数学物理方法
第九章 二阶常微分方程
二阶常微分方程
? 常用齐次定解问题
? 数学物理中的对称性
? 特殊函数常微分方程
? 常微分方程的级数解法
? 斯图姆 — 刘维尔本征值问题
? 本章小结
常用齐次定解问题
? 常用齐次定解问题的要素
? 常用齐次定解问题的分类
? 拉普拉斯算符的形式
? 拉普拉斯算符形式的推导
常用齐次定解问题要素
??
???
??
??
0
2
u
uau nt
稳定方程：
演化方程：泛定方程 ）（
?
?
?
?
?
），用球坐标（球形：
），，用极（柱）坐标（圆形：
）用直角坐标（矩形：
边界形状
??
??
,
,,
r
z
zyx
?
?
?
?
?
?
?
）（初始速度：
）（初始状态：初始条件
rgu
rfu
tt
t ?
?
0
0
|
|
常用齐次定解问题的分类
直角坐标 极坐标 球坐标
稳定方程
演化方程
√
√
√
！
！
×
拉普拉斯算符的形式
二维 三维
直角坐标
极柱坐标
球坐标
yyxx ????? 2 zz????? 2
?????
??????
??
?
??????
??????
?? 21
112
2
zz????? 2
?????? ? ?????? 2s i n1s i n1 s i n'
'2
'
21
121
22
??????
??????
?? rr
r
rrr
rrrr
极坐标下拉普拉斯算符形式的推导
yyxx ????? 2
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?
?
?
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??
s in
c os
y
x
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?????
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11
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2
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1c o ss in
s inc o s
y
x
?极坐标下的形式
?直角坐标下的形式
?坐标变换关系
?微分变换关系
数学物理中的对称性
? 对称性的概念
– 定义：对称性就是在某种变换下的不变性
– 分类
? 对称性的 描述
? 对称性原理
– 当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性
时，它的解也具有同样的对称性。
? 对称性的 应用
对
称
性
的
分
类 ??
?
?
?
空间转动对称性
空间反演对称性
空间平移对称性
空间
??
?
时间反演对称性
时间平移对称性时间
?
动力学对称性
时空对称性
?
对称性的描述
对称性名称 对称条件 对称函数
沿 z轴反演对称
沿 z轴平移对称
绕 z轴转动对称
绕原点转动对称
),,(),,( zyxfzyxf ??
),,(),,( zyxfazyxf ??
),,(),,( zfzf ????? ??
|)|,,( zyxff ?
),( yxff ?
),,(),,( ?????? rfrf ???
),( zff ??
)(rff
),,(),,( ????? rfrf ?? ),( ?rff ?
),,(),,( zfazf ???? ?? ),( ??ff ?
对称性的应用 — 柱坐标输运方程
对称性 未知函数 泛定方程
无任何对称性
沿 z轴平移对称
绕 z轴转动对称
双重对称
),,( tzuu ??
),( tuu ??
),,( tuu ???
),,,( tzuu ??? )( 22 uuau zzt ????
uaut 22??
)( 12 uuuau zzt ?????? ????
)( 12 uuau t ???? ????
特殊函数常微分方程
? 球坐标下拉普拉斯方程的分离变量
– 一般情况
? 欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程
– 轴对称情况
? 勒让德方程
? 极坐标下热传导方程的分离变量
– 一般情况
? 亥姆霍兹方程，贝塞尔方程
– 轴对称情况
球
坐
标
下
拉
普
拉
斯
方
程
0]')([ 22 ?????? uurr rr
0)1()''( 2 ??? RllRr
)1(/'/)''( 2 ????? llYYRRr
0)1(' ???? YllY
1???? ll DrCrR ???? ????????? /"s i n)1(/)''( s i ns i n 2ll
0" ???? ? 0]s in)1([)''( s ins in 2 ?????? ???? ll
0])1([]'')1[( 2212 ??????? ? xmllx
?? mBmA s inc o s ???
),()( ??YrRu ?
)()( ?? ???Y
?cos?x
球
坐
标
下
拉
普
拉
斯
方
程
0]')([ 22 ?????? uurr rr
0)1()''( 2 ??? RllRr
)1(/'/)''( 2 ????? llYYRRr
0)1(' ???? YllY
1???? ll DrCrR 0s in)1(/)''( s ins in 2 ????? ??? ll
0)1(]'')1[( 2 ?????? llx
)()( ?YrRu ?
