数学物理方法
第十章 球函数
球函数
?轴对称问题和勒让德多项式
?转动对称问题和连带勒让德函数
?一般问题和球函数
?本章小结
轴对称问题和勒让德多项式
?轴对称拉普拉斯方程的求解
?勒让德多项式
?勒让德多项式的母函数和递推公式
?勒让德多项式的性质
?勒让德多项式的应用
轴
对
称
拉
普
拉
斯
方
程
的
求
解
0??u
0)1()''( 2 ??? RllRr
0)1('2"2 ???? RllrRRr
??
?
??
?????
有界)(),0(
0s i n)1()''( s i n
?
?? ll
?
?
?
??
??????
有界)1(
0)1(]'')1[( 2 llx
?c o s?x
)(| ?fu ar ??
1???? llll rBrAR )( xPl??
? ??? 0 )( c o s)(l ll PrRu ?? ??? 0 )( c o s)()( l ll PaRf ??
勒让德多项式
?定义
?一般表示
?具体形式
? 级数表示
? 微分表示
? 积分表示
的本征函数有界刘问题—斯
??
?
??
??????
)1(
0)1(]'')1[( 2 llx
? ??? ??? kll kl xklklk klxP 2)!2()!(!2 )!22()1()(
l
l
l
ll xdx
d
lxP )1(!2
1)( 2 ??
? ?? ?? dzxzzixP l lll 12 )( )1(212 1)( ?
? 代数表达式
? 图象
勒让德多项式的代数表达式
)92co s204co s35()33035()(
)co s33co s5()35()(
)12co s3()13()(
co s)(
1)(
64
124
8
1
4
8
13
2
1
3
4
12
2
1
2
1
0
??????
????
????
??
?
??
??
?
?
xxxP
xxxP
xxP
xxP
xP
l
l
l
l
kl
l
k
l xdx
d
lxklklk
klxP )1(
!2
1
)!2()!(!2
)!22()1()( 22 ??
??
??? ? ?
勒让德多项式的图象
勒
让
德
多
项
式
的
图
象
母函数和递推公式
?母函数
– 定义,u(x,r) =∑ Pl (x) r l
– 形式,u(x,r) = ( 1－ 2rx + r2 )-1/2
– 推导
– 应用
?递推公式
– 基本递推公式
– 证明
– 应用
母函数的推导
? ?? 0 )(),( ll rxPrxu
? ?? ?? ?? 0 12 )( )1(212 1),( lC l ll rdzxzzirxu ?
?? ? ???? 0 2 )(2 )1(2 1 ll llC xz rzxz dzi?
)(2
)1(1
1
22
1
xz
rzC xz
dz
i
?
??? ?? ?
rzxz
dz
i C )1()(2
1
2
21 ???
? ??
221
1|
1
12
2
1
rxrzr
ii zz
??
??? ????
)211(1 2rxrrz ?????
奇点：
母函数的应用
20 21
1)(),(
rrx
rxPrxu ll
??
?? ? ?
1)1(1 1)1(),1( 00 ?????? ?? ?? llll PrrrPru
l
l
lll
l PrrrPru )1()1()1(1
1)1(),1(
00 ??????????? ??
??
?? ?? ?????? 0 220 !)!2( !)!12()1(1 1)0(),0( kkll rk krrPru
??
?
?
?
??
??? ??
12,0
2,)0( !)!2( !)!12()1(
kl
klP k k
l
k
1!)!1(!!0
)12(531!)!12(
)2(642!)!2(
???
?????
???
kk
kk
?
?
基本递推公式
)()()12()()1( 11 xkPxxPkxPk kkk ?? ????
)(')()1()('1 xxPxPkxP kkk ????
)(')(')( 1 xPxxPxkP kkk ???
)()()(')1( 12 xkPxkxPxPx kkk ????
0)(0 ?? xPk
递推公式的证明
20 21
1)(),(
rrx
rxPrxu ll
??
?? ? ?
2/320
1
)21()(),( rrx
rxrlxPrxu l
lr ??
??? ? ? ?
?? ? ?? ????? ????? 0 122/32 20 )()21()21( )21)()()( llll rlxPrrxrrx rrxrxrxPrx （
? ? ? ??? ? ??? ? ???? 0 110 1 2 llllllllll rPlrl x PrPlrPrxP
111 )1(2)1( ??? ?????? kkkkk PkkxPPkPxP
0)12()1( 11 ????? ?? kkk PkxPkPk
递推公式的应用
)()()12()()1( 11 xkPxxPkxPk kkk ?? ????
xxxPxPk ????? 0)()(0 01
13)()(3)(21 2012 ?????? xxPxxPxPk
xxxPxxPxPk 293215123 )(2)(5)(32 ??????
勒让德多项式的性质
? 奇偶性
Pl(-x) = (-1)l Pl(x)
? 零点定理
L阶勒让德多项式为 L次多项式，有 L个零点。
? 正交性
– 正交性公式
– 模
– 正交性应用例题
? 完备性
– 完备性公式
– 广义傅立叶系数
– 完备性应用例题
勒让德多项式的正交性
)(,0s i n)( co s)( co s,0)()( 011 lkdPPdxxPxP lklk ??? ?? ?? ?????
