数学物理方法
留数定理
留数定理
? 留数定理
? 留数定理的应用
? 本章小结
留数定理
? 留数
? 引入
? 问题：如何高效地计算解析函数的围道积分？
? 方法：由复连通域柯西定理，解析函数的围道积分等于沿围道内奇
点邻域积分之和。
? 定性定义
? 复函数 f(z)在 z=z0的邻域围道积分的结果；
当 z0为 f(z)的解析点时，结果为零，什么都没留下；
当 z0为 f(z)的孤立奇点时，结果通常为一个非零值；
? 定量定义
dzzfizf zz? ??? ?? ||0
0
)(2 1)( sRe
留数定理
? 留数的计算
? 一般情况
? 孤立奇点的留数等于在该点邻域罗朗展开的负一次项的系数；
? Res f(b) = a-1
? 证明
nnn bzazf )()( ?? ? ? ???
dzzfibf bz? ??? ?? || )(2 1)( sRe
dzbza nbznn )(i2 1 || ?? ?? ??? ??? ??
11 i2i2
1
?? ?? aa ??
留数定理
? 极点情况
? m阶极点的留数由下面的公式确定
?? ??????????? ?????? 110111m )()()()()(b)-(z mmmmm bzabzabzabzaazf
? 证明
)]()[()1( 1lim)( sRe 11 zfbzdzdmbf mmmbz ??? ??? ！
?????????? ? 2101m1-m 1-m )(!2 )!1()(!1 !)!1(0)](b)-[ ( zdz d bzambzamamzf
?? ??????????? ???????? )()()()()( 101111 bzaabzabzabzazf mmmm
留数定理
? 单极点情况
? 单极点的留数由下面的公式确定
)]()[(lim)( sRe zfbzbf bz ?? ?
? 如果 f(z)为分式，即 f(z)=P(z)/Q(z),P(b)≠0，则有
)(
)()(lim)( sRe
zQ
zPbzbf
bz
??
?
)('
)(
)('
)()'(lim
bQ
bP
zQ
zPbz
bz ?
??
?
留数定理
? 例 1
? 问题：计算函数 f(z) = z2 exp(1/z) 的留数。
? 解,f(z)有一个孤立奇点 z=0,是本性奇点，在该点罗朗展开
k
k
k
k zkzkzzf
??
?
??
? ?? ??
2
10
2 !1!1)(
!311)0( sRe ?? ?af
? 例 2
? 问题：计算函数 f(z) = sin(z)/(z-1)2 的留数。
? 解,f(z)有一个孤立奇点 z=1,是 2阶极点，应用公式
)]()1[(!11lim)1( sRe 21 zfzdzdf z ?? ?
1c o ss i n!11lim 1 ?? ? zdzdz
留数定理
? 例 3
? 问题：计算函数 f(z) = exp(z)/[z(z-1)] 的留数。
? 解,f(z)有两个孤立奇点 z=0,1,都是 1阶极点，应用公式
)()1(lim)1( sRe 1 zfzf z ?? ?
ezzz ?? ? /)e x p (lim 1
)(lim)0( sRe 0 zfzf z ??
1)1/()e x p (lim 0 ???? ? zzz
? 又解：也可以用单极点的简化公式
12
)e x p (
)('
)()( sRe
??? b
b
zQ
zPbf
留数定理
? 留数定理
? 定理
? 设函数 f(z)在回路 L所围区域 B内除有限个孤立奇点 b1,b2,?,bn外
解析，在对应的闭区域上除 b1,b2,?,bn外连续，则
?? ?? nj jL bfidzzf 1 )( sRe2)( ?
? 应用步骤
? 确定回路 L内的孤立奇点；
? 判断留数定理的条件是否满足；
? 计算各孤立奇点的留数；
? 代入定理。
留数定理的应用
? 基本应用
? 例题 1：计算下列回路积分
1||,221|| ???? ? ? ??? izz dzI z
解：奇点为
?
?
2
442 2?????? iz
?
? 211 ??? ?zi
1||,1|| ?? ?? zz
)1(2)1(222
1)(sRe
2??? ??????? ???
i
zi
i
izzf
22 1122)(sRe2 ?
?
??? ?????? ?
iizfiI
21 ??
?
留数定理的应用
? 实变函数的定积分
? 基本思想
? 变形法：变线段为封闭曲线；
? 辅助线法：加辅助线使线段封闭。
? 类型一
? 被积函数是三角函数的有理式
dxxxRI )s i n,( co s20?? ?
)(s i n),(co s 121121 ?? ?????? zzxzzxez iix
)/(ln izdzdxzxi ???
iz
dz
i
zzzzRI
z )2,2(
11
1||
??
?
??? ?
留数定理的应用
iz
dz
izzI z 2/1
1
11|| ）（ ?? ??? ? ?
解：作变量变换
21
2
?
?
?
?
? 例题 2：计算下列定积分
1||,s i n1 1 ??? ?? ???? dxxI
?? ixez
）（ 12
2
21|| ??? ? ? ziz
dz
z ?
留数定理的应用
? 类型二
? 被积函数是有理分式的广义积分
dxxfI )(?????