)(???Y
?cos?x
极
坐
标
下
热
传
导
方
程
uaut 22??
0' 22 ?? TkaT
222 /)/(' kvvTaT ????
022 ??? vkv
)ex p ( 22 tkaAT ?? ???? ?????? /"/)''( 22 RkRR
0" ???? ? 0)()''( 221 ??? RkR ??? ?
0)1('" 221 ???? RRR xmx
?? mBmA s inc o s ???
),()( ??vtTu ?
)()( ?? ?? Rv
?kx?
常微分方程的级数解法
? 常微分方程中点的 分类
? 各点邻域级数 解的形式
? 勒让德方程 的级数解
? 贝塞尔方程 的级数解
常微分方程中点的分类
? 二阶变系数常微分方程的一般形式
– w”+p(z)w’+q(z)w=0
? 方程中点的分类
– 常点,z0 是 p(z) 和 q(z) 的解析点
– 正则奇点,z0 是 (z-z0) p 和 (z-z0)2 q 的解析点
– 非正则奇点：其它情况
各点邻域级数解的形式
? 非正则奇点 z0 邻
域
– 有一解为
? ? ? ?? 0 0 )(k kk zzaw
? ? ? ??? 0 0 )(k skk zzaw
? ? ??? ??? k skk zzaw )( 0
?常点 z0邻域
–两解均为
?正则奇点 z0 邻域
–有一解为
–其中 s 由判定方程确定
a0≠0
勒让德方程的级数解
0)1('2")1( 2 ????? yllxyyx勒让德方程为：
? ? ??? 00 0 k kk xayx 为常点，邻域解为：
??
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?????
?
0 20
2
0
1
)2)(1()1("
'
k
k
kk
k
k
k
k
k
xakkxakky
xkay级数解的导数为：
0])1(2)1()2)(1[(
0 2
?????????
?
? ?k
k
kkkk xallkaakkakk
代入方程得：
0)]1()1([)2)(1( 2 ??????? ? kk allkkakk即：
勒让德方程的级数解
kkk
lklk
kkk
llkk
k aaa )1)(2(
)1)((
)1)(2(
)1()1(
2 ??
???
??
???
? ??递推公式：
06
)5)(3)(1)()2)(4(
456
)5(4
6
04
)3)(1)()2(
234
)3(2
4
02
)1)((
012
)1(
2
aaa
aaa
aaa
llllllll
llllll
llll
！
（）（
！
（）（
！
具体递推：
??????
?
??
????
?
??
??
?
??
??
??
??
0)2(
)12()1)()22(
22)12()2(
)12(22
2 aaa k
kllllk
kkk
kllk
k ！
（）（ ??????
???
???? ?? ??
勒让德方程的级数解
kkk
lklk
kkk
llkk
k aaa )1)(2(
)1)((
)1)(2(
)1()1(
2 ??
???
??
???
? ??递推公式：
17
)6)(4)(2)(1)3)(5(
567
)6(5
7
15
)4)(2)(1)3(
345
)4(3
5
13
)2)(1(
123
)2)(1(
3
aaa
aaa
aaa
llllllll
llllll
llll
！
（）（
！
（）（
！
具体递推：
??????
?
??
????
?
??
??
?
??
??
??
??
1)12(
)2()2)(1)12(
12)2()12(
)2(12
12 aaa k
kllllk
kkk
kllk
k ！
（）（
?
?????
???
???
? ??
??
勒让德方程的级数解
)()( 1100121222 xyaxyaxaxay kkkk ???? ?? ??通解：
！
！
特解：
)12(
)2()2)(1()12(
12
12
1201
)2(
)12()1)(()22(
2
2
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,
,
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?????
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?
?
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k
kllllk
k
k
kk
k
kllllk
k
k
kk
bxby
bxby
??
??
性质：
奇偶性,y0为偶函数,y1为奇函数；
退化性,l 为非负整数时，级数解退化为多项式；
收敛性：特解的收敛半径为 1 ；
有界性：在 x = ± 1 时，非退化级数解发散。
贝塞尔方程的级数解
0)('" 222 ???? ymxxyyx贝塞尔方程为：
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
???
