数学物理方法
复变函数的积分
复变函数的积分
? 路积分
? 柯西定理
? 不定积分
? 柯西公式
? 本章小结
路积分
? 路积分的概念和性质
实变函数 复变函数
定义
性质
i
n
i
ix
b
a xxfdxxf
i
?? ??
??? 10
)()( lim in
i
izC zzfdzzf
i
?? ??
??? 10
)()( lim
?? ? baba dxxfcdxxcf )()( ?? ? CC dzzfcdzzcf )()(
??? ??? bababa g d xfd xdxgf ][ ??? ??? CCC gdzf dzdzgf ][
?? ?? abba dxxfdxxf )()( ?? ?? CC dzzfdzzf )()(
dxfdxfdxf babcca ??? ?? dzfdzfdzf
CCCC ??? ??? 2121
路积分
? 路积分的计算
? 思路
? 化复为实
? 公式 I
?∫C f(z) dz = ∫C(u +iv)(dx +idy)
? = ∫C(udx-vdy)+i∫C(udy+vdx)
? 公式 II
?∫C f(z) dz = ∫C(u +iv)(eiφdr +i r eiφdφ)
? = ∫C eiφ[(udr-vrdφ)+i(urdφ+vdr)]
路积分
? 例题 1
? 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数 ∫ Czdz从 O到 B的定积分。
解：
z dzz dzz dz ABO AB OA ?? ? ??
)()()( 2010 ixdixiyiyd ???? ??
ii 223)2221(21 2 ????????
)2()2(20 xixdxixz d zOB ??? ??
ix d xi 2)1( 2320221 ???? ?z dzz dzz dz CBO C B OC ?? ? ?? i223??
路积分
? 例题 2
? 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数 ∫ C z2dz从 O到 B的定积分。
解：
dzzdzzdzz ABO AB OA 222 ?? ? ??
)()()()( 220210 ixdixiydiy ???? ??
)112(31 i??
)2()2( 2202 xixdxixdzzOB ??? ??
3312
0
321 )2()1( ixd xi ???? ?dzzdzzdzz CBO C B OC 222 ?? ? ?? )112(31 i??
路积分
? 例题 3
? 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数 ∫ C Re(z) dz从 O到 B的定积
分。
解：
x dzx dzx dz ABO A B OA ?? ? ??
)()(0 2010 ixxdiyd ??? ??
2?
)2(20 xixxdx dzOB ?? ??
ixd xi ???? ? 2)1( 2021x dzx dzx dz CBO C B OC ?? ? ??
i22??
路积分
? 例题 4
? 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数 ∫ z-1dz从 O到 B的定积分。
解：
??
?
ii
AD deedzz
??? ?? 01 i???
dzzdzzdzzdzz CDBCABABC D 1111 ???? ???? ???
drrdeedrr aiia 11 101 ??? ??? ? ???
i???
???
?
ii
AD deedzz
??? ?? 21 i??
柯西定理
? 积分规律的探究
? 归纳
? 如果函数 f(z)在单连通区
域内解析，则路积分与路
径无关，完全由起点和终
点决定。
? 猜想
? 如果函数 f(z)在闭单连通
区域 B上解析，则沿 B上
任一分段光滑闭合曲线 l
的路积分有：
? ?l dzzf 0)( 0
)(
21
21
???
??
??
???
LL
LLl
f d zf d z
f d zf d zdzzf
? 证明（见教材）
柯西定理
? 推广
? 规律
? 闭复连通区域上的解析函数沿
外边界线逆时针积分等于沿所
有内边界线逆时针积分之和。
? 公式
? ?? ? i ll i dzzfdzzf )()(
? 统一表述
? 解析函数沿所有边界线正向积
分为零；
? 起点和终点固定时，积分路径
在解析区域中连续变形不改变
路积分的值。
柯西定理
? 例题
? 计算积分
dzazI nL )( ?? ?
? 解：
? 如 a不在 L内,I = 0
? 当 a在 L内时，
? 如 n ≥0,I = 0；
? 如 n < 0，可以
用柯西定理的推广
dzazI nC )( ?? ?