模
正交性
12
2s i n)( co s)( co s)()( 2
0
1
1 ???? ??
?
? lNdPPdxxPxP lllll ????
?
正交性应用例题
0,200,0
1
1
1
1 2)()()( llll NdxxPxPdxxP ?? ??? ?? ?
?
?
1,32211,1
1
1
1
1 )()()( llll NdxxPxPdxxxP ?? ??? ?? ?
?
?
200,
31
222,
32031232
1
1
21
1 )()( NNdxPPPdxxPx llll ?? ???? ?? ?
?
?
勒让德多项式模的计算
20 21
1)(),(
rrx
rxPrxu ll
??
?? ? ?
2
1
10 0
1
1 21)()( rrx
dxdxrxPrxP k
kll ??? ?? ?? ?
? ?
?
1121
10 0 |)21l n (2
1)()( ?
??
? ? ? ?????? ? rrx
rdxxPxPr kl
kl
)]1l n ()1[ l n (12,0 0 rrrNr kklkl ?????? ?? ? ? ?
knnnkk r
krnrnrN
222
0 12
2
1
)1(
1
1 ?? ??
???
??
??
?
12
22
?? kN k
勒让德多项式的完备性
)()( 0 xPfxf ll l? ???
广义傅立叶系数为
完备性
dxxPxfkf kk )()(2 12 11? ????
?? ??? 2,11 )()( kkllk NfdxxPxf ?
如果函数 f (x) 满足适当的条件，则有
完备性应用例题
dxxPxkf kk )(2 12 211? ????
dxxxPkf kk )()14( 2102 ???
)35()()( 3213133113 xxfxfxPfxPfx ?????解：
)(02 xPfx ll l? ???解：
例 1：把函数 f(x)=x2 用勒让德多项式展开。
例 2：把函数 f(x)=|x| 用勒让德多项式展开。
例 3：把函数 f(x)=(x-1)5 用勒让德多项式展开。
例 4：把函数 f(x)=x3 用勒让德多项式展开。
)(|| 20 2 xPfx kk k? ? ??解：
)()1( 5 05 xPfx ll l? ???解,dxxPxlf ll )()1(2 12 511 ??? ? ??
勒让德多项式的应用
)(02 xPaAAx ll ll? ???由边界条件得：
例题 1
??? ? ?? dxxPAxakA kkk )(2 12 211根据完备性：
半径为 a的球面上电势分布为 f = Acos2θ，确定球内空
间的电势 u 。
解：
??
???
??
???
? ?
2co s|
,0
Afu
aru
ar
定解问题为：
? ?? ???? 0 1 )( c o s)(l lllll PrBrAu ?
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ??? 0 )( c o s
),0(
l l
l
l PrAu
u
?
? 有界，半通解化为球内解要求
勒让德多项式的应用
)(0 12 xPaBAx ll ll? ?? ???由边界条件得：
例题 2
??? ? ??? dxxPAxakB kkk )(2 12 2111根据完备性：
半径为 a的球面上电势分布为 f = Acos2θ，确定球外空
间的电势 u 。
解：
??
???
??
???
? ?
2co s|
,0
Afu
aru
ar
定解问题为：
? ?? ???? 0 1 )( c o s)(l lllll PrBrAu ?
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ?? ???
?
0
1 )( c o s
),(
l l
l
l PrBu
u
?
? 有界，半通解化为球外解要求
勒让德多项式的应用
??
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
?
?
??
)()(0
)()(
0
1
0
1
xPbBbA
xPaBaAx
ll
l
l
l
l
ll
l
l
l
l
由边界条件得：
例题 3
一空心圆球区域，内半径为 a，外半径为 b，内球面上电势为 f
= cosθ，外球面上电势为零，确定区域内电势 u 。
解：
??
?
??
????
?? 0|,c o s|
,0
brar uu
brau
?定解问题为：
? ?? ???? 0 1 )( c o s)(l lllll PrBrAu ?
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
??
???
??
???
??
???
??
??
??
??
?
??
??
0
,
0 11
11
1
1
1 33
32
33
2
ll
ab
ba
ab
a
l
l
l
l
l
l
l
ll
BA
BA
bBbA
aBaA，根据完备性得,?
勒让德多项式的应用
)()1(0 2 xPaBlAx ll ll? ?? ?????由边界条件得：
例题 4
0,13211 ??? ?lBAaB根据完备性：
半径为 a的导体球面附近的电场分布为 f = Acosθ，确
定球外空间的电势 u 。
解：
??
?
??
???
? ?c o s|
,0
Afu
aru
arr
定解问题为：
? ?? ???? 0 1 )( c o s)(l lllll PrBrAu ?
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ?? ???
?
0
1 )( c o s
),(
l l
l
l PrBu
u
?
? 有界，半通解化为球外解要求
勒让德多项式的应用
)(0 1 xPaBAx ll ll? ?? ???由边界条件得：
例题 5
0,121 ?? ?lBAaB根据完备性：
半径为 a的球面保持温度分布为 f = Acosθ，确定球外
空间的稳定温度分布 u 。
解：
??
?
?
???
? ?c o s|
,0
Au
aru
ar
定解问题为：
? ?? ???? 0 1 )( c o s)(l lllll PrBrAu ?
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ?? ???
?
0
1 )( c o s
),(
l l
l
l PrBu
u
?