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0 22 20
22
0
0
k
ks
kk
ks
kk
ks
k
k
ks
k
xaxaxayx
xay：为正则奇点，邻域解为
?
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?
??
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?
??
????
??
0
2
0
1
)1)(("
)('
k
ks
k
k
ks
k
xaksksy
xaksy级数解的导数为：
0}]){ [ (0 222 ????? ? ? ??k kskk xaamsk
代入方程得：
0])[( 222 ???? ?kk aamsk即：
ak<0=0
贝塞尔方程的级数解
0))(( 2 ?????? ?kk aamksmks递推公式：
02)2)(1(!2
1
2)42(4
1
4
02)1(1
1
0)22(2
1
2
4
2
aaa
aaa
mmm
mm
????
?
???
?
???
???
！
具体递推：
02)()1( 122)22()2( 12 2)1( aaa kkmmkkkkmkk ????? ? ??? ?！
22
11
0
)2(
1
))((
1
2
00)1)(1(1
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????
?
???
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???????
kkk akmkamksmksak
aamsmsk
msamsmsk
贝塞尔方程的级数解
? ?
)1(2
1
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2
2)1(!
)1(,)(
??
?
?
?
???
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mk
kmx
kmkm m
k
axJy
特解：
mx
xJmxxJ
m
mmmm
mmN
xDNxCJxBJxAJy
s i n
)(c o s)(
)()()()(
??
?
?
????
通解：
性质：
奇偶性,m为奇偶整数时,Jm和 Nm为奇偶函数；
收敛性：特解的收敛半径为 ∞ ；
有界性：在 x → 0, m≥0 时,Jm有界,Nm发散。
斯图姆 — 刘维尔本征值问题
? 本征值问题
本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值
本征函数：相应的非零解
本征值问题：求本征值和本征函数的问题
? 斯特姆 — 刘维尔 本征值问题
– 斯特姆 — 刘维尔型方程
– 斯特姆 — 刘维尔型边界条件
? 斯特姆 — 刘维尔本征值问题的 性质
– 可数性：存在可数无限多个本征值；
– 非负性：所有本征值均为非负数；
– 正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交；
– 完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。
斯特姆 — 刘维尔本征值问题
? 斯特姆 — 刘维尔型方程
],[,0)()(]'')([ baxyxyxqyxk ???? ??
其中 k(x),q(x)和 ρ(x)都非负；
k(x),k’(x)和 q(x)连续或以端点为一阶极点。
? 斯特姆 —刘维尔型边界条件
? 三类齐次边界条件
? 周期性边界条件
? 有界性边界条件
斯特姆 — 刘维尔本征值问题
a b k q ρ 本征值问题
0 L 1 0 1
0 L 1 0 1
-1 1 1-x2 0 1
0 b x m2/x x
0)()0(,0" ???? Lyyyy ?
)()(,0" xyLxyyy ???? ?
?????? )1(,0]'')1[( 2 yyyx ?
0)(,)0(,0]''[ 2 ?????? byyxyyxy xm ?
本征函数集合的正交性和完备性
?正交性
? ?ba mmnnm Ndxxxyxy 2,)()()( ??
?完备性
?? )()( xyfxf nn
?? ba nNn dxxxyxff n )()()(21 ?
?展开系数
本征函数集合的正交性和完备性
?例题 1
? ?L Lmnnm dxxyxy0 2,)()( ?
?问题
?
?
?
?
L
nLn
nn
dxxyxff
xyfxf
0
2 )()(
)()(
0)()0(,0" ???? Lyyyy ?
xwyww nnLnnnn s i n,,2 ??? ??
?本征函数
?正交性
?完备性
本征函数集合的正交性和完备性
?例题 2
? ?? ??20,2)()( mnnm dxxyxy
?问题
?
?
?
?
?
?
2
02
1 )()(
)()(
dxxyxff
xyfxf
nn
nn
)()2(,0" xyxyyy ???? ??
)e x p (,2 im xym mm ???
?本征函数
?正交性
?完备性
本征函数集合的正交性和完备性
?例题 3
21
1,)()( nnlnl NdxxPxP?? ? ?
?问题
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
0
)()(
)()(
2 dxxPxff
xPfxf
lNl
l ll
l
?,2,1,0),(),1( ???? lxPyll lll?
