数学物理方法
幂级数展开
幂级数展开
? 复级数
? 幂级数和泰勒展开
? 双边幂级数和罗朗展开
? 孤立奇点
? 本章小结
复级数
? 复数项级数
? 形式, ?i=1 ui
? 通项, ui 为复数
? 部分和,sn = ?n ui
? 和,s = lim sn
? 余项,rn = s - sn = un+1 + un+2 + …
? 收敛,s 存在
? ??>0,? N(?),s.t,n>N(?) => |s-sn|< ?
? 绝对收敛
? 定义,s= ?i=1 |ui|收敛
? 性质：绝对收敛 =>收敛
复级数
? 收敛性判别法
? 级数
? ∑i=1 ui
? 比值法
? ? =
limk??|uk+1/uk|
? ?<1，绝对收敛；
? ?=1，不确定；
? ?>1，发散。
? 根值法
? ? = limk??|uk|1/k
? ?<1，绝对收敛；
? ?=1，不确定；
? ?>1，发散。
? 例：
? 判断几何级数的敛散性
∑n=0 a0 qn
? 解：
? 1.比值法
? ? = |q|
? |q|<1，绝对收敛；
? |q|=1，不确定；
? |q|>1，发散。
? 2.根值法
? ?=|q|limk??|a0|1/k =
|q|
? |q|<1，绝对收敛；
? |q|=1，不确定；
? |q|>1，发散。
复级数
? 复函项级数
? 形式, ∑i=1 ui(z)
? 通项, ui(z)
? 部分和函数,sn(z) = ∑ i=1n ui(z)
? 和函数,s(z) = lim sn(z)
? 收敛域,{ z|s(z)存在 }
? 定义,??>0,? N(?,z),s.t,n>N(?,z)?|s(z)-
sn(z)|< ?
? 一致收敛性：
? 定义,??>0,? N(?),,s.t,n>N(?) ? |s(z)-
sn(z)|< ?
? 性质：
? 各项连续 ?和连续，和的积分 =各项积分之和；
? 各项可导 ?和可导，和的导数 =各项导数之和
幂级数和泰勒展开
? 幂级数
? 形式,
? s(z) = ∑ k=0 ak(z-b)k
? 收敛域：
? R = limk??|ak/ak+1|
? ? = limk??|ak+1(z-b)k+1 /ak(z-b)k|=|z-b|/R
? |z-b|<R ? ?<1，绝对收敛；
? |z-b|=R ? ?=1，不确定；
? |z-b|>R ? ?>1，发散。
? 一致收敛性：
? ?s(z)dz = ?k=0 ?ak(z-b)k dz
? s’(z) = ?k=0 [ak(z-b)k]’
幂级数和泰勒展开
? 泰勒展开
? 问题,
? 一个幂级数是其收敛圆内的解析函数，反之如何？
? 泰勒定理：
? 一个在圆 |z-b|=R 内解析的函数 f(z)可以展开为幂级数
f(z) = ∑ k=0 ak(z-b)k
? 该幂级数在圆 |z-b|=R内收敛；
? 以 b为中心的展开式是唯一的；
? 系数 ak=f(n)(b)/n!
? 应用柯西积分公式，系数也可以表示为
?? ?? dbfibfna L nnn ? ???? 1)( )( )(2 1)(!1
幂级数和泰勒展开
? 展开方法
? 基本方法（用定理）
? f(z) = ∑ k=0 ak(z-b)k,an=f(n)(b) /n!
? 例 1：
? 题目：
? 在 b=0的邻域上把 f(z)=exp(z)展开。
? 解答：
? f(z) = exp(z)
? f(n)(z) = exp(z)
? f(n)(0) = 1
? an= 1/n!
? f(z) = ∑ k=0 zk/k!
