数学物理方法
第七章
数学物理定解问题
数学物理定解问题
? 数学物理方程的导出
? 数学物理方程的分类
? 定解条件
? 达朗贝尔公式
? 本章小结
数学物理方程的导出
? 输运方程
? 一维热传导方程
? 推广
? 波动方程
? 均匀弦的微小横振动方程
? 推广
? 稳定场方程
输运方程
? 一维热传导
? 问题：一根长为 L的均匀导热细杆，
侧面绝热，内部无热源。其热传
导系数为 k，比热为 c，线密度为
ρ。求杆内温度变化的规律。
? 分析：设杆长方向为 x轴，考虑杆
上从 x到 x+dx的一段 (代表 )，其
质量为 dm= ρdx，热容量为
cdm。设杆中的热流沿 x轴正向，
强度为 q(x,t)，温度分布为
u(x,t)，则
由能量守恒定律
cdmdu=dQ
=[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt
=-qx(x,t)dxdt
于是有
c ρut = -qx
由热传导定律
q(x,t) = -k ux(x,t)
代入前面的式子，得到
c ρut = k uxx
ut = a2 uxx
输运方程
? 推广 1
? 情况：内部有热源 (或侧面不绝热 )
? 分析：设热源强度 (单位时间在单位长度中产生的热量 )为
F(x,t)，代表段的吸热为 Fdxdt
? 方程,c ρut = k uxx+ F
? ut = a2 uxx+ f,f=F/(c ρ)
? 推广 2
? 情况：细杆不均匀
? 分析：热传导系数 k，比热 c 或线密度 ρ为 x的函数
? 方程：
])([)()( xuxkxuxxc t ??????
输运方程
? 推广 3
? 情况：扩散问题
? 分析：浓度 → 温度 u，扩散系数 D→ 热传导系数 k，质量守
恒 → 能量守恒，扩散定律 → 热传导定律
? 方程,ut = D uxx+ F
? ut = a2 uxx+ F
? 推广 4
? 情况：三维情况
? 分析：温度 u成为空间变量 x,y,z和时间 t的函数
? 方程：
)(),,( zzyyxxt uuuktzyxuc ???，?
uatruuktruc tt ????? 2),(),( ???
波动方程
? 均匀弦的微小横振动
? 问题：一根长为 L的均匀弹性弦，不
计重力，不受外力。其张力为 T，线
密度为 ρ。求弦的微小横振动的规律。
? 分析：设弦平衡时沿 x轴，考虑弦上
从 x到 x+dx的一段 (代表 )，其质量为
dm= ρdx。设弦的横振动位移为
u(x,t)，则
由牛顿第二定律
dmutt=T2sinα2- T1sinα1
0 = T2 cosα2- T1 cosα1
微振动条件
cosα1 = cosα2= 1
sinα1 = tanα1 = ux(x,t)
sinα2= tanα2 = ux(x+dx,t)
于是有
T2 =T1 =T
dmutt=T[ux(x+dx,t)- ux(x,t)]
化简后得到
ρutt = T uxx
utt = a2 uxx
波动方程
? 推广 1
? 情况：考虑重力或外力
? 分析：设单位长度所受到的横向外力 F(x,t)，代表段的受
力为 Fdx
? 方程,ρutt = T uxx+ F
? utt = a2 uxx+ f,f = F/ρ
? 推广 2
? 情况：弦的密度不均匀或受到纵向与 x有关的力
? 分析：线密度 ρ或张力 T为 x的函数
? 方程：
])([)( xuxTxux tt ??????
波动方程
? 推广 3
? 情况：均匀杆的纵振动问题
? 分析：张力 T变成杨氏模量 Y
? 方程,ρutt = Y uxx+ F
? utt = a2 uxx+ f
? 推广 4
? 情况：三维情况
? 分析：位移 u成为空间变量 x,y,z和时间 t的函数
? 方程：
)(),,( zzyyxxtt uuuTtzyxu ???，?
uatruuTtru tttt ????? 2),(),( ???
