数学物理方法
柱函数
柱函数
? 柱函数的基本性质
? 贝塞尔方程本征值问题
? 转动对称柱面问题
? 一般柱面问题
? 本章小结
柱函数的基本性质
? m 阶柱函数
? 定义：
– 分类：
? m 阶贝塞尔函数
? m 阶诺伊曼函数
? m 阶汉克尔函数
的特解贝塞尔方程 0)('" 222 ???? ymxxyyx
? ?? ? ? ???? ?? 0 22)1(! )1()( k mkxkm mkkxJ
mx
xJmxxJxN mm
m s i n
)(c o s)()( ???
)()()( xNixJxH mmm ??
柱函数的基本性质
? 柱函数的图象
? 贝塞尔函数
? 诺伊曼函数
? 柱函数的性质
? 对称性
? 对整数阶柱函数有 Zm(-x) =(-1)m Zm(x)
? 渐近性质
? 零点分布
? 递推公式
贝塞尔函数的图象
诺伊曼函数的图象
柱函数的渐近性质
x → 0 时的行为：
m
x
m
m
x
mx
mm
xNxN
xJxJ
)()(,ln)(
)()(,1)(
2)!1(
02
2
0
2!
1
00
??
?
?
?
???
??
x → ∞ 时的行为：
)](e x p [)(
)];(e x p [)(
);s i n ()(
);c o s ()(
4
1
2
12
4
1
2
12
4
1
2
12
4
1
2
12
??
??
??
??
?
?
?
?
????
???
???
???
?
?
mxixH
mxixH
mxxN
mxxJ
xm
xm
xm
xm
柱函数的零点分布
? 由渐近公式，在 x 较大时
? 由图象：
m 阶贝塞尔函数有无限多个正零点
?? ?????? ? )( 1)()(3)(2)(10 mnmnmmm xxxxx
?
?????
)(
)(0)c o s (
4
1
2
1)(
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
???
????????
mnx
nmxmx
m
n
相邻阶贝塞尔函数的正零点交替出现
?? ?????? ? )1(1)(1)2(1)1(1)0(10 mm xxxxx
第一个正零点的大小随着贝塞尔函数的阶数增加
??????? ?? )(3)1(2)(2)1(1)(10 mmmmm xxxxx
柱函数的递推公式
)() ] '([
)() ] '([
1
1
xZxxZx
xZxxZx
m
m
m
m
m
m
m
m
?
??
?
??
??
??
基本递推公式
推论二
1
1
/'
/'
?
?
???
???
mmm
mmm
ZxmZZ
ZxmZZ
推论一
11
11
/2
'2
??
??
??
??
mmm
mmm
ZZxmZ
ZZZ
递推公式的证明
? ?? ? ? ???? ?? 0 22)1(! )1()( k mkxkm mkkxJ
? ? )'()1(! )1(]'/)([ 20 221 kk mkkmm xmkkxxJ ? ? ? ???? ??
? ? 121 221)1(! )1(2 ?? ? ?? ??? ?? kk mkk xmkk k
? ? 121 12211 )1()!1( )1( ?? ? ???? ???? ??? kk mkk xmkk1??kl
? ? mmll mll xxmll /)11(! )1( 120 1221 ???? ??? ???? ???
mm xxJ /)(1???
递推公式的应用
]'[]'[
]'[]'[
1
1
01
1
11
1
xZxZZxZx
ZxxZZxZx
m
m
m
m
k
kk
km
m
m
m
?
?
??
?
??
?
??
????
?????
?? ????? dxJxxxdxJx mmmnmn ]'[ 111
? ??? ????? dxJxmnJx mnmn 111 )1(
?? ?? dxxJxxdxJx nn ]'[ 110
? ???? dxJxnJx nn 111 )1(
? ?? ????? dxJxnJxnJx nnn 022011 )1()1(
cJxdxJx mmmm ??? ? 1
递推公式的应用
?? ??? dxxJJxJxdxJx 0021303 42
?? ??? ????? dxJxmnJxdxJx mnmnmn 111 )1(
10 xJdxxJ ??
?? ?? ????? dxJxnJxnJxdxJx nnnn 0220110 )1()1(
例题 1
例题 2
01 JdxJ ???
例题 4
例题 3
?? ??? dxxJJxdxJx 00212 2
例题 5 ?? ??? dxJxJdxxJ
112 2
cJxdxJx mmmm ??? ? 1
贝塞尔方程的本征值问题
? 转动对称柱面问题的分解
? 一般本征值问题
? 本征值问题
? 本征值和本征函数
? 正交性和完备性
? 典型本征值问题
? 有界和第一类边界条件
? 有界和第二类边界条件
? 两边第一类边界条件
转
动
对
称
柱
面
问
题
的
分
解
uau t 22 ??
0' 22 ?? TkaT
?? imeRtTu )()(?
?? imt efu )(| 0 ??
)e x p ( 22 takAT nn ?? )()( ?? nmnnmn kNDkJCR ??
? ? ?? 1 )()(n imnn eRtTu ??? ? ?? 1 )()( n nn RAf ??
0)''( 22 ??? RkRR m ?? ?
一般本征值问题
? 本征值问题：
??
??? ??????
刘型边界条件—斯
kbxyxymxyyx 0,0'" 222
??
?
?
? ???
刘型边界条件—斯
0)''( 22 RkRR m ?? ?