)()(20 ??? ini redre??
??
?
??
???? ?? ?
1,2
1,0)1(2
0
1
ni
ndier nin
??
??
不定积分
? 不定积分原函数
? 概念
? 上限为变量的路积分称为不定积分
? 分析
? 如被积函数 f(z)在单连通区域 B上解析，则不定积分单值。
? 如被积函数 f(z)在复连通区域 B上解析，则不定积分多值；
? 原函数
? 概念
? 如 f(z)在单连通区域 B上解析，则不定积分
?? zz dfzF 0 )()( ??
? 在 B上定义了一个单值解析函数，称为 f(z)的原函数，
不定积分
? 性质
? 设 F(z)是 f(z)的原函数，则 F’(z)=f(z)
? 如果允许相差一个任意常数，则不定积分可以写成
? F(z) = ∫f(z)dz
? 求原函数
? 在原函数存在的情况下，复积分与实积分只是变量不同，
形式上没有任何区别，其原函数的计算方法和结果与实数
情况完全类似。
? 例如,
? ∫zn dz = zn+1/(n+1)
? ∫cos(z)dz = sin(z)
? ∫sin(z)dz = - cos(z)
? ∫exp(z)dz = exp(z)
柯西公式
? 柯西公式
? 公式
? 如 f(z)在单连通闭区域 B上解析,L为 B的边界线,a为 B
内的任意一点，则
dzaz zfiaf L? ?? )(2 1)( ?
? 证明：
dzaz zfdzaz zf razrL ?? ??? ??? ||0 )(lim)(
?? ???? ?? direafdirere reaf irii ir )(lim)(lim 200200 ???? ?? ??
)(2)(20 afidiaf ??? ?? ?
柯西公式
? 变形
?? ?? dzfizf L? ?? )(2 1)(
? 推广：
?)(' zf
?)(" zf
?)()3( zf
?? ?? dzfinzf L nn ? ??? 1)( )( )(2 !)(
?? ?? dzfi L? ?? 4)( )(2 23
?? ?? dzfi L? ? 2)( )(2 1
?? ?? dzfi L? ? 3)( )(2 2
柯西公式
? 意义
?解析函数的整体性：边界值完全决定内部值；
?解析函数的可导性：一次可导 =>无限次可导。
? 应用
?理论上
? 模数原理,f(z)在闭区域解析,|f(z)|在边界上取最大值；
? 刘维定理：全平面上有界的解析函数必为常数。
?计算上
? 简化路积分的计算。
柯西公式
? 应用举例
? 例 1
? 问题：计算回路积分
? 分析：与柯西公式比较，可知 f(z)=cosh(z),a = -1
?解：由柯西公
式
? ? ?2|| 1c o shz dzz z
)(2)( afidzaz zfL ????
1c o s h2)1c o s h (21c o s h2|| iidzz zz ?? ????? ?
柯西公式
? 例 2
? 问题：计算回路积分
? 分析：与推广的柯西公式比较，
可知 f(z)=sinh(z),a = 0,n = 1
? 解：由推广的柯西公式
? ?1|| 2sin hz dzz z
)(2)( )(1 afn idzaz zf n
L n ！）（
??
?? ?
ii
idz
z
z
z
??
?
20c o s h2
)0(s i n h '2
s i n h
1|| 2
??
??
?
柯西公式
? 例 3
? 问题：计算回路积分
? 分析：与柯西公式比较，
可知 f(z)=, a =
? ? ?1|| )2( 1z dzzz
? 例 4
? 问题：计算回路积分 ?
? ?2|| )1(
1
z
dzzz
? 分析：
本章小结
? 路积分
? 复变函数的路积分可分解为 2个线积分；
? 一般情况下，路积分与积分路径有关；
? 柯西定理
? 在单连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点
和终点决定；
? 在复连通区域内解析，则回路积分等于沿回路里所有内边
界线积分之和。
? 柯西公式
?? ?? dzfinzf L nn ? ??? 1)( )( )(2 !)(
复变函数的积分
复变函数的积分
? 路积分
? 柯西定理
? 不定积分
? 柯西公式
? 本章小结
路积分
? 路积分的概念和性质
实变函数 复变函数
定义
性质
i
n
i
ix
b
a xxfdxxf
i
?? ??
