对于任何一个逻辑函数的功能描述都可以作出真值表，根
据真值表可以写出该函数的最小项之和及最大项之积的形式。
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
最小项之和,BABAF ?? ? ????? 2.1mm 21
最大项之积,? ?? ?BABAF ???
? ????? 3.030 MM
真值表和逻辑函数的最小项、最大项之间存在一一对应关系。
但是把真值表作为运算工具十分不便。用图解化简法，化
简逻辑函数方便简单。
F = 1 的输入变量组合有 AB = 01,10 两组。
F = 0 的输入变量组合有 AB = 00,11 两组。
从以上分析中可以看出：
真值表例 BAF ??：
如果把真值表 按特定规律排列成方格图的形式,这种
方格图称为卡诺图。 利用卡诺图可以方便地对逻辑函数进
行化简。通常称为 图解法或卡诺图法。
3,卡诺图小方格相邻数 = 变量数。
2,每个相邻小方格彼此只允许一个变量不同。通常采用
格雷码排列。保证 逻辑相邻，几何位置相邻 。
一、卡诺图构成
二、卡诺图构图思想：
1,n 变量函数就有 2n 个小方格。每个小方格相当于真
值表中的一个最小项。小方格的编号就是最小项的编号。
1 变量卡诺图
变量数 n = 1 在卡诺图上有 21 = 2 个
小方格，对应 m0,m1两个最小项。
0 表示 A 的反变量。
1 表示 A 的原变量。
2 变量卡诺图
变量数 n = 2 在卡诺图上有 22 = 4 个小方格，对应 m0、
m1,m2,m3四个最小项。
每个小方格有二个相邻格,m0和 m1,m2相邻。 A B
0 0
0 1
1 1
1 0
二变量格雷码排列：
任何相邻码组之间只有一个码元不同。
逻辑相邻，几何位置相邻。
A
B
BA
BA
BA
AB
1m
0m 2m
3m
0 1
0
1
A
0 1
0m 1m
AA
AB
C 00 01 1011
1
0
CBA
CBA
CBA
BCA
CAB
ABC
CBA
CBA
2m0m
1m 3m
4m
5m
6m
7m
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 1
0 1 0
1 1 0
1 1 1
1 0 1
1 0 0
3 变量卡诺图
变量数 n = 3 在卡诺图上
有 23 = 8 个小方格，对应八个最。
每个小方格有三个相邻格。
m0 和 m1,m2,m4 相邻。
m1 和 m0,m3,m5 相邻。
m2 和 m0,m3,m6 相邻。
三变量格雷码排列顺序：
☆ 卡诺图小方格相邻数 = 变量数。
☆ 小方格的编号就是最小项的编号。
☆ 逻辑相邻，几何位置也相邻。
要求掌握格雷码排列规律。
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
DCBA
DCBA
CDBA
DCBA
DCBA
DCBA
BCDA
DBCA
DCAB
DCAB
ABCD
DABC
DCBA
DCBA
CDBA
DCBA
0m
1m
2m
3m
4m
5m
7m
6m
8m
9m
11m
10m
12m
13m
15m
14m
4 变量卡诺图
变量数 n = 4 在卡诺图上有
24 = 16 个小方格，对应十六个
最小项。每个小方格有四个相邻
格。
m0 和 m1,m2,m4, m8 相邻。
m5 和 m1,m4,m7, m13 相邻。
m9 和 m1,m8,m11, m13 相邻。
四变量格雷码排列：
A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
B 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
C 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0
D 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
A A
C
C
B
B
D D
000 001 011 010
00
01
11
10
A B C
DE
110 111 101 100
m 0
m 1
m 4
m 5
m 12
m 13
m 8
m 9
m 24
m 25
m 28
m 29
m 31m 27m 11m 15m 7
m 20 m 16
m 21 m 17
m 23 m 19
m 18m 22m 30m 26m 10m 14m 6
m 3
m 2
5 变量卡诺图
变量数 n = 5 在卡诺图
上有 25 = 32 个小方格，对
应 32个最小项。每个小方格
有 5个相邻格。
m0和 m1,m2,m4,m8,及对称相 m16。
m5和 m1,m4,m7,m13,及对称相 m21。
m23和 m19,m21,m22,m31,及对称相 m7。
m27和 m25,m26,m19,m31,及对称相 m11。
找相邻格的方法：
先按四变找
再找对称相
随着输入变量的增加，小方格数以 2n 倍增加。若
N=6 有 64个小方格，使卡诺图变得十分复杂，相邻关系
难以寻找。所以卡诺图一般多用于 5变量以内。
AB
C 00 01 1011
1
0
卡诺图的目的是用来化简逻辑函数，那么如何用卡诺图
来表示逻辑函数？ 方法有四种：
1,真值表法
已知一个真值表，可直接填出卡诺
图。方法是：把真值表中输出为 1 的最
小项，在的卡诺图对应小方格内填 1,
把真值表中输出为 0 的最小项，在卡诺
图对应小方格内填 0 。
例：已知真值表为
A B C F m i
0 0 0 0 m 0
0 0 1 1 m 1
0 1 0 1 m 2
0 1 1 0 m 3
1 0 0 1 m 4
1 0 1 0 m 5
1 1 0 1 m 6
1 1 1 1 m 7填有 1 的所有小
方格的合成区域就是
该函数的卡诺图。 0
1
1
0
1
0
1
1
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
ACBDACABF ???例：
CAB? ? ?DD? BDA? ? ?CC? AC? ? ?? ?DDBB ??
CDBADA B CDCBAA B C DDCBAB C DADCABDCAB ????????
11141015571213 mmmmmmmm ????????
? ??? m 15~10,7,5
画出四变量卡诺图，并填图：
将 F 中的所有最小项填在
卡诺图的对应小方格内。最小项
填, 1”,其余位置填, 0” 。
2、配项法
（四变量函数）
1
1
1
1
1
1
1
1
首先通过配项法将非标准与－或式变换为标准与或式。
即最小项之和的形式。
0
0
0
0
0
0
0
0
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
ACBDACABF ???：例
? ?DDCABCAB ???
DCABDCAB ??
1213 mm ??
CAB 是 m13 和 m12 的公因子
所以只要在 A=B=1, C=0 所对应的区域填 1即可。
同理：在 A=0,B=D=1 所对应的区域填 1。
在 A=1,C=1 所对应的区域填 1。
3、直接观察法：（填公因子法）
1
11
1 1 1
1 1
ii Mm ?
最大项和最小项互为反函数。
ii mM ?
