数学物理方法
第八章 分离变数法
分离变数法
? 齐次演化问题的求解
? 齐次 稳定场问题 的求解
? 非齐次问题的求解
? 多变量推广
? 本章小结
齐次演化问题的求解
? 定解问题的求解思路 II
? 原则：化未知为已知
? 方法：分析和综合
? 步骤：分偏为常，分别求解，合成定解
? 典型问题的求解
? 分析过程
? 例题
? 其它问题的求解
? 边界条件的变化
? 泛定方程的变化
典型问题的求解
? 定解问题
?
?
?
?
?
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0|,0|
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0
0
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LXX
LXtTXtT
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"'
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TXa
TXa
TXa
XT
TXaXT
? 未知函数分离
? 泛定方程分离
? 边界条件分离
? 分离结果 0'
0)()0(
0" 222 ??
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???
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?? TaT
LXX
XX ??
典型问题的求解
)e x p ()( 22 taAtT kkk ???
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s i nc o s)(
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LDLX
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LkxxX kkk /,s i n)( ??? ??
NkLkkL L ???? ?,/0s i n ???? ?
? 空间方程解出
? 非零解条件
? 非零解
? 时间方程解出
? 分离结果的求解 0'
0)()0(
0" 222 ??
??
???
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?? TaT
LXX
XX ??
典型问题的求解
xtaAtTxXtxu kkkkkk ?? s i n)e x p ()()(),( 22???
?? xAx kk ?? s in)(
?? ? ? ?? ? ?? 11 s i n),( 22k ktakk k xeAtxuu k ??
?初始条件要求
? 分离结果的合成
? 再合成半通解
?系数的确定
x d xxLA kLk ?? s i n)(2 0??
?过程小结
?分离变量 —— 分别求解 —— 合成半通解 —— 由初始条件确定系数
分
离
变
量
流
程
图
xxt uau 2? 0|| 0 ?? ?? Lxx uu)(| 0 xu t ???
)()( xXtTu ? 0)()0( ?? LXX
???? XXTaT /")/(' 2
0' 22 ?? TwaT 0" 2 ?? XwX
)e x p ( 22 twaAT ?? LkxX ??? ??,s in
)()( xXtTu kkk ?
?? kk XTu),( txuu ?
典型问题的求解
? 例题 1
?
?
?
?
?
??
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????
?
??
)c o s(s i n|
0|,0|
0,0
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0
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xBAxu
uu
xuau
t
xx
xxt
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NktakATkxX kkk ???? ),e x p (),s i n ( 22
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???
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????
?
0)()0(
0",0'
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2
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XX
XXTaT
tTxXtxu
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3s i n2s i ns i n2s i ns i n
s i n)c o s(s i n
22
1
21
3212
1
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?????
??
?
?
k
k
ABAAA
xAxAxAxBxA
kxAxBAx
?
? ? ? ?? 1 22 s i n)e x p (k k kxtakAu
?代入初始条件
? 分离变量
? 分别求解
? 合成半通解
第二类边界条件
? 定解问题
?
?
?
?
?
?
??
????
?
??
)(|
0|,0|
0,0
0
0
2
xu
uu
Lxuau
t
Lxxxx
xxt
?
)ex p (
,,2,1,0,/),co s (
22
2
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wkLkwwxX
kkk ??
???? ?? ?
)()(),( tTxXtxu ?
0)(')0(' ?? LXX
???? XXTaT /")/(' 2
??? )()( 0 xXAAx kk?
? ? ??? 10 )()(k kk xXtTTu
?初始条件要求
? 未知函数分离
? 泛定方程分离
? 边界条件分离
? 本征运动
? 半通解
典型问题的求解
? 例题 2
?
?
?
?
?
?
??
????
?
??
xAu
uu
xuau
t
xxxx
xxt
2
0
0
2
c o s|
0|,0|
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22
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),e x p (),c o s (
ATX
NktakATkxX kkk
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0",0'
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2
22
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XX
XXTaT
tTxXtxu
0,,
3c o s2c o sc o s2c o s
c o sc o s
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1
22
1
0
32102
1
2
1
0
2
????
??????
?
?
?
??
k
k k
AAAAAA
xAxAxAAxAA
kxAxA
?
? ? ? ?? 0 22 c o s)e x p (k k kxtakAu
?代入初始条件
? 分离变量
? 分别求解
? 合成半通解
波动方程
? 定解问题
?
?
?
?
?
??
??
????
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??
)(|),(|
0|,0|
0,0
00
0
2
xuxu
uu
Lxuau
ttt
Lxx
xxtt
??
)s i n()c o s (
,,2,1,/),s i n( 2
atwBatwAT
wkLkwwxX
kkkkk ??
???? ?? ?
)()(),( tTxXtxu ?
0)()0( ?? LXX
???? XXTaT /")/(" 2
? ??? )()(),()( xXBawxxXAx kkkkk ??