稳定场方程
? 概念
? 产生：
? 在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对
应的方程称为稳定场方程。
? 形式：
? 在对应的演化方程中取消时间变量 t，对 t的导数为零。
? 分类
? 无外界作用情况
? 拉普拉斯方程,Δu = utt + uyy + uzz = 0
? 有外界作用情况
? 泊松方程,Δu = utt + uyy + uzz = f(x,y,z)
? 典型应用
? 静电场方程,Δu = -ρ/ε
? 稳定温度分布,Δu = - F/k
数学物理方程的分类
? 科学分类方法
? 泛定方程的一般分类
? 2元二阶线性微分方程的分类
? 叠加原理
科学分类方法
? 定义：
? 根据研究对象的共同点和差异点将其分成相互有关的不同
类别
? 作用：
? 使大量繁杂的材料系统化和条理化，以便揭示对象间的相
互关系，探索内在规律，便于理解、应用和记忆。
? 方法：
? 比较是分类的前提和基础，
? 分类是比较的深化和结果
? 步骤：
? 进行比较，建立标准，分门别类，逐步细化。
数学物理方程的一般分类
? 方程示例：
? Δu = -ρ/ε
? utt + uyy + uzz = -u2
? xutt + y uyy = u
? utt + u ut = 0
? uttx + uyy + uz = ax
? utt + uyy = sin u
? utt = 4 uyy
? uy3 + u = x t
? 5utt + 4uxy + uyy = 0
? utt + uyy + ut = 2u-x
? x utt + uyy = sin y
? utt + uyy = utt
? 一般分类
? 按自变量的个数，分为二元
和多元方程；
? 按未知函数及其导数的幂次，
分为线性微分方程和非线性
微分方程；
? 按方程中未知函数导数的最
高阶数，分为一阶、二阶和
高阶微分方程。
? 线性偏微分方程的分类
? 按未知函数及其导数的系数
是否变化分为常系数和变系
数微分方程
? 按自由项是否为零分为齐次
方程和非齐次方程
2元二阶线性微分方程的分类
? 一般形式：
a uxx+ b uxy+ c uyy+ d1ux+
d2uy + e u = f(x,y)
? 特征方程：
a x2 + bxy + cy2 = 0
? 判别式
? = b2 － 4ac
? 分类
? > 0 为双曲型，如波动方程；
? = 0 为抛物线型，如热传导方
程；
? < 0 为椭圆型，如稳定场方程。
02 ???? yyyxyxx cuauauau
062 ???? yxxyxx uuyuu
yuuu yxyxx s i n52 ???
02 ??? yyxyxx xuuu
uuuu yyxyxx s i n23 ???
判断：
叠加原理
? 原理：
? 线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部
分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程
? 如,L u1 = f1
? L u2 = f2
? 则,L (au1+ bu2)= af1 + bf2
? 应用：
? 齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；
? 非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方
程的解；
? 两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的
解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。
定解问题
? 问题的提出
? 定解条件
? 初始条件
? 边界条件
? 定解问题
? 初值问题
? 边值问题
? 混合问题
定解问题的提出
? 方程 u’(t) = 0
? 能不能求解？解是什么？
? 能不能定解？该怎么办？
? 方程 u”(x) = 0
? 能不能求解？解是什么？
? 能不能定解？该怎么办？
? 由此可归纳出
? n 阶常微分方程的通解含有 n个任意常数，
? 要完全确定这些常数需要附加 n个条件。
初始条件
? 意义
? 反映系统的特定历史
? 分类
? 初始状态（位置），用 u |t=0 = f(x)表示；
? 初始变化（速度），用 ut|t=0 = g(x)表示。
? 典型例子
? 一维热传导
? 未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件
? 一端温度为 a，均匀增加到另一端温度为 b
? u |t=0 = a+(b-a)x/L
初始条件
? 一维弦振动
? 未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件
? 初始位移
? 处于平衡位置,u|t=0 = 0
? 两端固定，在 c点拉开距离 h：
u|t=0 = hx/c,0<x<c;
u|t=0 = h(L-x)/(L-c),c<x<L;
? 初始速度
? 处于静止状态,ut|t=0 = 0
? 在 c点受冲量 I,ut|t=0 = I δ(x-c)/ρ
边界条件
? 意义
? 反映特定环境对系统的影响
? 分类
? 按条件中未知函数及其导数的次数分：
? 线性边界条件和非线性边界条件；
? 线性边界条件中
? 按给出的是函数值或导数值分：
? 第一、二、三类边界条件；
? 按所给数值是否为零分：
? 齐次边界条件和非齐次边界条件。
边界条件举例
? 典型线性边界条件
? 一维弦振动
? 固定端 u |x=0 =0
? 受力端 ux|x=0 = F/ρ