? 该幂级数在圆 |z|<?内收敛；
幂级数和泰勒展开
? 例 2：
? 题目：
? 在 b=0的邻域上把 f(z)=1/(1-z)展开。
?解答：
? f(z) = 1/(1-z)
? f’(z) = 1/(1-z)2
? f”(z) = 2/(1-z)3
? f(n)(z) = n!/(1-z)n+1
? f(n)(0) = n!
? an= 1
? f(z) = ∑ k=0 zk
? 该幂级数在圆 |z|<1内收敛；
幂级数和泰勒展开
? 发散方法（用性质）
? 线性组合的展开 = 展开之线性组合。
? 和函数的积分 = 各项积分之和；
? 和函数的导数 = 各项导数之和；
? 例 3：
? 题目：
? 在 b=0的邻域上把 f(z)=cosh(z)展开。
? 解答：
? cosh(z) = [exp(z)+exp(-x)]/2
? exp(z) = ∑ k=0 zk/k!
? exp(-z) = ∑ k=0 (-z)k/k!
? cosh(z) = ∑ k=0 [zk/k!+ (-z)k/k!]/2
= ∑ k=0 z2k/(2k)!
? 该幂级数在圆 |z|<?内收敛；
幂级数和泰勒展开
? 例 4：
? 题目：
? 在 b = 0 的邻域上把 f(z)=ln(1-z) 展开。
? 解答：
? ln(1-z) = -∫ (1-z)-1dz
? (1-z)-1 = ∑ k=0 zk
? ln(1-z) = -∫∑ k=0 zk dz = - ∑ k=0 zk+1/(k+1)
? 例 5：
? 题目：
? 在 b = 0 的邻域上把 f(z)= (1-z)-2 展开。
? 解答：
? (1-z)-2 = [(1-z)-1]’
? (1-z)-1 = ∑ k=0 zk
? (1-z)-2 = [ ∑ k=0 zk]’ = ∑ k=0 k zk-1
双边幂级数和罗朗展开
? 负幂级数
? 形式,
? s(z) = ∑ k=0 ak(z-b)-k
? 收敛域：
? t = 1/|z-b|
? |t| = 1/|z-b| < R
? |z-b|>R’ = 1/R
? 双边幂级数
? 形式,
? s(z) = ∑ k=-?ak(z-b) k
? 分析
? 双边幂级数 = 正幂级数 + 负幂级数
? 收敛域：
?R’<|z-b|<R
双边幂级数和罗朗展开
? 罗朗展开
? 问题,
? 一个双边幂级数是其收敛环内的解析函数，反之如何？
? 罗朗定理：
? 一个在环 R1<|z-b|<R2内解析的函数 f(z)可以展开为双边
幂级数
f(z) = ?k=?ak(z-b)k
? 该幂级数在 环 R1<|z-b|<R2内收敛；
? 同一环域中的罗朗展开式是唯一的；
? 罗朗系数为
在环内,Ldbfia L nn ?? ?? ? ??? 1)( )(2 1
双边幂级数和罗朗展开
? 罗朗展开举例
? 例 1：
? 题目：
? 在 |z|>0的区域上把 f(z)=cosh(z)/z展开。
? 解答：
? cosh(z) = ∑ k=0 z2k/(2k)!
? cosh(z)/z = ∑ k=0 z2k-1/(2k)!
? 例 2：
? 题目：
? 在 |z|>0的区域上把 f(z)=exp(1/z)展开。
? 解答：
? exp(t) = ∑ k=0 tk/k!
? exp(1/z) = ∑ k=0 z-k/k!