因此：在卡诺图上最小项用, 1” 格表示，最大项
用, 0” 格表示 。
4,将最小项之和形式化简为最大项之积形式：
任何一个逻辑函数不但可以表示成最小项之和的形式，
也可以表示为最大项之积的形式。
AB
C 00 01 1011
1
0
本例说明：任何一个
逻辑函数，根据需要可以
用, 1”格表示，也可以用
,0”格表示。
例：已知 A B CCABCBABCACBACBAF ??????
? ??? m 7,6,5,3,1,0
要求将 F表示为 最大项之积 的形式。
? ??? mF 7,6,5,3,1,0：解
在三变量卡诺图中填, 1”格表示
最小项，其余填, 0”格表示最大项
。
1 0 1 0
1 1 1 1
,0”格表示最小项的非。CBACBAF ??
CBACBAFF ???
? ?? ?CBACBA ?????
? ??? M 4,242 MM ??
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
DCBA
DCBA
CDBA
DCBA
DCBA
DCBA
BCDA
DBCA
DCAB
DCAB
ABCD
DABC
DCBA
DCBA
CDBA
DCBA
0m
1m
2m
3m
4m
5m
7m
6m
8m
9m
11m
10m
12m
13m
15m
14m
以四变量为例说明卡诺图的化简方法,
若规定：代表一个最小项的小方格叫做, 0”维块。
,0”维块,表示四个变量一个也没有被消去。
?DCBA DCBA
?CDBA DCBA
?DCBA DCBA
?BCDA DBCA
CBA
CBA
CBA
BCA
BA
BA
A
,0”维块相加, 1”维块, 2”维块, 3”维块
从上述分析中可以看出：
二个, 0”维块 相加,可合并为一项，并消去一对有 0,1变化因子。
四个, 0”维块 相加,可合并为一项，并消去二对有 0,1变化因子。
八个, 0”维块 相加,可合并为一项，并消去三对有 0,1变化因子。
m0+m1
m3+m2
m4+m5
m7+m6
将相邻,0”维块相加，可以将
两项合并为一项，并消去一对因子。
相邻项
2、画出表示该函数的卡诺图。
3、画合并圈 。
将相邻的, 1” 格按 2n 圈一组，直到所有, 1” 格全
部被覆盖为止。
1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。
2、合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少。
3、由于 A+A=A，所以同一个, 1” 格可以圈多次。
4、每个合并圈中要有新的未被圈过的, 1” 格 。
卡诺图化简原则：
4、将每个合并圈所表示的 与项逻辑相加 。
1、将函数化简为最小项之和的形式。
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
DCBADACA B CBDABCADCADCBAF ???????
DCBA
解,1,正确填入四变量卡诺图
DCA
BCA
BDA
ABC
DAC
DCBA
ABCD=0000 处填 1
ACD=010 处填 1
ABC=011 处填 1
ABD=011 处填 1
ABC=111 处填 1
ACD=110 处填 1
ABCD=1001 处填 1
1
1
2,按 2n 圈一原则画合并圈，合并圈越大越好。 每
个合并圈对应一个与项。
3,将每个与项相加，得到化简后的函数。
DBA
例 1：化简
1 1
1
1
1
1 1
DC
BC
BDA
DCBA
DCBABDADBADCBCF ?????
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
11
11
11
1 1
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
11
11
11
1 1
? ??? mF 13,12,10,8,7,5,3,2
解：
DCA
DCB
CDA
DCB
DCBCDADCBDCAF ????
DBA
CAB
BDA
CBA
CBABDACABDBAF ????
本例说明：
同一逻辑函数，可能有两种以上最简化简结果。
例 2：化简
本题直接给出最小项之和地形式，因此，在卡诺图
对应小方格处直接填, 1”。
8(2),10（ 3）,11,12（ 3）（ 4）,13
,14,15（ 2）（ 4）
P113
2、画出表示该函数的卡诺图。
3、画合并圈 。
将相邻的, 1” 格按 2n 圈一组，直到所有, 1” 格全
部被覆盖为止。
1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。
2、合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少。
3、由于 A+A=A，所以同一个, 1” 格可以圈多次。
4、每个合并圈中要有新的未被圈过的, 1” 格 。
卡诺图化简原则,
4、将每个合并圈所表示的 与项逻辑相加 。
1、将函数化简为最小项之和的形式。
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
DCBADACA B CBDABCADCADCBAF ???????
DCBA
解,1,正确填入四变量卡诺图
DCA
BCA
BDA
ABC
DAC
DCBA
ABCD=0000 处填 1
ACD=010 处填 1
ABC=011 处填 1
ABD=011 处填 1
ABC=111 处填 1
ACD=110 处填 1
ABCD=1001 处填 1
1
1
2,按 2n 圈一原则画合并圈，合并圈越大越好。 每
个合并圈对应一个与项。
3,将每个与项相加，得到化简后的函数。
DBA
例 1：化简
1 1
1
1
1
1 1
DC
BC
BDA
DCBA
DCBABDADBADCBCF ?????
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
11
11
11
1 1
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
11
11
11
1 1
? ??? mF 13,12,10,8,7,5,3,2
解：
DCA
DCB
CDA
DCB
DCBCDADCBDCAF ????
DBA
CAB
BDA
CBA
CBABDACABDBAF ????
本例说明：
同一逻辑函数，可能有两种以上最简化简结果。
例 2：化简
本题直接给出最小项之和地形式，因此，在卡诺图
对应小方格处直接填, 1”。
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
1
111
11
1
1
? ??? mF 15,14,13,9,7,5,4,3例3,化简
BD
CBA
DCA
CDA ABC
CDAA B CDCACBAF ????
本例说明：
每一个合并圈要有新
未被圈过的, 1”格 。 二维
块 BD中所有的, 1”格均被
其余合并圈所包围 。 所以
BD是冗余项, 应取掉 。
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
解：题意要求将最小项之和化简为最大项之积的形式。
即由与－或式求出或－与式。
填, 1”格，圈, 0”格,DB
DCB
ABC
A B CDCBDBF ???
AB CDCBDBFF ????
? ?? ?? ?CBADCBDB ??????
例 4：化简 F = ∑m(0,2,3,5,7,8,10,11,13)为最简或－与式。
o写 出 F 的 与 或 式
。的或－与式两边求反，得出 FF
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
0
000
00
0
0
0
0
题意要求：将最大项之积
化简为或－与式。最大项和最
小项互为反函数。最小项填
,1”格，最大项填, 0”格。
ABADCDACBDF ?????
ABADCDACBDFF ??????
? ?? ?? ?? ?? ?BADADCCADB ??????
AB
AD
AC
CD
BD
即：填, 0”格，圈, 0”格，
例 5：化简 F = ∏M(3,5,7,9,10~15) 为最简或与式。
写 出 F 的 与 或 式 。
。F 两 边 求 反, 得 出 F 的 或 － 与 式
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
? ?? ?? ?? ?DBADBADCBDCBF ?????????
