《 数学物理方法 》教学大纲 （供物理专业试用） ? 前 言 ? 一、课程概述 1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前导课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。 2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。可以在后续的选修课中加以介绍。 3．本课程的内容为数学课程，注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。但是，它与其它的数学课有所不同。本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。 4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。 二、目的要求 1．本课程要求学生对规定的内容有一个总体了解。掌握其中的基本概念，熟悉一些重要的理论及公式，并使所学到的知识在头脑中形成合理的结构。 2．本课程要求学生能运用学到的基本数学方法解决一类常见的物理问题，能较顺利地学习本专业后继的物理课程。 3．本课程要求学生能熟悉在数学物理方法的创立过程中用过的创新思维方法，如类比、推广、猜想及模型化等，为写出有特色的学年论文和/或毕业论文创造条件。 三、教材 教科书：梁昆淼编，数学物理方法，北京：人民教育出版社，1995年第三版。 参考书：四川大学编，高等数学第四册，北京：高等教育出版社，1996年第三版； 刘连寿、王正清编，数学物理方法，北京：高等教育出版社，1991年； 严镇军编，数学物理方法，合肥：中国科学技术大学出版社，1999年。 四、教学建议 1．本课程课堂讲授约需54课时（50课时讲授基本内容，4课时作为机动，每篇章的标题后注明了讲授参考学时数）。 2．学生在学习过程中应注重各章节所要求内容的全貌，以掌握基本思想和基本方法为主，培养创新精神。 3．学生需独立完成本大纲所列出的习题，并适当自选做一些其它的习题，提高应用能力。 4．在学习过程中，应以教科书教材为主，适当参考所列出的或其它的参考书，要适应各种不同的教材的编排体系和书写符号等。 ? 第一篇 复数函数论（20+1） 本篇概述 复数函数论是指自变数为复数的函数。它是实变函数在自变数方面的延伸，并形成了一个独立的理论分支。复变函数在物理学中有极其广泛的应用。首先，由于复变数的引入，赋予了一些物理量以新的意义。例如，物理学中普遍使用复阻抗，复势，复频率，复介电常数，复磁导率，复哈密顿量等等。这些复数量都具有新的物理内涵。其次，许多复变函数论的方法，如科希积分，回路积分，罗朗级数筹，给物理学许多领域中大量的实际问题提供了有效的处理手段。因此，复变函数论成为数学物理方法的一个重要组成部分。 在本篇中，首先引人复变函数的基本概念，特别是复导数、科希—里曼条件及解析函数的概念。其次讨论复变函数的积分，论述科希定理，并在这个基础上导出科希公式，得到一个函数在解析点处及其高阶导数在该点处的积分表达式。然后，讨论复变函数的幂级数展开理论，同时对复变函数的孤立奇点进行分类和各类奇点的性态分析。最后，指出留数定理及其应用。鉴于复变函数所涉及的范围很广，对于其它的内容，在本大纲中不作要求。 在本篇的教学中，学生要善于将复变函数与实变函数进行比较。一方面，要注意它们之间的理论相似之处，充分利用已学的实变函数的知识，来认识复变函数相应的理论。另一方面，要注意它们的不同之处，了解复变函数有关理论的特点进行学习。在本篇中特别要重视解析函数的有关内容，这是贯串本篇知识的轴线。 幂级数的每一项都是以幂函数作为基本函数的，由于幂函数不是周期函数，所以将某一函数展开成幂级数后，就很难体现周期性的这个特征。如果要着重研究某一函数的周期性时，需要用到傅立叶级数展开理论。这部分内容虽然是前导课程的范围，但在本课程的第二篇中有重要应用，学生必须进行很好地复习巩固。 傅立叶级数理论，还可以延伸到无穷区间上定义的函数，形成了傅立叶积分理论。傅立叶积分理论，是数学物理方程的一个较重要的内容，也是本篇的一个重要组成部分。同傅里叶级数理论一样，它在物理学的许多领域中被广泛地应用。 傅立叶展开还有进一步的理论，即广义傅立叶级数展开理论。这部分的内容，将在第二篇的有关特殊函数理论中阐述。 本篇的教学时间为20课时，另安排1课时作为机动（可以用来复习傅立叶级数以及学习其他需要的扩展内容）。 第一章 复变函数（6） 基本要求： 1．熟悉复数的基本概念和基本运算； 2．了解复变函数的定义，连续性； 3．了解多值函数的概念； 4．掌握复变函数的求导方法及科希—里曼方程； 5．了解解析函数的概念，熟悉一些简单的解析函数的表示式。 6．了解从实变函数到复变函数的推广过程中的创新思想与方法。 教学内容： §1.1．复数与复数运算。复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。 §1.2．复变函数。复变函数的概念，开、闭区域，几种常见的复变函数，复变函数的连续性。 §1.3．导数。导数，导数的运算，科希—里曼方程。 §1.4．解析函数。解析函数的概念，正交曲线族，调和函数。 §1.5．平面标量场。稳定场，标量场，复势。 本章重点： 复变函数的运算，科希—里曼条件，解析函数 习 题： §1.1．（第5—6页）：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）（7）3（1）（3）（5）（7） §1.2．（第9页）：2（1）（3）（5）（7）（9），3。 §1.3．（第13页）：1。 §1.4．（第18页）：1，2（1）（4）（6）（7）（10），3。 第二章 复变函数的积分（3） 基本要求： 1．正确理解复变数函数路积分的概念； 2．深透理解科希定理及孤立奇点的定义； 3．理解并会熟练运用科希公式。 教学内容： §2.1．复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。 §2.2．科希定理。科希定理的内容和应用，孤立奇点，单通区域，复通区域，回路积分。 §2.3．不定积分*。原函数。 §2.4．科希公式。科希公式的导出，高阶导数的积分表达式。（模数原理及刘维定理不作要求） 本章重点： 科希定理，科希公式和孤立奇点。 习 题： §2.4．（第38页）：1，2。 第三章 幂级数展开（6） 基本要求： 1．理解复数项级数概念； 2．了解幂级数的敛散性的判别法及收敛半径的计算方法； 3．会对一些简单的解析函数进行泰勒级数展开； 4．了解解析延拓的含义*； 5．会对一些简单的函数在孤立奇点邻域内进行罗朗级数展开； 6．熟悉孤立奇点的三种类型，了解极点的阶； 教学内容： §3.1．复数项级数，复数项无穷级数，收敛性，科西判据，绝对收敛，一致收敛。 §3.2．幂级数、幂级数的概念，比值判别法，根值判别法，收敛圆，收敛半径，幂级数的性质。 §3.3．泰勒级数。泰勒级数的系数计算公式。 §3.4．解析延拓*。解析延拓的基本思想。 §3.5．罗朗级数。广义幂级数，收敛环，罗朗展开。 §3.6．奇点分类。罗朗级数的解吸部分、主要部分，留数，极点，极点的阶，单极点，本性极点，无穷远点为奇点的情况。（支点不作要求）。 本章重点： 幂级数，比值判别法，泰勒级数，罗朗级数、收敛圆，收敛环，函数按幂级教展开技巧。 习 题 §3.2．（第46页）：1，3（1）（3）（5），4（1）（3）。 §3.3．（第52页）：（1）（3）（6）（8）。 §3.5．（第60页）：（1）（3）（5）（7）（9）（11）（14）。 §3.6．（第64页）：（1）（2）（3）。 第四章 留数定理（3） 基本要求： 1．掌握留数定理，了解留数的计算方法； 2．应用留数定理计算实变函数的定积分。 教学内容： §4.1．留数定理。留数定理概念，计算留数的一般方法，判断极点的阶，极点留数的计算方法，例1—3。 §4.2．应用留数定理计算实变函数的定积分。类型一，类型二。 本章重点： 留数定理及其计算方法。 习 题： §4.1．（第71页）：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（2）（3），3。 §4.2．（第81—82页）1（1）（2）（5）（6），2（3）（4）（6），3（2）（4）（6）（8）。 第五章 傅立叶变换（2+1） 基本要求： 1．了解非周期函数的傅里叶积分表达式和傅立叶变换的概念。 2．掌握傅立叶变换的基本性质与方法。 3．了解提出狄拉克函数过程中的创造性思想。 4．掌握狄拉克函数的定义、基本性质和常用表达式。 教学内容： §5.2．非周期函数的傅里叶积分，傅里叶积分的导出，傅立叶变换式，奇函数的傅里叶正弦积分，偶函数的傅立叶余弦积分。 §5.3．狄拉克函数，广义函数的提出，狄拉克函数的定义、表达式和性质。 本章重点： 非周期函数的傅里叶积分的概念，傅里叶变换的定义。狄拉克函数的定义、表达式和性质。 习 题： §5.2．（第103—104页）：1，3，5。 §5.3．（第113页）：2。 ? 第二篇 数学物理方程（30＋3） ? 本篇概述 数学物理方程是本课程的重点，本篇主要是讨论与三类典型的二阶线性偏微分方程对应的定解问题以及由此而连带引出的本征值问题和特殊函数理论。这三类方程在物理学的许多领域中具有其广泛的应用，例如在理论力学中的哈密顿方程，电动力学中的麦克斯韦方程，量子力学中的薛定谔方程等等都与这三类方程有密切的关系。 数学物理方程的意义还在于，对本质上不同的物理问题可以具有相同的数学模型。通过同一数学模型的研究，反过来就可用类比的方法对不同本质的物理问题进行探讨。所以，系统地了解这些典型的数学物理方程及其求解方法，无疑是研究物理学的重要手段。 本篇主要是涉及几种常用的方程所对应的定解问题的基本解法，侧重介绍行波法和分离变数法。