? 一维杆振动
? 固定端 u |x=0 = 0
? 自由端 ux|x=0 = 0
? 受力端 ux|x=0 = F/YS
? 一维热传导
? 恒温端 u |x=0 = a
? 绝热端 ux|x=0 = 0
? 吸热端 ux|x=0 = F/k
定解问题
? 定解问题的组成
? 泛定方程：反映同一类现象的普遍性；
? 定解条件：描述具体对象的特殊性。
? 定解问题的分类
? 初值问题 (Cauchy Problem)
? 无边界条件（环境对问题的影响可以忽略不计）
? 边值问题
? 无初始条件（历史对问题的影响可以忽略不计）
? 第一边值问题 (Dirichlet Problem)
? 第二边值问题 (Neumann Problem)
? 第三边值问题 (Robin Problem)
? 混合问题
? 同时有边界条件和初始条件。
定解问题
? 定解问题的适定性
? 适定性的意义
? 定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模型能否
反映实际问题的一般要求。
? 适定性的内容
? 存在性
? 唯一性
? 稳定性
? 不适定问题举例
? 一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数；
? 条件多了，将会破坏解的存在性；
? 条件少了，将会破坏解的唯一性。
达朗贝尔公式
? 定解问题的求解思路 I
? 原则：由已知猜未知
? 方法：类比法
? 步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解。
? 泛定方程的求解
? 达朗贝尔公式的推导
? 达朗贝尔公式的应用
泛定方程的求解
? 常微分方程
? 方程,u’ = 2a x
?通解,u = a x2 + C
? 偏微分方程
? 方程,ux = 2y x
?通解,u = y x2 + C(y)
? 二阶方程,uxy = 0
?对 y偏积分,ux = C(x)
?通解,u = ∫C(x) dx + D(y) = f(x) + g(y)
达朗贝尔公式的推导
? 定解问题
? 通解
? 特解
? 意义
?
?
?
??
???????
?? )(|),(|
,0
00
2
xuxu
xuau
ttt
xxtt
??
)()(),( atxgatxftxu ????
dss
atxatxtxu
atx
atxa
)(
)]()([),(
2
1
2
1
?
??
?
?
?
?
????
达朗贝尔公式的推导 通解
02 ?? xxtt uau波动方程为：
??
?
??
??
atx
atx
?
?作变换：
0???u得到：
)(1 ?? ? fu ?偏积分得：对
)()(1 ???? gdfu ?? ?偏积分得：再对
)()()()( atxgatxfgf ?????? ??
达朗贝尔公式的推导 特解
??
?
??
??
)()(')('
)()()(
xxagxaf
xxgxf
?
?由初始条件得：
?
?
?
??
?
?
??
??
?
?
??
??
x
a
x
a
dssxxg
dssxxf
)()()(
)()()(
2
1
2
1
2
1
2
1
??
??
由此解得：
? ??????? atx atxa dssatxatxxu )()]()([)( 2 121 ???代入通解得：
dssxgxf xa )()()( 1 ?? ????对第二式积分：
达朗贝尔公式的推导 意义
??
???
??
???????
?
?
?
?
22 2|,|
,0
00
2
x
tt
x
t
xxtt
a x eueu
xuau
? ?? ????? ??? atx atx saatxatx dsa s eeexu 222 2][)( 2 1)()(21
解：将初始条件代入 达朗贝尔公式
? ?? ????? ??? atx atx satxatx dseee 221)()(21 222 ][
atx
atx
satxatx eee ?
?
????? ???? 222 [][
21
)()(
21
2)( atxe ???
达朗贝尔公式的推导 意义
-2 2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2 2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2 2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2 2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2 2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
达朗贝尔公式的应用
? 任意给定初始条件
u|t=0 = 2 exp(-x2),ut|t=0 = 0
? 附加边界条件
1,u|x=0 = 0
2,ux|x=0 = 0
3,u|x=0 = u0
4,u|x=0 = 0,u|x=L = 0
达朗贝尔公式的应用
?
?
?
?
?
??
?
???
??
?
)(|),(|
0|
0,0
00
0
2
xuxu
u
xuau
ttt
x
xxtt
??
问题附加边界条件后的定解
?
?
?
??
???????
?? |)(|)s g n (||),(|)s g n (|
,0
00
2
xxuxxu
xuau
ttt
xxtt
??
进行奇延拓后
本
章
小
结
波动方程
输运方程
拉普拉斯方程
泊松方程
第一类
第二类
第三类
周期性
有界性
?
?
?
?
演化方程
稳定方程
线性边界条件
自然边界条件
初始状态
初始速度
?
?
泛定方程
边界条件
初始条件?
定解问题
?