? 有界，半通解化为球外解要求
勒让德多项式的应用
例题 6
半径为 a的半球球面上电势分布为 f = A，底面电势为
零，确定半球内空间的电势 u 。
解：
?
?
?
?
?
???
??
????
?
??
Aazffu
uu
aru
ar
z
)/()( c o s|
0||
2/,,0
02/
?
??
??定解问题为：
?
?
?
??
???
? )s g n ( c o s|)c o s(|)s g n ( c o s|
0
??? Afu
aru
z
ar
，
进行奇延拓后问题有反演对称性，对
勒让德多项式的应用
例题 7
半径为 a 的半球球面上温度分布为 f = A，底面绝热，
确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
解：
?
?
?
?
?
??
?
????
?
?
Afu
u
aru
ar
zz
)( c o s|
0|
2/,,0
0
?
??
定解问题为：
?
?
?
??
???
? Afu
aru
z
ar |)c o s(||
0
?
，
进行偶延拓后问题有反演对称性，对
转动对称问题和连带勒让德函数
?转动对称稳定问题的 求解
?连带勒让德 函数
?连带勒让德函数的 性质
?连带勒让德函数的 应用
转
动
对
称
稳
定
问
题
的
求
解
0??u
0)1()''( 2 ??? RllRr
0)1('2"2 ???? RllrRRr
??
???
??
???????
有界)(),0(
0s i n)1()''( s i n s i n 2
?
?? ? llm
??
???
??
??????? ?
有界)1(
0)1(]'')1[( 2212 llx xm
)e xp()(| ?? imfu ar ??
1???? llll rBrAR )( xP ml??
? ??? ml immll exPrRu ?)()(? ??? ml mll xPaRf )()(
?c o s?x
?? imerRu )()( ??
连带勒让德函数
?定义
?微分表示
?具体形式
的本征函数
有界
刘问题—斯
??
?
?
?
??
???????
?
)1(
0])1([]'')1[( 22
1
2
x
mllx
? 代数 表达式
? 图象
l
ml
ml
l
mm
l
mml x
dx
d
l
xxPxxP )1(
!2
)1()()1()( 22/2)(2/2 ?????
?
?
连带勒让德函数的代数表达式
??
?
co ss i n313)(
s i n1)(
0)(
21
2
21
1
1
0
???
???
?
xxxP
xxP
xP
l
ml
ml
l
mm
l
mml x
dx
d
l
xxPxxP )1(
!2
)1()()1()( 22/2)(2/2 ?????
?
?
??
?
c o ss i n15)1(15)(
s i n3)1(3)(
0)(
0)(
222
3
222
2
2
1
2
0
???
???
?
?
xxxP
xxP
xP
xP
?c o s)(
1)(
0
1
0
0
?
?
xP
xP
连
带
勒
让
德
函
数
的
图
象
连
带
勒
让
德
函
数
的
图
象
连带勒让德函数的性质
? 奇偶性
Plm(-x) = (-1)l+m Plm(x)
? 正交性
– 正交性公式
– 模
– 正交性应用例题
? 完备性
– 完备性公式
– 广义傅立叶系数
连带勒让德函数的正交性
)!(
)!(
12
2
)(
,)()()(
2
2
,
1
1
ml
ml
l
N
NdxxPxP
m
l
m
llk
m
l
m
k
?
?
?
?
??
?
?
?
正交性和模
正交性应用例题
0)()()1( 12111 131211 ??? ?? ??? dxxPxPxd xx
2,15 !422222,31222
1
13
1221
1 )()()()()1( llll NdxxPxPdxxPx ??
?
?
?
? ???? ??
0)1(3)()( 21122001 1 ??? ?? ??? dxxdxxPxP
连带勒让德函数的完备性
)()( xPfxf mlml l? ???
广义傅立叶系数为
完备性
dxxPxfNf mkm
k
k )()()(
1 1
12 ?
?
?
?
2
,
1
1 )()()( ?? ?
?
?
mkkllmk NfdxxPxf ?
如果函数 f (x) 满足适当的条件，则
连带勒让德函数的应用
)()1( 22221 xPaAxA ll ll? ????由边界条件得：
例题 1
2,2612221
1
1
)()1()!2(2 )!2)(12( llll AadxxPxAal llA ???
?
??? ??? ?根据完备性：
半径为 a的球面上电势分布为 f = Asin2θcosφsinφ，确定
球内空间的电势 u 。
解：
??
???
??
???
? ?? 2s i ns i n|
,0
2
2
1 Afu
aru
ar
定解问题为：
? ?? ???? 2 21 2s i n)( c o s)(l lllll PrBrAu ??
，相应的半通解为定解问题有转动对称性
??
?
2s i n)( c o s
),0(
2
2? ?
?
?
l l
l
l PrAu
u 有界，半通解化为球内解要求
连带勒让德函数的应用
)()1( 22 1221 xPaBxA ll ll? ?? ????由边界条件得：
例题 2
2,
3
6
122
2
11
1
1
)()1()!2(2 )!2)(12( ll
l
l AadxxPxAl
allB ???
?
??? ? ?
?
?
根据完备性：
半径为 a的球面上电势分布为 f = Asin2θcosφsinφ，确定
球外空间的电势 u 。
解：
??
