB+AC
∴ F = G ∴ F′= G′
F′= A+BC = (A+B)(A+C)
掌握对偶规则的 目的, 当证明某一等式相等
后，根据对偶规则，其对偶式也相等。使证明的
式子数目减少一半。起到事半功倍的效果。
目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的
基本定律，得出一些常用公式。
ABAAB ??
? ? AABBABAAB ?????? 1证：
? ?? ? ABABA ???
1?? BB
BABAA ???
? ?? ? ? ? BABABAAABAA ????????? 1证：
? ? ABBAA ???
吸收律：
（互补率）
说明：两个乘积项相加
时, 若乘积项分别包含
B和 /B两个因子 。 而其
余因子相同 。 则两项定
能合并成一项, 消去 B
和 /B两个因子 。
说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好
是另一乘积项的补 （ /A),则该乘积项中的 /A是多余的。
吸收律,
对偶式：
对偶式：
若 两 个 乘 积 项 中 分 别
包 含 A 和 A 两 个 因 子,
而 这 两 个 乘 积 项 的 其
余 因 子 组 成 第 三 个 乘
积 项, 则 第 三 个 乘 积
项 是 多 余 的 。 可 消 去
CAABBCCAAB ????
? ?BCAACAABBCCAAB ??????
? ? ? ?BCACAB ???? 11
CAAB ??
CAABB C D ECAAB ???? ?
?B C D EBCCAAB ???证：
? ??DEBCCAAB ???? 1
CAABBCCAAB ?????
? ? ? ?? ? ? ? ? ?CABAEDCBCABA ????????? ?
包含律：
推论：
对偶式：
BCAA B CCAAB ????
证：
? ?? ?BACACAAB ????
? ?? ? BCCAABAABACA ??????证右,CAABBCCAAB ?????? 0
? ?? ? BAACCABA ????
A+BC = (A+B)(A+C)
证,(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC
=(A+AC+AB)+BC
=A(1+C+B)+BC
= A+BC
A(B+C)=AB+AC
交叉互换率：
对偶式：
加对乘的分配率：
对偶式：
常用逻辑函数表示方法有：
1、逻辑真值表
2、逻辑表达式
3、逻辑图
各种表示方法间的相互转换
一、从真值表写出逻辑表达式
例：已知一个奇偶判别函数的真值表（偶
为 1,奇为 0)，试写出它的逻辑函数式。
A B C Y
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1
0
0
0
0
1
1
0
BCA
CBA
CAB
解,当 ABC=011时,1?BCA使乘积项
当 ABC=101时,1?CBA使乘积项
当 ABC=110时,1?CAB使乘积项
因此,Y的逻辑函数应当等于这三个乘积项之和。
CABCBABCAY ???
4、工作波形图
通过以上例题可以总结出从真值表写出逻辑函数式的一般方法。
1、找出真值表中使逻辑函数 Y=1的输入变量取值组合。
2、每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，输入变量取值为
1的写入原变量，取值为 0的写入反变量。
3、将取值为 1的乘积项相加，即得到 Y的逻辑函数式。
二、从逻辑表达式列出真值表
将输入变量的所有状态组合
逐一代入逻辑式，求出函数值，
列成表，即可得到真值表。
例：已知函数 CBACBAY ???
求其对应真值表。
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
CB CBA Y
解：将三变量所有取值组合代
入 Y式中，将计算结果列表。
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
&
&1
1
1
≥1 ≥1
三、从逻辑表达式画出逻辑图
用图形符号代替逻辑式中的运算符号，就可以画
出逻辑图。
例：已知逻辑函数,CCBACBAY ???? 画出对应逻辑图。
解：将式中所有的与、或、非运算符号用逻辑符号代替
，并根据运算优先顺序把这些逻辑符号连接起来，就得到 Y
的逻辑图。
A
B
C
A
B
C
CBA
CB CBA? CCBACBA ???
Y
≥1
≥1
≥111
A
B
Y
四,从逻辑图写出逻辑表达式
从输入端到输出端逐级写出每个逻辑符号的逻辑式，
就得到对应的逻辑表达式。
例：已知逻辑图，试写出逻辑表达式。
解：从输入 A,B开始逐个写出每个逻辑符号输出端
的逻辑式。
A B
BA?
BA?
BABA ???
BABAY ????
))(( BABA ???
BABA ??
BA??
与 -或式
与非－与非式
或 -与式
或非－或式
或 -与非式
逻辑函数的八种形式可以用八种逻辑电路来实现。
八种不同的逻辑电路可以实现同一逻辑功能。
F A B C A C B C? ? ?
A B C AC B C? ? ?
( ) ( ) ( )A B C A C B C? ? ? ? ? ? ?
( ) ( ) ( )A B C A C B C? ? ? ? ? ? ?