?本征函数
?正交性
?完备性
?????? )1(,0]'')1[( 2 yyyx ?
本
章
小
结
齐次化特解
常微分方程
齐次化特解条件
非斯 — 刘问题 斯 — 刘问题
齐次定解问题的解
齐次半通解
本征变化
齐次定解问题
非齐次定解问题
第九章 二阶常微分方程
二阶常微分方程
? 常用齐次定解问题
? 数学物理中的对称性
? 特殊函数常微分方程
? 常微分方程的级数解法
? 斯图姆 — 刘维尔本征值问题
? 本章小结
常用齐次定解问题
? 常用齐次定解问题的要素
? 常用齐次定解问题的分类
? 拉普拉斯算符的形式
? 拉普拉斯算符形式的推导
常用齐次定解问题要素
??
???
??
??
0
2
u
uau nt
稳定方程：
演化方程：泛定方程 ）（
?
?
?
?
?
），用球坐标（球形：
），，用极（柱）坐标（圆形：
）用直角坐标（矩形：
边界形状
??
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,
,,
r
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?
?
?
?
?
?
?
）（初始速度：
）（初始状态：初始条件
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0
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|
|
常用齐次定解问题的分类
直角坐标 极坐标 球坐标
稳定方程
演化方程
√
√
√
！
！
×
拉普拉斯算符的形式
二维 三维
直角坐标
极柱坐标
球坐标
yyxx ????? 2 zz????? 2
?????
??????
??
?
??????
??????
?? 21
112
2
zz????? 2
?????? ? ?????? 2s i n1s i n1 s i n'
'2
'
21
121
22
??????
??????
?? rr
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rrr
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极坐标下拉普拉斯算符形式的推导
yyxx ????? 2
??
?
?
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1c o ss in
s inc o s
y
x
?极坐标下的形式
?直角坐标下的形式
?坐标变换关系
?微分变换关系
数学物理中的对称性
? 对称性的概念
– 定义：对称性就是在某种变换下的不变性
– 分类
? 对称性的 描述
? 对称性原理
– 当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性
时，它的解也具有同样的对称性。
? 对称性的 应用
对
称
性
的
分
类 ??
?
?
?
空间转动对称性
空间反演对称性
空间平移对称性
空间
??
?
时间反演对称性
时间平移对称性时间
?
动力学对称性
时空对称性
?
对称性的描述
对称性名称 对称条件 对称函数
沿 z轴反演对称
沿 z轴平移对称
绕 z轴转动对称
绕原点转动对称
),,(),,( zyxfzyxf ??
),,(),,( zyxfazyxf ??
),,(),,( zfzf ????? ??
|)|,,( zyxff ?
),( yxff ?
),,(),,( ?????? rfrf ???
),( zff ??
)(rff
),,(),,( ????? rfrf ?? ),( ?rff ?
),,(),,( zfazf ???? ?? ),( ??ff ?
对称性的应用 — 柱坐标输运方程
对称性 未知函数 泛定方程
无任何对称性
沿 z轴平移对称
绕 z轴转动对称
双重对称
),,( tzuu ??
),( tuu ??
),,( tuu ???
),,,( tzuu ??? )( 22 uuau zzt ????
uaut 22??
)( 12 uuuau zzt ?????? ????
)( 12 uuau t ???? ????
特殊函数常微分方程
? 球坐标下拉普拉斯方程的分离变量
– 一般情况
? 欧拉方程，球函数方程，连带勒让德方程
– 轴对称情况
? 勒让德方程
? 极坐标下热传导方程的分离变量
– 一般情况
? 亥姆霍兹方程，贝塞尔方程
– 轴对称情况
球
坐
标
下
拉
普
拉
斯
方
程
0]')([ 22 ?????? uurr rr
0)1()''( 2 ??? RllRr
)1(/'/)''( 2 ????? llYYRRr
0)1(' ???? YllY
1???? ll DrCrR ???? ????????? /"s i n)1(/)''( s i ns i n 2ll
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0])1([]'')1[( 2212 ??????? ? xmllx
?? mBmA s inc o s ???
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?cos?x
球
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普
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斯
方
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0]')([ 22 ?????? uurr rr
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)1(/'/)''( 2 ????? llYYRRr
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1???? ll DrCrR 0s in)1(/)''( s ins in 2 ????? ??? ll
0)1(]'')1[( 2 ?????? llx
)()( ?YrRu ?