? ?? ?? ?? ?DBADBADCBDCBF ?????????
DBADBADBCDCBF ????
为最简或与式及 最简与或式 。
解,1、将已知为或 -与式的函数 F 填入
卡诺图的简便办法是：等式两边求反，然
后在卡诺图上填, 0” 格，其余填, 1”格。
2、利用观察法,填,0”格，圈,0”
格
0 0
0
0
0
0
0 01 1
1
1 1
1
1 1
DB
DB
BD DB
DBDBF ??
DBDBFF ??? ? ?? ?DBDB ???
3、最简与或式
是填, 1”格，圈, 1”
格,直接写出 F 的
与 -或式。
DBBDF ??
例 6：化简
。的或－与式两边求反，得出 FF
的与或式。写出 F
AB
00 01 11 10
0
0
1 1 1
0 0 1 0
1
C
（一）、与非逻辑形式（用与非门实现）
1、填, 1”格，圈, 1”格，得出 F 与或式。
ABBC AC
BCACABF ???
2、两次求反，一次反演得出与非－与非式。
BCACABFF ???? ACAB ???
3、根据与非式，画出用与非门组成的 逻辑电路图。
逻辑函数的形式是多种多样的, 前面我们已经学过 与或
式, 或与式, 还有 与非式, 或非式, 与或非 三种表示形式 。
现在讨论如何在卡诺图上实现这三种形式的化简 。
A B CCABCBABCAF ????例：已知
根据电路要求，选择不同化简方式。
要求用与非门、或非门、与或非门实现。
&
&
&
&
A
B
C
F
AB
00 01 11 10
0
0
1 1 1
0 0 1 0
1
C
（二）、或非逻辑形式（用或非门实现）
BACBCAF ???
1、填, 1”格，圈, 0”格
2,等式两边求反，得出 F 或与式 。
3、对 F 两次求反，一次反演得出或非－或非式。
BACBCAFF ????
? ?? ?? ?BACBCA ????
4、根据或非－或非式，画出用或非
门组成的逻辑电路图。
? ?? ?? ?BACBCAFF ?????
BACBCA ??????
写 出 F 的 与 或 式 。
CA
CB
BA
≥1
≥1
≥1
≥1
A
B
C
F
（三）、与或非逻辑形式（用与或非门实现）。
BACBCAF ???
BACBCAFF ????
1、圈, 0” 格，
2、等式两边求反，得出 F 与或非式。
3、根据与或非式，画出用与或非门
组成的 逻辑电路图。
00 01 11 10
0
1
AB
C
0
0
0
1
1
1
0
1
BA
CB
CA
的与或式。写出 F
A
B
C
F
&
&
&
≥1
逻辑问题分为完全描述和非完全描述两种。
在每一组输入变量的取值下，函数 F 都有确定得值，
不是 0 就是 1 。
1、在输入变量的某些取值下，函数 F 取值是 0 是
1 都可以。不影响电路的逻辑功能。
2、输入变量受外界条件约束，某些输入组合不可能
在输入端出现,不必考虑输出。这些输入取值组合称为无
效组合。同无效输入组合相对应的最小项称为,无关项、
任意项、约束项。
完全描述：
非完全描述：
0???? A B CCABCBABCA
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 0 1
没操作
乘法
减法
加法
0 1 1 X
1 0 1 X
1 1 0 X
1 1 1 X
不允许 BC同时为 1，记作 BC=0
不允许 AC同时为 1，记作 AC=0
不允许 AB同时为 1，记作 AB=0
不允许 ABC同时为 1，记作 ABC=0
约束条件,BC+AC+AB+ABC=0
通过配项展开为最小项之和形式：
07653 ???? mmmm
? ? 07,6,5,3 ?? d
? ? ? ??? ?? dmF 7,6,5,34,2,1
从本例可以看出：将恒为 0 的最小项加入或不加入到 F 表
达式，都不影响函数值。因此：将无关最小项记做 x,对函数化
简有利当作 1,对化简没利当作 0 。
真值表：
恒为 0 的最小项就是无关项
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
1
1
1
?
?
?
?
1
?
1
?
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
1
1
1
?
?
?
?
1
?
1
?
解：依题意列真值表。
A B C D F
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 X
1 0 1 1 X
1 1 0 0 X
1 1 0 1 X
1 1 1 0 X
1 1 1 1 X
由真值表写出 F 表达式：
? ? ? ??? ?? dmF 15~109~5
BCABDACBAF ???
BCBDAF ???
例 1：用 8421BCD码表示一位十进制数 X,
当 x≥5时，输出 F = 1，否则输出 F = 0,求
F 的最简与或式。
不考虑
无关项
的化简
CBA
BDA
BCA
考虑无关
项的化简
A
BD
BC
F A B D B C? ? ?
AB
00 01 11 10
0
1
C
C1 1 X 1
X
CBCBAF ??
?0?AB
CF?
约束条件
解,AB = 0 表示 A 与 B 不能同时为 1,AB = 11（即
AB同时为 1)所对应的最小项，就是无关项。
例 2:化简
无关项 X 对化简
有利当作 1,对
化简无利当作 0 。
前面所学的函数化简，均假定输入信号既提供原变量，又提供反变量。
在实际逻辑电路设计中，只有原变量输入，没有反变量输入。因此在函数
化简时采取适当方法就能得到只有原变量输入。
1、公式法,先介绍几个概念
头部因子和尾部因子：
一个乘积项可以写作：
21 iiii TTHE ?
iH
21,ii TT
乘积项不带反号的部分称为 头部 。
?abcH i ? 每个乘积因子 a b c - - -称为 头部因子 。
乘积项带反号的部分称为 尾部 。
?xyzT i ?1
?uvwT i ?2
每个乘积因子,x y z,u v w 称为 尾部因子。
例,cabE
i ?
ab
c
头部因子
尾部因子
尾部代替因子
a b cabbcabacabcabE i ????例：
头部因子可以随意放入尾部因子，也可以从尾部因
子中取走。
证明,acabcab ? ? ? cabcabaabcaab ?????
bcabcab ? ? ? cabcbab ???
abcabcab ? ? ? cabcbaab ????
一个乘积项的尾部因子，可根据需要加以扩展，如果扩
展变量是属于头部内的变量，则该乘积项的值不变。扩展后
的因子，称为原乘积项尾部因子的代替因子。
即：尾部因子的反号可以任意伸长和缩短，伸长将头
部因子 放进去，缩短将头部因子取出来。
? ?0??aa
AB
00 01 11 10
0
1 1 1
1 1
C
如果两个或两个以上乘积项的头部完全相同，则这几个
乘机项可以合并为一个乘积项。
ebadbacbaF ???