令 x = k ρ,y(x) = R(ρ),问题化为：
本征值和本征函数
? 泛定方程的通解为：
)()()( xBNxAJxy mm ??
? 根据边界条件可以得出本征值：
? 本征函数为：
00
,/
)(
00
)()(
???
?
m
m
n
m
nn
kk
nbk
?
??
义能够得到非零解，则定如果
个正数；为非零解条件确定的第
?,3,2,10),/()/()()( )()(,???? nbNDbJCxyR mnmnmnmnnn ?????
正交性和完备性
2,
0 )()()(
mnlnlnb NdxPR ???? ??
模
正交性
??? dRN nbmn )()( 202 ??
完备性
)()( 1 ?? nn n Rff ? ? ??
广义傅立叶系数为
???? dRfNf nbm
n
n )()()(
1
02 ??
有界和第一类边界条件
? 本征值问题为：
? 本征值和本征函数为：
?,3,2,1),/()()(
)(,/
)(
)()(
???
?
nbxJxyR
nxJxbxk
m
nmnn
m
m
n
m
nn
??
个正根；的第为
??
???
?
????
? 0|
,0)''( 22
b
m
R
bRkRR
?
? ???
? 正交性和模：
)()(
)()()(
)(2
1
2
2
12
2
,0
m
nm
m
n
m
nlnln
b
xJbN
NdxPR
??
?? ????
有界和第一类边界条件
???? dRfNf nbm
n
n )()()(
1
02 ??
)/()()( )(11 bxJfRff mnmn nnn n ??? ?? ? ?? ? ??
? 完备性：
? 广义傅立叶系数：
x d xxJkxfNk mnbkm
nn
n )()/(
)(
1
022 ??
x d xxJxbxfNx b m
x m
nm
n
m
n
m
n )()/(
)()(
)(
0
)(
22)(
2 ?
?
有界和第一类边界条件
????? dRcNf nbm
nn
)()()( 1 02 ?? ?
)/()()( )(11 bxJfRfc mnmn nnn n ???? ?? ? ?? ? ???
)()( 1 2 ccRN nm
n
?
例 1：把函数 f = δ(ρ-c)在 [0,b] 区间用 m阶贝塞尔函数展开。
)(
)/(
)(2
1
2
21
)(
m
nm
m
nm
xJb
bcxcJ
?
?
有界和第一类边界条件
???? dRNf nmbm
nn
)()( 1 02 ??
)/()( )(11 bxJfRf mnmn nnn nm ??? ?? ? ?? ? ??
x d xxJxNx b mx mm
nmmn
m mn
)()()(
)(
022)(
2 ?
?
?
?
例 2：把函数 f = ρm 在 [0,b] 区间用 m阶贝塞尔函数展开。
)(
2
)(1)( mnmmn
m
xJx
b
?
?
? ? )(01122)( 2 )()()( mnxmmm
nmmn
m
xJxNx b ???
?
?
bxx mn /)( ??
有界和第一类边界条件
例 3：把函数 f = ρ2 在 [0,b] 区间用 0阶贝塞尔函数展开。
)/()( )0(0112 bxJfRf nn nnn n ??? ?? ? ?? ? ??
???? dRNf nb
n
n )()(
1 2
020 ??
dxxJxNx b nx
nn
)()()( 0
0
3
204)0(
4 )0(?
?
? ? )0(010213)0(2
12214)0(
4
42)()( nx
nn
xJJxJxxJbx b ???
1021303 42 xJJxJxdxJx ????
)(]4)[()()( 2 )0(1)0(3)0()0(2
14)0(
2
nnn
nn
xJxxxJx b ??
有界和第二类边界条件
? 本征值问题为：
? 本征值和本征函数为：
??
?
?
?
?????
????
??
0,3,2,1,0),/()()(
0;,3,2,1),/()()(
,)(',/
)1(
0
)0(
0
)0(
0
)(
)1()0()()(
xnbJxyR
mnbJxyR
xnxJbk
nnn
m
nmnn
nnm
m
n
m
nn
????
???
???；特例：个正根的第为
?
?
??
???
?
????
? 0|'
,0)''( 22
b
m
R
bRkRR
?
? ???
? 正交性和模：
)(/)(
)(/])/(1[)(
)()()(
)0(2
0
2
2
120
)(22)(2
2
12
2
,
0
nn
m
nm
m
n
m
n
m
nlnln
b
JbN
JmbN
NdPR
?
??
?????
?
??
??
有界和第二类边界条件
????? dRcNf nbm
nn
)()()( 1 02 ?? ?
)/()()( )1(000 bxJfRfc nn nnn n ???? ?? ? ?? ? ???
)()( 1 2 ccRN nm
n
?
例 1：把函数 f = δ(ρ-c)在 [0,b] 区间用 0阶贝塞尔函数展开。
)(
)/(
)1(2
0
2
2
1
)1(
0
n
n
xJb
bcxcJ?
)1()0(
10 )()('
nn x
xJxJ
??
?
?
?
有界和第二类边界条件
??? dRNf nb
nn
)(1)( 1 020 ?? ?
)/()(1 )1(000 bxJfRf nn nnn n ?? ?? ? ?? ? ??
dxxJxNx b nx
nn
)()()( 0
0202)1(
2 )1(?
?