? ??? 1 )()(k kk xXtTu
?初始条件要求
? 未知函数分离
? 泛定方程分离
? 边界条件分离
? 本征运动
? 半通解
典型问题的求解
? 例题 3
?
?
?
?
?
???
??
????
??
??
)c o s(s i n|,0|
0|,0|
0,0
00
0
2
xBAxuu
uu
xuau
ttt
xx
xxtt
?
?
Nkk atBk atATkxX kkkk ???? ),s i n()c os (),s i n(
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???
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????
?
0)()0(
0",0"
)()(),(
2
22
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XX
XXTaT
tTxXtxu
0,0,,
3s i n32s i n2s i n2s i ns i n
s i n)c o s(s i n
s i n0
24
1
2
1
1
3212
1
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?????
??
?
?
?
?
kkaa
k
k
ABBBAB
xaBxaBxaBxBxA
kxk a BxBAx
kxA
?
? ? ? ?? 1 s i n)]s i n ()c o s ([k kk kxk a tBk a tAu
?代入初始条件
? 分离变量
? 分别求解
? 合成半通解
思考题
? 思考题 1：如何求解下面的波动问题
?
?
?
?
?
?
??
????
?
??
)(|
0|,0|
0,0
0
0
2
xu
uu
Lxuau
t
Lxxx
xxt
?
? 思考题 2,如何求解下面的热传导问题
?
?
?
?
?
??
??
????
??
??
)(|),(|
0|,0|
0,0
00
0
2
xuxu
uu
Lxuau
ttt
Lxxxx
xxtt
??
稳定场问题
? 拉普拉斯方程
? 矩形区域问题
? 简单情况
? 一般情况
? 圆形区域问题
? 典型问题分析
? 例题
拉普拉斯方程 矩形区域
? 定解问题
? 未知函数分离
? 泛定方程分离
? X边界条件分离
? 分离解
? 半通解
? Y边界条件要求
???
???
?
??
??
??????
??
??
)(|),(|
0|,0|
0,0,0
2
1
0
0
21
xuxu
uu
LyLxuu
Lyy
Lxx
yyxx
??
)()(),( yYxXyxu ?
2/"/" ?? ?????? YYXX
)s i n h ()c o s h (
,2,1,/),s i n ( 1
yByAY
kLkxX
kkkkk
kkk
??
???
??
??? ?
0)()0( 1 ?? LXX
? ??? 1 )()(k kk xXyYu
?
?
??
?
xLBLAx
xAx
kkkkk
kk
????
??
s i n)]s i n h ()c o s h ([)(
,s i n)(
22
典型问题的求解
? 例题 1
? ???
??
kxbkBbkA
kxAxBAx
kk
k
s i n]s i n hc o s h[0
s i n)c o s(s i n
? ? ? ?? 1 s i n)]s i n h ()c o s h ([k kk kxykBykAu
?代入初始条件
? 在对应的波动问题的半通解中，取 a = i, t = y,L =
?，可以得到本题的半通解
?
?
?
?
?
???
??
??????
??
??
0|),c o s(s i n|
0|,0|
0,0,0
0
0
byy
xx
yyxx
uxBAxu
uu
byxuu
?
?
,0,,
3s i n2s i ns i n2s i ns i n
22121
32121
???
?????
?kABAAA
xAxAxAxBxA ??先求系数 A
?先求系数 B
0,2c o t h,c o t h
c o t h0s i n hc o s h
22121 ?????
?????
?k
kkkk
BbBBbAB
bkABbkBbkA
拉普拉斯方程 矩形区域
? 思考题
???
???
?
??
??
??????
??
??
0|,0|
)(|),(|
0,0,0
2
1
0
0
21
Lyy
Lxx
yyxx
uu
yguyfu
LyLxuu
? 比较
???
???
?
??
??
??????
??
??
)(|),(|
0|,0|
0,0,0
2
1
0
0
21
xuxu
uu
LyLxuu
Lyy
Lxx
yyxx
??
?
?
?
?
?
??
??
??????
??
??
)(|),(|
)(|),(|
0,0,0
0
0
21
xuxu
yguyfu
LyLxuu
byy
axx
yyxx
??
? 再思考
拉普拉斯方程 圆形区域
? 定解问题
? 未知函数分离
? 泛定方程分离
? 自然边界条件
? 分离结果
??
???
?
????
?
??
)(|
,021
?
???
?
?????
fu
auuu
a
)()(),( ???? ?? Ru
22
2
2
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"'"
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RRR
RRR
uuu
)()2()0( ??? ????有界，R
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??? ???
??
???
????
????
有界)0(
0'",
)()2(
0" 222
R
RRR ???
???
?
拉普拉斯方程 圆形区域
? 分离结果的求解
? 角度方程求解
? 周期条件
? 角度方程解
? 径向方程求解
????? s i nc o s)( BA ???