? ? c d ebaedcbaedcba ??????? ??????
例：已知 ? ???
mF 6,5,4,3
在输入没有反变量的条件下化简为与非－与非表达式。
BCABACAF ??? BCABACA ???
BCABACA ???
解,a、用卡诺图常规化简
CA
BABCA
乘积项合并
共用,7个
门，其中,3 个
非门,4 个与非
门。
BCABACAF ???
? ? ABCCBA ???
ABCCBA ??????? ??
ABCBCA ??
A B CBCA B CA ????
A B CBCA B CA ????
A B CBCA B CA ???
公式法化简的目
的：寻找公共项 ABC
减少与非门数量。
只用 4个与非门。
b、用公式法化简
&
&
&
&ABC F
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
1
1
1
1
11
1
1
1
1
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
1
1
1
1
11
1
2、禁止逻辑法 先介绍一个名词：
1重心：
如,AB=11 ABC=111 ABCD=1111
1重心的特点：
凡合并圈包含 1 重心的
与项不会含有反变量。
C
AB
AC
BD
禁止逻辑法的基本思想：
但这样的合并圈有可能把不属于原函数的某些最小
项也圈进去了，要保证原函数功能不变，必须扣除这些
不属于原函数的最小项。
在卡诺图上所有变量取值为
1 的小方格称为 1 重心。
保证输入端不会出现反变量，化
简函数时必须包含 1 重心。
AB
00 01 11 10
1
0
1 1 1
0 0 0 0
0
C
AB
00 01 11 10
1
0
1 1 1
0 0 0 0
0
C
例,? ???
mF 5,3,1 531 mmm ???
a、常规化简
CA CB
CBCAF ??
b、含 1重心化简
假定,m7 = 1画入合并圈，化简
结果 C 与原函数不一致，因为把 m7
看作 1 圈入，实际 m7 = 0 因此要把
m7禁止掉。
7mCF ?? ABCC ??
ABCC?
证明, ? ?
77531 )( mmmmm ???
? ? 7531 mmmm ????
0?? jim
推论：任一逻辑函数，如果用不属于它的最小项之
和的非乘之，其逻辑功能不变。
7mF ??
????? ji mmFF
AB
00 01 11 10
1
0
1 1 1
0 0 0 0
0
C
ABC?
C、扩大禁止范围，减少输入因子
ABCF ??
ABCA B CCABFmmFF ji ????????? ?
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
1
1
1
1
11
0
1
0
0
0
0
1
1 1
1
一、将函数化简为与非－与非表达式。
? ??? mF 14~4例 1：
a、画四变量卡诺图
A B C DBA B C DAF ????
ABCDA?
ABCDB ?
把 m15当作 1 圈入，按 0禁止掉。
A B CBA B CAF ????
A B CBA B CA ????
c、画出逻辑电路图
b、把含 1重心的 0格圈入，再用禁止逻辑
法将其禁止掉。
AB
C
&
&
&&
D
F
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
1
0
0
1
11
0
1
1
1
0
0
0
0 1
1
例 2:已知 ? ???
mF 14,12~9,8,6,3,2
BD
用禁止逻辑法将 F 化简为与
非－与非表达式。
解,a,画四变量卡诺图
b,把含 1重心的 0格圈入
并扩大禁止范围。再用禁
止逻辑法将其禁止掉。
BDA?
BDC?
BDCBDAF ????
BDCBDA ???
c、画出逻辑电路图
F
A
B
C
D
&
&
&
&
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
? ??? mF 13129765431,，，，，，，，
1
0
1
1
1
1
1
1 1
1
0 0
0 0
0
0
AC
ACD?
ACB?
ACDACBF ????
ACDACB ????
ACDACB ????
扩大禁止应用范围
最后画出用与非门实现的逻辑电路图。
例 3:已知
用禁止逻辑法将 F 化简为与非－与非表达式。
AB
00 01 11 10
1
0
1 1 1
1 0 0 1
0
C
例 4:已知 F = ∑m(0,1,3,4,5)求 F' 的最小项表达式。
B
CA
? ? CBBACABF ????'
? ? ? ?AACBCCBA ????
CBACBACBA ???
? ??? m 5,1,0
? ??? mF 5,1,0'
? ??? mF 5,4,3,1,0
? ??? mF 7,6,2
由此推广到 n 变量：
? ? ? ??? icbaF ?,,
? ? ? ??? jcbaF ?,,
? ? ? ??? kcbaF ?,,'
最小项编号
除最小项编号之外
所有编号。
? ? jk n ??? 12
CABF ??
'F 和 F 之 间 的 关 系,
'F 和 F 号 码 数 目 相 同, 对 应 之 和 为 7 。
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
1
1
1
0
11
0
1
0
0
1
0
1
0 1
1
F'卡诺图
例 4,已知 F=∑m(0,4,11,12,13,15)在输入只有原变量的条
件下将 F 化简为或非－或非式。
?F ? ?? m 14,10,9,8,7,6,5,3,2,1解：
?? mF ' ? ?1,5,6,7,8,9,10,12,13,14
DCA C DBCA C DAF ?????'
CDDADBCCDA ????
ADBCCDDCDA ????
DACBDCDDCAFF ??????????? ''
ACD
DC
ACDA?
ACDBC ?
通过卡诺图化简 F′ 得出：
两次求对偶得出原函数的或非－或非表达式。
最后画出逻辑电路图。
AB
00 01 11 10
0
0
1 1 0
0 0 0 1
1
C
2F
AB
00 01 11 10
1
0
1 1 1
0 0 0 1
1
C
1F
在实际应用电路中，输出端不可能只有一个，
往往有两个或两个以上输出端。
化简多输出函数时，不能单纯追求每个
单一函数的最简，单一函数最简，不能保证
系统最简。应统一考虑，尽可能用公共项。
例：化简 F1 = ∑m(1,3,4,5,7),F2 = ∑m(3,4,7)为与非－与
非表达式。
解,1、将 F1 和 F2 分别 化简
BA
C
CBA
BC
逻
辑
电
路
逻
辑
电
路
A
B
C
1F
2F
3F
4F
AB
00 01 11 10
0
0
1 1 0
0 0 0 1
1
C
2F
AB
00 01 11 10
1
0
1 1 1
0 0 0 1
1
C
1F
CBACBACBAF ??????1
CBABCCBABCCBABCF ??????2
2、将 F1 和 F2 整体 化简 (找公共项 ）
CBA
C
CBABC
CBACCBACCBACF ??????1
CBABCCBABCCBABCF ??????2
& &A
B
C
1F
&
&
&
B
C
A
B
C
2F
&
&
&
&
A
B
C
B
C
1F
2F
据真值表可以写出该函数的最小项之和及最大项之积的形式。
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
最小项之和,BABAF ?? ? ????? 2.1mm 21
最大项之积,? ?? ?BABAF ???