)(???Y
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极
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下
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导
方
程
uaut 22??
0' 22 ?? TkaT
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022 ??? vkv
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0" ???? ? 0)()''( 221 ??? RkR ??? ?
0)1('" 221 ???? RRR xmx
?? mBmA s inc o s ???
),()( ??vtTu ?
)()( ?? ?? Rv
?kx?
常微分方程的级数解法
? 常微分方程中点的 分类
? 各点邻域级数 解的形式
? 勒让德方程 的级数解
? 贝塞尔方程 的级数解
常微分方程中点的分类
? 二阶变系数常微分方程的一般形式
– w”+p(z)w’+q(z)w=0
? 方程中点的分类
– 常点,z0 是 p(z) 和 q(z) 的解析点
– 正则奇点,z0 是 (z-z0) p 和 (z-z0)2 q 的解析点
– 非正则奇点：其它情况
各点邻域级数解的形式
? 非正则奇点 z0 邻
域
– 有一解为
? ? ? ?? 0 0 )(k kk zzaw
? ? ? ??? 0 0 )(k skk zzaw
? ? ??? ??? k skk zzaw )( 0
?常点 z0邻域
–两解均为
?正则奇点 z0 邻域
–有一解为
–其中 s 由判定方程确定
a0≠0
勒让德方程的级数解
0)1('2")1( 2 ????? yllxyyx勒让德方程为：
? ? ??? 00 0 k kk xayx 为常点，邻域解为：
??
?
?
? ?
?
?
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?
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0 20
2
0
1
)2)(1()1("
'
k
k
kk
k
k
k
k
k
xakkxakky
xkay级数解的导数为：
0])1(2)1()2)(1[(
0 2
?????????
?
? ?k
k
kkkk xallkaakkakk
代入方程得：
0)]1()1([)2)(1( 2 ??????? ? kk allkkakk即：
勒让德方程的级数解
kkk
lklk
kkk
llkk
k aaa )1)(2(
)1)((
)1)(2(
)1()1(
2 ??
???
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???
? ??递推公式：
06
)5)(3)(1)()2)(4(
456
)5(4
6
04
)3)(1)()2(
234
)3(2
4
02
)1)((
012
)1(
2
aaa
aaa
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llllllll
llllll
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（）（
！
（）（
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具体递推：
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22)12()2(
)12(22
2 aaa k
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kkk
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（）（ ??????
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勒让德方程的级数解
kkk
lklk
kkk
llkk
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)1)((
)1)(2(
)1()1(
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???
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???
? ??递推公式：
17
)6)(4)(2)(1)3)(5(
567
)6(5
7
15
)4)(2)(1)3(
345
)4(3
5
13
)2)(1(
123
)2)(1(
3
aaa
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llllllll
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具体递推：
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1)12(
)2()2)(1)12(
12)2()12(
)2(12
12 aaa k
kllllk
kkk
kllk
k ！
（）（
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?????
???
???
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勒让德方程的级数解
)()( 1100121222 xyaxyaxaxay kkkk ???? ?? ??通解：
！
！
特解：
)12(
)2()2)(1()12(
12
12
1201
)2(
)12()1)(()22(
2
2
200
,
,
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?????
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?
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k
kllllk
k
k
kk
k
kllllk
k
k
kk
bxby
bxby
??
??
性质：
奇偶性,y0为偶函数,y1为奇函数；
退化性,l 为非负整数时，级数解退化为多项式；
收敛性：特解的收敛半径为 1 ；
有界性：在 x = ± 1 时，非退化级数解发散。
贝塞尔方程的级数解
0)('" 222 ???? ymxxyyx贝塞尔方程为：
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
???
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0 22 20
22
0
0
k
ks
kk
ks
kk
ks
k
k
ks
k
xaxaxayx
xay：为正则奇点，邻域解为
?
?
?
?
??
?
?
??
????
??