??? 10
)()( lim in
i
izC zzfdzzf
i
?? ??
??? 10
)()( lim
?? ? baba dxxfcdxxcf )()( ?? ? CC dzzfcdzzcf )()(
??? ??? bababa g d xfd xdxgf ][ ??? ??? CCC gdzf dzdzgf ][
?? ?? abba dxxfdxxf )()( ?? ?? CC dzzfdzzf )()(
dxfdxfdxf babcca ??? ?? dzfdzfdzf
CCCC ??? ??? 2121
路积分
? 路积分的计算
? 思路
? 化复为实
? 公式 I
?∫C f(z) dz = ∫C(u +iv)(dx +idy)
? = ∫C(udx-vdy)+i∫C(udy+vdx)
? 公式 II
?∫C f(z) dz = ∫C(u +iv)(eiφdr +i r eiφdφ)
? = ∫C eiφ[(udr-vrdφ)+i(urdφ+vdr)]
路积分
? 例题 1
? 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数 ∫ Czdz从 O到 B的定积分。
解：
z dzz dzz dz ABO AB OA ?? ? ??
)()()( 2010 ixdixiyiyd ???? ??
ii 223)2221(21 2 ????????
)2()2(20 xixdxixz d zOB ??? ??
ix d xi 2)1( 2320221 ???? ?z dzz dzz dz CBO C B OC ?? ? ?? i223??
路积分
? 例题 2
? 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数 ∫ C z2dz从 O到 B的定积分。
解：
dzzdzzdzz ABO AB OA 222 ?? ? ??
)()()()( 220210 ixdixiydiy ???? ??
)112(31 i??
)2()2( 2202 xixdxixdzzOB ??? ??
3312
0
321 )2()1( ixd xi ???? ?dzzdzzdzz CBO C B OC 222 ?? ? ?? )112(31 i??
路积分
? 例题 3
? 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数 ∫ C Re(z) dz从 O到 B的定积
分。
解：
x dzx dzx dz ABO A B OA ?? ? ??
)()(0 2010 ixxdiyd ??? ??
2?
)2(20 xixxdx dzOB ?? ??
ixd xi ???? ? 2)1( 2021x dzx dzx dz CBO C B OC ?? ? ??
i22??
路积分
? 例题 4
? 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数 ∫ z-1dz从 O到 B的定积分。
解：
??
?
ii
AD deedzz
??? ?? 01 i???
dzzdzzdzzdzz CDBCABABC D 1111 ???? ???? ???
drrdeedrr aiia 11 101 ??? ??? ? ???
i???
???
?
ii
AD deedzz
??? ?? 21 i??
柯西定理
? 积分规律的探究
? 归纳
? 如果函数 f(z)在单连通区
域内解析，则路积分与路
径无关，完全由起点和终
点决定。
? 猜想
? 如果函数 f(z)在闭单连通
区域 B上解析，则沿 B上
任一分段光滑闭合曲线 l
的路积分有：
? ?l dzzf 0)( 0
)(
21
21
???
??
??
???
LL
LLl
f d zf d z
f d zf d zdzzf
? 证明（见教材）
柯西定理
? 推广
? 规律
? 闭复连通区域上的解析函数沿
外边界线逆时针积分等于沿所
有内边界线逆时针积分之和。
? 公式
? ?? ? i ll i dzzfdzzf )()(
? 统一表述
? 解析函数沿所有边界线正向积
分为零；
? 起点和终点固定时，积分路径
在解析区域中连续变形不改变
路积分的值。
柯西定理
? 例题
? 计算积分
dzazI nL )( ?? ?
? 解：
? 如 a不在 L内,I = 0
? 当 a在 L内时，
? 如 n ≥0,I = 0；
? 如 n < 0，可以
用柯西定理的推广
dzazI nC )( ?? ?