双边幂级数和罗朗展开
? 例 3：
? 题目：
? 以 b=0为中心把 f(z)=1/[z(z-1)]展开。
? 分析
? 因为 f(z)有两个单极点 z=0和 z=1,
? 所以它以 b=0为中心的解析环有两个
? 0<|z|< 1和 1<|z|<∞,需要分别展开
? 解答：
? 在环域 0<|z|< 1中
? f(z) = 1/[z(z-1)]= -1/[z(1-z)] = -1/z ∑ k=0 zk
? = -∑ k=0 zk-1
? 在环域 1<|z|<∞ 中
? f(z) = 1/[z(z-1)] = 1/[z2(1-z-1)] = 1/z2∑ k=0 z-k
? = ∑ k=0 z-k-2
孤立奇点
? 概念
? 奇点：
? 定义：函数的非解析点；
? 举例,csc(z)在 z=n?,csc(1/z)在 z=0,1/n?；
? 判断：初等函数在其定义域内解析；
? 孤立奇点：
? 定义：存在解析邻域的奇点；
? 举例,csc(z)在 z=n?为孤立奇点,
csc(1/z)在 z=0为非孤立奇点；
? 特点：本身无定义，对周围有影响；
? 判断：只有有限个奇点的函数不存在非孤立奇点；
孤立奇点
? 分类
? 原则：
? 根据函数趋向于孤立奇点时的极限行为的不同来分类；
? 分类：
? 极限为有限值，称为可去奇点，例如 sinz/z；
? 极限为 (n阶 )无穷大，称为 (n阶 )极点，例如 1/zn；
? 极限不存在，称为本性奇点，例如 exp(1/z) ；
? 性质
? 奇点 邻域罗朗展开式
? 可去奇点,无负幂项；
? (n阶 )极点,有限个负幂项,(最高为 n次 ) ；
? 本性奇点,无限多个负幂项；
本章小结
? 双边幂级数
? 形式, s(z) = ?k=-?ak(z-b)k
? 性质：在环域内一致收敛
? 罗朗展开
? 条件：在环 R1<|z-b|<R2内解析的函数 f(z)
? 定理,可以展开为双边幂级数
f(z) = ?k=?ak(z-b)k
? 孤立奇点
? 可去奇点：极限有限,邻域展开式无负幂项；
? (n阶 )极点：极限无穷,邻域展开式有有限个负幂项；
? 本性奇点：极限不存在，邻域展开式有无限多个负幂项。
幂级数展开
幂级数展开
? 复级数
? 幂级数和泰勒展开
? 双边幂级数和罗朗展开
? 孤立奇点
? 本章小结
复级数
? 复数项级数
? 形式, ?i=1 ui
? 通项, ui 为复数
? 部分和,sn = ?n ui
? 和,s = lim sn
? 余项,rn = s - sn = un+1 + un+2 + …
? 收敛,s 存在
? ??>0,? N(?),s.t,n>N(?) => |s-sn|< ?
? 绝对收敛
? 定义,s= ?i=1 |ui|收敛
? 性质：绝对收敛 =>收敛
复级数
? 收敛性判别法
? 级数
? ∑i=1 ui
? 比值法
? ? =
limk??|uk+1/uk|
? ?<1，绝对收敛；
? ?=1，不确定；
? ?>1，发散。
? 根值法
? ? = limk??|uk|1/k
? ?<1，绝对收敛；
? ?=1，不确定；
? ?>1，发散。
? 例：
? 判断几何级数的敛散性
∑n=0 a0 qn
? 解：
? 1.比值法
? ? = |q|
? |q|<1，绝对收敛；
? |q|=1，不确定；
? |q|>1，发散。
? 2.根值法
? ?=|q|limk??|a0|1/k =
|q|
? |q|<1，绝对收敛；
? |q|=1，不确定；
? |q|>1，发散。
复级数
? 复函项级数
? 形式, ∑i=1 ui(z)
? 通项, ui(z)
? 部分和函数,sn(z) = ∑ i=1n ui(z)
? 和函数,s(z) = lim sn(z)
? 收敛域,{ z|s(z)存在 }
? 定义,??>0,? N(?,z),s.t,n>N(?,z)?|s(z)-
sn(z)|< ?
? 一致收敛性：
? 定义,??>0,? N(?),,s.t,n>N(?) ? |s(z)-
sn(z)|< ?