例 2：把函数 f = 1 在 [0,b] 区间用 0阶贝塞尔函数展开。
0?? ? )1(01202)1(
2
)()()( nx
nn
xxJNx b?
bxx n /)1( ??
1?
??? dRNf b )(1)( 1 0020
00
?? ?
?? dJb b 11)0(1 02
0221
?? ?
两边第一类边界条件
? 本征值问题为：
? 代入边界条件：
0)()( )()( ??
?
?
??
?
??
?
??
?
B
A
kbNkbJ
kaNkaJ
mm
mm
??
???
??
?????
?? 0||
,0)''( 22
ba
m
RR
baRkRR
??
? ???
)()()( ??? kBNkAJR mm ??
? 通解为：
? 非零解条件：
0)()( )()( ?kbNkbJ kaNkaJ
mm
mm
转动对称柱面问题
? 轴对称柱面问题 ( m = 0 时的特例 )
? 热传导问题
? 波动问题
? 稳定问题
? 转动对称柱面问题
? 热传导问题
? 波动问题
? 稳定问题
轴对称热传导问题
)(0122 ?? nn n kJAb ? ? ???由初始条件得：
例题 1
??? ? ???? dkJbNA nb
n
n )()()(
1
022020根据完备性：
半径为 b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布
为 f = b2 –ρ2，确定柱内温度 u 的变化。
??
???
????
???
??
22
0
2
2
|,0|
,
?
?
? bfuu
buau
tb
t定解问题为：
? ? ? ?? 1 0022 )]()()[e x p (n nnnnnn kNDkJCtkaAu ??
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ? ? ???
?
1
)0(
0
22 /),()e x p (
,0),(),0(
n nnnnn bxkkJtkaAu
tbutu
?
半通解化为有界，
解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。
轴对称热传导问题
)(002 ?? nn n kJAA ? ? ??由初始条件得：
例题 2
?? ? ???? dkJANA nb
n
n )()(
1
02020根据完备性：
半径为 b的无限长圆柱体，柱面上绝热，初始温度分布为 f =
Aρ2,确定柱内温度 u 的变化。
??
???
???
???
?? 20
22
|,0|
,
?
?
?? Afuu
buau
tb
t定解问题为：
? ? ? ?? 0 0022 )]()()[e x p (n nnnnnn kNDkJCtkaAu ??
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ? ? ???
?
0
)1(
0
22 /),()e x p (
,0),(),0(
n nnnnn bxkkJtkaAu
tbutu
?
? 半通解化为有界，
解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。
轴对称波动问题
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
)(0
)(
01
01
22
?
??
nnn n
nn n
kJakB
kJAb
由初始条件得：
例题 3
???? ? ???? dkJbNAB nb
n
nn )()()(
1,0
022020根据完备性：
半径为 b的圆形膜，边缘固定，初始形状是旋转抛物面
f = b2 –ρ2，初始速度为零，求膜的振动情况。
??
???
????
???
??? 0|,|,0|
,
0220
22
tttb
tt
ubuu
buau
?
?
?
定解问题为：
? ? ? ??? 1 00 )]()()[s i nc o s(n nnnnnnnn kNDkJCtakBtakAu ??
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ? ? ???
?
1
)0(0 /),()s i nc o s(
,0),(),0(
n nnnnnnn bxkkJtakBtakAu
tbutu
?
半通解化为有界，
解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。
轴对称波动问题
??
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
)()(
)(0
01
01
???
?
nnn n
nn n
kJakBc
kJA
由初始条件得：
例题 4
???? ? ????? dkJcNakBA nb
nn
nn )()()(
1,0
0020根据完备性：
半径为 b的圆形膜，边缘固定，初始位移为零，初始速度为 f
= δ(ρ - c)，求膜的振动情况。
??
???
????
???
??? )(|,0|,0|
,
00
22
cuuu
buau
tttb
tt
??
?
?
定解问题为：
? ? ? ??? 1 00 )]()()[s i nc o s(n nnnnnnnn kNDkJCtakBtakAu ??
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ? ? ???
?
1
)0(0 /),()s i nc o s(
,0),(),0(
n nnnnnnn bxkkJtakBtakAu
tbutu
?
半通解化为有界，
解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。
轴对称稳定问题
0)(0 01 ??? ? ? ? nnn n AkJA ?由下底条件得：
例题 5
?? ? ???? dkJNLkB nb
nnn
)()(s i n h 1 02020根据完备性：
半径为 b，高为 L的圆柱体，下底和侧面都保持零度，上底的温
度分布为 ρ2，求柱内的稳恒温度分布。
??
???
???
??????
??? 20
2
|,0|,0|
0,,0
?
?
? Lzzb
zz
uuu
Lzbuu定解问题为：
? ? ? ??? 1 00 )]()()[s i n hc o s h(n nnnnnnnn kNDkJCzkBzkAu ??
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ? ? ???
?
1
)0(0 /),()s i n hc o s h(
,0),(),0(
n nnnnnnn bxkkJzkBzkAu
zbuzu
?
半通解化为有界，
)()s i n h ( 012 ?? nnn n kJLkB? ? ??由上底条件得：
解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。
轴对称稳定问题
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)()s i n h (
)()s i n h (
01
2
01
??