ZmmT ????? ???? /2/2
??? mBmA mmm s i nc o s)( ???
m
m
mmx
mmx
R
e
e
RRm
dx
Rd
d
dR
d
dR
d
dR
d
d
dx
Rd
xd
d
dx
dx
dR
d
dR
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
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lnln
2
2
2
2
2
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2
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??
???
????
????
有界)0(
0'",
)()2(
0" 222
R
RRR ???
???
?
拉普拉斯方程 圆形区域
? 分离解的合成
? 半通解
? 边界条件要求
)s i nc o s()()( ????? mBmARu mmmmmm ????
? ? ? ?? 0 )()(m mmRu ??
? ?? )]s i n ()co s ([)( ??? mBmAaf mmm
拉普拉斯方程 圆形区域
? 例题 2
??
???
????
????
??
???
??
???
??
)()2(
0",
|)0(|
0'"
)()(),(
222
???
????
????
R
RRR
Ru
?代入初始条件
? 分离变量
? 分别求解
? 合成半通解
??
???
?
????
?
??
?
???
?
?????
2
21
s i n|
,0
Au
auuu
a
????? mBmAR mmmmm s i nc o s)(,)( ????
? ? ? ?? 0 )s i nc o s(m mmm mBmAu ???
0,,0,
2c o sc o s2c o s
)s i nc o s(s i n
22
1
212
1
0
2
2
102
1
2
1
0
2
2 ??????
?????
??
?
?
??
mma
m mm
m
BAAAAAA
AaAaAAA
mBmAaA
????
???
拉普拉斯方程 圆形区域
? 例题 3
??
???
????
????
??
???
???
???
??
)()2(
0",
|)(|
0'"
)()(),(
222
???
????
????
R
RRR
Ru
?代入初始条件
? 分离变量
? 分别求解
? 合成半通解
??
???
?
????
?
??
?
???
?
?????
2
21
s i n|
,0
Au
auuu
a
????? mBmAR mmmmm s i nc o s)(,)( ???? ?
? ? ? ? ?? 0 )s i nc o s(m mmm mBmAu ???
0,,0,
2c o sc o s2c o s
)s i nc o s(s i n
2
2
2
1
212
1
0
2
2
1
1
02
1
2
1
0
2
??????
?????
??
?
??
?
?
??
mm
m mm
m
BAAaAAAA
AaAaAAA
mBmAaA
????
???
非齐次问题的求解
? 求解思路
? 求出任意非齐次特解
? 用分解原理得出对应的齐次问题
? 解出齐次问题
? 叠加成非齐次解
? 典型问题
? 例题
非齐次问题的求解
? 典型问题
? 非齐次任意解
? 差函数
?
?
?
?
?
?
??
????
?
??
)(|
)(|),(|
0),,(
0
0
2
xu
tutu
Lxtxfuau
t
Lxx
xxt
?
??
??
???
??
????
?? )(|),(|
0),,(
0
2
tvtv
Lxtxfvav
Lxx
xxt
??
),(),(),( txvtxutxw ??
?
?
?
?
?
??
??
????
?
??
)0,()(|
0|,0|
0,0
0
0
2
xvxw
ww
Lxwaw
t
Lxx
xxt
?
非齐次问题的求解
? 例题 1
?
?
?
?
?
?
??
????
?
??
0|
|,|
0,0
0
0
2
t
Lxx
xxt
u
uu
Lxuau
??
??
???
??
??
?? ?? Lxx
xxt
vv
vav
|,|
0
0
2
),(),(),( txvtxutxw ??
?
?
?
?
?
????
??
????
?
??
Lxw
ww
Lxwaw
t
Lxx
xxt
/)(|
0|,0|
0,0
0
0
2
???
?齐次化要求
?齐次解的形式
?齐次问题
?齐次化特解 Lxtxv /)(),( ??? ???
非齐次问题的求解
? 特解的确定
)(),( xVtxv ?
??
???
??
??
?? )(,)0(
0"2
LVV
Va
BAxV ??
LABALLV
BV
/)()(
,)0(
????
??
???????
???
??
???
??
??
?? ?? Lxx
xxt
vv
vav
|,|
0
0
2
??? ??? LxxV /)()(
非齐次问题的求解
? 例题 2
?
?
?
??
?
?
??
??
????
??
??
0|,0|
|,|
0,0
00
0
2
ttt
Lxx
xxtt
uu
uu
Lxuau
??
??
???
??
??
?? ?? Lxx
xxtt
vv
vav
|,|
0
0
2
),(),(),( txvtxutxw ??
?
?
?
??
?
?
?????
??
????
??
??
0|,/)(|
0|,0|
0,0
00
0
2
ttt
Lxx
xxtt
wLxw
ww
Lxwaw
???
?齐次化要求
?齐次解的形式
?齐次问题
?齐次化特解 Lxtxv /)(),( ??? ???
非齐次问题的求解
? 例题 3
?
?
?
???
?
??
??
????
??
??