? ????? 3.030 MM
真值表和逻辑函数的最小项、最大项之间存在一一对应关系。
但是把真值表作为运算工具十分不便。用图解化简法，化
简逻辑函数方便简单。
F = 1 的输入变量组合有 AB = 01,10 两组。
F = 0 的输入变量组合有 AB = 00,11 两组。
从以上分析中可以看出：
真值表例 BAF ??：
如果把真值表 按特定规律排列成方格图的形式,这种
方格图称为卡诺图。 利用卡诺图可以方便地对逻辑函数进
行化简。通常称为 图解法或卡诺图法。
3,卡诺图小方格相邻数 = 变量数。
2,每个相邻小方格彼此只允许一个变量不同。通常采用
格雷码排列。保证 逻辑相邻，几何位置相邻 。
一、卡诺图构成
二、卡诺图构图思想：
1,n 变量函数就有 2n 个小方格。每个小方格相当于真
值表中的一个最小项。小方格的编号就是最小项的编号。
1 变量卡诺图
变量数 n = 1 在卡诺图上有 21 = 2 个
小方格，对应 m0,m1两个最小项。
0 表示 A 的反变量。
1 表示 A 的原变量。
2 变量卡诺图
变量数 n = 2 在卡诺图上有 22 = 4 个小方格，对应 m0、
m1,m2,m3四个最小项。
每个小方格有二个相邻格,m0和 m1,m2相邻。 A B
0 0
0 1
1 1
1 0
二变量格雷码排列：
任何相邻码组之间只有一个码元不同。
逻辑相邻，几何位置相邻。
A
B
BA
BA
BA
AB
1m
0m 2m
3m
0 1
0
1
A
0 1
0m 1m
AA
AB
C 00 01 1011
1
0
CBA
CBA
CBA
BCA
CAB
ABC
CBA
CBA
2m0m
1m 3m
4m
5m
6m
7m
A B C
0 0 0
0 0 1
0 1 1
0 1 0
1 1 0
1 1 1
1 0 1
1 0 0
3 变量卡诺图
变量数 n = 3 在卡诺图上
有 23 = 8 个小方格，对应八个最。
每个小方格有三个相邻格。
m0 和 m1,m2,m4 相邻。
m1 和 m0,m3,m5 相邻。
m2 和 m0,m3,m6 相邻。
三变量格雷码排列顺序：
☆ 卡诺图小方格相邻数 = 变量数。
☆ 小方格的编号就是最小项的编号。
☆ 逻辑相邻，几何位置也相邻。
要求掌握格雷码排列规律。
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
DCBA
DCBA
CDBA
DCBA
DCBA
DCBA
BCDA
DBCA
DCAB
DCAB
ABCD
DABC
DCBA
DCBA
CDBA
DCBA
0m
1m
2m
3m
4m
5m
7m
6m
8m
9m
11m
10m
12m
13m
15m
14m
4 变量卡诺图
变量数 n = 4 在卡诺图上有
24 = 16 个小方格，对应十六个
最小项。每个小方格有四个相邻
格。
m0 和 m1,m2,m4, m8 相邻。
m5 和 m1,m4,m7, m13 相邻。
m9 和 m1,m8,m11, m13 相邻。
四变量格雷码排列：
A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
B 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
C 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0
D 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
A A
C
C
B
B
D D
000 001 011 010
00
01
11
10
A B C
DE
110 111 101 100
m 0
m 1
m 4
m 5
m 12
m 13
m 8
m 9
m 24
m 25
m 28
m 29
m 31m 27m 11m 15m 7
m 20 m 16
m 21 m 17
m 23 m 19
m 18m 22m 30m 26m 10m 14m 6
m 3
m 2
5 变量卡诺图
变量数 n = 5 在卡诺图
上有 25 = 32 个小方格，对
应 32个最小项。每个小方格
有 5个相邻格。
m0和 m1,m2,m4,m8,及对称相 m16。
m5和 m1,m4,m7,m13,及对称相 m21。
m23和 m19,m21,m22,m31,及对称相 m7。
m27和 m25,m26,m19,m31,及对称相 m11。
找相邻格的方法：
先按四变找
再找对称相
随着输入变量的增加，小方格数以 2n 倍增加。若
N=6 有 64个小方格，使卡诺图变得十分复杂，相邻关系
难以寻找。所以卡诺图一般多用于 5变量以内。
AB
C 00 01 1011
1
0
卡诺图的目的是用来化简逻辑函数，那么如何用卡诺图
来表示逻辑函数？ 方法有四种：
1,真值表法
已知一个真值表，可直接填出卡诺
图。方法是：把真值表中输出为 1 的最
小项，在的卡诺图对应小方格内填 1,
把真值表中输出为 0 的最小项，在卡诺
图对应小方格内填 0 。
例：已知真值表为
A B C F m i
0 0 0 0 m 0
0 0 1 1 m 1
0 1 0 1 m 2
0 1 1 0 m 3
1 0 0 1 m 4
1 0 1 0 m 5
1 1 0 1 m 6
1 1 1 1 m 7填有 1 的所有小
方格的合成区域就是
该函数的卡诺图。 0
1
1
0
1
0
1
1
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
ACBDACABF ???例：
CAB? ? ?DD? BDA? ? ?CC? AC? ? ?? ?DDBB ??
CDBADA B CDCBAA B C DDCBAB C DADCABDCAB ????????
11141015571213 mmmmmmmm ????????
? ??? m 15~10,7,5
画出四变量卡诺图，并填图：
将 F 中的所有最小项填在
卡诺图的对应小方格内。最小项
填, 1”,其余位置填, 0” 。
2、配项法
（四变量函数）
1
1
1
1
1
1
1
1
首先通过配项法将非标准与－或式变换为标准与或式。
即最小项之和的形式。
0
0
0
0
0
0
0
0
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
ACBDACABF ???：例
? ?DDCABCAB ???
DCABDCAB ??
1213 mm ??
CAB 是 m13 和 m12 的公因子
所以只要在 A=B=1, C=0 所对应的区域填 1即可。
同理：在 A=0,B=D=1 所对应的区域填 1。
在 A=1,C=1 所对应的区域填 1。
3、直接观察法：（填公因子法）
1
11
1 1 1
1 1
ii Mm ?
最大项和最小项互为反函数。
ii mM ?
