数学物理方法
傅立叶变换
傅立叶变换
? 傅立叶级数
? 傅立叶变换
? 狄拉克函数
? 本章小结
傅立叶级数
? 三角级数
? 定义
? 由周期为 2π的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数
? ? ? ?? 1021 )s i nc os(n nn nxbnxaa
? 基本函数族
? 组成,1,cos(nx),sin(nx)
? 性质：任意两个在一个周期上的积分等于 0，称为正交性；
mnm xd xnxm xd xnx ??? ?? ??,,0s i ns i n0co sco s ????
0s i nco s ??? m xd xnx??
傅立叶级数
? 傅立叶展开
? 傅立叶展开定理：
? 周期为 2π的函数 f(x)可以展开为三角级数，
? 展开式系数为
?? ?? ?? ???? ?? n x d xxfbn x d xxfa nn s i n)(1,c o s)(1
? 狄利克雷收敛定理
? 收敛条件
? 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
? 在一个周期内至多只有有限个极值点。
? 收敛结果
? 当 x是连续点时，级数收敛于该点的函数值；
? 当 x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。
傅立叶级数
? 展开举例
? 对称函数
? 对奇函数：
? 对偶函数,
??? ?? 0 s i n)(2,0 n x d xxfba nn
0,c o s)(2 0 ?? ? nn bn x d xxfa ??
函数 展开式
sgn(x) (4/π) (sin x + sin3x/3 + sin5x/5 +? )
x 2 (sin x ? sin2x/2 + sin3x/3 ? sin4x/4 + sin5x/5 +? )
|x| π/2 ? (4/π)(cos x + cos3x/32 + cos5x/52 + ? )
? 典型周期函数 (周期为 2π)
傅立叶级数
? 傅立叶展开的意义：
? 理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；
? 应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。
? 例如：对称方波的傅立叶展开
??
?
????
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0,4/
0,4/)(
x
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1 12
)12s i n ()(
)()(lim xfxS mm ???
-3 -2 -1 1 2 3
-1
-0.5
0.5
1
S1
-3 -2 -1 1 2 3
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
S2
-3 -2 -1 1 2 3
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
S3
-3 -2 -1 1 2 3
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
f
-3 -2 -1 1 2 3
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
S6
-3 -2 -1 1 2 3
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
S12
-3 -2 -1 1 2 3
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
S24
-3 -2 -1 1 2 3
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
f
傅立叶级数
? 重要推广
? 推广 1：
? 问题：把周期为 T=2L的函数 f(t)的展开：
? 方法：对基本公式作变换 x→ πt/L，
? ? ? ??? 1021 )s i nc o s()( n L tnnL tnn baatf ??
,c o s)(1 ??? L L L tnn dttfLa ?
??? L L L tnn dttfLb ?s i n)(1
傅立叶级数
?推广 2
? 问题：把定义在 [-L,L] 上的函数 f(t)展开；
? 方法,先把它延拓为周期函数 (即把它当成是一个周期
为 2L的函数的一部分 )，
再按推广 1展开；
? 注意：所得到的级数仅在原定义范围中与 f(t)一致。
? 延拓前
?
? 延拓后
傅立叶级数
?推广 3
? 问题：把定义在 [0,L] 上的函数 f(x)展开；
? 方法,先把它延拓为 [-L,L]上的奇函数或偶函数，
再按推广 2把它延拓为周期函数，
最后按推广 1展开；
? 注意：所得到的级数仅在原定义范围中与 f(x)一致。
? 公式：
?
?
?
??
??
??
?
?
0,1
0,1
||
)s g n (
|)(|)s g n ()(
|)(|)(
x
x
x
x
x
xfxxf
xfxf
o
e
傅立叶级数
? 展开的复数形式
?展开公式：
基本函数族：
正交性：
展开系数：
? ? ???? n L xnn icxf )e x p ()( ?
Zni L xn ?，)ex p ( ?
mnL
xm
L
xnL
L Ldxii,2)ex p ()ex p ( ?