)()(20 ??? ini redre??
??
?
??
???? ?? ?
1,2
1,0)1(2
0
1
ni
ndier nin
??
??
不定积分
? 不定积分原函数
? 概念
? 上限为变量的路积分称为不定积分
? 分析
? 如被积函数 f(z)在单连通区域 B上解析，则不定积分单值。
? 如被积函数 f(z)在复连通区域 B上解析，则不定积分多值；
? 原函数
? 概念
? 如 f(z)在单连通区域 B上解析，则不定积分
?? zz dfzF 0 )()( ??
? 在 B上定义了一个单值解析函数，称为 f(z)的原函数，
不定积分
? 性质
? 设 F(z)是 f(z)的原函数，则 F’(z)=f(z)
? 如果允许相差一个任意常数，则不定积分可以写成
? F(z) = ∫f(z)dz
? 求原函数
? 在原函数存在的情况下，复积分与实积分只是变量不同，
形式上没有任何区别，其原函数的计算方法和结果与实数
情况完全类似。
? 例如,
? ∫zn dz = zn+1/(n+1)
? ∫cos(z)dz = sin(z)
? ∫sin(z)dz = - cos(z)
? ∫exp(z)dz = exp(z)
柯西公式
? 柯西公式
? 公式
? 如 f(z)在单连通闭区域 B上解析,L为 B的边界线,a为 B
内的任意一点，则
dzaz zfiaf L? ?? )(2 1)( ?
? 证明：
dzaz zfdzaz zf razrL ?? ??? ??? ||0 )(lim)(
?? ???? ?? direafdirere reaf irii ir )(lim)(lim 200200 ???? ?? ??
)(2)(20 afidiaf ??? ?? ?
柯西公式
? 变形
?? ?? dzfizf L? ?? )(2 1)(
? 推广：
?)(' zf
?)(" zf
?)()3( zf
?? ?? dzfinzf L nn ? ??? 1)( )( )(2 !)(
?? ?? dzfi L? ?? 4)( )(2 23
?? ?? dzfi L? ? 2)( )(2 1
?? ?? dzfi L? ? 3)( )(2 2
柯西公式
? 意义
?解析函数的整体性：边界值完全决定内部值；
?解析函数的可导性：一次可导 =>无限次可导。
? 应用
?理论上
? 模数原理,f(z)在闭区域解析,|f(z)|在边界上取最大值；
? 刘维定理：全平面上有界的解析函数必为常数。
?计算上
? 简化路积分的计算。
柯西公式
? 应用举例
? 例 1
? 问题：计算回路积分
? 分析：与柯西公式比较，可知 f(z)=cosh(z),a = -1
?解：由柯西公
式
? ? ?2|| 1c o shz dzz z
)(2)( afidzaz zfL ????
1c o s h2)1c o s h (21c o s h2|| iidzz zz ?? ????? ?
柯西公式
? 例 2
? 问题：计算回路积分
? 分析：与推广的柯西公式比较，
可知 f(z)=sinh(z),a = 0,n = 1
? 解：由推广的柯西公式
? ?1|| 2sin hz dzz z
)(2)( )(1 afn idzaz zf n
L n ！）（
??
?? ?
ii
idz
z
z
z
??
?
20c o s h2
)0(s i n h '2
s i n h
1|| 2
??
??
?
柯西公式
? 例 3
? 问题：计算回路积分
? 分析：与柯西公式比较，
可知 f(z)=, a =
? ? ?1|| )2( 1z dzzz
? 例 4
? 问题：计算回路积分 ?
? ?2|| )1(
1
z
dzzz
? 分析：
本章小结
? 路积分
? 复变函数的路积分可分解为 2个线积分；
? 一般情况下，路积分与积分路径有关；
? 柯西定理
? 在单连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点
和终点决定；
? 在复连通区域内解析，则回路积分等于沿回路里所有内边
界线积分之和。
? 柯西公式
?? ?? dzfinzf L nn ? ??? 1)( )( )(2 !)(