A B C A C B C? ? ?与 -或非式
A B C A C B C? ? ?
与非－与式
( ) ( ) ( )A B C A C B C? ? ? ? ?
( ) ( ) ( )A B C A C B C? ? ? ? ? ? ?或非－或非式
BCAAC,?如：
BCAAC ?
,B C A B C? ? ?如,
? ?? ?CBACB ???
目的：为图解化简法打好基础。
与项,逻辑变量间只进行乘运算的表达式称为与项 。
与－或表达式,与项和与项间只进行加运算的表达式
称为与 — 或表达式。如,
或项,逻辑变量间只进行或运算的表达式称为或项。
或－与表达式,或项和或项间只进行乘运算的表达式
称为或－与表达式。如,
在介绍逻辑函数的标准形式之前，先介绍最小项和最
大项的概念，然后介绍逻辑函数的,最小项之和” 及,最
大项之积” 两种标准形式。
几个概念：
(1) 定义,最小项是一个与项。
(2) 特点,
n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式
出现一次，且仅出现一次。称这个 与项 为最小项。 n 变量
有 2n 个最小项。
例如：在三变量 A,B,C的最小项中：
1、最小项
输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的
值等于 1。
当 A=1,B=0,C=1时,乘 积 项 A B C = 1 。
如 果 将 A B C 的 取 值 101 看 作 一 个 二 进 制 数,
所对应的十进制数就是 5。
5一 般 将 A B C 这 个 最 小 项 记 做 m 。按照上述约定，作出三变量最小项编号表。
原取 1,
反取 0.
最小项 使最小项为 1的变量取值 对应十进制数 编号A B C
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 2
0 1 1 3
1 0 0 4
1 0 1 5
1 1 0 6
1 1 1 7
CBA
CBA
CBA
BCA
CBA
CBA
CAB
ABC
0m
1m
2m
3m
4m
5m
6m
7m
（ 3）最小项的重要性质
① 在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且
仅有一个最小项的值为 1。
② 所有最小项之和为 1。 112
0
??
?
?
n
i
im
③ 任意两个最小项的乘积为 0。 0??
ji mm ji?
④ 具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消
去一对因子。
A B CCABCBACBABCACBACBACBA ???????证：
ABBABABA ???? 1??? AA
0)( ???? CCBACBACBA证：
相邻性：
若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，
则称这两个最小项具有相邻性。
例,?CBACBA ＋ BACCBA ?)( ＋
定理,任何逻辑函数 F 都可以用最小项之和的形式表示。
而且这种形式是唯一的。
1,真值表法：
将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最
小项之和。
例：将 CABCCBAF ??? 表示为最小项之和的形式。
解,由最小项特点知,n 个变量都出现,BC 缺变量 A,
所以 F 是一般与－或式，不是最小项之和的标准形式。
列,F 真值表：
AC 缺 变 量 B,BC 和 AC 不 是 最 小 项 。
000 1 0 0 1
001 0 0 0 0
010 0 0 0 0
011 0 1 0 1
100 0 0 1 1
101 0 0 0 0
110 0 0 1 1
111 0 1 0 1
CBA BC CA F
A B CCABCBABCACBAF ?????
76430 mmmmm ?????
? ??? 7.6.4.3.0
ABC
由最小项性质①、知：每
个最小项等于 1的自变量取值是
惟一的。
那么：将 F = 1 的输入变
量组合相加即可。 1表示 原变
量,0表示 反变量
CABCCBAF ???
2,摩根定律及配项法
将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法，将其表示为
最小项之和的形式。
例 1,CABCCBAF ???
解,? ? ? ? CABBBCAACBAF ?????
CBACABBCAA B CCBA ?????
46370 mmmmm ?????
? ??? m 7.6.4.3.0
原取 1
反取 0
例 2：将 表示为最小项之和的形式。? ?ABCBAABF ???
ABCBAAB ????
ABCBAAB ????
解,? ?ABCBAABF ???
? ?? ? ABCBABA ????
? ? ? ?CCABCBABA ????
CABA B CBCACBA ????
6735 mmmm ????