第七章
数学物理定解问题
数学物理定解问题
? 数学物理方程的导出
? 数学物理方程的分类
? 定解条件
? 达朗贝尔公式
? 本章小结
数学物理方程的导出
? 输运方程
? 一维热传导方程
? 推广
? 波动方程
? 均匀弦的微小横振动方程
? 推广
? 稳定场方程
输运方程
? 一维热传导
? 问题：一根长为 L的均匀导热细杆，
侧面绝热，内部无热源。其热传
导系数为 k，比热为 c，线密度为
ρ。求杆内温度变化的规律。
? 分析：设杆长方向为 x轴，考虑杆
上从 x到 x+dx的一段 (代表 )，其
质量为 dm= ρdx，热容量为
cdm。设杆中的热流沿 x轴正向，
强度为 q(x,t)，温度分布为
u(x,t)，则
由能量守恒定律
cdmdu=dQ
=[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt
=-qx(x,t)dxdt
于是有
c ρut = -qx
由热传导定律
q(x,t) = -k ux(x,t)
代入前面的式子，得到
c ρut = k uxx
ut = a2 uxx
输运方程
? 推广 1
? 情况：内部有热源 (或侧面不绝热 )
? 分析：设热源强度 (单位时间在单位长度中产生的热量 )为
F(x,t)，代表段的吸热为 Fdxdt
? 方程,c ρut = k uxx+ F
? ut = a2 uxx+ f,f=F/(c ρ)
? 推广 2
? 情况：细杆不均匀
? 分析：热传导系数 k，比热 c 或线密度 ρ为 x的函数
? 方程：
])([)()( xuxkxuxxc t ??????
输运方程
? 推广 3
? 情况：扩散问题
? 分析：浓度 → 温度 u，扩散系数 D→ 热传导系数 k，质量守
恒 → 能量守恒，扩散定律 → 热传导定律
? 方程,ut = D uxx+ F
? ut = a2 uxx+ F
? 推广 4
? 情况：三维情况
? 分析：温度 u成为空间变量 x,y,z和时间 t的函数
? 方程：
)(),,( zzyyxxt uuuktzyxuc ???，?
uatruuktruc tt ????? 2),(),( ???
波动方程
? 均匀弦的微小横振动
? 问题：一根长为 L的均匀弹性弦，不
计重力，不受外力。其张力为 T，线
密度为 ρ。求弦的微小横振动的规律。
? 分析：设弦平衡时沿 x轴，考虑弦上
从 x到 x+dx的一段 (代表 )，其质量为
dm= ρdx。设弦的横振动位移为
u(x,t)，则
由牛顿第二定律
dmutt=T2sinα2- T1sinα1
0 = T2 cosα2- T1 cosα1
微振动条件
cosα1 = cosα2= 1
sinα1 = tanα1 = ux(x,t)
sinα2= tanα2 = ux(x+dx,t)
于是有
T2 =T1 =T
dmutt=T[ux(x+dx,t)- ux(x,t)]
化简后得到
ρutt = T uxx
utt = a2 uxx
波动方程
? 推广 1
? 情况：考虑重力或外力
? 分析：设单位长度所受到的横向外力 F(x,t)，代表段的受
力为 Fdx
? 方程,ρutt = T uxx+ F
? utt = a2 uxx+ f,f = F/ρ
? 推广 2
? 情况：弦的密度不均匀或受到纵向与 x有关的力
? 分析：线密度 ρ或张力 T为 x的函数
? 方程：
])([)( xuxTxux tt ??????
波动方程
? 推广 3
? 情况：均匀杆的纵振动问题
? 分析：张力 T变成杨氏模量 Y
? 方程,ρutt = Y uxx+ F
? utt = a2 uxx+ f
? 推广 4
? 情况：三维情况
? 分析：位移 u成为空间变量 x,y,z和时间 t的函数
? 方程：
)(),,( zzyyxxtt uuuTtzyxu ???，?
uatruuTtru tttt ????? 2),(),( ???
