数学物理方法
复变函数论
复变函数论
? 复数
? 复变函数
? 导数
? 解析函数
? 本章小结
复数
? 数的扩张（完善化）
? 自然数
? 减法不封闭 → 整数
? 除法不封闭 → 有理数
? 不完备 √2 → 实数
? 方程可解性 → 复数
复数
? 复数的表示
? 代数表示
?z = x + iy
? x = Real(z),y = Imagine(z)
? 三角表示
?z = r (cosφ + i sinφ)
?r = |z|,φ= Arg(z)
? 指数表示
?z = r exp(iφ)
? exp(iφ) = cosφ + i sinφ
复数
? 几何表示 ? 关系
?x = r cosφ
?y = r sinφ
?r = √(x2+y2)
?φ= Arctan(y/x)
? 特点
? 无序性
? 复数无大小
? 矢量性
? 复数有方向
复数
? 运算
? 加减法
? (x1+ iy1)± (x2+ iy2) = (x1± x2) + i(y1± y2)
? 乘除法
? r1exp(iφ1)× r2exp(iφ2) = r1r2 exp[i(φ1+φ2)]
? 幂和开方
?[r exp(iφ)]n = rn exp(inφ)
?[r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n)
? 复共轭
? z = x + iy → z* = x – iy
?z = r exp(iφ) → z* = r exp(-iφ)
复变函数
? 概念
? 定义
? 函数：从一个数域 (定义域）到另一个数域（值域）的映射
? 实变函数,f:x→ y
? 复变函数,f:z→ w
? 举例
? f(n) = fn = (1+i)n,n∈ N
? f(z) = zn
? f(z) = exp(z)
? f(z) = ln(z)
复变函数
? 更多的例子
? w = az2
? w = az2 + bz +c
? w = 1/(az + b)
?w = √(az + b)
? w = Ln(az + b)
? w = sin z
? w = Arccos z
?w = ∑ an zn
?w = ∑ an sin(nωz)
? w = ∏(1-z2/n2?2)
? w = ∫exp(-z2)dz
复
变
函
数
复变函数的分类
复数数列
整式 分式
有理函数 无理函数
代数函数 超越函数
初等函数
幂级数 傅立叶级数
级数 无穷乘积
无限次运算 无限次复合
非初等函数
复变函数（狭义）
复变函数（广义）
复变函数
? 分析与比较
? 定义域和值域
?相同点：
? 都是数集
?不同点：
? 实数集是一维的，可以在 (直 )线上表示；
? 复数集是二维的，必须在 (平 )面上表示。
?典型例子：
? |x|<2 是连通的,1<|x|是不连通的；
? |z|<2是单连通的,1<|z|是复连通的。
复变函数
? 映射
?相同点
? 在形式上,y = f(x),w = f(z)
?不同点
? 在变量上,z = x+iy,w = u+iv
? 在描述上：
? 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示；
? 复变函数不能用一个图形完全表示。
?联系
? u = u(x,y),v = v(x,y)
? 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。
复变函数
? 结构
?相同点：
? 复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。
?不同点：
? 基本实变函数
? xn,x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x)
? 基本复变函数
? zn,z1/n,exp(z),ln(z)
? 原因
? cos(z)=(eiz +e-iz)/2,sin(z)=(eiz -e-iz)/2i
复变函数
? 基本函数
? 二次函数
? 定义
? w = z2
? 分析
? u + iv = (x+iy)2 =
x2 +2ixy -y2
? u = x2 -y2,
? v = 2xy
? 性质
? 对称性
? 无周期性
? 无界性
? 单值性
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-100
-50
0
50
100
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-200
-100
0
100
200
复变函数
? 三次函数
? 定义
? w = z3
? 分析
? u + iv = (x+iy)3 =
x3 +3ix2y-3xy2 -iy3
? u = x3 – 3xy2,
? v = 3x2y - y3
? 性质
? 对称性
? 无周期性
? 无界性
? 单值性
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-2000
-1000
0
1000
2000
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-2000
-1000
0
1000
2000
复变函数
? 指数函数
? 定义
? w = exp(z)
? 分析
? u + iv = exp(x+iy) =
exp(x)[cosy +i siny]
? u = exp(x) cos y,
? v = exp(x) sin y
? 性质
? 不对称性
? 周期性
? exp(z+2?i)=
exp(z)
? 无界性
? 单值性
-2
-1
0
1
2
-5
-2.5
0
2.5
5
-5
-2.5
0
2.5
5
-2
-1
0
1
2
-5
-2.5
0
2.5
5
-4
-2
0
2
4
复变函数
? 对数函数
? 定义
? w = Ln(z)
? 分析
? u + iv = Ln [ r ×
exp(iφ)]= ln r + iφ
? u = ln r,
? v = φ
? 性质
? 对称性
? 非周期性
? 无界性
? 多值性,|φ| ??