?? ??
?
dxxfiLc L xnL Ln )()ex p (2 1 ????
傅里叶生平
? 1768年生于法国
? 1807年提出“任何
周期信号都可用正弦
函数的级数表示”
? 1822年发表“热的
分析理论”，首次提
出“任何非周期信号
都可用正弦函数的积
分表示”
傅立叶变换
? 非周期函数的傅立叶展开
? 问题：
? 把定义在（－ ∞, ∞ ）中的非周期函数 f (x)展开；
? 思路：
? 把该函数定义在（－ L,L）中的部分展开，再令 L→ ∞ ；
? 实施：
? 展开公式 ? ?
???? n L
xnn icxf )e x p ()( ?
展开系数：
dxxfiLc L xnL Ln )(ex p (2 1 ）??? ??
? 困难
? 展开系数 cn 为无穷小；
? 幂指数 n?x/L 不确定。
傅立叶变换
? 解决方法：
? 把 nπ/L 作为新变量，即定义 ωn = nπ/L ；
? 把 cnL/π作为新的展开系数，即定义 F(ωn)=cnL/π.
? 公式的新形式：
? 展开公式：
nn nn xiFxf ??? ?? ?
?
??? )e x p ()()(
展开系数：
dxxfxiF nL Ln )()e x p (2 1)( ??? ?? ??
? 取极限：
? 傅立叶变换：
dxxfxiF )()e x p (2 1)( ??? ?? ? ???
傅立叶积分：
??? dxiFxf )ex p ()()( ? ?
??
?
傅立叶变换
? 例题 1
? 矩形函数的定义为
? 求矩形脉冲 x (t) = rect(t/2T1)的傅立叶变换。
? 解：
?
?
?
?
??
21
21
||,0
||,1)(r e ct
t
tt
dttxtiX )()e x p (2 1)( ??? ?? ? ???
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?
1s i n)e x p (
2
1 1
1
TdttiT
T
??? ?
?
傅立叶变换
? 例题 2
? 将矩形脉冲 f (t) = h rect(t/2T)展开为傅立叶积分。
? 解：
? 先求出 f (t) 的傅立叶变换
dttftiF )()e x p (2 1)( ??? ?? ? ???
??
??
?
Thh d ttiT
T
s i n)e x p (
2
1 ??? ?
?
代入傅立叶积分公式，得
???? ? dtiThtf )e x p (s i n)( ? ?
??
?
tetf ???)( 221)( ?? ??? ??F
? 例题 3
? 求对称指数函数 f(t)的傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换
? 傅立叶变换的意义
? 数学意义
? 从一个函数空间 (集合 )到另一个函数空间 (集合 )的映射；
? f(x)称为变换的原函数 (相当于自变量 ),F(ω)称为象函数。
? 应用意义
? 把任意函数分解为简单周期函数之和,F(ω)的自变量为频
率，函数值为对应的振幅。
? 物理意义
? 把一般运动分解为简谐运动的叠加；
? 把一般电磁波 (光 )分解为单色电磁波 (光 )的叠加。
? 物理实现
? 分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪；
? 记录方式,(用照相底版 )摄谱仪,(用光电探测器 )光度计。
傅立叶变换
? 傅立叶变换的性质
? 一般假定
? f(x) → F(ω),g(x) → G(ω)
? 奇偶虚实性
? f(x)为偶函数,F(ω)=∫f(x)cos(ωx)dx/(2π)为实函数；
? f(x)为奇函数,F(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)为虚函数
? 线性性质
? k f(x) → k F(ω)；
? f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω)
? 分析性质
? f ’(x) → iωF(ω)；
)()( 1 ?? Fdxxf ix? ?? ?