? 性质：
? 各项连续 ?和连续，和的积分 =各项积分之和；
? 各项可导 ?和可导，和的导数 =各项导数之和
幂级数和泰勒展开
? 幂级数
? 形式,
? s(z) = ∑ k=0 ak(z-b)k
? 收敛域：
? R = limk??|ak/ak+1|
? ? = limk??|ak+1(z-b)k+1 /ak(z-b)k|=|z-b|/R
? |z-b|<R ? ?<1，绝对收敛；
? |z-b|=R ? ?=1，不确定；
? |z-b|>R ? ?>1，发散。
? 一致收敛性：
? ?s(z)dz = ?k=0 ?ak(z-b)k dz
? s’(z) = ?k=0 [ak(z-b)k]’
幂级数和泰勒展开
? 泰勒展开
? 问题,
? 一个幂级数是其收敛圆内的解析函数，反之如何？
? 泰勒定理：
? 一个在圆 |z-b|=R 内解析的函数 f(z)可以展开为幂级数
f(z) = ∑ k=0 ak(z-b)k
? 该幂级数在圆 |z-b|=R内收敛；
? 以 b为中心的展开式是唯一的；
? 系数 ak=f(n)(b)/n!
? 应用柯西积分公式，系数也可以表示为
?? ?? dbfibfna L nnn ? ???? 1)( )( )(2 1)(!1
幂级数和泰勒展开
? 展开方法
? 基本方法（用定理）
? f(z) = ∑ k=0 ak(z-b)k,an=f(n)(b) /n!
? 例 1：
? 题目：
? 在 b=0的邻域上把 f(z)=exp(z)展开。
? 解答：
? f(z) = exp(z)
? f(n)(z) = exp(z)
? f(n)(0) = 1
? an= 1/n!
? f(z) = ∑ k=0 zk/k!
? 该幂级数在圆 |z|<?内收敛；
幂级数和泰勒展开
? 例 2：
? 题目：
? 在 b=0的邻域上把 f(z)=1/(1-z)展开。
?解答：
? f(z) = 1/(1-z)
? f’(z) = 1/(1-z)2
? f”(z) = 2/(1-z)3
? f(n)(z) = n!/(1-z)n+1
? f(n)(0) = n!
? an= 1
? f(z) = ∑ k=0 zk
? 该幂级数在圆 |z|<1内收敛；
幂级数和泰勒展开
? 发散方法（用性质）
? 线性组合的展开 = 展开之线性组合。
? 和函数的积分 = 各项积分之和；
? 和函数的导数 = 各项导数之和；
? 例 3：
? 题目：
? 在 b=0的邻域上把 f(z)=cosh(z)展开。
? 解答：
? cosh(z) = [exp(z)+exp(-x)]/2
? exp(z) = ∑ k=0 zk/k!
? exp(-z) = ∑ k=0 (-z)k/k!
? cosh(z) = ∑ k=0 [zk/k!+ (-z)k/k!]/2
= ∑ k=0 z2k/(2k)!