?
nnn n
nnn n
kJLkBB
kJLkAA
由上下底条件得：
例题 6
??? ? nnb
nn
n BdkAJNLkA,)()(s i n h
1
0020 ???根据完备性：
半径为 b，高为 L的圆柱体，侧面电势保持为零，上底的电势为
A，下底的电势分布为 Bρ2，求柱内的电势分布。
??
???
???
??????
??? AuBuu
Lzbuu
Lzzb
zz
|,|,0|
0,,0
20
2
?
?
?
定解问题为：
? ? ? ???? 1 00 )]()()][(s i n hs i n h[n nnnnnnnn kNDkJCzLkBzkAu ??
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ? ? ????
?
1
)0(0 /),()](s i n hs i n h[
,0),(),0(
n nnnnnnn bxkkJzLkBzkAu
zbuzu
?
半通解化为有界，
解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。
转动对称热传导问题
)(11 ?? nn n kJAA ? ? ??由初始条件得：
例题 7
?? ? ???? dkJANA nb
n
n )()(
1
1021根据完备性：
半径为 b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布
为 f = Aρ cosφ，确定柱内温度 u 的变化。
??
???
??
???
?? ??
?
? co s|,0|
,
0
22
Auu
buau
tb
t定解问题为：
??? c o s)]()()[e x p (1 1122? ? ? ?? n nnnnnn kNDkJCtkaAu
，相应的半通解为定解问题有转动对称性
? ? ? ???
?
1
)1(
1
22 /,c o s)()e x p (
,0),(),0(
n nnnnn bxkkJtkaAu
tbutu
??
半通解化为有界，
解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。
转动对称波动问题
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(0
)(
21
21
2
?
??
nnn n
nn n
kJakB
kJA
由初始条件得：
例题 8
??? ? ???? dkJNAB nb
n
nn )()(
1,0
22022根据完备性：
半径为 b的圆形膜，边缘固定，初始形状是 ρ2sin2φ，初始
速度为零，求膜的振动情况。
??
???
????
???
??? 0|,2s i n|,0|
,
0220
22
tttb
tt
ubuu
buau
??
?
? ）（
定解问题为：
??? 2s i n)]()()[s i nc o s(1 22? ? ? ??? n nnnnnnnn kNDkJCtakBtakAu
，相应的半通解为定解问题有转动对称性
? ? ? ???
?
1
)2(2 /,2s i n)()s i nc o s(
,0),(),0(
n nnnnnnn bxkkJtakBtakAu
tbutu
??
半通解化为有界，
解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。
转动对称稳定问题
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)()s i n h (
)()s i n h (0
11
11
??
?
nnn n
nnn n
kJLkBA
kJLkA
由上下底条件得：
例题 9
??? ? ???? dkJANLkBA nb
nn
nn )()(s i n h
10
1021，根据完备性：
半径为 b，高为 L的圆柱体，侧面和上底保持零度，下底的
温度分布为 Aρsinφ，求柱内的稳恒温度分布。
??
?
???
??????
??? 0|,s i n|,0|
0,,0
0
2
Lzzb
zz
uAuu
Lzbuu
??
?
?
定解问题为：
??? s i n)]()() ] [(s i n hs i n h[1 11? ? ? ???? n nnnnnnnn kNDkJCzLkBzkAu
，相应的半通解为定解问题有转动对称性
? ? ? ????
?
1
)1(1 /,s i n)()](s i n hs i n h[
,0),(),0(
n nnnnnnn bxkkJzLkBzkAu
zbuzu
??
半通解化为有界，
解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。
一般柱面问题
? 思路
? 先把非对称的条件分解为三角函数 ;
? 含三角函数的条件求出对称柱面解 ;
? 再对所得对称柱面解进行叠加。
? 一般热传导问题
? 一般波动问题
? 一般稳定问题
一般热传导问题
半径为 b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始
温度分布为 f (ρ,φ)，确定柱内温度 u 的变化。
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
),(|
,0|
,
0
2
2
??
?
?
fu
u
buau
t
b
t
定解问题为：
bxk
imkJtkaAu
m
n
m
n
n
m
nm
m
nnmm
/
)ex p ()()ex p (
|)(|)(
1
)(2)(2
,
?
? ??
?
?
?
???
??
定解问题的半通解为
解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。
一般波动问题
半径为 b的圆形膜，边缘固定，初始形状是 f (ρ,
φ)，初始速度为零，求膜的振动情况。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
0|
),|
,0|
,
0
0
2
2
tt
t
b
tt
u
fu
u
buau
??
?
?
（
定解问题为：
bxk
imkJtakBtakAu
m
n
m
n
n
m
nm
m
nnm
m
nnmm
/
)ex p ()()s i nco s(
|)(|)(
1
)()(
,
)(
,
?
?? ??
?
?
?
???
??
定解问题的半通解为
解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。
一般稳定问题
解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，
建立柱坐标。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
?
?
0|
),(|
0|
0,,0
0
2
Lz
z
b
zz
u
fu
u
Lzbuu
??
?
?
定解问题为：
bxk
imkJzLkBzkAu
m
n
m
n
n
m
nm
m
nnm
m
nnmm
/
)ex p ()()](s i n hs i n h[
|)(|)(
1
)()(
,
)(
,
?
??? ??
?
?
??