傅立叶变换
? 位移性质
? f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ；
?exp(iφx)f(x) → F(ω-φ)
? 相似性质
? f(ax) → F(ω/a)/a；
? f(x/b)/b → F(bω) 。
? 卷积性质
? f(x)*g(x)≡ ∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω)；
? f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡ ∫ F(φ)G(ω-φ)dφ
? 对称性质
? 正变换与逆变换具有某种对称性；
? 适当调整定义中的系数后，可以使对称性更加明显。
傅立叶变换
? 应用举例
)/(s i n)(r e c t 21 ????x
)/(s i n)(r e c t 21 ???hxh ?
?? /s i n)('r e c t 21ix ?
)/(s i n)(r e c t 21 ????iaeax ???
??? dxxx ? ??? )(r e c t)(r e c t)(r e c t)(r e c t
)/(s i n2)2/(r e c t|)|1( 2212 ?????? xx
傅立叶变换
? 验证
)2/(r e c t|)|1()(r e c t)(r e c t)(r e c t)(r e c t xxdxxx ????? ? ???
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01},{
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x
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dxxxe xi )2/(r e c t|)|1(2 1 ?? ????? ??
dxxxdxxe xi )1(c os1|)|1(2 1 101 1 ???? ?? ?? ??? ?
)/(s i n2 2212 ????
傅立叶变换
? 推广
? 推广 1
? 问题：把定义在 [0,∞) 上的函数 f(t)展开；
? 方法,先把它延拓为 (-∞,∞) 上的奇函数或偶函数，
再按公式进行傅立叶变换；
? 注意：
? 偶函数满足条件 f’(0)=0，形式为 f(|t|)；
? 奇函数满足条件 f(0)=0，形式为 sgn(t)f(|t|).
? 结果：所得到的傅立叶积分仅在原定义范围中与 f(t)一致。
dxtftiF )()e x p (2 1)( ??? ?? ? ???
??? dtiFtf )e x p ()()( ? ?
??
?
傅立叶变换
? 推广 2
? 问题：多元函数的傅立叶变换
? 公式：
d x d yyxfekkF ykxkiyx yx ),()2( 1),( )(2 ?????? ?? ?
yx
ykxki
yx dkdkekkFyxf yx
)(),(),( ??
??? ??
jkikkjyixr yx ?????? ????,令
kdekFrf rki ??? ?? ???? )()(
rdrfekF rki ??? ?? )()2( 1)( 2 ????? ?
傅立叶变换
? 推广 3
? 傅立叶变换的收敛条件,|F(ω)|≤∫|f(x)|dx<∞
? 问题：最简单的函数如多项式不满足傅立叶变换的条件 ；
? 方法：对 傅立叶变换中的参数 ω进行 延拓，
定义 p =σ +iω，其实部为正数；
同时把变换的区域改成右半轴。
dxxfxppF )()e x p ()( 0 ?? ? ?
dpxppFixf i
i
)ex p ()(2 1)( ? ??
??
? ?
??
狄拉克函数
? 概念
? 问题
? 质点的密度函数如何表示？
? 思路
? 质点是物体在尺度趋于零时的理想模型；
? 一个位于原点的单位质点，可以看成一个线密度为 h
rect(hx)的物体在宽度 d=1/h趋向零时的极限；
? 极限密度为 δ(x)=lim h→ ∞ h rect(hx)
? 一般定义
??
?
?
???
0,0
0,)(
x
xx? 1)( ???
?? dxx?
狄
拉
克
函
数
狄拉克函数
? 性质
? 奇偶性质
?δ(-x)=δ(x),δ’(-x)=δ’(x)
? 分析性质
? 选择性质
?∫f(x)δ(x-a)dx=f(a),∫f ’(x)δ(x-a)dx=-f’(a)
? 变换性质
)()('0,0 0,1)()( xxHxxxHdxxx ?? ?
??
?
?
????
??