因此：在卡诺图上最小项用, 1” 格表示，最大项
用, 0” 格表示 。
4,将最小项之和形式化简为最大项之积形式：
任何一个逻辑函数不但可以表示成最小项之和的形式，
也可以表示为最大项之积的形式。
AB
C 00 01 1011
1
0
本例说明：任何一个
逻辑函数，根据需要可以
用, 1”格表示，也可以用
,0”格表示。
例：已知 A B CCABCBABCACBACBAF ??????
? ??? m 7,6,5,3,1,0
要求将 F表示为 最大项之积 的形式。
? ??? mF 7,6,5,3,1,0：解
在三变量卡诺图中填, 1”格表示
最小项，其余填, 0”格表示最大项
。
1 0 1 0
1 1 1 1
,0”格表示最小项的非。CBACBAF ??
CBACBAFF ???
? ?? ?CBACBA ?????
? ??? M 4,242 MM ??
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
DCBA
DCBA
CDBA
DCBA
DCBA
DCBA
BCDA
DBCA
DCAB
DCAB
ABCD
DABC
DCBA
DCBA
CDBA
DCBA
0m
1m
2m
3m
4m
5m
7m
6m
8m
9m
11m
10m
12m
13m
15m
14m
以四变量为例说明卡诺图的化简方法,
若规定：代表一个最小项的小方格叫做, 0”维块。
,0”维块,表示四个变量一个也没有被消去。
?DCBA DCBA
?CDBA DCBA
?DCBA DCBA
?BCDA DBCA
CBA
CBA
CBA
BCA
BA
BA
A
,0”维块相加, 1”维块, 2”维块, 3”维块
从上述分析中可以看出：
二个, 0”维块 相加,可合并为一项，并消去一对有 0,1变化因子。
四个, 0”维块 相加,可合并为一项，并消去二对有 0,1变化因子。
八个, 0”维块 相加,可合并为一项，并消去三对有 0,1变化因子。
m0+m1
m3+m2
m4+m5
m7+m6
将相邻,0”维块相加，可以将
两项合并为一项，并消去一对因子。
相邻项
2、画出表示该函数的卡诺图。
3、画合并圈 。
将相邻的, 1” 格按 2n 圈一组，直到所有, 1” 格全
部被覆盖为止。
1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。
2、合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少。
3、由于 A+A=A，所以同一个, 1” 格可以圈多次。
4、每个合并圈中要有新的未被圈过的, 1” 格 。
卡诺图化简原则：
4、将每个合并圈所表示的 与项逻辑相加 。
1、将函数化简为最小项之和的形式。
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
DCBADACA B CBDABCADCADCBAF ???????
DCBA
解,1,正确填入四变量卡诺图
DCA
BCA
BDA
ABC
DAC
DCBA
ABCD=0000 处填 1
ACD=010 处填 1
ABC=011 处填 1
ABD=011 处填 1
ABC=111 处填 1
ACD=110 处填 1
ABCD=1001 处填 1
1
1
2,按 2n 圈一原则画合并圈，合并圈越大越好。 每
个合并圈对应一个与项。
3,将每个与项相加，得到化简后的函数。
DBA
例 1：化简
1 1
1
1
1
1 1
DC
BC
BDA
DCBA
DCBABDADBADCBCF ?????
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
11
11
11
1 1
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
11
11
11
1 1
? ??? mF 13,12,10,8,7,5,3,2
解：
DCA
DCB
CDA
DCB
DCBCDADCBDCAF ????
DBA
CAB
BDA
CBA
CBABDACABDBAF ????
本例说明：
同一逻辑函数，可能有两种以上最简化简结果。
例 2：化简
本题直接给出最小项之和地形式，因此，在卡诺图
对应小方格处直接填, 1”。
8(2),10（ 3）,11,12（ 3）（ 4）,13
,14,15（ 2）（ 4）
P113
2、画出表示该函数的卡诺图。
3、画合并圈 。
将相邻的, 1” 格按 2n 圈一组，直到所有, 1” 格全
部被覆盖为止。
1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。
2、合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少。
3、由于 A+A=A，所以同一个, 1” 格可以圈多次。
4、每个合并圈中要有新的未被圈过的, 1” 格 。
卡诺图化简原则,
4、将每个合并圈所表示的 与项逻辑相加 。
1、将函数化简为最小项之和的形式。
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
DCBADACA B CBDABCADCADCBAF ???????
DCBA
解,1,正确填入四变量卡诺图
DCA
BCA
BDA
ABC
DAC
DCBA
ABCD=0000 处填 1
ACD=010 处填 1
ABC=011 处填 1
ABD=011 处填 1
ABC=111 处填 1
ACD=110 处填 1
ABCD=1001 处填 1
1
1
2,按 2n 圈一原则画合并圈，合并圈越大越好。 每
个合并圈对应一个与项。
3,将每个与项相加，得到化简后的函数。
DBA
例 1：化简
1 1
1
1
1
1 1
DC
BC
BDA
DCBA
DCBABDADBADCBCF ?????
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
11
11
11
1 1
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
11
11
11
1 1
? ??? mF 13,12,10,8,7,5,3,2
解：
DCA
DCB
CDA
DCB
DCBCDADCBDCAF ????
DBA
CAB
BDA
CBA
CBABDACABDBAF ????
本例说明：
同一逻辑函数，可能有两种以上最简化简结果。
例 2：化简
本题直接给出最小项之和地形式，因此，在卡诺图
对应小方格处直接填, 1”。
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
1
111
11
1
1
? ??? mF 15,14,13,9,7,5,4,3例3,化简
BD
CBA
DCA
CDA ABC
CDAA B CDCACBAF ????
本例说明：
每一个合并圈要有新
未被圈过的, 1”格 。 二维
块 BD中所有的, 1”格均被
其余合并圈所包围 。 所以
BD是冗余项, 应取掉 。
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
解：题意要求将最小项之和化简为最大项之积的形式。
即由与－或式求出或－与式。
填, 1”格，圈, 0”格,DB
DCB
ABC
A B CDCBDBF ???
AB CDCBDBFF ????
? ?? ?? ?CBADCBDB ??????
例 4：化简 F = ∑m(0,2,3,5,7,8,10,11,13)为最简或－与式。
o写 出 F 的 与 或 式
。的或－与式两边求反，得出 FF
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
0
000
00
0
0
0
0
题意要求：将最大项之积
化简为或－与式。最大项和最
小项互为反函数。最小项填
,1”格，最大项填, 0”格。
ABADCDACBDF ?????
ABADCDACBDFF ??????
? ?? ?? ?? ?? ?BADADCCADB ??????
AB
AD
AC
CD
BD
即：填, 0”格，圈, 0”格，
例 5：化简 F = ∏M(3,5,7,9,10~15) 为最简或与式。
写 出 F 的 与 或 式 。
。F 两 边 求 反, 得 出 F 的 或 － 与 式
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
? ?? ?? ?? ?DBADBADCBDCBF ?????????