问题的半通解为
半径为 b，高为 L的圆柱体，侧面和上底保持零度，
下底的温度分布为 f ( ρ,φ)，求柱内的稳恒温度分布。
本章小结
? 一般柱面问题可以分解为对称柱面问题的叠加；
? 对称柱面问题可以分离出贝塞尔方程的本征问题 ;
? 贝塞尔本征问题本征函数为柱函数，本征值由有
界或齐次边界条件确定 ;
? 典型的柱函数有贝塞尔函数和诺伊曼函数，它们
的对称性质、递推性质、渐近性质和零点分布等
对于柱面问题的求解有重要作用。
柱函数
柱函数
? 柱函数的基本性质
? 贝塞尔方程本征值问题
? 转动对称柱面问题
? 一般柱面问题
? 本章小结
柱函数的基本性质
? m 阶柱函数
? 定义：
– 分类：
? m 阶贝塞尔函数
? m 阶诺伊曼函数
? m 阶汉克尔函数
的特解贝塞尔方程 0)('" 222 ???? ymxxyyx
? ?? ? ? ???? ?? 0 22)1(! )1()( k mkxkm mkkxJ
mx
xJmxxJxN mm
m s i n
)(c o s)()( ???
)()()( xNixJxH mmm ??
柱函数的基本性质
? 柱函数的图象
? 贝塞尔函数
? 诺伊曼函数
? 柱函数的性质
? 对称性
? 对整数阶柱函数有 Zm(-x) =(-1)m Zm(x)
? 渐近性质
? 零点分布
? 递推公式
贝塞尔函数的图象
诺伊曼函数的图象
柱函数的渐近性质
x → 0 时的行为：
m
x
m
m
x
mx
mm
xNxN
xJxJ
)()(,ln)(
)()(,1)(
2)!1(
02
2
0
2!
1
00
??
?
?
?
???
??
x → ∞ 时的行为：
)](e x p [)(
)];(e x p [)(
);s i n ()(
);c o s ()(
4
1
2
12
4
1
2
12
4
1
2
12
4
1
2
12
??
??
??
??
?
?
?
?
????
???
???
???
?
?
mxixH
mxixH
mxxN
mxxJ
xm
xm
xm
xm
柱函数的零点分布
? 由渐近公式，在 x 较大时
? 由图象：
m 阶贝塞尔函数有无限多个正零点
?? ?????? ? )( 1)()(3)(2)(10 mnmnmmm xxxxx
?
?????
)(
)(0)c o s (
4
1
2
1)(
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
???
????????
mnx
nmxmx
m
n
相邻阶贝塞尔函数的正零点交替出现
?? ?????? ? )1(1)(1)2(1)1(1)0(10 mm xxxxx
第一个正零点的大小随着贝塞尔函数的阶数增加
??????? ?? )(3)1(2)(2)1(1)(10 mmmmm xxxxx
柱函数的递推公式
)() ] '([
)() ] '([
1
1
xZxxZx
xZxxZx
m
m
m
m
m
m
m
m
?
??
?
??
??
??
基本递推公式
推论二
1
1
/'
/'
?
?
???
???
mmm
mmm
ZxmZZ
ZxmZZ
推论一
11
11
/2
'2
??
??
??
??
mmm
mmm
ZZxmZ
ZZZ
递推公式的证明
? ?? ? ? ???? ?? 0 22)1(! )1()( k mkxkm mkkxJ
? ? )'()1(! )1(]'/)([ 20 221 kk mkkmm xmkkxxJ ? ? ? ???? ??
? ? 121 221)1(! )1(2 ?? ? ?? ??? ?? kk mkk xmkk k
? ? 121 12211 )1()!1( )1( ?? ? ???? ???? ??? kk mkk xmkk1??kl
? ? mmll mll xxmll /)11(! )1( 120 1221 ???? ??? ???? ???
mm xxJ /)(1???
递推公式的应用
]'[]'[
]'[]'[
1
1
01
1
11
1
xZxZZxZx
ZxxZZxZx
m
m
m
m
k
kk
km
m
m
m
?
?
??
?
??
?
??
????
?????
?? ????? dxJxxxdxJx mmmnmn ]'[ 111
? ??? ????? dxJxmnJx mnmn 111 )1(
?? ?? dxxJxxdxJx nn ]'[ 110
? ???? dxJxnJx nn 111 )1(
? ?? ????? dxJxnJxnJx nnn 022011 )1()1(
cJxdxJx mmmm ??? ? 1
递推公式的应用
?? ??? dxxJJxJxdxJx 0021303 42
?? ??? ????? dxJxmnJxdxJx mnmnmn 111 )1(
10 xJdxxJ ??
?? ?? ????? dxJxnJxnJxdxJx nnnn 0220110 )1()1(
例题 1
例题 2
01 JdxJ ???
例题 4
例题 3
?? ??? dxxJJxdxJx 00212 2
例题 5 ?? ??? dxJxJdxxJ
112 2
cJxdxJx mmmm ??? ? 1
贝塞尔方程的本征值问题
? 转动对称柱面问题的分解
? 一般本征值问题
? 本征值问题
? 本征值和本征函数
? 正交性和完备性
? 典型本征值问题
? 有界和第一类边界条件
? 有界和第二类边界条件
? 两边第一类边界条件
转
动
对
称
柱
面
问
题
的
分
解
uau t 22 ??
0' 22 ?? TkaT
?? imeRtTu )()(?
?? imt efu )(| 0 ??
)e x p ( 22 takAT nn ?? )()( ?? nmnnmn kNDkJCR ??