??????? ?? dexdxexx xixi 2 1)(2 1)(2 1)( ?? ??? ?,
狄拉克函数
? 狄拉克函数的应用
? 描述功能
? 位于 x=a处质量为 m的质点，质量线密度为 mδ(x-a)；
? 位于 x=a处电量为 q的点电荷，电荷线密度为 qδ(x-a)；
? 位于 t=a时刻强度为 I的脉冲信号，信号函数为 Iδ(t-a)；
? 分解功能
? 质量密度为 ρ(x)的物体，可分解为质点的空间叠加
ρ(x) = ∫ρ(a)δ(a-x)da
? 电荷密度为 ρ(x)的带电体，可分解为点电荷的空间叠加
ρ(x) = ∫ρ(a)δ(a-x)da
? 信号函数为 ρ(t)的信号，可分解为脉冲信号的时间叠加
ρ(t) = ∫ρ(a)δ(a-t)da
狄拉克函数
? 计算功能
? 计算函数在间断点的导数；
? 计算特别函数的傅立叶变换。
? 例题 1
? 计算 f(x) = sgn(x)的导函数。
? 解,sgn(x) = 2 H(x) - 1
sgn’(x) = 2 H’(x) = 2δ(x)
? 例题 2
? 计算 f(x) = |x| 的傅立叶变换。
? 解：
2
1
||
1
|'|)s g n (
1
)(2)(s g n '
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?
?
?????
??
x
i
xx
xx
狄拉克函数
? 狄拉克函数的 推广
? 问题：
? 三维空间中的质点的密度、点电荷的电荷密度。
? 三维狄拉克函数：
?δ(r)=δ(x,y,z)=δ(x)δ(y)δ(z)
? 应用
? 位于 r=a处质量为 m的质点，质量体密度为 mδ(r-a)；
? 位于 r=a处电量为 q的点电荷，电荷体密度为 qδ(r-a)；
本章小结
? 傅立叶级数
? 周期函数的三角展开公式；
? 基本三角函数的性质。
? 傅立叶变换
? 非周期函数的三角展开公式；
? 傅立叶变换的性质。
? 狄拉克函数
? 狄拉克函数概念；
? 狄拉克函数性质；
? 狄拉克函数功能。
傅立叶变换
傅立叶变换
? 傅立叶级数
? 傅立叶变换
? 狄拉克函数
? 本章小结
傅立叶级数
? 三角级数
? 定义
? 由周期为 2π的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数
? ? ? ?? 1021 )s i nc os(n nn nxbnxaa
? 基本函数族
? 组成,1,cos(nx),sin(nx)
? 性质：任意两个在一个周期上的积分等于 0，称为正交性；
mnm xd xnxm xd xnx ??? ?? ??,,0s i ns i n0co sco s ????
0s i nco s ??? m xd xnx??
傅立叶级数
? 傅立叶展开
? 傅立叶展开定理：
? 周期为 2π的函数 f(x)可以展开为三角级数，
? 展开式系数为
?? ?? ?? ???? ?? n x d xxfbn x d xxfa nn s i n)(1,c o s)(1
? 狄利克雷收敛定理
? 收敛条件
? 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；
? 在一个周期内至多只有有限个极值点。
? 收敛结果
? 当 x是连续点时，级数收敛于该点的函数值；
? 当 x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。
傅立叶级数
? 展开举例
? 对称函数
? 对奇函数：
? 对偶函数,
??? ?? 0 s i n)(2,0 n x d xxfba nn
0,c o s)(2 0 ?? ? nn bn x d xxfa ??
函数 展开式
sgn(x) (4/π) (sin x + sin3x/3 + sin5x/5 +? )
x 2 (sin x ? sin2x/2 + sin3x/3 ? sin4x/4 + sin5x/5 +? )
|x| π/2 ? (4/π)(cos x + cos3x/32 + cos5x/52 + ? )
? 典型周期函数 (周期为 2π)
傅立叶级数
? 傅立叶展开的意义：
? 理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；
? 应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。
? 例如：对称方波的傅立叶展开
??
?
????
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0,4/
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x
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??