???
??
???
? ?? 2s i ns i n|
,0
2
2
1 Afu
aru
ar
定解问题为：
? ?? ???? 2 21 2s i n)( c o s)(l lllll PrBrAu ??
，相应的半通解为定解问题有转动对称性
??
?
2s i n)( c o s
),(
2
21? ?
?
???
?
l l
l
l PrBu
u 有界，半通解化为球外解要求
连带勒让德函数的应用
)(11 11 22 xPaBlxA ll ll? ?? ?????? ）（由边界条件得：
例题 3
013211 ??? ?lBAaB,根据完备性：
半径为 a的导体球面附近电场分布为 f = Asinθcosφ，确
定球外空间的电势 u 。
解：
??
?
??
???
? ?? co ss i n|
,0
Afu
aru
arr
定解问题为：
? ?? ???? 1 11 c o s)( c o s)(l lllll PrBrAu ??
，相应的半通解为定解问题有转动对称性
??
?
c o s)( c o s
),(
1
11? ?
?
???
?
l l
l
l PrBu
u 有界，半通解化为球外解要求
连带勒让德函数的应用
)(1 112 xPaAxAx ll ll? ????由边界条件得：
例题 4
0212 12312 ??? ?? lAAAaA,根据完备性：
半径为 a=2的球面上温度分布为 f = Asinθcosθsinφ，确
定球内空间的稳定温度分布 u 。
解：
??
?
??
???
? ??? s i nco ss i n|
2,0
2 Afu
ru
r
定解问题为：
? ?? ???? 1 11 s i n)( c o s)(l lllll PrBrAu ??
，相应的半通解为定解问题有转动对称性
??
?
s i n)( c o s
),0(
1
1? ?
?
?
l l
l
l PrAu
u 有界，半通解化为球内解要求
一般问题和球函数
?非对称稳定问题的 求解
?球函数的 概念
?球函数的 性质
?球函数的 应用
?球函数的 归一化
非
对
称
稳
定
问
题
的
求
解
0??u
0)1()''( 2 ??? RllRr
?
?
?
?
?
??
????
),()2,(;),(),,0(
0)1('
?????
???
YY
YY
YllY
有界
),(| ??fu ar ??
1,,???? lmllml rBrAR ),( ??mlYY ?
? ?? ml mlml YrRu,,),()( ??? ?? ml mlml YaRf,,)(
),()( ??YrRu ?
球函数的概念
?定义
?一般表示式
?具体形式
||,)( c o s),( || mlePY immlml ?? ????
的本征函数。有界刘型问题—二重斯
?
?
?
?
?
??
????
),()2,(;),(),,0(
0)1('
?????
???
YY
YY
YllY
球函数的具体形式
?
?
????
???
??
i
i
eY
eY
Y
s i nc o s3),(
s i n),(
0),(
1
2
1
1
1
0
?
?
?
?
?
????
???
??
??
i
i
eY
eY
Y
Y
222
3
222
2
2
1
2
0
s i nc o s15),(
s i n3),(
0),(
0),(
?
?
?
?
???
??
c o s),(
1),(
0
1
0
0
?
?
Y
Y
||,)( c o s),( || mlePY immlml ?? ????
球函数的性质
? 对称性
),(),(),(
),()1(),(
??????
?????
m
l
m
l
m
l
m
l
mlm
l
YYY
YY
???
???
?
?
? 正交性
| ) !|(
| ) !|(
12
4
)(,s i n
)(
2
0
2
0
2
,,
ml
ml
l
Nddd
NdYY
m
l
S
m
lklmn
S
n
k
m
l
?
?
?
???
???
????
??
?
???
??
??
? 完备性
),(),(
)(
1
),(),(
2
0
????
????
m
l
Sml
m
l
m
l
m
ll
l
lm
Yfd
N
C
YCf
??
? ?
??
?
?
? ??
球函数的应用
),(c o ss i n,,22 ???? mlml lml YaAA ? ??由边界条件得：
例题 1
??? ?? dYAaNA ml
slmlml
?? 222,c o ss i n)( 1根据完备性：
半径为 a的球面上电势分布为 f = Asin2θcos2φ，确定球
内空间的电势 u 。
解：
??
???
??
???
? ??
22 co ss i n|
,0
Afu
aru
ar
定解问题为：
? ??? ???? ?? 0 1,,),()(l mllmllmll lm YrBrAu ??
定解问题的半通解为
),(
),,0(
0,
??
??
? ??? ??? l mllmll lm YrAu
u 有界，半通解化为球内解要求
球函数的应用
),(c o ss i n,1,22 ???? mlml lml YaBA ? ? ???由边界条件得：
例题 2
??? ??
?
dYANaB ml
sml
l
ml ??
22
2
1
,c o ss i n)(根据完备性：
半径为 a的球面上电势分布为 f = Asin2θcos2φ，确定球
外空间的电势 u 。
解：
??
???
??
???
? ??
22 co ss i n|
,0
Afu
aru
ar
定解问题为：
? ??? ???? ?? 0 1,,),()(l mllmllmll lm YrBrAu ??
定解问题的半通解为
),(
),,(
0
1
,??
??
? ??? ?????