0|,0|
0|,0|
0,c o s
00
0
2
ttt
Lxxxx
xxtt
uu
uu
LxtAuau ?
??
???
??
??
?? 0|,0|
c o s
0
2
Lxxxx
xxtt
vv
tAvav ?
),(),(),( txvtxutxw ??
?
?
?
??
?
?
??????
??
????
??
??
0)0,(|,/)0,(|
0|,0|
0,0
0
2
0
0
2
xvwAxvw
ww
Lxwaw
tttt
Lxxxx
xxtt
?
?齐次化要求
?齐次解的形式
?齐次问题
?齐次化特解 tAtxv ?
? co s),( 21??
非齐次问题的求解
? 特解的确定
)(),( tVtxv ?
tAV ?co s"?
CBttAV ???? ?? c o s2
??
???
??
??
?? 0|,0|
c o s
0
2
Lxxxx
xxtt
vv
tAvav ?
tAV ?? c o s2??
非齐次问题的求解
? 例题 4
? 齐次化特解要求
? 齐次解的形式
? 齐次问题
?
?
?
?
?
??
??
????
??
??
)(|),(|
s i n|,0|
0,0
00
0
2
xuxu
mtAuu
Lxuau
ttt
Lxxx
xxtt
??
??
???
??
??
?? mtAvv
vav
Lxx
xxtt
s i n|,0|
0
0
2
),(),(),( txvtxutxw ??
?
?
?
?
?
????
??
????
????
??
0000
0
2
|)(|,|)(|
0|,0|
0,0
tttttt
Lxx
xxtt
vxwvxw
ww
Lxwaw
??
非齐次问题的求解
? 特解的确定
? 特解
??
???
??
??
?? mtAvv
vav
Lxx
xxtt
s i n|,0|
0
0
2
mtxVtxv s i n)(),( ?
??
???
??
???
ALVV
VaVm
)(,0)0(
0"22
)/s i n ()/c os ( amxDamxCV ??
)/s i n (/)/s i n (0)(
,00)0(
amLamxADLV
CV
???
???
非齐次问题的求解
? 例题 5
?齐次化要求
?齐次解的形式
?齐次问题
?齐次化特解
?
?
?
?
?
??
??
???????
??
??
0|,0|
0|,0|
0,0,2
0
0
byy
axx
yyxx
uu
uu
byaxuu
??
?
??
???
?? 0|,0|
,2
0 axx
yyxx
vv
vv
)(),( xaxyxv ??
),(),(),( yxvyxuyxw ??
?
?
?
?
?
????
??
??????
????
??
bybyyy
axx
yyxx
vwvw
ww
byaxww
||,||
0|,0|
0,0,0
00
0
非齐次问题的求解
? 例题 6
),(),(),( ?????? vuw ??
?齐次化要求
?齐次解的形式
?齐次问题
?齐次化特解
??
???
?
?????
?
??
0|
,s i nc o s221
au
auuu
?
????? ??????
???? ????? 2s i n22121 ???? ?? vvv
?? 2s in4241??v
??
???
???
????
???
??
?
???
???
?????
2s i n|||
,0
4
24
1
21
avuw
awww
aaa
非齐次问题的求解
? 齐次化特解 ????
????? 2s i n22121 ???? ?? vvv
???? 2s i n)(),( Vv ?
22121 4'" ??? ???? ?? VVV
4212 4'" ??? ???? VVV
4241 ???V
?? 2s i n4241??v
多变量推广
? 三变量问题
? 齐次问题
? 典型例题
? 一般性质
? 两次分离，两组本征方程，两重求和，双下标。
? 非齐次问题
? 特解法
? N变量问题
多
变
量
推
广
uau t 22??
0' 22 ?? TwaT
222 /)/(' wvvTaT ????
022 ??? vwv
)e x p ( 22 twaAT ?? 0/"/"
2 ??? wYYXX
0" 21 ?? XwX 0" 22 ?? YwY
),()( yxvtTu ?
)()( yYxXv ?
热
传
导
方
程
22221 www ??
多变量推广
? 定解问题
? 未知函数分离
? 泛定方程分离
? 分离结果
? 未知函数再分离
? 泛定方程再分离
? 边界条件分离
?
?
?
??
?
?
??
????
???????
??
????
),(|),,(|
0|,0|,0|,0|
0,0,0)(
00
00
21
2
21
yxuyxu
uuuu
LyLxuuau
ttt
LyyLxx
yyxxtt
??
)(),(),,( tTyxvtyxu ?
22 /)()/(" wvvvTaT yyxx ????
vwvv
w a tBw a tATTawT
yyxx
2
22 )s i n ()c o s (0"
???
?????
)()(),( yYxXyxv ?
0)()0()()0( 21 ???? LYYLXX
222212221
2
,0",0"
/"/"
wwwYwYXwX
wYYXX
??????
???