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-0.5
0.5
1
S1
-3 -2 -1 1 2 3
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
S2
-3 -2 -1 1 2 3
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
S3
-3 -2 -1 1 2 3
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
f
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-0.75
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-3 -2 -1 1 2 3
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-3 -2 -1 1 2 3
-0.75
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-0.25
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S24
-3 -2 -1 1 2 3
-0.75
-0.5
-0.25
0.25
0.5
0.75
f
傅立叶级数
? 重要推广
? 推广 1：
? 问题：把周期为 T=2L的函数 f(t)的展开：
? 方法：对基本公式作变换 x→ πt/L，
? ? ? ??? 1021 )s i nc o s()( n L tnnL tnn baatf ??
,c o s)(1 ??? L L L tnn dttfLa ?
??? L L L tnn dttfLb ?s i n)(1
傅立叶级数
?推广 2
? 问题：把定义在 [-L,L] 上的函数 f(t)展开；
? 方法,先把它延拓为周期函数 (即把它当成是一个周期
为 2L的函数的一部分 )，
再按推广 1展开；
? 注意：所得到的级数仅在原定义范围中与 f(t)一致。
? 延拓前
?
? 延拓后
傅立叶级数
?推广 3
? 问题：把定义在 [0,L] 上的函数 f(x)展开；
? 方法,先把它延拓为 [-L,L]上的奇函数或偶函数，
再按推广 2把它延拓为周期函数，
最后按推广 1展开；
? 注意：所得到的级数仅在原定义范围中与 f(x)一致。
? 公式：
?
?
?
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??
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0,1
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||
)s g n (
|)(|)s g n ()(
|)(|)(
x
x
x
x
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xfxxf
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o
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傅立叶级数
? 展开的复数形式
?展开公式：
基本函数族：
正交性：
展开系数：
? ? ???? n L xnn icxf )e x p ()( ?
Zni L xn ?，)ex p ( ?
mnL
xm
L
xnL
L Ldxii,2)ex p ()ex p ( ?
?? ??
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dxxfiLc L xnL Ln )()ex p (2 1 ????
傅里叶生平
? 1768年生于法国
? 1807年提出“任何
周期信号都可用正弦
函数的级数表示”
? 1822年发表“热的
分析理论”，首次提
出“任何非周期信号
都可用正弦函数的积
分表示”
傅立叶变换
? 非周期函数的傅立叶展开
? 问题：
? 把定义在（－ ∞, ∞ ）中的非周期函数 f (x)展开；
? 思路：
? 把该函数定义在（－ L,L）中的部分展开，再令 L→ ∞ ；
? 实施：
? 展开公式 ? ?
???? n L
xnn icxf )e x p ()( ?
展开系数：
dxxfiLc L xnL Ln )(ex p (2 1 ）??? ??
? 困难
? 展开系数 cn 为无穷小；
? 幂指数 n?x/L 不确定。
傅立叶变换
? 解决方法：
? 把 nπ/L 作为新变量，即定义 ωn = nπ/L ；
? 把 cnL/π作为新的展开系数，即定义 F(ωn)=cnL/π.
? 公式的新形式：
? 展开公式：
nn nn xiFxf ??? ?? ?
?
??? )e x p ()()(
展开系数：
dxxfxiF nL Ln )()e x p (2 1)( ??? ?? ??
? 取极限：
? 傅立叶变换：
dxxfxiF )()e x p (2 1)( ??? ?? ? ???
傅立叶积分：
??? dxiFxf )ex p ()()( ? ?
??
?
傅立叶变换
? 例题 1
? 矩形函数的定义为
? 求矩形脉冲 x (t) = rect(t/2T1)的傅立叶变换。
? 解：
?
?
?
?
??
21
21
||,0
||,1)(r e ct
t
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?
1s i n)e x p (
2
1 1
1
TdttiT
T
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?
傅立叶变换
? 例题 2
? 将矩形脉冲 f (t) = h rect(t/2T)展开为傅立叶积分。
? 解：
? 先求出 f (t) 的傅立叶变换
dttftiF )()e x p (2 1)( ??? ?? ? ???