? 其中：
分母在实轴上没有零点；
分母比分子高两次或以上。
? 则：
)(sRe2 0Im jz zfiI j? ?? ?
证明：
留数定理的应用
iz
zif
iz 6
1
2
)4/(1)(sRe 2 ???
?
解：被积函数是有理式，分母比分子高 4次，在实轴无零点，
满足定理的条件。
上半平面内有单极点 z=i和 z=2i，对应的留数分别为：
6)12
1
6
1(2 ?? ???
iiiI
? 例题 3：计算下列定积分
dxxxI )4)(1( 1 22 ??? ? ???
iz
zif
iz 12
1
2
)1/(1)2(sRe
2
2 ?
???
?
留数定理的应用
? 类型二的推广 I
? 被积函数是有理分式的广义积分
dxxfI )(?????
? 其中：
分母在实轴上有一阶零点；
分母比分子高两次或以上。
? 则：
])(sRe)(sRe[2 0Im210Im ?? ?? ?? zz zfzfiI ?
留数定理的应用
i
i
iiz
zif
iz 20
)12(
)12(4
1
2
)1/(1)2(sRe
2
???
??
??
?
解：被积函数是有理式，分母比分子高 3次，在实轴有一阶零点，
满足定理的推广条件。
上半平面有单极点 z=2i，实轴有单极点 z=1，对应留数：
10)5
1
2
1
20
12(2 ?? ???????
i
iiI
? 例题 4：计算下列定积分
5
1
1
)4/(1)1(sRe
1
2
???
?z
zf
dxxxI )1)(4( 12 ??? ? ???
留数定理的应用
? 类型二的推广 II
? 被积函数是广义积分 0,)( ?? ? ?
?? mdxexfI
im x
? 其中,f(x)为有理式
分母在实轴上没有零点；
分母比分子高一次或以上。
? 则：
])([sRe2 0Im j
j
i m z
jz ezfiI ? ?? ?
证明：
留数定理的应用
解：上面的积分可以化为标准形式
mm ee
iiI
55
10)10
1(2R e {
2
1 ?? ?? ??
? 例题 5：计算下列定积分
dxx mxI 25c o s20 ?? ??
m
iz
im z
eizeif 5
5 10
1
2)5(sRe
?
?
??
被积函数满足定理的条件，上半平面内有单极点 z=5i，对
应的留数为：
dxx edxx mxI i m x 222 5Re2125c o s21 ???? ?? ??????
留数定理的应用
? 类型二的推广 III
? 被积函数是广义积分 0,)( ?? ? ?
?? mdxexfI
im x
? 其中,f(x)为有理式
分母在实轴上有一阶零点；
分母比分子高一次或以上。
? 则：
? ?iI ?2?
?例题 6：计算下列定积分
dxx mxI 2s i n?? ????
本章小结
? 概念
? 留数：回路积分留下的数；
? 计算
? 单极点：
? 一般极点：
? 一般孤立奇点：
? 应用
? 直接应用
? 计算回路积分；
? 间接应用
? 计算三角有理式的积分；
? 计算有理式的广义积分及其推广。
留数定理
留数定理
? 留数定理
? 留数定理的应用
? 本章小结
留数定理
? 留数
? 引入
? 问题：如何高效地计算解析函数的围道积分？
? 方法：由复连通域柯西定理，解析函数的围道积分等于沿围道内奇
点邻域积分之和。
? 定性定义
? 复函数 f(z)在 z=z0的邻域围道积分的结果；
当 z0为 f(z)的解析点时，结果为零，什么都没留下；
当 z0为 f(z)的孤立奇点时，结果通常为一个非零值；
? 定量定义
dzzfizf zz? ??? ?? ||0
0
)(2 1)( sRe
留数定理
? 留数的计算
? 一般情况
? 孤立奇点的留数等于在该点邻域罗朗展开的负一次项的系数；
? Res f(b) = a-1
? 证明
nnn bzazf )()( ?? ? ? ???
dzzfibf bz? ??? ?? || )(2 1)( sRe
dzbza nbznn )(i2 1 || ?? ?? ??? ??? ??
11 i2i2
1
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留数定理
? 极点情况
? m阶极点的留数由下面的公式确定
?? ??????????? ?????? 110111m )()()()()(b)-(z mmmmm bzabzabzabzaazf
? 证明
)]()[()1( 1lim)( sRe 11 zfbzdzdmbf mmmbz ??? ??? ！
?????????? ? 2101m1-m 1-m )(!2 )!1()(!1 !)!1(0)](b)-[ ( zdz d bzambzamamzf
?? ??????????? ???????? )()()()()( 101111 bzaabzabzabzazf mmmm
留数定理
? 单极点情况
? 单极点的留数由下面的公式确定
)]()[(lim)( sRe zfbzbf bz ?? ?
? 如果 f(z)为分式，即 f(z)=P(z)/Q(z),P(b)≠0，则有
)(
)()(lim)( sRe
zQ
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)('
)(
)('
)()'(lim
bQ
bP
zQ
zPbz
bz ?
??
?