多变量推广
? 本征函数
? 半通解
? 初始条件要求
2
2
2
1,
,,,,,
22222
11111
21
2
2
2
1
21
2121212121
)s i n ()co s (
,2,1,/),s i n (
,2,1,/),s i n (
0)()0()()0(
,0",0"
www
atwBatwAT
kLkwywY
kLkwxwX
LYYLXX
YwYXwX
kk
kkkkkkkkkk
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?
?
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2 1211 1,1
yYxXtTu kk kkkk ?? ? ?? ??
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?
?
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)()(),(
212121
2121
,,
,
yYxXBawyx
yYxXAyx
kkkkkk
kkkk
?
?
本章小结
? 基本方法
? 齐次问题,分离变量法 ；
? 非齐次问题：特解法。
? 常用本征方程
? 齐次边界条件
? 第一类齐次边界条件
? 第二类齐次边界条件
? 第三类齐次边界条件 I
? 第三类齐次边界条件 II
? 自然边界条件
? 周期性边界条件
? 有界性边界条件
分
离
变
量
流
程
图
xxt uau 2? 0|| 0 ?? ?? Lxx uu)(| 0 xu t ???
)()( xXtTu ? 0)()0( ?? LXX
???? XXTaT /")/(' 2
0' 22 ?? TwaT 0" 2 ?? XwX
)e x p ( 22 twaAT ?? LkwwxX ???,s in
)()( xXtTu kkk ?
?? kk XTu),( txuu ?
常用本征方程 齐次边界条件
xwX
kLkww
LXX
XX
kk
s i n
,2,1,/,
0)()0(
0''
2
?
???
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xwX
kLkww
LXX
XX
kk
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,2,1,0,/)(,
0)(')0(
0''
2
12
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xwX
kLkww
LXX
XX
kk
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,2,1,0,/)(,
0)()0('
0''
2
12
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?
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xwX
kLkww
LXX
XX
kk
c o s
,2,1,0,/,
0)(')0('
0''
2
?
???
?
?
?
??
??
???
?
常用本征方程 自然边界条件
mxBmxAX
mm
xXxX
XX
mmm
s i nc o s
,2,1,0,
)2()(
0''
2
??
??
?
?
?
??
??
??
?
?
第八章 分离变数法
分离变数法
? 齐次演化问题的求解
? 齐次 稳定场问题 的求解
? 非齐次问题的求解
? 多变量推广
? 本章小结
齐次演化问题的求解
? 定解问题的求解思路 II
? 原则：化未知为已知
? 方法：分析和综合
? 步骤：分偏为常，分别求解，合成定解
? 典型问题的求解
? 分析过程
? 例题
? 其它问题的求解
? 边界条件的变化
? 泛定方程的变化
典型问题的求解
? 定解问题
?
?
?
?
?
?
??
???
?
??
)(|
0|,0|
0,
0
0
2
xu
uu
Lxuau
t
Lxx
xxt
?
)()(),( tTxXtxu ?
0)()0(
0)()()0()(
??
??
LXX
LXtTXtT
22
2
2
2
2
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"'
"'
?? ?????
?
?
XXTaT
TXa
TXa
TXa
XT
TXaXT
? 未知函数分离
? 泛定方程分离
? 边界条件分离
? 分离结果 0'
0)()0(
0" 222 ??
??
???
??
?? TaT
LXX
XX ??
典型问题的求解
)e x p ()( 22 taAtT kkk ???
0s i n)(
0)0(
s i nc o s)(
??
??
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LDLX
CX
xDxCxX
?
??
LkxxX kkk /,s i n)( ??? ??
NkLkkL L ???? ?,/0s i n ???? ?
? 空间方程解出
? 非零解条件
? 非零解
? 时间方程解出
? 分离结果的求解 0'
0)()0(
0" 222 ??
??
???
??
?? TaT
LXX
XX ??
典型问题的求解
xtaAtTxXtxu kkkkkk ?? s i n)e x p ()()(),( 22???
?? xAx kk ?? s in)(
?? ? ? ?? ? ?? 11 s i n),( 22k ktakk k xeAtxuu k ??
?初始条件要求
? 分离结果的合成
? 再合成半通解
?系数的确定
x d xxLA kLk ?? s i n)(2 0??
?过程小结
?分离变量 —— 分别求解 —— 合成半通解 —— 由初始条件确定系数
分
离
变
量
流
程
图
xxt uau 2? 0|| 0 ?? ?? Lxx uu)(| 0 xu t ???
)()( xXtTu ? 0)()0( ?? LXX
???? XXTaT /")/(' 2
0' 22 ?? TwaT 0" 2 ?? XwX
)e x p ( 22 twaAT ?? LkxX ??? ??,s in
)()( xXtTu kkk ?
?? kk XTu),( txuu ?
典型问题的求解
? 例题 1
?
?
?
?
?
??
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????
?
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)c o s(s i n|
0|,0|
0,0
0
0
2
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uu
xuau
t
xx
xxt
?
?