??
??
?
Thh d ttiT
T
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2
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?
代入傅立叶积分公式，得
???? ? dtiThtf )e x p (s i n)( ? ?
??
?
tetf ???)( 221)( ?? ??? ??F
? 例题 3
? 求对称指数函数 f(t)的傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换
? 傅立叶变换的意义
? 数学意义
? 从一个函数空间 (集合 )到另一个函数空间 (集合 )的映射；
? f(x)称为变换的原函数 (相当于自变量 ),F(ω)称为象函数。
? 应用意义
? 把任意函数分解为简单周期函数之和,F(ω)的自变量为频
率，函数值为对应的振幅。
? 物理意义
? 把一般运动分解为简谐运动的叠加；
? 把一般电磁波 (光 )分解为单色电磁波 (光 )的叠加。
? 物理实现
? 分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪；
? 记录方式,(用照相底版 )摄谱仪,(用光电探测器 )光度计。
傅立叶变换
? 傅立叶变换的性质
? 一般假定
? f(x) → F(ω),g(x) → G(ω)
? 奇偶虚实性
? f(x)为偶函数,F(ω)=∫f(x)cos(ωx)dx/(2π)为实函数；
? f(x)为奇函数,F(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)为虚函数
? 线性性质
? k f(x) → k F(ω)；
? f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω)
? 分析性质
? f ’(x) → iωF(ω)；
)()( 1 ?? Fdxxf ix? ?? ?
傅立叶变换
? 位移性质
? f(x-a) → exp(-iωa)F(ω) ；
?exp(iφx)f(x) → F(ω-φ)
? 相似性质
? f(ax) → F(ω/a)/a；
? f(x/b)/b → F(bω) 。
? 卷积性质
? f(x)*g(x)≡ ∫f(ξ)g(x-ξ)dξ → 2πF(ω)G(ω)；
? f(x)g(x) → F(ω)*G(ω)≡ ∫ F(φ)G(ω-φ)dφ
? 对称性质
? 正变换与逆变换具有某种对称性；
? 适当调整定义中的系数后，可以使对称性更加明显。
傅立叶变换
? 应用举例
)/(s i n)(r e c t 21 ????x
)/(s i n)(r e c t 21 ???hxh ?
?? /s i n)('r e c t 21ix ?
)/(s i n)(r e c t 21 ????iaeax ???
??? dxxx ? ??? )(r e c t)(r e c t)(r e c t)(r e c t
)/(s i n2)2/(r e c t|)|1( 2212 ?????? xx
傅立叶变换
? 验证
)2/(r e c t|)|1()(r e c t)(r e c t)(r e c t)(r e c t xxdxxx ????? ? ???
?
?
?
??
?
?
???????
?????
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????
01},{
10},{
1||,
}|{|}|{|
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
xx
xx
x
x
?
??? ?
dxxxe xi )2/(r e c t|)|1(2 1 ?? ????? ??
dxxxdxxe xi )1(c os1|)|1(2 1 101 1 ???? ?? ?? ??? ?
)/(s i n2 2212 ????
傅立叶变换
? 推广
? 推广 1
? 问题：把定义在 [0,∞) 上的函数 f(t)展开；
? 方法,先把它延拓为 (-∞,∞) 上的奇函数或偶函数，
再按公式进行傅立叶变换；
? 注意：
? 偶函数满足条件 f’(0)=0，形式为 f(|t|)；
? 奇函数满足条件 f(0)=0，形式为 sgn(t)f(|t|).
? 结果：所得到的傅立叶积分仅在原定义范围中与 f(t)一致。
dxtftiF )()e x p (2 1)( ??? ?? ? ???
??? dtiFtf )e x p ()()( ? ?
??
?
傅立叶变换
? 推广 2
? 问题：多元函数的傅立叶变换
? 公式：
d x d yyxfekkF ykxkiyx yx ),()2( 1),( )(2 ?????? ?? ?
yx
ykxki
yx dkdkekkFyxf yx
)(),(),( ??