?
l
m
l
l
ml
l
lm
YrBu
u 有界，半通解化为球外解要求
球函数的归一化
? 归一化的球函数
),()(),( 1,???? mlmlml YNY ??
? 正交性
klmnS mlml dYY,,,,???????
? 完备性
),(),(
),(),(
,,
,,0
????
????
ml
S
ml
mlmll
l
lm
YfdC
YCf
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?
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本章小结
? 一般球面边界稳定问题的半通解为
? ??? ???? ?? 0 1,,),()(l mllmllmll lm YrBrAu ??
? 转动对称球面边界稳定问题的半通解为
? ?? ?? ?????????? ml mlllll mmPrBrAu ??? c o ss i n)( c o s)( 1
? 轴对称球面边界稳定问题的半通解为
? ?? ???? 0 1 )( c o s)(l lllll PrBrAu ?
递推公式的证明
20 21
1)(),(
rrx
rxPrxu ll
??
?? ? ?
2/320 )21()('),( rrx
rrxPrxu l
lx ???? ?
?
?? ?? ? ????? ??? 022/32 20 1 )(')21()21( )21()( llll rxPrrxrrx rrxrrxP
? ??? ? ??? ? ??? 0 210 1 )(')('2)(')( llllllll rxPrxxPrxPrxP
)(')('2)(')( 11 xPxxPxPxP llll ?? ???
第十章 球函数
球函数
?轴对称问题和勒让德多项式
?转动对称问题和连带勒让德函数
?一般问题和球函数
?本章小结
轴对称问题和勒让德多项式
?轴对称拉普拉斯方程的求解
?勒让德多项式
?勒让德多项式的母函数和递推公式
?勒让德多项式的性质
?勒让德多项式的应用
轴
对
称
拉
普
拉
斯
方
程
的
求
解
0??u
0)1()''( 2 ??? RllRr
0)1('2"2 ???? RllrRRr
??
?
??
?????
有界)(),0(
0s i n)1()''( s i n
?
?? ll
?
?
?
??
??????
有界)1(
0)1(]'')1[( 2 llx
?c o s?x
)(| ?fu ar ??
1???? llll rBrAR )( xPl??
? ??? 0 )( c o s)(l ll PrRu ?? ??? 0 )( c o s)()( l ll PaRf ??
勒让德多项式
?定义
?一般表示
?具体形式
? 级数表示
? 微分表示
? 积分表示
的本征函数有界刘问题—斯
??
?
??
??????
)1(
0)1(]'')1[( 2 llx
? ??? ??? kll kl xklklk klxP 2)!2()!(!2 )!22()1()(
l
l
l
ll xdx
d
lxP )1(!2
1)( 2 ??
? ?? ?? dzxzzixP l lll 12 )( )1(212 1)( ?
? 代数表达式
? 图象
勒让德多项式的代数表达式
)92co s204co s35()33035()(
)co s33co s5()35()(
)12co s3()13()(
co s)(
1)(
64
124
8
1
4
8
13
2
1
3
4
12
2
1
2
1
0
??????
????
????
??
?
??
??
?
?
xxxP
xxxP
xxP
xxP
xP
l
l
l
l
kl
l
k
l xdx
d
lxklklk
klxP )1(
!2
1
)!2()!(!2
)!22()1()( 22 ??
??
??? ? ?
勒让德多项式的图象
勒
让
德
多
项
式
的
图
象
母函数和递推公式
?母函数
– 定义,u(x,r) =∑ Pl (x) r l
– 形式,u(x,r) = ( 1－ 2rx + r2 )-1/2
– 推导
– 应用
?递推公式
– 基本递推公式
– 证明
– 应用
母函数的推导
? ?? 0 )(),( ll rxPrxu
? ?? ?? ?? 0 12 )( )1(212 1),( lC l ll rdzxzzirxu ?
?? ? ???? 0 2 )(2 )1(2 1 ll llC xz rzxz dzi?
)(2
)1(1
1
22
1
xz
rzC xz
dz
i
?
??? ?? ?
rzxz
dz
i C )1()(2
1
2
21 ???
? ??
221
1|
1
12
2
1
rxrzr
ii zz
??
??? ????
)211(1 2rxrrz ?????
奇点：
母函数的应用
20 21
1)(),(
rrx
rxPrxu ll
??
?? ? ?
1)1(1 1)1(),1( 00 ?????? ?? ?? llll PrrrPru
l
l
lll
l PrrrPru )1()1()1(1
1)1(),1(
00 ??????????? ??
??
?? ?? ?????? 0 220 !)!2( !)!12()1(1 1)0(),0( kkll rk krrPru
??
?
?
?
??
??? ??
12,0
2,)0( !)!2( !)!12()1(
kl
klP k k
l
k
1!)!1(!!0
)12(531!)!12(
)2(642!)!2(
???
?????
???
kk
kk
?
?
基本递推公式
)()()12()()1( 11 xkPxxPkxPk kkk ?? ????
)(')()1()('1 xxPxPkxP kkk ????
)(')(')( 1 xPxxPxkP kkk ???
)()()(')1( 12 xkPxkxPxPx kkk ????
0)(0 ?? xPk
递推公式的证明
20 21
1)(),(
rrx
rxPrxu ll
??
?? ? ?
2/320
1
)21()(),( rrx
rxrlxPrxu l
lr ??
??? ? ? ?