NktakATkxX kkk ???? ),e x p (),s i n ( 22
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???
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????
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0",0'
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2
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XX
XXTaT
tTxXtxu
0,,
3s i n2s i ns i n2s i ns i n
s i n)c o s(s i n
22
1
21
3212
1
???
?????
??
?
?
k
k
ABAAA
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kxAxBAx
?
? ? ? ?? 1 22 s i n)e x p (k k kxtakAu
?代入初始条件
? 分离变量
? 分别求解
? 合成半通解
第二类边界条件
? 定解问题
?
?
?
?
?
?
??
????
?
??
)(|
0|,0|
0,0
0
0
2
xu
uu
Lxuau
t
Lxxxx
xxt
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,,2,1,0,/),co s (
22
2
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wkLkwwxX
kkk ??
???? ?? ?
)()(),( tTxXtxu ?
0)(')0(' ?? LXX
???? XXTaT /")/(' 2
??? )()( 0 xXAAx kk?
? ? ??? 10 )()(k kk xXtTTu
?初始条件要求
? 未知函数分离
? 泛定方程分离
? 边界条件分离
? 本征运动
? 半通解
典型问题的求解
? 例题 2
?
?
?
?
?
?
??
????
?
??
xAu
uu
xuau
t
xxxx
xxt
2
0
0
2
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ATX
NktakATkxX kkk
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22
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0,,
3c o s2c o sc o s2c o s
c o sc o s
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1
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1
0
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1
2
1
0
2
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?
?
?
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k
k k
AAAAAA
xAxAxAAxAA
kxAxA
?
? ? ? ?? 0 22 c o s)e x p (k k kxtakAu
?代入初始条件
? 分离变量
? 分别求解
? 合成半通解
波动方程
? 定解问题
?
?
?
?
?
??
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????
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)(|),(|
0|,0|
0,0
00
0
2
xuxu
uu
Lxuau
ttt
Lxx
xxtt
??
)s i n()c o s (
,,2,1,/),s i n( 2
atwBatwAT
wkLkwwxX
kkkkk ??
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)()(),( tTxXtxu ?
0)()0( ?? LXX
???? XXTaT /")/(" 2
? ??? )()(),()( xXBawxxXAx kkkkk ??
? ??? 1 )()(k kk xXtTu
?初始条件要求
? 未知函数分离
? 泛定方程分离
? 边界条件分离
? 本征运动
? 半通解
典型问题的求解
? 例题 3
?
?
?
?
?
???
??
????
??
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)c o s(s i n|,0|
0|,0|
0,0
00
0
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uu
xuau
ttt
xx
xxtt
?
?
Nkk atBk atATkxX kkkk ???? ),s i n()c os (),s i n(
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0)()0(
0",0"
)()(),(
2
22
?
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XX
XXTaT
tTxXtxu
0,0,,
3s i n32s i n2s i n2s i ns i n
s i n)c o s(s i n
s i n0
24
1
2
1
1
3212
1
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?????
??
?
?
?
?
kkaa
k
k
ABBBAB
xaBxaBxaBxBxA
kxk a BxBAx
kxA
?
? ? ? ?? 1 s i n)]s i n ()c o s ([k kk kxk a tBk a tAu
?代入初始条件
? 分离变量
? 分别求解
? 合成半通解
思考题
? 思考题 1：如何求解下面的波动问题
?
?
?
?
?
?
??
????
?
??
)(|
0|,0|
0,0
0
0
2
xu
uu
Lxuau
t
Lxxx
xxt
?
? 思考题 2,如何求解下面的热传导问题
?
?
?
?
?
??
??
????
??
??
)(|),(|
0|,0|
0,0
00
0
2
xuxu
uu
Lxuau
ttt
Lxxxx
xxtt
??
稳定场问题
? 拉普拉斯方程
? 矩形区域问题
? 简单情况
? 一般情况
? 圆形区域问题
? 典型问题分析
? 例题
拉普拉斯方程 矩形区域
? 定解问题
? 未知函数分离
? 泛定方程分离
? X边界条件分离
? 分离解
? 半通解
? Y边界条件要求
???
???
?
??
??
??????
??
??
)(|),(|
0|,0|
0,0,0
2
1
0
0
21
xuxu
uu
LyLxuu
Lyy
Lxx
yyxx
??
)()(),( yYxXyxu ?
2/"/" ?? ?????? YYXX
)s i n h ()c o s h (
,2,1,/),s i n ( 1
yByAY
kLkxX
kkkkk
kkk
??
???
??
??? ?
0)()0( 1 ?? LXX
? ??? 1 )()(k kk xXyYu
?
?
??
?
xLBLAx
xAx
kkkkk
kk
????
??
s i n)]s i n h ()c o s h ([)(
,s i n)(
22
典型问题的求解
? 例题 1
? ???
