数学物理方法
格林函数法
格林函数法
? 格林函数的 一般概念
? 稳定问题的 基本解
? 稳定问题的 格林函数
? 演化问题的 基本解
? 演化问题的 格林函数
? 本章 小结
格林函数的一般概念
? 概念
? 定义：纯点源产生的场
? （不计初始条件和边界条件的影响）。
? 例子：
?ΔG = δ(r-r’),G|Γ=0
? (?t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’),G|Γ= G|t=0=0
? 一般形式
? L G(xi) = δ(xi-xi’)
? G|边界 = G|初始 =0
格林函数的一般概念
? 分类：
? 按泛定方程可以分为：
?稳定问题的格林函数 L = Δ
?热传导问题的格林函数 L = (?t – a2Δ)
?波动问题的格林函数 L = (?tt – a2Δ)
? 按边界条件可以分为
?无界空间的格林函数，又称为基本解；
?齐次边界条件的格林函数。
格林函数的一般概念
格林函数
稳定问题
ΔG
= δ(r-r’)
输运问题
(?t – a2Δ) G
= δ(r-r’)δ(t-t’)
G|t=0=0
波动问题
(?tt – a2Δ) G
=δ(r-r’)δ(t-t’)
G|t=0=0
Gt|t=0=0
无界空间 泊松方程的基本解 热传导方程 的基本解 波动 方程 的基本解
齐次边界
G|Γ= 0
泊松方程的
格林函数
热传导方程 的
格林函数
波动 方程 的格
林函数
格林函数的一般概念
? 性质：
? 设数学物理方程为 L u(x) = f (x)
? 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’)
? 在相同的齐次定解条件下
? 因为,f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’
? 所以,u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’
? 应用（求解数学物理方程的格林函数法）
? 范围：非齐次泛定方程、齐次定解条件
? 程序：先求出对应的格林函数，再积分得待求函数
稳定问题的基本解
原问题 点源问题 点电荷电场
方程
解
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稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到
稳定问题的格林函数
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? 基本思路
稳定问题的格林函数
? 求解方法
? 稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。
? 点源问题可以看成接地的导体边界内在 r’ 处有一
个电量为 - ε0 的点电荷。
? 边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同
产生。
? 在一些情况下，导体中所有感应电荷的作用可以用
一个设想的等效电荷来代替，该等效电荷称为点电
荷的电像。
? 这种方法称为电像法
稳定问题的格林函数
? 例题
在半空间内求解稳定问题的格林函数
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解：根据题目，定解问题为
这相当于在接地导体平面上方点 M(x’,y’,z’) 处放
置一个电量为 - ?0 的点电荷，求电势。
设想在 M的对称点 N (x’,y’,-z’)处放置一个电量为
+ ε0 的点电荷，容易看出在平面 z=0上电势为零，
这表明在 N点的点电荷就是电像。
稳定问题的格林函数
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根据点电荷的电势公式，我们不难得到格林函数
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演化问题的基本解
问题 等价问题 基本解
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演化问题的基本解可以利用冲量定理法得到
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无界输运问题的求解
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演化问题的基本解
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无界波动问题的求解
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演化问题的格林函数也可以用冲量定理法得到
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本章小结
? 格林函数问题有两个要素
? 泛定方程的非齐次项为 (瞬时 )点源
? 定解条件为齐次的
? 一般的场源可以分解为 (瞬时 )点源的叠加
? 非齐次泛定方程、齐次定解条件问题可以
由格林函数叠加得到
? 经过适当的推广，非齐次定解条件问题也
可以用格林函数方法来求解