?? ? ?? ????? ????? 0 122/32 20 )()21()21( )21)()()( llll rlxPrrxrrx rrxrxrxPrx （
? ? ? ??? ? ??? ? ???? 0 110 1 2 llllllllll rPlrl x PrPlrPrxP
111 )1(2)1( ??? ?????? kkkkk PkkxPPkPxP
0)12()1( 11 ????? ?? kkk PkxPkPk
递推公式的应用
)()()12()()1( 11 xkPxxPkxPk kkk ?? ????
xxxPxPk ????? 0)()(0 01
13)()(3)(21 2012 ?????? xxPxxPxPk
xxxPxxPxPk 293215123 )(2)(5)(32 ??????
勒让德多项式的性质
? 奇偶性
Pl(-x) = (-1)l Pl(x)
? 零点定理
L阶勒让德多项式为 L次多项式，有 L个零点。
? 正交性
– 正交性公式
– 模
– 正交性应用例题
? 完备性
– 完备性公式
– 广义傅立叶系数
– 完备性应用例题
勒让德多项式的正交性
)(,0s i n)( co s)( co s,0)()( 011 lkdPPdxxPxP lklk ??? ?? ?? ?????
模
正交性
12
2s i n)( co s)( co s)()( 2
0
1
1 ???? ??
?
? lNdPPdxxPxP lllll ????
?
正交性应用例题
0,200,0
1
1
1
1 2)()()( llll NdxxPxPdxxP ?? ??? ?? ?
?
?
1,32211,1
1
1
1
1 )()()( llll NdxxPxPdxxxP ?? ??? ?? ?
?
?
200,
31
222,
32031232
1
1
21
1 )()( NNdxPPPdxxPx llll ?? ???? ?? ?
?
?
勒让德多项式模的计算
20 21
1)(),(
rrx
rxPrxu ll
??
?? ? ?
2
1
10 0
1
1 21)()( rrx
dxdxrxPrxP k
kll ??? ?? ?? ?
? ?
?
1121
10 0 |)21l n (2
1)()( ?
??
? ? ? ?????? ? rrx
rdxxPxPr kl
kl
)]1l n ()1[ l n (12,0 0 rrrNr kklkl ?????? ?? ? ? ?
knnnkk r
krnrnrN
222
0 12
2
1
)1(
1
1 ?? ??
???
??
??
?
12
22
?? kN k
勒让德多项式的完备性
)()( 0 xPfxf ll l? ???
广义傅立叶系数为
完备性
dxxPxfkf kk )()(2 12 11? ????
?? ??? 2,11 )()( kkllk NfdxxPxf ?
如果函数 f (x) 满足适当的条件，则有
完备性应用例题
dxxPxkf kk )(2 12 211? ????
dxxxPkf kk )()14( 2102 ???
)35()()( 3213133113 xxfxfxPfxPfx ?????解：
)(02 xPfx ll l? ???解：
例 1：把函数 f(x)=x2 用勒让德多项式展开。
例 2：把函数 f(x)=|x| 用勒让德多项式展开。
例 3：把函数 f(x)=(x-1)5 用勒让德多项式展开。
例 4：把函数 f(x)=x3 用勒让德多项式展开。
)(|| 20 2 xPfx kk k? ? ??解：
)()1( 5 05 xPfx ll l? ???解,dxxPxlf ll )()1(2 12 511 ??? ? ??
勒让德多项式的应用
)(02 xPaAAx ll ll? ???由边界条件得：
例题 1
??? ? ?? dxxPAxakA kkk )(2 12 211根据完备性：
半径为 a的球面上电势分布为 f = Acos2θ，确定球内空
间的电势 u 。
解：
??
???
??
???
? ?
2co s|
,0
Afu
aru
ar
定解问题为：
? ?? ???? 0 1 )( c o s)(l lllll PrBrAu ?
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ??? 0 )( c o s
),0(
l l
l
l PrAu
u
?
? 有界，半通解化为球内解要求
勒让德多项式的应用
)(0 12 xPaBAx ll ll? ?? ???由边界条件得：
例题 2
??? ? ??? dxxPAxakB kkk )(2 12 2111根据完备性：
半径为 a的球面上电势分布为 f = Acos2θ，确定球外空
间的电势 u 。
解：
??
???
??
???
? ?
2co s|
,0
Afu
aru
ar
定解问题为：
? ?? ???? 0 1 )( c o s)(l lllll PrBrAu ?
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ?? ???
?
0
1 )( c o s
),(
l l
l
l PrBu
u
?
? 有界，半通解化为球外解要求
勒让德多项式的应用
??
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
?
?
??
)()(0
)()(
0
1
0
1
xPbBbA
xPaBaAx
ll
l
l
l
l
ll
l
l
l
l
由边界条件得：
例题 3
一空心圆球区域，内半径为 a，外半径为 b，内球面上电势为 f
= cosθ，外球面上电势为零，确定区域内电势 u 。
解：
??
?
??
????
?? 0|,c o s|
,0
brar uu
brau
?定解问题为：
? ?? ???? 0 1 )( c o s)(l lllll PrBrAu ?
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
??
???
??
???
??
???
??
??
??
??
?
??
??