??
kxbkBbkA
kxAxBAx
kk
k
s i n]s i n hc o s h[0
s i n)c o s(s i n
? ? ? ?? 1 s i n)]s i n h ()c o s h ([k kk kxykBykAu
?代入初始条件
? 在对应的波动问题的半通解中，取 a = i, t = y,L =
?，可以得到本题的半通解
?
?
?
?
?
???
??
??????
??
??
0|),c o s(s i n|
0|,0|
0,0,0
0
0
byy
xx
yyxx
uxBAxu
uu
byxuu
?
?
,0,,
3s i n2s i ns i n2s i ns i n
22121
32121
???
?????
?kABAAA
xAxAxAxBxA ??先求系数 A
?先求系数 B
0,2c o t h,c o t h
c o t h0s i n hc o s h
22121 ?????
?????
?k
kkkk
BbBBbAB
bkABbkBbkA
拉普拉斯方程 矩形区域
? 思考题
???
???
?
??
??
??????
??
??
0|,0|
)(|),(|
0,0,0
2
1
0
0
21
Lyy
Lxx
yyxx
uu
yguyfu
LyLxuu
? 比较
???
???
?
??
??
??????
??
??
)(|),(|
0|,0|
0,0,0
2
1
0
0
21
xuxu
uu
LyLxuu
Lyy
Lxx
yyxx
??
?
?
?
?
?
??
??
??????
??
??
)(|),(|
)(|),(|
0,0,0
0
0
21
xuxu
yguyfu
LyLxuu
byy
axx
yyxx
??
? 再思考
拉普拉斯方程 圆形区域
? 定解问题
? 未知函数分离
? 泛定方程分离
? 自然边界条件
? 分离结果
??
???
?
????
?
??
)(|
,021
?
???
?
?????
fu
auuu
a
)()(),( ???? ?? Ru
22
2
2
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"'"
????
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RRR
RRR
uuu
)()2()0( ??? ????有界，R
??
??? ???
??
???
????
????
有界)0(
0'",
)()2(
0" 222
R
RRR ???
???
?
拉普拉斯方程 圆形区域
? 分离结果的求解
? 角度方程求解
? 周期条件
? 角度方程解
? 径向方程求解
????? s i nc o s)( BA ???
ZmmT ????? ???? /2/2
??? mBmA mmm s i nc o s)( ???
m
m
mmx
mmx
R
e
e
RRm
dx
Rd
d
dR
d
dR
d
dR
d
d
dx
Rd
xd
d
dx
dx
dR
d
dR
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
????
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0
lnln
2
2
2
2
2
2
2
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??? ???
??
???
????
????
有界)0(
0'",
)()2(
0" 222
R
RRR ???
???
?
拉普拉斯方程 圆形区域
? 分离解的合成
? 半通解
? 边界条件要求
)s i nc o s()()( ????? mBmARu mmmmmm ????
? ? ? ?? 0 )()(m mmRu ??
? ?? )]s i n ()co s ([)( ??? mBmAaf mmm
拉普拉斯方程 圆形区域
? 例题 2
??
???
????
????
??
???
??
???
??
)()2(
0",
|)0(|
0'"
)()(),(
222
???
????
????
R
RRR
Ru
?代入初始条件
? 分离变量
? 分别求解
? 合成半通解
??
???
?
????
?
??
?
???
?
?????
2
21
s i n|
,0
Au
auuu
a
????? mBmAR mmmmm s i nc o s)(,)( ????
? ? ? ?? 0 )s i nc o s(m mmm mBmAu ???
0,,0,
2c o sc o s2c o s
)s i nc o s(s i n
22
1
212
1
0
2
2
102
1
2
1
0
2
2 ??????
?????
??
?
?
??
mma
m mm
m
BAAAAAA
AaAaAAA
mBmAaA
????
???
拉普拉斯方程 圆形区域
? 例题 3
??
???
????
????
??
???
???
???
??
)()2(
0",
|)(|
0'"
)()(),(
222
???
????
????
R
RRR
Ru
?代入初始条件
? 分离变量
? 分别求解
? 合成半通解
??
???
?
????
?
??
?
???
?
?????
2
21
s i n|
,0
Au
auuu
a
????? mBmAR mmmmm s i nc o s)(,)( ???? ?
? ? ? ? ?? 0 )s i nc o s(m mmm mBmAu ???
0,,0,
2c o sc o s2c o s
)s i nc o s(s i n
2
2
2
1
212
1
0
2
2
1
1
02
1
2
1
0
2
??????
?????
??
?
??
?
?
??
mm
m mm
m
BAAaAAAA
AaAaAAA
mBmAaA
????
???
非齐次问题的求解
? 求解思路
? 求出任意非齐次特解
? 用分解原理得出对应的齐次问题
? 解出齐次问题
? 叠加成非齐次解
? 典型问题
? 例题
非齐次问题的求解
? 典型问题
? 非齐次任意解
? 差函数
?
?
?
?
?
?
??
????
?
??