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
0
0.5
1
1.5
2
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
-1
0
1
复变函数
? 三角函数
? 定义
? w = sin(z)
? 分析
? u + iv = sin(x+iy)
= sin(x)ch(y) + i
cos(x)sh(y)
? u = sin(x)ch(y),
? v = cos(x)sh(y)
? 性质
? 对称性
? 周期性
? 无界性
? 单值性
-5
-2.5
0
2.5
5 -4
-2
0
2
4
-20
0
20
-5
-2.5
0
2.5
5 -4
-2
0
2
4
-20
0
20
复变函数的导数
? 基本概念
实变函数 复变函数
极限
连续
导数
Axfxx ?? )(lim
0
Azfzz ?? )(lim
0
)()(lim 0
0
xfxfxx ?? )()(lim 00 zfzfzz ??
)(')(lim 0
0
xfxxfxx ???? )(')(lim 0
0
zfzzfzz ????
复变函数的导数
? 可导条件
? 分析
? C-R条件
? ux = vy
? vx = -uy
? 充要条件
? 偏导数 ux, vy,
vx, uy 连续
? 满足 C-R条件
? 意义
? 可导函数的虚部与
实部不是独立的，
而是相互紧密联系
的。
x
vi
x
u
x
viu
z
zf
xxyy xx ?
??
?
??
?
????
?
?
??? 0
0
0
lim)(lim
y
ui
y
v
yi
viu
z
zf
yyyy xx ?
??
?
??
?
????
?
?
??? 0
0
0
lim)(lim
z
zfzf
z
zf
yy xxyy xx ?
???
?
?
????
)(lim)(')(lim
0
0
0
0
0
复变函数的导数
? 典型情况
? 初等函数在定义域内都可导；
? 函数 Re(z),Im(z),|z|,Arg(z),z*不可导。
? 导数的计算
? 法则：
? 复变函数的求导法则与实变函数完全相同；
? 例子：
? (sin2z)’ = 2 sin z cos z
? [exp(z2 )]’ = 2 z exp(z2 )
? (z3)” = 6 z
复变函数的导数
? 导数的意义
? 微商表示
? f’(z) = dw/dz
? 模：
? |f’(z)|= |dw|/|dz|
? 幅角：
? Arg[f’(z)]
= Arg(dw) - Arg(dz)
解析函数
? 定义
? 点解析
? 函数 f(z)在点 z0及其邻域上处处可导
? 区域解析
? 函数 f(z)在区域 B上每一点都解析
? 性质
? 调和性
? 解析函数的实部与虚部都是调和函数，
? 即 △ u=uxx + uyy = 0,△ v=vxx + vyy = 0
? 正交性
? 解析函数的实部与虚部梯度正交，
? 即 ? u? v=（ uxi+uyj)（ vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0
? 或曲线 u(x,y)=C1,v(x,y)=C2 相互垂直。
解析函数
? 应用
? 例 1：已知平面电场的电势为 u=x2-y2，求电力线方
程。
? 分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一
个解析函数的实部与虚部，满足 C-R条件。
? 解：设电力线为 v(x,y)=C,由 C-R条件得
? vx=-uy=2y,vy=ux =2x
? dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)
? v = 2xy
? 注意：电力线方程的一般形式为 f(2xy)=C
解析函数
? 例 2：已知平面电场的等势线为 x2+y2=C，求电势
u(x,y)。
? 分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式，
电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。
? 解：设电势为 u=f(x2+y2)
? ux=2xf’,uxx=2f’+4x2f”
? uy=2yf’,uyy=2f’+4y2f”
? uxx+uyy=4f’+4(x2+y2)f”=0
? 令 t = x2+y2,g = f’(t) ? g +t g’ = 0
? g = -ln t +C
? f =
解析函数
? 例 3：已知平面温度场的温度分布为 u=x2-y2，求热
流量函数。
? 分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组
成一个解析函数的实部与虚部，满足 C-R条件。
? 解：设热流量函数为 v(x,y)=C,由 C-R条件得
? vx=-uy=2y,vy=ux =2x
? dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)
? v = 2xy
? 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C
本章小结
? 复变函数
? 定义：两个复数集合之间的映射；
? 特点：定义域和值域为 2维；
? 定义域出现复连通现象；
? 不能用一个图形完全描述；
? 极限存在的要求提高；
? 分析：可以分解成 2个二元实函数；
? 解析函数
? 满足 CR条件；
? 实部和虚部都是调和函数，相互正交。
复变函数论
复变函数论
? 复数
? 复变函数
? 导数
? 解析函数
? 本章小结
复数
? 数的扩张（完善化）
? 自然数
? 减法不封闭 → 整数
? 除法不封闭 → 有理数
? 不完备 √2 → 实数
? 方程可解性 → 复数
复数
? 复数的表示
? 代数表示