? ? ?? 1 )()(n imnn eRtTu ??? ? ?? 1 )()( n nn RAf ??
0)''( 22 ??? RkRR m ?? ?
一般本征值问题
? 本征值问题：
??
??? ??????
刘型边界条件—斯
kbxyxymxyyx 0,0'" 222
??
?
?
? ???
刘型边界条件—斯
0)''( 22 RkRR m ?? ?
令 x = k ρ,y(x) = R(ρ),问题化为：
本征值和本征函数
? 泛定方程的通解为：
)()()( xBNxAJxy mm ??
? 根据边界条件可以得出本征值：
? 本征函数为：
00
,/
)(
00
)()(
???
?
m
m
n
m
nn
kk
nbk
?
??
义能够得到非零解，则定如果
个正数；为非零解条件确定的第
?,3,2,10),/()/()()( )()(,???? nbNDbJCxyR mnmnmnmnnn ?????
正交性和完备性
2,
0 )()()(
mnlnlnb NdxPR ???? ??
模
正交性
??? dRN nbmn )()( 202 ??
完备性
)()( 1 ?? nn n Rff ? ? ??
广义傅立叶系数为
???? dRfNf nbm
n
n )()()(
1
02 ??
有界和第一类边界条件
? 本征值问题为：
? 本征值和本征函数为：
?,3,2,1),/()()(
)(,/
)(
)()(
???
?
nbxJxyR
nxJxbxk
m
nmnn
m
m
n
m
nn
??
个正根；的第为
??
???
?
????
? 0|
,0)''( 22
b
m
R
bRkRR
?
? ???
? 正交性和模：
)()(
)()()(
)(2
1
2
2
12
2
,0
m
nm
m
n
m
nlnln
b
xJbN
NdxPR
??
?? ????
有界和第一类边界条件
???? dRfNf nbm
n
n )()()(
1
02 ??
)/()()( )(11 bxJfRff mnmn nnn n ??? ?? ? ?? ? ??
? 完备性：
? 广义傅立叶系数：
x d xxJkxfNk mnbkm
nn
n )()/(
)(
1
022 ??
x d xxJxbxfNx b m
x m
nm
n
m
n
m
n )()/(
)()(
)(
0
)(
22)(
2 ?
?
有界和第一类边界条件
????? dRcNf nbm
nn
)()()( 1 02 ?? ?
)/()()( )(11 bxJfRfc mnmn nnn n ???? ?? ? ?? ? ???
)()( 1 2 ccRN nm
n
?
例 1：把函数 f = δ(ρ-c)在 [0,b] 区间用 m阶贝塞尔函数展开。
)(
)/(
)(2
1
2
21
)(
m
nm
m
nm
xJb
bcxcJ
?
?
有界和第一类边界条件
???? dRNf nmbm
nn
)()( 1 02 ??
)/()( )(11 bxJfRf mnmn nnn nm ??? ?? ? ?? ? ??
x d xxJxNx b mx mm
nmmn
m mn
)()()(
)(
022)(
2 ?
?
?
?
例 2：把函数 f = ρm 在 [0,b] 区间用 m阶贝塞尔函数展开。
)(
2
)(1)( mnmmn
m
xJx
b
?
?
? ? )(01122)( 2 )()()( mnxmmm
nmmn
m
xJxNx b ???
?
?
bxx mn /)( ??
有界和第一类边界条件
例 3：把函数 f = ρ2 在 [0,b] 区间用 0阶贝塞尔函数展开。
)/()( )0(0112 bxJfRf nn nnn n ??? ?? ? ?? ? ??
???? dRNf nb
n
n )()(
1 2
020 ??
dxxJxNx b nx
nn
)()()( 0
0
3
204)0(
4 )0(?
?
? ? )0(010213)0(2
12214)0(
4
42)()( nx
nn
xJJxJxxJbx b ???
1021303 42 xJJxJxdxJx ????
)(]4)[()()( 2 )0(1)0(3)0()0(2
14)0(
2
nnn
nn
xJxxxJx b ??
有界和第二类边界条件
? 本征值问题为：
? 本征值和本征函数为：
??
?
?
?
?????
????
??
0,3,2,1,0),/()()(
0;,3,2,1),/()()(
,)(',/
)1(
0
)0(
0
)0(
0
)(
)1()0()()(
xnbJxyR
mnbJxyR
xnxJbk
nnn
m
nmnn
nnm
m
n
m
nn
????
???
???；特例：个正根的第为
?
?
??
???
?
????
? 0|'
,0)''( 22
b
m
R
bRkRR
?
? ???
? 正交性和模：
)(/)(
)(/])/(1[)(
)()()(
)0(2
0
2
2
120
)(22)(2
2
12
2
,
0
nn
m
nm
m
n
m
n
m
nlnln
b
JbN
JmbN
NdPR
?
??
?????
?
??
??
有界和第二类边界条件
????? dRcNf nbm
nn
)()()( 1 02 ?? ?
)/()()( )1(000 bxJfRfc nn nnn n ???? ?? ? ?? ? ???
)()( 1 2 ccRN nm
n
?
例 1：把函数 f = δ(ρ-c)在 [0,b] 区间用 0阶贝塞尔函数展开。
)(
)/(
)1(2
0
2
2
1
)1(
0
n
n
xJb
bcxcJ?