??? ??
jkikkjyixr yx ?????? ????,令
kdekFrf rki ??? ?? ???? )()(
rdrfekF rki ??? ?? )()2( 1)( 2 ????? ?
傅立叶变换
? 推广 3
? 傅立叶变换的收敛条件,|F(ω)|≤∫|f(x)|dx<∞
? 问题：最简单的函数如多项式不满足傅立叶变换的条件 ；
? 方法：对 傅立叶变换中的参数 ω进行 延拓，
定义 p =σ +iω，其实部为正数；
同时把变换的区域改成右半轴。
dxxfxppF )()e x p ()( 0 ?? ? ?
dpxppFixf i
i
)ex p ()(2 1)( ? ??
??
? ?
??
狄拉克函数
? 概念
? 问题
? 质点的密度函数如何表示？
? 思路
? 质点是物体在尺度趋于零时的理想模型；
? 一个位于原点的单位质点，可以看成一个线密度为 h
rect(hx)的物体在宽度 d=1/h趋向零时的极限；
? 极限密度为 δ(x)=lim h→ ∞ h rect(hx)
? 一般定义
??
?
?
???
0,0
0,)(
x
xx? 1)( ???
?? dxx?
狄
拉
克
函
数
狄拉克函数
? 性质
? 奇偶性质
?δ(-x)=δ(x),δ’(-x)=δ’(x)
? 分析性质
? 选择性质
?∫f(x)δ(x-a)dx=f(a),∫f ’(x)δ(x-a)dx=-f’(a)
? 变换性质
)()('0,0 0,1)()( xxHxxxHdxxx ?? ?
??
?
?
????
??
??????? ?? dexdxexx xixi 2 1)(2 1)(2 1)( ?? ??? ?,
狄拉克函数
? 狄拉克函数的应用
? 描述功能
? 位于 x=a处质量为 m的质点，质量线密度为 mδ(x-a)；
? 位于 x=a处电量为 q的点电荷，电荷线密度为 qδ(x-a)；
? 位于 t=a时刻强度为 I的脉冲信号，信号函数为 Iδ(t-a)；
? 分解功能
? 质量密度为 ρ(x)的物体，可分解为质点的空间叠加
ρ(x) = ∫ρ(a)δ(a-x)da
? 电荷密度为 ρ(x)的带电体，可分解为点电荷的空间叠加
ρ(x) = ∫ρ(a)δ(a-x)da
? 信号函数为 ρ(t)的信号，可分解为脉冲信号的时间叠加
ρ(t) = ∫ρ(a)δ(a-t)da
狄拉克函数
? 计算功能
? 计算函数在间断点的导数；
? 计算特别函数的傅立叶变换。
? 例题 1
? 计算 f(x) = sgn(x)的导函数。
? 解,sgn(x) = 2 H(x) - 1
sgn’(x) = 2 H’(x) = 2δ(x)
? 例题 2
? 计算 f(x) = |x| 的傅立叶变换。
? 解：
2
1
||
1
|'|)s g n (
1
)(2)(s g n '
????
?
?
?????
??
x
i
xx
xx
狄拉克函数
? 狄拉克函数的 推广
? 问题：
? 三维空间中的质点的密度、点电荷的电荷密度。
? 三维狄拉克函数：
?δ(r)=δ(x,y,z)=δ(x)δ(y)δ(z)
? 应用
? 位于 r=a处质量为 m的质点，质量体密度为 mδ(r-a)；
? 位于 r=a处电量为 q的点电荷，电荷体密度为 qδ(r-a)；
本章小结
? 傅立叶级数
? 周期函数的三角展开公式；
? 基本三角函数的性质。
? 傅立叶变换
? 非周期函数的三角展开公式；
? 傅立叶变换的性质。
? 狄拉克函数
? 狄拉克函数概念；
? 狄拉克函数性质；
? 狄拉克函数功能。