?z = x + iy
? x = Real(z),y = Imagine(z)
? 三角表示
?z = r (cosφ + i sinφ)
?r = |z|,φ= Arg(z)
? 指数表示
?z = r exp(iφ)
? exp(iφ) = cosφ + i sinφ
复数
? 几何表示 ? 关系
?x = r cosφ
?y = r sinφ
?r = √(x2+y2)
?φ= Arctan(y/x)
? 特点
? 无序性
? 复数无大小
? 矢量性
? 复数有方向
复数
? 运算
? 加减法
? (x1+ iy1)± (x2+ iy2) = (x1± x2) + i(y1± y2)
? 乘除法
? r1exp(iφ1)× r2exp(iφ2) = r1r2 exp[i(φ1+φ2)]
? 幂和开方
?[r exp(iφ)]n = rn exp(inφ)
?[r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n)
? 复共轭
? z = x + iy → z* = x – iy
?z = r exp(iφ) → z* = r exp(-iφ)
复变函数
? 概念
? 定义
? 函数：从一个数域 (定义域）到另一个数域（值域）的映射
? 实变函数,f:x→ y
? 复变函数,f:z→ w
? 举例
? f(n) = fn = (1+i)n,n∈ N
? f(z) = zn
? f(z) = exp(z)
? f(z) = ln(z)
复变函数
? 更多的例子
? w = az2
? w = az2 + bz +c
? w = 1/(az + b)
?w = √(az + b)
? w = Ln(az + b)
? w = sin z
? w = Arccos z
?w = ∑ an zn
?w = ∑ an sin(nωz)
? w = ∏(1-z2/n2?2)
? w = ∫exp(-z2)dz
复
变
函
数
复变函数的分类
复数数列
整式 分式
有理函数 无理函数
代数函数 超越函数
初等函数
幂级数 傅立叶级数
级数 无穷乘积
无限次运算 无限次复合
非初等函数
复变函数（狭义）
复变函数（广义）
复变函数
? 分析与比较
? 定义域和值域
?相同点：
? 都是数集
?不同点：
? 实数集是一维的，可以在 (直 )线上表示；
? 复数集是二维的，必须在 (平 )面上表示。
?典型例子：
? |x|<2 是连通的,1<|x|是不连通的；
? |z|<2是单连通的,1<|z|是复连通的。
复变函数
? 映射
?相同点
? 在形式上,y = f(x),w = f(z)
?不同点
? 在变量上,z = x+iy,w = u+iv
? 在描述上：
? 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示；
? 复变函数不能用一个图形完全表示。
?联系
? u = u(x,y),v = v(x,y)
? 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。
复变函数
? 结构
?相同点：
? 复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。
?不同点：
? 基本实变函数
? xn,x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x)
? 基本复变函数
? zn,z1/n,exp(z),ln(z)
? 原因
? cos(z)=(eiz +e-iz)/2,sin(z)=(eiz -e-iz)/2i
复变函数
? 基本函数
? 二次函数
? 定义
? w = z2
? 分析
? u + iv = (x+iy)2 =
x2 +2ixy -y2
? u = x2 -y2,
? v = 2xy
? 性质
? 对称性
? 无周期性
? 无界性
? 单值性
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-100
-50
0
50
100
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-200
-100
0
100
200
复变函数
? 三次函数
? 定义
? w = z3
? 分析
? u + iv = (x+iy)3 =
x3 +3ix2y-3xy2 -iy3
? u = x3 – 3xy2,
? v = 3x2y - y3
? 性质
? 对称性
? 无周期性
? 无界性
? 单值性
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-2000
-1000
0
1000
2000
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-2000
-1000
0
1000
2000
复变函数
? 指数函数
? 定义
? w = exp(z)
? 分析
? u + iv = exp(x+iy) =
exp(x)[cosy +i siny]
? u = exp(x) cos y,
? v = exp(x) sin y
? 性质
? 不对称性
? 周期性
? exp(z+2?i)=
exp(z)
? 无界性
? 单值性
-2
-1
0
1
2
-5
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0
2.5
5
-5
-2.5
0
2.5
5
-2
-1
0
1
2
-5
-2.5
0
2.5
5
-4
-2
0
2
4
复变函数
? 对数函数
? 定义
? w = Ln(z)
? 分析
? u + iv = Ln [ r ×
exp(iφ)]= ln r + iφ
? u = ln r,
? v = φ
? 性质
? 对称性
? 非周期性
? 无界性
? 多值性,|φ| ??