? 该幂级数在圆 |z|<?内收敛；
幂级数和泰勒展开
? 例 4：
? 题目：
? 在 b = 0 的邻域上把 f(z)=ln(1-z) 展开。
? 解答：
? ln(1-z) = -∫ (1-z)-1dz
? (1-z)-1 = ∑ k=0 zk
? ln(1-z) = -∫∑ k=0 zk dz = - ∑ k=0 zk+1/(k+1)
? 例 5：
? 题目：
? 在 b = 0 的邻域上把 f(z)= (1-z)-2 展开。
? 解答：
? (1-z)-2 = [(1-z)-1]’
? (1-z)-1 = ∑ k=0 zk
? (1-z)-2 = [ ∑ k=0 zk]’ = ∑ k=0 k zk-1
双边幂级数和罗朗展开
? 负幂级数
? 形式,
? s(z) = ∑ k=0 ak(z-b)-k
? 收敛域：
? t = 1/|z-b|
? |t| = 1/|z-b| < R
? |z-b|>R’ = 1/R
? 双边幂级数
? 形式,
? s(z) = ∑ k=-?ak(z-b) k
? 分析
? 双边幂级数 = 正幂级数 + 负幂级数
? 收敛域：
?R’<|z-b|<R
双边幂级数和罗朗展开
? 罗朗展开
? 问题,
? 一个双边幂级数是其收敛环内的解析函数，反之如何？
? 罗朗定理：
? 一个在环 R1<|z-b|<R2内解析的函数 f(z)可以展开为双边
幂级数
f(z) = ?k=?ak(z-b)k
? 该幂级数在 环 R1<|z-b|<R2内收敛；
? 同一环域中的罗朗展开式是唯一的；
? 罗朗系数为
在环内,Ldbfia L nn ?? ?? ? ??? 1)( )(2 1
双边幂级数和罗朗展开
? 罗朗展开举例
? 例 1：
? 题目：
? 在 |z|>0的区域上把 f(z)=cosh(z)/z展开。
? 解答：
? cosh(z) = ∑ k=0 z2k/(2k)!
? cosh(z)/z = ∑ k=0 z2k-1/(2k)!
? 例 2：
? 题目：
? 在 |z|>0的区域上把 f(z)=exp(1/z)展开。
? 解答：
? exp(t) = ∑ k=0 tk/k!
? exp(1/z) = ∑ k=0 z-k/k!
双边幂级数和罗朗展开
? 例 3：
? 题目：
? 以 b=0为中心把 f(z)=1/[z(z-1)]展开。
? 分析
? 因为 f(z)有两个单极点 z=0和 z=1,
? 所以它以 b=0为中心的解析环有两个
? 0<|z|< 1和 1<|z|<∞,需要分别展开
? 解答：
? 在环域 0<|z|< 1中
? f(z) = 1/[z(z-1)]= -1/[z(1-z)] = -1/z ∑ k=0 zk
? = -∑ k=0 zk-1
? 在环域 1<|z|<∞ 中
? f(z) = 1/[z(z-1)] = 1/[z2(1-z-1)] = 1/z2∑ k=0 z-k
? = ∑ k=0 z-k-2
孤立奇点
? 概念
? 奇点：
? 定义：函数的非解析点；
? 举例,csc(z)在 z=n?,csc(1/z)在 z=0,1/n?；
? 判断：初等函数在其定义域内解析；
? 孤立奇点：
? 定义：存在解析邻域的奇点；
? 举例,csc(z)在 z=n?为孤立奇点,
csc(1/z)在 z=0为非孤立奇点；
? 特点：本身无定义，对周围有影响；
? 判断：只有有限个奇点的函数不存在非孤立奇点；
孤立奇点
? 分类
? 原则：
? 根据函数趋向于孤立奇点时的极限行为的不同来分类；
? 分类：
? 极限为有限值，称为可去奇点，例如 sinz/z；
? 极限为 (n阶 )无穷大，称为 (n阶 )极点，例如 1/zn；
? 极限不存在，称为本性奇点，例如 exp(1/z) ；
? 性质
? 奇点 邻域罗朗展开式
? 可去奇点,无负幂项；
? (n阶 )极点,有限个负幂项,(最高为 n次 ) ；
? 本性奇点,无限多个负幂项；
本章小结
? 双边幂级数
? 形式, s(z) = ?k=-?ak(z-b)k
? 性质：在环域内一致收敛
? 罗朗展开
? 条件：在环 R1<|z-b|<R2内解析的函数 f(z)
? 定理,可以展开为双边幂级数
f(z) = ?k=?ak(z-b)k
? 孤立奇点
? 可去奇点：极限有限,邻域展开式无负幂项；
? (n阶 )极点：极限无穷,邻域展开式有有限个负幂项；
? 本性奇点：极限不存在，邻域展开式有无限多个负幂项。