)1()0(
10 )()('
nn x
xJxJ
??
?
?
?
有界和第二类边界条件
??? dRNf nb
nn
)(1)( 1 020 ?? ?
)/()(1 )1(000 bxJfRf nn nnn n ?? ?? ? ?? ? ??
dxxJxNx b nx
nn
)()()( 0
0202)1(
2 )1(?
?
例 2：把函数 f = 1 在 [0,b] 区间用 0阶贝塞尔函数展开。
0?? ? )1(01202)1(
2
)()()( nx
nn
xxJNx b?
bxx n /)1( ??
1?
??? dRNf b )(1)( 1 0020
00
?? ?
?? dJb b 11)0(1 02
0221
?? ?
两边第一类边界条件
? 本征值问题为：
? 代入边界条件：
0)()( )()( ??
?
?
??
?
??
?
??
?
B
A
kbNkbJ
kaNkaJ
mm
mm
??
???
??
?????
?? 0||
,0)''( 22
ba
m
RR
baRkRR
??
? ???
)()()( ??? kBNkAJR mm ??
? 通解为：
? 非零解条件：
0)()( )()( ?kbNkbJ kaNkaJ
mm
mm
转动对称柱面问题
? 轴对称柱面问题 ( m = 0 时的特例 )
? 热传导问题
? 波动问题
? 稳定问题
? 转动对称柱面问题
? 热传导问题
? 波动问题
? 稳定问题
轴对称热传导问题
)(0122 ?? nn n kJAb ? ? ???由初始条件得：
例题 1
??? ? ???? dkJbNA nb
n
n )()()(
1
022020根据完备性：
半径为 b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布
为 f = b2 –ρ2，确定柱内温度 u 的变化。
??
???
????
???
??
22
0
2
2
|,0|
,
?
?
? bfuu
buau
tb
t定解问题为：
? ? ? ?? 1 0022 )]()()[e x p (n nnnnnn kNDkJCtkaAu ??
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ? ? ???
?
1
)0(
0
22 /),()e x p (
,0),(),0(
n nnnnn bxkkJtkaAu
tbutu
?
半通解化为有界，
解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。
轴对称热传导问题
)(002 ?? nn n kJAA ? ? ??由初始条件得：
例题 2
?? ? ???? dkJANA nb
n
n )()(
1
02020根据完备性：
半径为 b的无限长圆柱体，柱面上绝热，初始温度分布为 f =
Aρ2,确定柱内温度 u 的变化。
??
???
???
???
?? 20
22
|,0|
,
?
?
?? Afuu
buau
tb
t定解问题为：
? ? ? ?? 0 0022 )]()()[e x p (n nnnnnn kNDkJCtkaAu ??
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ? ? ???
?
0
)1(
0
22 /),()e x p (
,0),(),0(
n nnnnn bxkkJtkaAu
tbutu
?
? 半通解化为有界，
解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。
轴对称波动问题
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
)(0
)(
01
01
22
?
??
nnn n
nn n
kJakB
kJAb
由初始条件得：
例题 3
???? ? ???? dkJbNAB nb
n
nn )()()(
1,0
022020根据完备性：
半径为 b的圆形膜，边缘固定，初始形状是旋转抛物面
f = b2 –ρ2，初始速度为零，求膜的振动情况。
??
???
????
???
??? 0|,|,0|
,
0220
22
tttb
tt
ubuu
buau
?
?
?
定解问题为：
? ? ? ??? 1 00 )]()()[s i nc o s(n nnnnnnnn kNDkJCtakBtakAu ??
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ? ? ???
?
1
)0(0 /),()s i nc o s(
,0),(),0(
n nnnnnnn bxkkJtakBtakAu
tbutu
?
半通解化为有界，
解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。
轴对称波动问题
??
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
)()(
)(0
01
01
???
?
nnn n
nn n
kJakBc
kJA
由初始条件得：
例题 4
???? ? ????? dkJcNakBA nb
nn
nn )()()(
1,0
0020根据完备性：
半径为 b的圆形膜，边缘固定，初始位移为零，初始速度为 f
= δ(ρ - c)，求膜的振动情况。
??
???
????
???
??? )(|,0|,0|
,
00
22
cuuu
buau
tttb
tt
??
?
?
定解问题为：
? ? ? ??? 1 00 )]()()[s i nc o s(n nnnnnnnn kNDkJCtakBtakAu ??
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ? ? ???
?
1
)0(0 /),()s i nc o s(
,0),(),0(
n nnnnnnn bxkkJtakBtakAu
tbutu
?
半通解化为有界，
解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。
轴对称稳定问题
0)(0 01 ??? ? ? ? nnn n AkJA ?由下底条件得：
例题 5
?? ? ???? dkJNLkB nb
nnn
)()(s i n h 1 02020根据完备性：
半径为 b，高为 L的圆柱体，下底和侧面都保持零度，上底的温
度分布为 ρ2，求柱内的稳恒温度分布。
??
???
???
??????
??? 20
2
|,0|,0|
0,,0
?
?
? Lzzb
zz
uuu
Lzbuu定解问题为：
? ? ? ??? 1 00 )]()()[s i n hc o s h(n nnnnnnnn kNDkJCzkBzkAu ??
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ? ? ???
?
1
)0(0 /),()s i n hc o s h(
,0),(),0(
n nnnnnnn bxkkJzkBzkAu
zbuzu
?