留数定理
? 例 1
? 问题：计算函数 f(z) = z2 exp(1/z) 的留数。
? 解,f(z)有一个孤立奇点 z=0,是本性奇点，在该点罗朗展开
k
k
k
k zkzkzzf
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?
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2
10
2 !1!1)(
!311)0( sRe ?? ?af
? 例 2
? 问题：计算函数 f(z) = sin(z)/(z-1)2 的留数。
? 解,f(z)有一个孤立奇点 z=1,是 2阶极点，应用公式
)]()1[(!11lim)1( sRe 21 zfzdzdf z ?? ?
1c o ss i n!11lim 1 ?? ? zdzdz
留数定理
? 例 3
? 问题：计算函数 f(z) = exp(z)/[z(z-1)] 的留数。
? 解,f(z)有两个孤立奇点 z=0,1,都是 1阶极点，应用公式
)()1(lim)1( sRe 1 zfzf z ?? ?
ezzz ?? ? /)e x p (lim 1
)(lim)0( sRe 0 zfzf z ??
1)1/()e x p (lim 0 ???? ? zzz
? 又解：也可以用单极点的简化公式
12
)e x p (
)('
)()( sRe
??? b
b
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zPbf
留数定理
? 留数定理
? 定理
? 设函数 f(z)在回路 L所围区域 B内除有限个孤立奇点 b1,b2,?,bn外
解析，在对应的闭区域上除 b1,b2,?,bn外连续，则
?? ?? nj jL bfidzzf 1 )( sRe2)( ?
? 应用步骤
? 确定回路 L内的孤立奇点；
? 判断留数定理的条件是否满足；
? 计算各孤立奇点的留数；
? 代入定理。
留数定理的应用
? 基本应用
? 例题 1：计算下列回路积分
1||,221|| ???? ? ? ??? izz dzI z
解：奇点为
?
?
2
442 2?????? iz
?
? 211 ??? ?zi
1||,1|| ?? ?? zz
)1(2)1(222
1)(sRe
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i
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22 1122)(sRe2 ?
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留数定理的应用
? 实变函数的定积分
? 基本思想
? 变形法：变线段为封闭曲线；
? 辅助线法：加辅助线使线段封闭。
? 类型一
? 被积函数是三角函数的有理式
dxxxRI )s i n,( co s20?? ?
)(s i n),(co s 121121 ?? ?????? zzxzzxez iix
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留数定理的应用
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解：作变量变换
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? 例题 2：计算下列定积分
1||,s i n1 1 ??? ?? ???? dxxI
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）（ 12
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21|| ??? ? ? ziz
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留数定理的应用
? 类型二
? 被积函数是有理分式的广义积分
dxxfI )(?????
? 其中：
分母在实轴上没有零点；
分母比分子高两次或以上。
? 则：
)(sRe2 0Im jz zfiI j? ?? ?
证明：
留数定理的应用
iz
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1
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解：被积函数是有理式，分母比分子高 4次，在实轴无零点，
满足定理的条件。
上半平面内有单极点 z=i和 z=2i，对应的留数分别为：
6)12
1
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? 例题 3：计算下列定积分
dxxxI )4)(1( 1 22 ??? ? ???
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1
2
)1/(1)2(sRe
2
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留数定理的应用
? 类型二的推广 I
? 被积函数是有理分式的广义积分
dxxfI )(?????
? 其中：
分母在实轴上有一阶零点；
分母比分子高两次或以上。
? 则：
])(sRe)(sRe[2 0Im210Im ?? ?? ?? zz zfzfiI ?
留数定理的应用
i
i
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iz 20
)12(
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1
2
)1/(1)2(sRe
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解：被积函数是有理式，分母比分子高 3次，在实轴有一阶零点，
满足定理的推广条件。
上半平面有单极点 z=2i，实轴有单极点 z=1，对应留数：
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? 例题 4：计算下列定积分
5
1
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)4/(1)1(sRe
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留数定理的应用
? 类型二的推广 II
? 被积函数是广义积分 0,)( ?? ? ?
?? mdxexfI
im x
? 其中,f(x)为有理式
分母在实轴上没有零点；
分母比分子高一次或以上。
? 则：
])([sRe2 0Im j
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证明：
留数定理的应用
解：上面的积分可以化为标准形式
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? 例题 5：计算下列定积分
dxx mxI 25c o s20 ?? ??
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2)5(sRe
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被积函数满足定理的条件，上半平面内有单极点 z=5i，对
应的留数为：
dxx edxx mxI i m x 222 5Re2125c o s21 ???? ?? ??????
留数定理的应用
? 类型二的推广 III
? 被积函数是广义积分 0,)( ?? ? ?
?? mdxexfI
im x
? 其中,f(x)为有理式
分母在实轴上有一阶零点；
分母比分子高一次或以上。
? 则：
? ?iI ?2?
?例题 6：计算下列定积分
dxx mxI 2s i n?? ????
本章小结
? 概念
? 留数：回路积分留下的数；
? 计算
? 单极点：
? 一般极点：
? 一般孤立奇点：
? 应用
? 直接应用
? 计算回路积分；
? 间接应用
? 计算三角有理式的积分；
? 计算有理式的广义积分及其推广。