1
2
3
4
5
1
2
3
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5
0
0.5
1
1.5
2
-2
-1
0
1
2
-2
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0
1
2
-1
0
1
复变函数
? 三角函数
? 定义
? w = sin(z)
? 分析
? u + iv = sin(x+iy)
= sin(x)ch(y) + i
cos(x)sh(y)
? u = sin(x)ch(y),
? v = cos(x)sh(y)
? 性质
? 对称性
? 周期性
? 无界性
? 单值性
-5
-2.5
0
2.5
5 -4
-2
0
2
4
-20
0
20
-5
-2.5
0
2.5
5 -4
-2
0
2
4
-20
0
20
复变函数的导数
? 基本概念
实变函数 复变函数
极限
连续
导数
Axfxx ?? )(lim
0
Azfzz ?? )(lim
0
)()(lim 0
0
xfxfxx ?? )()(lim 00 zfzfzz ??
)(')(lim 0
0
xfxxfxx ???? )(')(lim 0
0
zfzzfzz ????
复变函数的导数
? 可导条件
? 分析
? C-R条件
? ux = vy
? vx = -uy
? 充要条件
? 偏导数 ux, vy,
vx, uy 连续
? 满足 C-R条件
? 意义
? 可导函数的虚部与
实部不是独立的，
而是相互紧密联系
的。
x
vi
x
u
x
viu
z
zf
xxyy xx ?
??
?
??
?
????
?
?
??? 0
0
0
lim)(lim
y
ui
y
v
yi
viu
z
zf
yyyy xx ?
??
?
??
?
????
?
?
??? 0
0
0
lim)(lim
z
zfzf
z
zf
yy xxyy xx ?
???
?
?
????
)(lim)(')(lim
0
0
0
0
0
复变函数的导数
? 典型情况
? 初等函数在定义域内都可导；
? 函数 Re(z),Im(z),|z|,Arg(z),z*不可导。
? 导数的计算
? 法则：
? 复变函数的求导法则与实变函数完全相同；
? 例子：
? (sin2z)’ = 2 sin z cos z
? [exp(z2 )]’ = 2 z exp(z2 )
? (z3)” = 6 z
复变函数的导数
? 导数的意义
? 微商表示
? f’(z) = dw/dz
? 模：
? |f’(z)|= |dw|/|dz|
? 幅角：
? Arg[f’(z)]
= Arg(dw) - Arg(dz)
解析函数
? 定义
? 点解析
? 函数 f(z)在点 z0及其邻域上处处可导
? 区域解析
? 函数 f(z)在区域 B上每一点都解析
? 性质
? 调和性
? 解析函数的实部与虚部都是调和函数，
? 即 △ u=uxx + uyy = 0,△ v=vxx + vyy = 0
? 正交性
? 解析函数的实部与虚部梯度正交，
? 即 ? u? v=（ uxi+uyj)（ vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0
? 或曲线 u(x,y)=C1,v(x,y)=C2 相互垂直。
解析函数
? 应用
? 例 1：已知平面电场的电势为 u=x2-y2，求电力线方
程。
? 分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一
个解析函数的实部与虚部，满足 C-R条件。
? 解：设电力线为 v(x,y)=C,由 C-R条件得
? vx=-uy=2y,vy=ux =2x
? dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)
? v = 2xy
? 注意：电力线方程的一般形式为 f(2xy)=C
解析函数
? 例 2：已知平面电场的等势线为 x2+y2=C，求电势
u(x,y)。
? 分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式，
电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。
? 解：设电势为 u=f(x2+y2)
? ux=2xf’,uxx=2f’+4x2f”
? uy=2yf’,uyy=2f’+4y2f”
? uxx+uyy=4f’+4(x2+y2)f”=0
? 令 t = x2+y2,g = f’(t) ? g +t g’ = 0
? g = -ln t +C
? f =
解析函数
? 例 3：已知平面温度场的温度分布为 u=x2-y2，求热
流量函数。
? 分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组
成一个解析函数的实部与虚部，满足 C-R条件。
? 解：设热流量函数为 v(x,y)=C,由 C-R条件得
? vx=-uy=2y,vy=ux =2x
? dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)
? v = 2xy
? 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C
本章小结
? 复变函数
? 定义：两个复数集合之间的映射；
? 特点：定义域和值域为 2维；
? 定义域出现复连通现象；
? 不能用一个图形完全描述；
? 极限存在的要求提高；
? 分析：可以分解成 2个二元实函数；
? 解析函数
? 满足 CR条件；
? 实部和虚部都是调和函数，相互正交。