稳定场方程
? 概念
? 产生：
? 在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对
应的方程称为稳定场方程。
? 形式：
? 在对应的演化方程中取消时间变量 t，对 t的导数为零。
? 分类
? 无外界作用情况
? 拉普拉斯方程,Δu = utt + uyy + uzz = 0
? 有外界作用情况
? 泊松方程,Δu = utt + uyy + uzz = f(x,y,z)
? 典型应用
? 静电场方程,Δu = -ρ/ε
? 稳定温度分布,Δu = - F/k
数学物理方程的分类
? 科学分类方法
? 泛定方程的一般分类
? 2元二阶线性微分方程的分类
? 叠加原理
科学分类方法
? 定义：
? 根据研究对象的共同点和差异点将其分成相互有关的不同
类别
? 作用：
? 使大量繁杂的材料系统化和条理化，以便揭示对象间的相
互关系，探索内在规律，便于理解、应用和记忆。
? 方法：
? 比较是分类的前提和基础，
? 分类是比较的深化和结果
? 步骤：
? 进行比较，建立标准，分门别类，逐步细化。
数学物理方程的一般分类
? 方程示例：
? Δu = -ρ/ε
? utt + uyy + uzz = -u2
? xutt + y uyy = u
? utt + u ut = 0
? uttx + uyy + uz = ax
? utt + uyy = sin u
? utt = 4 uyy
? uy3 + u = x t
? 5utt + 4uxy + uyy = 0
? utt + uyy + ut = 2u-x
? x utt + uyy = sin y
? utt + uyy = utt
? 一般分类
? 按自变量的个数，分为二元
和多元方程；
? 按未知函数及其导数的幂次，
分为线性微分方程和非线性
微分方程；
? 按方程中未知函数导数的最
高阶数，分为一阶、二阶和
高阶微分方程。
? 线性偏微分方程的分类
? 按未知函数及其导数的系数
是否变化分为常系数和变系
数微分方程
? 按自由项是否为零分为齐次
方程和非齐次方程
2元二阶线性微分方程的分类
? 一般形式：
a uxx+ b uxy+ c uyy+ d1ux+
d2uy + e u = f(x,y)
? 特征方程：
a x2 + bxy + cy2 = 0
? 判别式
? = b2 － 4ac
? 分类
? > 0 为双曲型，如波动方程；
? = 0 为抛物线型，如热传导方
程；
? < 0 为椭圆型，如稳定场方程。
02 ???? yyyxyxx cuauauau
062 ???? yxxyxx uuyuu
yuuu yxyxx s i n52 ???
02 ??? yyxyxx xuuu
uuuu yyxyxx s i n23 ???
判断：
叠加原理
? 原理：
? 线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部
分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程
? 如,L u1 = f1
? L u2 = f2
? 则,L (au1+ bu2)= af1 + bf2
? 应用：
? 齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；
? 非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方
程的解；
? 两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的
解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。
定解问题
? 问题的提出
? 定解条件
? 初始条件
? 边界条件
? 定解问题
? 初值问题
? 边值问题
? 混合问题
定解问题的提出
? 方程 u’(t) = 0
? 能不能求解？解是什么？
? 能不能定解？该怎么办？
? 方程 u”(x) = 0
? 能不能求解？解是什么？
? 能不能定解？该怎么办？
? 由此可归纳出
? n 阶常微分方程的通解含有 n个任意常数，
? 要完全确定这些常数需要附加 n个条件。
初始条件
? 意义
? 反映系统的特定历史
? 分类
? 初始状态（位置），用 u |t=0 = f(x)表示；
? 初始变化（速度），用 ut|t=0 = g(x)表示。
? 典型例子
? 一维热传导
? 未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件
? 一端温度为 a，均匀增加到另一端温度为 b
? u |t=0 = a+(b-a)x/L
初始条件
? 一维弦振动
? 未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件
? 初始位移
? 处于平衡位置,u|t=0 = 0
? 两端固定，在 c点拉开距离 h：
u|t=0 = hx/c,0<x<c;
u|t=0 = h(L-x)/(L-c),c<x<L;
? 初始速度
? 处于静止状态,ut|t=0 = 0
? 在 c点受冲量 I,ut|t=0 = I δ(x-c)/ρ
边界条件
? 意义
? 反映特定环境对系统的影响
? 分类
? 按条件中未知函数及其导数的次数分：
? 线性边界条件和非线性边界条件；
? 线性边界条件中
? 按给出的是函数值或导数值分：
? 第一、二、三类边界条件；
? 按所给数值是否为零分：
? 齐次边界条件和非齐次边界条件。
边界条件举例
? 典型线性边界条件
? 一维弦振动
? 固定端 u |x=0 =0
? 受力端 ux|x=0 = F/ρ
? 一维杆振动
? 固定端 u |x=0 = 0