半通解化为有界，
)()s i n h ( 012 ?? nnn n kJLkB? ? ??由上底条件得：
解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。
轴对称稳定问题
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)()s i n h (
)()s i n h (
01
2
01
??
?
nnn n
nnn n
kJLkBB
kJLkAA
由上下底条件得：
例题 6
??? ? nnb
nn
n BdkAJNLkA,)()(s i n h
1
0020 ???根据完备性：
半径为 b，高为 L的圆柱体，侧面电势保持为零，上底的电势为
A，下底的电势分布为 Bρ2，求柱内的电势分布。
??
???
???
??????
??? AuBuu
Lzbuu
Lzzb
zz
|,|,0|
0,,0
20
2
?
?
?
定解问题为：
? ? ? ???? 1 00 )]()()][(s i n hs i n h[n nnnnnnnn kNDkJCzLkBzkAu ??
相应的半通解为定解问题有轴对称性，
? ? ? ????
?
1
)0(0 /),()](s i n hs i n h[
,0),(),0(
n nnnnnnn bxkkJzLkBzkAu
zbuzu
?
半通解化为有界，
解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。
转动对称热传导问题
)(11 ?? nn n kJAA ? ? ??由初始条件得：
例题 7
?? ? ???? dkJANA nb
n
n )()(
1
1021根据完备性：
半径为 b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始温度分布
为 f = Aρ cosφ，确定柱内温度 u 的变化。
??
???
??
???
?? ??
?
? co s|,0|
,
0
22
Auu
buau
tb
t定解问题为：
??? c o s)]()()[e x p (1 1122? ? ? ?? n nnnnnn kNDkJCtkaAu
，相应的半通解为定解问题有转动对称性
? ? ? ???
?
1
)1(
1
22 /,c o s)()e x p (
,0),(),0(
n nnnnn bxkkJtkaAu
tbutu
??
半通解化为有界，
解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。
转动对称波动问题
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(0
)(
21
21
2
?
??
nnn n
nn n
kJakB
kJA
由初始条件得：
例题 8
??? ? ???? dkJNAB nb
n
nn )()(
1,0
22022根据完备性：
半径为 b的圆形膜，边缘固定，初始形状是 ρ2sin2φ，初始
速度为零，求膜的振动情况。
??
???
????
???
??? 0|,2s i n|,0|
,
0220
22
tttb
tt
ubuu
buau
??
?
? ）（
定解问题为：
??? 2s i n)]()()[s i nc o s(1 22? ? ? ??? n nnnnnnnn kNDkJCtakBtakAu
，相应的半通解为定解问题有转动对称性
? ? ? ???
?
1
)2(2 /,2s i n)()s i nc o s(
,0),(),0(
n nnnnnnn bxkkJtakBtakAu
tbutu
??
半通解化为有界，
解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。
转动对称稳定问题
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)()s i n h (
)()s i n h (0
11
11
??
?
nnn n
nnn n
kJLkBA
kJLkA
由上下底条件得：
例题 9
??? ? ???? dkJANLkBA nb
nn
nn )()(s i n h
10
1021，根据完备性：
半径为 b，高为 L的圆柱体，侧面和上底保持零度，下底的
温度分布为 Aρsinφ，求柱内的稳恒温度分布。
??
?
???
??????
??? 0|,s i n|,0|
0,,0
0
2
Lzzb
zz
uAuu
Lzbuu
??
?
?
定解问题为：
??? s i n)]()() ] [(s i n hs i n h[1 11? ? ? ???? n nnnnnnnn kNDkJCzLkBzkAu
，相应的半通解为定解问题有转动对称性
? ? ? ????
?
1
)1(1 /,s i n)()](s i n hs i n h[
,0),(),0(
n nnnnnnn bxkkJzLkBzkAu
zbuzu
??
半通解化为有界，
解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，建立柱坐标。
一般柱面问题
? 思路
? 先把非对称的条件分解为三角函数 ;
? 含三角函数的条件求出对称柱面解 ;
? 再对所得对称柱面解进行叠加。
? 一般热传导问题
? 一般波动问题
? 一般稳定问题
一般热传导问题
半径为 b的无限长圆柱体，柱面上温度为零，初始
温度分布为 f (ρ,φ)，确定柱内温度 u 的变化。
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定解问题的半通解为
解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，建立柱坐标。
一般波动问题
半径为 b的圆形膜，边缘固定，初始形状是 f (ρ,
φ)，初始速度为零，求膜的振动情况。
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定解问题的半通解为
解：以圆形膜的中心为原点，建立极坐标。
一般稳定问题
解：以圆柱体的对称轴为 z 轴，下底中心为原点，
建立柱坐标。
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问题的半通解为
半径为 b，高为 L的圆柱体，侧面和上底保持零度，
下底的温度分布为 f ( ρ,φ)，求柱内的稳恒温度分布。
本章小结
? 一般柱面问题可以分解为对称柱面问题的叠加；
? 对称柱面问题可以分离出贝塞尔方程的本征问题 ;
? 贝塞尔本征问题本征函数为柱函数，本征值由有
界或齐次边界条件确定 ;
? 典型的柱函数有贝塞尔函数和诺伊曼函数，它们
的对称性质、递推性质、渐近性质和零点分布等
对于柱面问题的求解有重要作用。