0
,
0 11
11
1
1
1 33
32
33
2
ll
ab
ba
ab
a
l
l
l
l
l
l
l
ll
BA
BA
bBbA
aBaA，根据完备性得,?
勒让德多项式的应用
)()1(0 2 xPaBlAx ll ll? ?? ?????由边界条件得：
例题 4
0,13211 ??? ?lBAaB根据完备性：
半径为 a的导体球面附近的电场分布为 f = Acosθ，确
定球外空间的电势 u 。
解：
??
?
??
???
? ?c o s|
,0
Afu
aru
arr
定解问题为：
? ?? ???? 0 1 )( c o s)(l lllll PrBrAu ?
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ?? ???
?
0
1 )( c o s
),(
l l
l
l PrBu
u
?
? 有界，半通解化为球外解要求
勒让德多项式的应用
)(0 1 xPaBAx ll ll? ?? ???由边界条件得：
例题 5
0,121 ?? ?lBAaB根据完备性：
半径为 a的球面保持温度分布为 f = Acosθ，确定球外
空间的稳定温度分布 u 。
解：
??
?
?
???
? ?c o s|
,0
Au
aru
ar
定解问题为：
? ?? ???? 0 1 )( c o s)(l lllll PrBrAu ?
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ?? ???
?
0
1 )( c o s
),(
l l
l
l PrBu
u
?
? 有界，半通解化为球外解要求
勒让德多项式的应用
例题 6
半径为 a的半球球面上电势分布为 f = A，底面电势为
零，确定半球内空间的电势 u 。
解：
?
?
?
?
?
???
??
????
?
??
Aazffu
uu
aru
ar
z
)/()( c o s|
0||
2/,,0
02/
?
??
??定解问题为：
?
?
?
??
???
? )s g n ( c o s|)c o s(|)s g n ( c o s|
0
??? Afu
aru
z
ar
，
进行奇延拓后问题有反演对称性，对
勒让德多项式的应用
例题 7
半径为 a 的半球球面上温度分布为 f = A，底面绝热，
确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
解：
?
?
?
?
?
??
?
????
?
?
Afu
u
aru
ar
zz
)( c o s|
0|
2/,,0
0
?
??
定解问题为：
?
?
?
??
???
? Afu
aru
z
ar |)c o s(||
0
?
，
进行偶延拓后问题有反演对称性，对
转动对称问题和连带勒让德函数
?转动对称稳定问题的 求解
?连带勒让德 函数
?连带勒让德函数的 性质
?连带勒让德函数的 应用
转
动
对
称
稳
定
问
题
的
求
解
0??u
0)1()''( 2 ??? RllRr
0)1('2"2 ???? RllrRRr
??
???
??
???????
有界)(),0(
0s i n)1()''( s i n s i n 2
?
?? ? llm
??
???
??
??????? ?
有界)1(
0)1(]'')1[( 2212 llx xm
)e xp()(| ?? imfu ar ??
1???? llll rBrAR )( xP ml??
? ??? ml immll exPrRu ?)()(? ??? ml mll xPaRf )()(
?c o s?x
?? imerRu )()( ??
连带勒让德函数
?定义
?微分表示
?具体形式
的本征函数
有界
刘问题—斯
??
?
?
?
??
???????
?
)1(
0])1([]'')1[( 22
1
2
x
mllx
? 代数 表达式
? 图象
l
ml
ml
l
mm
l
mml x
dx
d
l
xxPxxP )1(
!2
)1()()1()( 22/2)(2/2 ?????
?
?
连带勒让德函数的代数表达式
??
?
co ss i n313)(
s i n1)(
0)(
21
2
21
1
1
0
???
???
?
xxxP
xxP
xP
l
ml
ml
l
mm
l
mml x
dx
d
l
xxPxxP )1(
!2
)1()()1()( 22/2)(2/2 ?????
?
?
??
?
c o ss i n15)1(15)(
s i n3)1(3)(
0)(
0)(
222
3
222
2
2
1
2
0
???
???
?
?
xxxP
xxP
xP
xP
?c o s)(
1)(
0
1
0
0
?
?
xP
xP
连
带
勒
让
德
函
数
的
图
象
连
带
勒
让
德
函
数
的
图
象
连带勒让德函数的性质
? 奇偶性
Plm(-x) = (-1)l+m Plm(x)
? 正交性
– 正交性公式
– 模
– 正交性应用例题
? 完备性
– 完备性公式
– 广义傅立叶系数
连带勒让德函数的正交性
)!(
)!(
12
2
)(
,)()()(
2
2
,
1
1
ml
ml
l
N
NdxxPxP
m
l
m
llk
m
l
m
k
?
?
?
?
??
?
?
?
正交性和模
正交性应用例题
0)()()1( 12111 131211 ??? ?? ??? dxxPxPxd xx
2,15 !422222,31222
1
13
1221
1 )()()()()1( llll NdxxPxPdxxPx ??
?
?
?
? ???? ??
0)1(3)()( 21122001 1 ??? ?? ??? dxxdxxPxP
连带勒让德函数的完备性
)()( xPfxf mlml l? ???
广义傅立叶系数为
完备性
dxxPxfNf mkm
k
k )()()(
1 1
12 ?
?
?
?
2
,
1
1 )()()( ?? ?
?
?
mkkllmk NfdxxPxf ?