? ?? ?? ?? ?DBADBADCBDCBF ?????????
DBADBADBCDCBF ????
为最简或与式及 最简与或式 。
解,1、将已知为或 -与式的函数 F 填入
卡诺图的简便办法是：等式两边求反，然
后在卡诺图上填, 0” 格，其余填, 1”格。
2、利用观察法,填,0”格，圈,0”
格
0 0
0
0
0
0
0 01 1
1
1 1
1
1 1
DB
DB
BD DB
DBDBF ??
DBDBFF ??? ? ?? ?DBDB ???
3、最简与或式
是填, 1”格，圈, 1”
格,直接写出 F 的
与 -或式。
DBBDF ??
例 6：化简
。的或－与式两边求反，得出 FF
的与或式。写出 F
AB
00 01 11 10
0
0
1 1 1
0 0 1 0
1
C
（一）、与非逻辑形式（用与非门实现）
1、填, 1”格，圈, 1”格，得出 F 与或式。
ABBC AC
BCACABF ???
2、两次求反，一次反演得出与非－与非式。
BCACABFF ???? ACAB ???
3、根据与非式，画出用与非门组成的 逻辑电路图。
逻辑函数的形式是多种多样的, 前面我们已经学过 与或
式, 或与式, 还有 与非式, 或非式, 与或非 三种表示形式 。
现在讨论如何在卡诺图上实现这三种形式的化简 。
A B CCABCBABCAF ????例：已知
根据电路要求，选择不同化简方式。
要求用与非门、或非门、与或非门实现。
&
&
&
&
A
B
C
F
AB
00 01 11 10
0
0
1 1 1
0 0 1 0
1
C
（二）、或非逻辑形式（用或非门实现）
BACBCAF ???
1、填, 1”格，圈, 0”格
2,等式两边求反，得出 F 或与式 。
3、对 F 两次求反，一次反演得出或非－或非式。
BACBCAFF ????
? ?? ?? ?BACBCA ????
4、根据或非－或非式，画出用或非
门组成的逻辑电路图。
? ?? ?? ?BACBCAFF ?????
BACBCA ??????
写 出 F 的 与 或 式 。
CA
CB
BA
≥1
≥1
≥1
≥1
A
B
C
F
（三）、与或非逻辑形式（用与或非门实现）。
BACBCAF ???
BACBCAFF ????
1、圈, 0” 格，
2、等式两边求反，得出 F 与或非式。
3、根据与或非式，画出用与或非门
组成的 逻辑电路图。
00 01 11 10
0
1
AB
C
0
0
0
1
1
1
0
1
BA
CB
CA
的与或式。写出 F
A
B
C
F
&
&
&
≥1
逻辑问题分为完全描述和非完全描述两种。
在每一组输入变量的取值下，函数 F 都有确定得值，
不是 0 就是 1 。
1、在输入变量的某些取值下，函数 F 取值是 0 是
1 都可以。不影响电路的逻辑功能。
2、输入变量受外界条件约束，某些输入组合不可能
在输入端出现,不必考虑输出。这些输入取值组合称为无
效组合。同无效输入组合相对应的最小项称为,无关项、
任意项、约束项。
完全描述：
非完全描述：
0???? A B CCABCBABCA
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 0 1
没操作
乘法
减法
加法
0 1 1 X
1 0 1 X
1 1 0 X
1 1 1 X
不允许 BC同时为 1，记作 BC=0
不允许 AC同时为 1，记作 AC=0
不允许 AB同时为 1，记作 AB=0
不允许 ABC同时为 1，记作 ABC=0
约束条件,BC+AC+AB+ABC=0
通过配项展开为最小项之和形式：
07653 ???? mmmm
? ? 07,6,5,3 ?? d
? ? ? ??? ?? dmF 7,6,5,34,2,1
从本例可以看出：将恒为 0 的最小项加入或不加入到 F 表
达式，都不影响函数值。因此：将无关最小项记做 x,对函数化
简有利当作 1,对化简没利当作 0 。
真值表：
恒为 0 的最小项就是无关项
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
1
1
1
?
?
?
?
1
?
1
?
AB
CD 00 01 1011
00
01
11
10
1
1
1
?
?
?
?
1
?
1
?
解：依题意列真值表。
A B C D F
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 X
1 0 1 1 X
1 1 0 0 X
1 1 0 1 X
1 1 1 0 X
1 1 1 1 X
由真值表写出 F 表达式：
? ? ? ??? ?? dmF 15~109~5
BCABDACBAF ???
BCBDAF ???
例 1：用 8421BCD码表示一位十进制数 X,
当 x≥5时，输出 F = 1，否则输出 F = 0,求
F 的最简与或式。
不考虑
无关项
的化简
CBA
BDA
BCA
考虑无关
项的化简
A
BD
BC
F A B D B C? ? ?
AB
00 01 11 10
0
1
C
C1 1 X 1
X
CBCBAF ??
?0?AB
CF?
约束条件
解,AB = 0 表示 A 与 B 不能同时为 1,AB = 11（即
AB同时为 1)所对应的最小项，就是无关项。
例 2:化简
无关项 X 对化简
有利当作 1,对
化简无利当作 0 。
前面所学的函数化简，均假定输入信号既提供原变量，又提供反变量。
在实际逻辑电路设计中，只有原变量输入，没有反变量输入。因此在函数
化简时采取适当方法就能得到只有原变量输入。
1、公式法,先介绍几个概念
头部因子和尾部因子：
一个乘积项可以写作：
21 iiii TTHE ?
iH
21,ii TT
乘积项不带反号的部分称为 头部 。
?abcH i ? 每个乘积因子 a b c - - -称为 头部因子 。
乘积项带反号的部分称为 尾部 。
?xyzT i ?1
?uvwT i ?2
每个乘积因子,x y z,u v w 称为 尾部因子。
例,cabE
i ?
ab
c
头部因子
尾部因子
尾部代替因子
a b cabbcabacabcabE i ????例：
头部因子可以随意放入尾部因子，也可以从尾部因
子中取走。
证明,acabcab ? ? ? cabcabaabcaab ?????
bcabcab ? ? ? cabcbab ???
abcabcab ? ? ? cabcbaab ????
一个乘积项的尾部因子，可根据需要加以扩展，如果扩
展变量是属于头部内的变量，则该乘积项的值不变。扩展后
的因子，称为原乘积项尾部因子的代替因子。
即：尾部因子的反号可以任意伸长和缩短，伸长将头
部因子 放进去，缩短将头部因子取出来。
? ?0??aa
AB
00 01 11 10
0
1 1 1
1 1
C
如果两个或两个以上乘积项的头部完全相同，则这几个
乘机项可以合并为一个乘积项。
ebadbacbaF ???