0
2
0
1
)1)(("
)('
k
ks
k
k
ks
k
xaksksy
xaksy级数解的导数为：
0}]){ [ (0 222 ????? ? ? ??k kskk xaamsk
代入方程得：
0])[( 222 ???? ?kk aamsk即：
ak<0=0
贝塞尔方程的级数解
0))(( 2 ?????? ?kk aamksmks递推公式：
02)2)(1(!2
1
2)42(4
1
4
02)1(1
1
0)22(2
1
2
4
2
aaa
aaa
mmm
mm
????
?
???
?
???
???
！
具体递推：
02)()1( 122)22()2( 12 2)1( aaa kkmmkkkkmkk ????? ? ??? ?！
22
11
0
)2(
1
))((
1
2
00)1)(1(1
0))((0
?? ?
?
?
????
?
???
?????????
???????
kkk akmkamksmksak
aamsmsk
msamsmsk
贝塞尔方程的级数解
? ?
)1(2
1
00
2
2)1(!
)1(,)(
??
?
?
?
???
? ??? ?
mk
kmx
kmkm m
k
axJy
特解：
mx
xJmxxJ
m
mmmm
mmN
xDNxCJxBJxAJy
s i n
)(c o s)(
)()()()(
??
?
?
????
通解：
性质：
奇偶性,m为奇偶整数时,Jm和 Nm为奇偶函数；
收敛性：特解的收敛半径为 ∞ ；
有界性：在 x → 0, m≥0 时,Jm有界,Nm发散。
斯图姆 — 刘维尔本征值问题
? 本征值问题
本征值：使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值
本征函数：相应的非零解
本征值问题：求本征值和本征函数的问题
? 斯特姆 — 刘维尔 本征值问题
– 斯特姆 — 刘维尔型方程
– 斯特姆 — 刘维尔型边界条件
? 斯特姆 — 刘维尔本征值问题的 性质
– 可数性：存在可数无限多个本征值；
– 非负性：所有本征值均为非负数；
– 正交性：对应不同本征值的本征函数带权正交；
– 完备性：满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。
斯特姆 — 刘维尔本征值问题
? 斯特姆 — 刘维尔型方程
],[,0)()(]'')([ baxyxyxqyxk ???? ??
其中 k(x),q(x)和 ρ(x)都非负；
k(x),k’(x)和 q(x)连续或以端点为一阶极点。
? 斯特姆 —刘维尔型边界条件
? 三类齐次边界条件
? 周期性边界条件
? 有界性边界条件
斯特姆 — 刘维尔本征值问题
a b k q ρ 本征值问题
0 L 1 0 1
0 L 1 0 1
-1 1 1-x2 0 1
0 b x m2/x x
0)()0(,0" ???? Lyyyy ?
)()(,0" xyLxyyy ???? ?
?????? )1(,0]'')1[( 2 yyyx ?
0)(,)0(,0]''[ 2 ?????? byyxyyxy xm ?
本征函数集合的正交性和完备性
?正交性
? ?ba mmnnm Ndxxxyxy 2,)()()( ??
?完备性
?? )()( xyfxf nn
?? ba nNn dxxxyxff n )()()(21 ?
?展开系数
本征函数集合的正交性和完备性
?例题 1
? ?L Lmnnm dxxyxy0 2,)()( ?
?问题
?
?
?
?
L
nLn
nn
dxxyxff
xyfxf
0
2 )()(
)()(
0)()0(,0" ???? Lyyyy ?
xwyww nnLnnnn s i n,,2 ??? ??
?本征函数
?正交性
?完备性
本征函数集合的正交性和完备性
?例题 2
? ?? ??20,2)()( mnnm dxxyxy
?问题
?
?
?
?
?
?
2
02
1 )()(
)()(
dxxyxff
xyfxf
nn
nn
)()2(,0" xyxyyy ???? ??
)e x p (,2 im xym mm ???
?本征函数
?正交性
?完备性
本征函数集合的正交性和完备性
?例题 3
21
1,)()( nnlnl NdxxPxP?? ? ?
?问题
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
0
)()(
)()(
2 dxxPxff
xPfxf
lNl
l ll
l
?,2,1,0),(),1( ???? lxPyll lll?
?本征函数
?正交性
?完备性
?????? )1(,0]'')1[( 2 yyyx ?
本
章
小
结
齐次化特解
常微分方程
齐次化特解条件
非斯 — 刘问题 斯 — 刘问题
齐次定解问题的解
齐次半通解
本征变化
齐次定解问题
非齐次定解问题