)(|
)(|),(|
0),,(
0
0
2
xu
tutu
Lxtxfuau
t
Lxx
xxt
?
??
??
???
??
????
?? )(|),(|
0),,(
0
2
tvtv
Lxtxfvav
Lxx
xxt
??
),(),(),( txvtxutxw ??
?
?
?
?
?
??
??
????
?
??
)0,()(|
0|,0|
0,0
0
0
2
xvxw
ww
Lxwaw
t
Lxx
xxt
?
非齐次问题的求解
? 例题 1
?
?
?
?
?
?
??
????
?
??
0|
|,|
0,0
0
0
2
t
Lxx
xxt
u
uu
Lxuau
??
??
???
??
??
?? ?? Lxx
xxt
vv
vav
|,|
0
0
2
),(),(),( txvtxutxw ??
?
?
?
?
?
????
??
????
?
??
Lxw
ww
Lxwaw
t
Lxx
xxt
/)(|
0|,0|
0,0
0
0
2
???
?齐次化要求
?齐次解的形式
?齐次问题
?齐次化特解 Lxtxv /)(),( ??? ???
非齐次问题的求解
? 特解的确定
)(),( xVtxv ?
??
???
??
??
?? )(,)0(
0"2
LVV
Va
BAxV ??
LABALLV
BV
/)()(
,)0(
????
??
???????
???
??
???
??
??
?? ?? Lxx
xxt
vv
vav
|,|
0
0
2
??? ??? LxxV /)()(
非齐次问题的求解
? 例题 2
?
?
?
??
?
?
??
??
????
??
??
0|,0|
|,|
0,0
00
0
2
ttt
Lxx
xxtt
uu
uu
Lxuau
??
??
???
??
??
?? ?? Lxx
xxtt
vv
vav
|,|
0
0
2
),(),(),( txvtxutxw ??
?
?
?
??
?
?
?????
??
????
??
??
0|,/)(|
0|,0|
0,0
00
0
2
ttt
Lxx
xxtt
wLxw
ww
Lxwaw
???
?齐次化要求
?齐次解的形式
?齐次问题
?齐次化特解 Lxtxv /)(),( ??? ???
非齐次问题的求解
? 例题 3
?
?
?
???
?
??
??
????
??
??
0|,0|
0|,0|
0,c o s
00
0
2
ttt
Lxxxx
xxtt
uu
uu
LxtAuau ?
??
???
??
??
?? 0|,0|
c o s
0
2
Lxxxx
xxtt
vv
tAvav ?
),(),(),( txvtxutxw ??
?
?
?
??
?
?
??????
??
????
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??
0)0,(|,/)0,(|
0|,0|
0,0
0
2
0
0
2
xvwAxvw
ww
Lxwaw
tttt
Lxxxx
xxtt
?
?齐次化要求
?齐次解的形式
?齐次问题
?齐次化特解 tAtxv ?
? co s),( 21??
非齐次问题的求解
? 特解的确定
)(),( tVtxv ?
tAV ?co s"?
CBttAV ???? ?? c o s2
??
???
??
??
?? 0|,0|
c o s
0
2
Lxxxx
xxtt
vv
tAvav ?
tAV ?? c o s2??
非齐次问题的求解
? 例题 4
? 齐次化特解要求
? 齐次解的形式
? 齐次问题
?
?
?
?
?
??
??
????
??
??
)(|),(|
s i n|,0|
0,0
00
0
2
xuxu
mtAuu
Lxuau
ttt
Lxxx
xxtt
??
??
???
??
??
?? mtAvv
vav
Lxx
xxtt
s i n|,0|
0
0
2
),(),(),( txvtxutxw ??
?
?
?
?
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????
????
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0000
0
2
|)(|,|)(|
0|,0|
0,0
tttttt
Lxx
xxtt
vxwvxw
ww
Lxwaw
??
非齐次问题的求解
? 特解的确定
? 特解
??
???
??
??
?? mtAvv
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非齐次问题的求解
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非齐次问题的求解
? 例题 6
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非齐次问题的求解
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多变量推广
? 三变量问题
? 齐次问题
? 典型例题
? 一般性质
? 两次分离，两组本征方程，两重求和，双下标。
? 非齐次问题
? 特解法
? N变量问题
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多变量推广
? 定解问题
? 未知函数分离
? 泛定方程分离
? 分离结果
? 未知函数再分离
? 泛定方程再分离
? 边界条件分离
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多变量推广
? 本征函数
? 半通解
? 初始条件要求
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本章小结
? 基本方法
? 齐次问题,分离变量法 ；
? 非齐次问题：特解法。
? 常用本征方程
? 齐次边界条件
? 第一类齐次边界条件
? 第二类齐次边界条件
? 第三类齐次边界条件 I
? 第三类齐次边界条件 II
? 自然边界条件
? 周期性边界条件
? 有界性边界条件
分
离
变
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常用本征方程 齐次边界条件
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常用本征方程 自然边界条件
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