? 自由端 ux|x=0 = 0
? 受力端 ux|x=0 = F/YS
? 一维热传导
? 恒温端 u |x=0 = a
? 绝热端 ux|x=0 = 0
? 吸热端 ux|x=0 = F/k
定解问题
? 定解问题的组成
? 泛定方程：反映同一类现象的普遍性；
? 定解条件：描述具体对象的特殊性。
? 定解问题的分类
? 初值问题 (Cauchy Problem)
? 无边界条件（环境对问题的影响可以忽略不计）
? 边值问题
? 无初始条件（历史对问题的影响可以忽略不计）
? 第一边值问题 (Dirichlet Problem)
? 第二边值问题 (Neumann Problem)
? 第三边值问题 (Robin Problem)
? 混合问题
? 同时有边界条件和初始条件。
定解问题
? 定解问题的适定性
? 适定性的意义
? 定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模型能否
反映实际问题的一般要求。
? 适定性的内容
? 存在性
? 唯一性
? 稳定性
? 不适定问题举例
? 一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数；
? 条件多了，将会破坏解的存在性；
? 条件少了，将会破坏解的唯一性。
达朗贝尔公式
? 定解问题的求解思路 I
? 原则：由已知猜未知
? 方法：类比法
? 步骤：由泛定方程求通解，由条件定特解。
? 泛定方程的求解
? 达朗贝尔公式的推导
? 达朗贝尔公式的应用
泛定方程的求解
? 常微分方程
? 方程,u’ = 2a x
?通解,u = a x2 + C
? 偏微分方程
? 方程,ux = 2y x
?通解,u = y x2 + C(y)
? 二阶方程,uxy = 0
?对 y偏积分,ux = C(x)
?通解,u = ∫C(x) dx + D(y) = f(x) + g(y)
达朗贝尔公式的推导
? 定解问题
? 通解
? 特解
? 意义
?
?
?
??
???????
?? )(|),(|
,0
00
2
xuxu
xuau
ttt
xxtt
??
)()(),( atxgatxftxu ????
dss
atxatxtxu
atx
atxa
)(
)]()([),(
2
1
2
1
?
??
?
?
?
?
????
达朗贝尔公式的推导 通解
02 ?? xxtt uau波动方程为：
??
?
??
??
atx
atx
?
?作变换：
0???u得到：
)(1 ?? ? fu ?偏积分得：对
)()(1 ???? gdfu ?? ?偏积分得：再对
)()()()( atxgatxfgf ?????? ??
达朗贝尔公式的推导 特解
??
?
??
??
)()(')('
)()()(
xxagxaf
xxgxf
?
?由初始条件得：
?
?
?
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?
?
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?
?
??
??
x
a
x
a
dssxxg
dssxxf
)()()(
)()()(
2
1
2
1
2
1
2
1
??
??
由此解得：
? ??????? atx atxa dssatxatxxu )()]()([)( 2 121 ???代入通解得：
dssxgxf xa )()()( 1 ?? ????对第二式积分：
达朗贝尔公式的推导 意义
??
???
??
???????
?
?
?
?
22 2|,|
,0
00
2
x
tt
x
t
xxtt
a x eueu
xuau
? ?? ????? ??? atx atx saatxatx dsa s eeexu 222 2][)( 2 1)()(21
解：将初始条件代入 达朗贝尔公式
? ?? ????? ??? atx atx satxatx dseee 221)()(21 222 ][
atx
atx
satxatx eee ?
?
????? ???? 222 [][
21
)()(
21
2)( atxe ???
达朗贝尔公式的推导 意义
-2 2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2 2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2 2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2 2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2 2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
达朗贝尔公式的应用
? 任意给定初始条件
u|t=0 = 2 exp(-x2),ut|t=0 = 0
? 附加边界条件
1,u|x=0 = 0
2,ux|x=0 = 0
3,u|x=0 = u0
4,u|x=0 = 0,u|x=L = 0
达朗贝尔公式的应用
?
?
?
?
?
??
?
???
??
?
)(|),(|
0|
0,0
00
0
2
xuxu
u
xuau
ttt
x
xxtt
??
问题附加边界条件后的定解
?
?
?
??
???????
?? |)(|)s g n (||),(|)s g n (|
,0
00
2
xxuxxu
xuau
ttt
xxtt
??
进行奇延拓后
本
章
小
结
波动方程
输运方程
拉普拉斯方程
泊松方程
第一类
第二类
第三类
周期性
有界性
?
?
?
?
演化方程
稳定方程
线性边界条件
自然边界条件
初始状态
初始速度
?
?
泛定方程
边界条件
初始条件?
定解问题
?