? ??? m 7,6,5,3
说明,全部由最小
项相加构成的与 -或
表达式称为最小项
表达式, 是与 -或表
达式的标准形式 。
(都是最小项, 不是
全部最小项 )。
(1) 定义,最大项是一个或项。
(2) 特点：
n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式
出现一次，且仅出现一次。称这个 或项 为最大项。 n 变量
有 2n 个最大项。
例如：在三变量 A,B,C的最大项中：
2、最大项
输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等
于 0。
当 A=1,B=0,C=1时,或 项 （ A ＋ B ＋ C ） =0 。
按照上述约定，作出三变量最大项编号表。
如果将最大项为 0的 ABC取值视为一个二进制数，并以
其对应的十进制数给出最大项编号，
5则 ( A + B + C ) 可 记 做 M 。
原取 0,
反取 1。
最大项 使最大项为 0的变量取值 对应十进制数 编号A B C
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 2
0 1 1 3
1 0 0 4
1 0 1 5
1 1 0 6
1 1 1 7
CBA ＋＋
CBA ＋＋
CBA ＋＋
CBA ＋＋
CBA ＋＋
CBA ＋＋
CBA ＋＋
CBA ＋＋
0M
1M
2M
3M
4M
5M
6M
7M
（ 3）最大项的重要性质
① 在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有
一个最大项的值为 0。
1MM ji ?? ji?② 所有最大项之积为 0③ 任意两个最大项之和为 1。
④ 只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量
之和。
例,? ?? ? BACBACBA ??????
(4)、用最大项表示逻辑函数的方法：
定理,任何逻辑函数 F 都可以用最大项之积的形式
表示。而且这种形式是惟一的。
用最大项表示逻辑函数的方法有两种：
◇ 真值表法
◇ 加对乘的分配率及配项法
? ? ? ?A B C A A A B A C B A B B B C C A C B C C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?证, A+B+C
? ?1A B C C? ? ? ? ? ?1B A C C? ? ? ?AB??
一,真值表法,
例, 将 F = A B C + B C + A C表示为最大项之积的形式。
列,F 真值表,
000 1 0 0 1
001 0 0 0 0
010 0 0 0 0
011 0 1 0 1
100 0 0 1 1
101 0 0 0 0
110 0 0 1 1
111 0 1 0 1
ABC CBA BC CA F
解,把真值表中 F = 0 的输入变量，
以最大项的形式表示。输入 0 表示
原变量,1 表示反变量。
? ? ? ? ? ?CBACBACBAF ?????????
521 MMM ???
函 数 F = A B C + B C + A C
既可以用最大项之积表示，又可以用
最小项之和表示。
? ??? M 5,2,1
A B CCABCBABCACBAF ?????
★ 比较函数 F的最大项之积和最小项之和表达式，可以发现；
只要知道一种形式就可以直接写出另一种表达形式。
? ???????? mmmmmm 7643076430,，，，
例, 将 F = A + A B C? ?? ?? ?CABAAAF ????
加对乘的分配率? ?? ?
CABA ??? ? ?? ?
BBCACCBA ??????? 配项? ?? ?
BBHCCG ????? 代入规则? ?? ?? ?? ?
BHBHCGCG ????? 加对乘的分配率? ?? ?? ?? ?
BCABCACBACBA ????????? ? ?? ?? ?
CBACBACBA ??????? 合并项
210 MMM ??? ? ?
?? 2.1.0
二,加对乘的分配率及配项法
表示成最大项之积和最小项之和的形式。
解：
最大项原变量记做 0，反变量记做 1。
最小项之和为,? ??? 7,6,5,4,3F
BAG ??
CAH ??
A+B缺变量 C,A+C缺变量 B
由以上讨论可知：全部由最大项相乘构成的或 -与表达式
称为最大项的标准表达式，又称为标准或 -与表达式。
3、最小项与最大项之间的关系：
★ 脚号相同，互为反演。 ii Mm ? ii m?
00 MCBACBAm ?????
77 MCBAA B Cm ?????
? ??? 7.4.3.2F
74327432 mmmmmmmmF ????????
例 1:
例 2:
7432 MMMM?
? ??? 7.4.3.2
DCBAm 9 ? 6'9 MDCBAm ?????
DCBAm 0 ? 15'0 MDCBAm ?????
? ??? 9.8.7.6.5F例：
? ??? 6.7.8.9.10F '
★ 因子相同，互为对偶。
150 M'm ?
求其对偶式。
141 M'm ?
132 M'm ?
123 M'm ?
114 M'm ?
105 M'm ?
96 M'm ?
87 M'm ?
最小项与对偶
项之和为 15.
3、最小项与最大项之间的关系：
★ 脚号相同，互为反演。 ii Mm ? ii m?
00 MCBACBAm ?????
77 MCBAA B Cm ?????
? ??? 7.4.3.2F
74327432 mmmmmmmmF ????????
例 1:
例 2:
7432 MMMM?
? ??? 7.4.3.2
DCBAm 9 ? 6'9 MDCBAm ?????
DCBAm 0 ? 15'0 MDCBAm ?????
? ??? 9.8.7.6.5F例：
? ??? 6.7.8.9.10F '
★ 因子相同，互为对偶。
150 M'm ?
求其对偶式。
141 M'm ?
132 M'm ?
123 M'm ?
114 M'm ?
105 M'm ?
96 M'm ?
87 M'm ?
最小项与对偶
项之和为 15.