? ? c d ebaedcbaedcba ??????? ??????
例：已知 ? ???
mF 6,5,4,3
在输入没有反变量的条件下化简为与非－与非表达式。
BCABACAF ??? BCABACA ???
BCABACA ???
解,a、用卡诺图常规化简
CA
BABCA
乘积项合并
共用,7个
门，其中,3 个
非门,4 个与非
门。
BCABACAF ???
? ? ABCCBA ???
ABCCBA ??????? ??
ABCBCA ??
A B CBCA B CA ????
A B CBCA B CA ????
A B CBCA B CA ???
公式法化简的目
的：寻找公共项 ABC
减少与非门数量。
只用 4个与非门。
b、用公式法化简
&
&
&
&ABC F
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
1
1
1
1
11
1
1
1
1
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
1
1
1
1
11
1
2、禁止逻辑法 先介绍一个名词：
1重心：
如,AB=11 ABC=111 ABCD=1111
1重心的特点：
凡合并圈包含 1 重心的
与项不会含有反变量。
C
AB
AC
BD
禁止逻辑法的基本思想：
但这样的合并圈有可能把不属于原函数的某些最小
项也圈进去了，要保证原函数功能不变，必须扣除这些
不属于原函数的最小项。
在卡诺图上所有变量取值为
1 的小方格称为 1 重心。
保证输入端不会出现反变量，化
简函数时必须包含 1 重心。
AB
00 01 11 10
1
0
1 1 1
0 0 0 0
0
C
AB
00 01 11 10
1
0
1 1 1
0 0 0 0
0
C
例,? ???
mF 5,3,1 531 mmm ???
a、常规化简
CA CB
CBCAF ??
b、含 1重心化简
假定,m7 = 1画入合并圈，化简
结果 C 与原函数不一致，因为把 m7
看作 1 圈入，实际 m7 = 0 因此要把
m7禁止掉。
7mCF ?? ABCC ??
ABCC?
证明, ? ?
77531 )( mmmmm ???
? ? 7531 mmmm ????
0?? jim
推论：任一逻辑函数，如果用不属于它的最小项之
和的非乘之，其逻辑功能不变。
7mF ??
????? ji mmFF
AB
00 01 11 10
1
0
1 1 1
0 0 0 0
0
C
ABC?
C、扩大禁止范围，减少输入因子
ABCF ??
ABCA B CCABFmmFF ji ????????? ?
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
1
1
1
1
11
0
1
0
0
0
0
1
1 1
1
一、将函数化简为与非－与非表达式。
? ??? mF 14~4例 1：
a、画四变量卡诺图
A B C DBA B C DAF ????
ABCDA?
ABCDB ?
把 m15当作 1 圈入，按 0禁止掉。
A B CBA B CAF ????
A B CBA B CA ????
c、画出逻辑电路图
b、把含 1重心的 0格圈入，再用禁止逻辑
法将其禁止掉。
AB
C
&
&
&&
D
F
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
1
0
0
1
11
0
1
1
1
0
0
0
0 1
1
例 2:已知 ? ???
mF 14,12~9,8,6,3,2
BD
用禁止逻辑法将 F 化简为与
非－与非表达式。
解,a,画四变量卡诺图
b,把含 1重心的 0格圈入
并扩大禁止范围。再用禁
止逻辑法将其禁止掉。
BDA?
BDC?
BDCBDAF ????
BDCBDA ???
c、画出逻辑电路图
F
A
B
C
D
&
&
&
&
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
? ??? mF 13129765431,，，，，，，，
1
0
1
1
1
1
1
1 1
1
0 0
0 0
0
0
AC
ACD?
ACB?
ACDACBF ????
ACDACB ????
ACDACB ????
扩大禁止应用范围
最后画出用与非门实现的逻辑电路图。
例 3:已知
用禁止逻辑法将 F 化简为与非－与非表达式。
AB
00 01 11 10
1
0
1 1 1
1 0 0 1
0
C
例 4:已知 F = ∑m(0,1,3,4,5)求 F' 的最小项表达式。
B
CA
? ? CBBACABF ????'
? ? ? ?AACBCCBA ????
CBACBACBA ???
? ??? m 5,1,0
? ??? mF 5,1,0'
? ??? mF 5,4,3,1,0
? ??? mF 7,6,2
由此推广到 n 变量：
? ? ? ??? icbaF ?,,
? ? ? ??? jcbaF ?,,
? ? ? ??? kcbaF ?,,'
最小项编号
除最小项编号之外
所有编号。
? ? jk n ??? 12
CABF ??
'F 和 F 之 间 的 关 系,
'F 和 F 号 码 数 目 相 同, 对 应 之 和 为 7 。
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
10
1
1
1
0
11
0
1
0
0
1
0
1
0 1
1
F'卡诺图
例 4,已知 F=∑m(0,4,11,12,13,15)在输入只有原变量的条
件下将 F 化简为或非－或非式。
?F ? ?? m 14,10,9,8,7,6,5,3,2,1解：
?? mF ' ? ?1,5,6,7,8,9,10,12,13,14
DCA C DBCA C DAF ?????'
CDDADBCCDA ????
ADBCCDDCDA ????
DACBDCDDCAFF ??????????? ''
ACD
DC
ACDA?
ACDBC ?
通过卡诺图化简 F′ 得出：
两次求对偶得出原函数的或非－或非表达式。
最后画出逻辑电路图。
AB
00 01 11 10
0
0
1 1 0
0 0 0 1
1
C
2F
AB
00 01 11 10
1
0
1 1 1
0 0 0 1
1
C
1F
在实际应用电路中，输出端不可能只有一个，
往往有两个或两个以上输出端。
化简多输出函数时，不能单纯追求每个
单一函数的最简，单一函数最简，不能保证
系统最简。应统一考虑，尽可能用公共项。
例：化简 F1 = ∑m(1,3,4,5,7),F2 = ∑m(3,4,7)为与非－与
非表达式。
解,1、将 F1 和 F2 分别 化简
BA
C
CBA
BC
逻
辑
电
路
逻
辑
电
路
A
B
C
1F
2F
3F
4F
AB
00 01 11 10
0
0
1 1 0
0 0 0 1
1
C
2F
AB
00 01 11 10
1
0
1 1 1
0 0 0 1
1
C
1F
CBACBACBAF ??????1
CBABCCBABCCBABCF ??????2
2、将 F1 和 F2 整体 化简 (找公共项 ）
CBA
C
CBABC
CBACCBACCBACF ??????1
CBABCCBABCCBABCF ??????2
& &A
B
C
1F
&
&
&
B
C
A
B
C
2F
&
&
&
&
A
B
C
B
C
1F
2F