如果函数 f (x) 满足适当的条件，则
连带勒让德函数的应用
)()1( 22221 xPaAxA ll ll? ????由边界条件得：
例题 1
2,2612221
1
1
)()1()!2(2 )!2)(12( llll AadxxPxAal llA ???
?
??? ??? ?根据完备性：
半径为 a的球面上电势分布为 f = Asin2θcosφsinφ，确定
球内空间的电势 u 。
解：
??
???
??
???
? ?? 2s i ns i n|
,0
2
2
1 Afu
aru
ar
定解问题为：
? ?? ???? 2 21 2s i n)( c o s)(l lllll PrBrAu ??
，相应的半通解为定解问题有转动对称性
??
?
2s i n)( c o s
),0(
2
2? ?
?
?
l l
l
l PrAu
u 有界，半通解化为球内解要求
连带勒让德函数的应用
)()1( 22 1221 xPaBxA ll ll? ?? ????由边界条件得：
例题 2
2,
3
6
122
2
11
1
1
)()1()!2(2 )!2)(12( ll
l
l AadxxPxAl
allB ???
?
??? ? ?
?
?
根据完备性：
半径为 a的球面上电势分布为 f = Asin2θcosφsinφ，确定
球外空间的电势 u 。
解：
??
???
??
???
? ?? 2s i ns i n|
,0
2
2
1 Afu
aru
ar
定解问题为：
? ?? ???? 2 21 2s i n)( c o s)(l lllll PrBrAu ??
，相应的半通解为定解问题有转动对称性
??
?
2s i n)( c o s
),(
2
21? ?
?
???
?
l l
l
l PrBu
u 有界，半通解化为球外解要求
连带勒让德函数的应用
)(11 11 22 xPaBlxA ll ll? ?? ?????? ）（由边界条件得：
例题 3
013211 ??? ?lBAaB,根据完备性：
半径为 a的导体球面附近电场分布为 f = Asinθcosφ，确
定球外空间的电势 u 。
解：
??
?
??
???
? ?? co ss i n|
,0
Afu
aru
arr
定解问题为：
? ?? ???? 1 11 c o s)( c o s)(l lllll PrBrAu ??
，相应的半通解为定解问题有转动对称性
??
?
c o s)( c o s
),(
1
11? ?
?
???
?
l l
l
l PrBu
u 有界，半通解化为球外解要求
连带勒让德函数的应用
)(1 112 xPaAxAx ll ll? ????由边界条件得：
例题 4
0212 12312 ??? ?? lAAAaA,根据完备性：
半径为 a=2的球面上温度分布为 f = Asinθcosθsinφ，确
定球内空间的稳定温度分布 u 。
解：
??
?
??
???
? ??? s i nco ss i n|
2,0
2 Afu
ru
r
定解问题为：
? ?? ???? 1 11 s i n)( c o s)(l lllll PrBrAu ??
，相应的半通解为定解问题有转动对称性
??
?
s i n)( c o s
),0(
1
1? ?
?
?
l l
l
l PrAu
u 有界，半通解化为球内解要求
一般问题和球函数
?非对称稳定问题的 求解
?球函数的 概念
?球函数的 性质
?球函数的 应用
?球函数的 归一化
非
对
称
稳
定
问
题
的
求
解
0??u
0)1()''( 2 ??? RllRr
?
?
?
?
?
??
????
),()2,(;),(),,0(
0)1('
?????
???
YY
YY
YllY
有界
),(| ??fu ar ??
1,,???? lmllml rBrAR ),( ??mlYY ?
? ?? ml mlml YrRu,,),()( ??? ?? ml mlml YaRf,,)(
),()( ??YrRu ?
球函数的概念
?定义
?一般表示式
?具体形式
||,)( c o s),( || mlePY immlml ?? ????
的本征函数。有界刘型问题—二重斯
?
?
?
?
?
??
????
),()2,(;),(),,0(
0)1('
?????
???
YY
YY
YllY
球函数的具体形式
?
?
????
???
??
i
i
eY
eY
Y
s i nc o s3),(
s i n),(
0),(
1
2
1
1
1
0
?
?
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球函数的性质
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球函数的应用
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半径为 a的球面上电势分布为 f = Asin2θcos2φ，确定球
内空间的电势 u 。
解：
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定解问题为：
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定解问题的半通解为
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u 有界，半通解化为球内解要求
球函数的应用
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例题 2
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sml
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22
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,c o ss i n)(根据完备性：
半径为 a的球面上电势分布为 f = Asin2θcos2φ，确定球
外空间的电势 u 。
解：
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22 co ss i n|
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Afu
aru
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定解问题为：
? ??? ???? ?? 0 1,,),()(l mllmllmll lm YrBrAu ??
定解问题的半通解为
),(
),,(
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u 有界，半通解化为球外解要求
球函数的归一化
? 归一化的球函数
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? 正交性
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? 完备性
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本章小结
? 一般球面边界稳定问题的半通解为
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? 转动对称球面边界稳定问题的半通解为
? ?? ?? ?????????? ml mlllll mmPrBrAu ??? c o ss i n)( c o s)( 1
? 轴对称球面边界稳定问题的半通解为
? ?? ???? 0 1 )( c o s)(l lllll PrBrAu ?
递推公式的证明
20 21
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