这两种方法是求解数学物理方程定解问题的最基本的方法，学生必须对它们有深刻的理解，特别要灵活掌握分离变数法。 在本篇中，将讨论分离变数法所引伸出的本征值问题以及二阶线性常徽分方程的幂级数解法。本征值问题是常微分方程的一个理论分支，有时可以利用幂级数方法求解，这时可能会出现高等超越函数，即特殊函数。 本篇还要讨论有关的特殊函数，特别是勒让得函数的理论。特殊函数的内容十分丰富，在数学中已成为一个独立分支，它在物理学和工程技术中有着广泛的应用。例如静电势的球坐标解将会出现勒让得函数，而在柱坐标下的解将会出现贝塞尔函数，量子力学中谐振子本征解为厄密多项式，中心势的角向函数可由球谐函数构成，而库伦势的径向函数由连带拉盖尔多项式构成等等。本大纲只较详细地涉及一类常见的特殊函数，即勒让德函数。 数学物理方程及其有关的理沦远远不止本篇所指定的内容。但是学生学好本篇内容以后，其它方面的理论就不会产生较大的困难了，可以通过进一步自学来掌握。 本篇的教学时间为30课时，另安排3课时作为机动（可以用来复习常微分方程以及其他需要的扩展教学）。 ? 第七章 数学物理定解问题（5） 基本要求： 1．了解定解问题的提法； 2．了解几种常见的数学物理方程的导出； 3．熟悉几种常见的边界条件和初始条件的表示形式； 4．能对两个自变数的线性偏微分方程进行分类； 5．了解行波法的意义，行波的物理意义，熟练运用达朗伯公式。 教学内容： 定解问题。定解条件，边界条件，初始条件，泛定方程，定解问题。 §7.1．数学物理方程的导出*。均匀弦的微小横振动，均匀杆的纵振动*，均匀薄膜的微小振动*，扩散方程，热传导方程，稳定浓度分布，稳定温度分布，静电场，(其他物理模型的方程的导出不作要求)。 §7.2．定解条件。初始条件，边界条件（非线性边界条件不作要求）。 §7.3．二阶线性偏微分方程的分类。二阶线性偏微分方程的一般形式，线性齐次和非齐次方程，叠加原理。两个自变数的方程分类（多个自变数的方程分类不作要求），双曲型，抛物型，椭圆型方程，方程的标准形式。常系数线性方程。 §7.4．行波法。达朗伯公式，行波，求解公式。端点的反射*（固定端的情形）。定解问题，适定性。 本章重点： 定解问题、定解条件提法，弦振动方程、扩散方程及稳定浓度、温度分布方程的导出，二阶线性方程的分类，常系数线性方程的化简，达朗伯公式。 习 题： §7.1．（第152—153页）：2，5，7，8。 §7.2．（第161页）：1，2，3，4。 §7.3．（第169—170页）：1（1）（2）（3）（4），2（1）（2）。 §7.4．（第179页）：1，2，4，8。 第八章 分离变数（傅里叶级数）法（6+2） 基本要求： 1．掌握分离变数法，理解本征值问题与本征函数的联系，会灵活处理较简单的非齐次边界条件的情况； 2．熟悉并掌握齐次泛定方程的定解问题的求解方法； 3．能对简单非齐次泛定方程的定解问题求解。 教学内容： §8.1．齐次方程的分离变数法。分离变数法，驻波，本征值，本征函数，本征值问题，分离变数法的方法步骤。 §8.2．非齐次振动方程和输运方程。傅立叶级数法，冲量定理法。 §8.3．非齐次边界条件的处理。一般处理方法，特殊处理方法。 §8.4．泊松方程。 本章重点： 分离变数法的步骤，本征值问题，非齐次边界条件的处理。 习 题： §8.1．（第201—203页）：1，2，4，5，7，8，11，14，16，17。 §8.2．（第215—216页）：1，2，4。 §8.3．（第219页）：1，2，3。 §8.4．（第223页）：1，2，3。 第九章 二阶常微分方程的级数解 本征值问题（4） 基本要求： 1．掌握对方程进行分离变数的一般方法，了解一些常见方程进行分离变数后特殊的情形； 2．掌握微分方程在常点邻域的级数解法； 3．了解微分方程在正则奇点邻域的级数解法； 4．了解斯特姆—刘维型本征值问题的提法。了解常见的本征值问题解族的正交性、模和函数族展开理论。 教学内容： §9.1．特殊函数常微分方程。拉普拉斯方程，球坐标，球函数方程，连带勒让得方程*，勒让得方程，柱坐标，贝塞耳方程*。波动方程，输运方程，亥姆霍兹方程。 §9.2．常点邻域上的级数解法，微分方程的级数解法 §9.3．正则奇点邻域上的级数解法*，微分方程的级数解法，判定方程，例1．例2（只要求得到正m阶贝塞尔函数的解）。 §9.4．斯特姆—刘维本征值问题*，本征值，本征函数，斯特姆—刘维本征值问题，正交性，模，广义傅立叶级数，广义傅立叶系数。 本章重点： 微分方程的级数解法，本征函数族，广义傅立叶级数展开。 习 题： §9.1．（第237页）：1，2，3。 §9.2．（第243页）：1，2，3。 §9.3．（第260—261页）：1，2，3，7。 §9.4．（第271—271页）：1，3。 ? ? 第十章 球函数（5+1） 基本要求： 1．掌握勒让得多项式概念，勒让得多项式的微分形式，正交关系，模的计算，及其广义傅立叶展开理论及方法； 2．了解一般球函数和连带勒让得函数的概念。 教学内容： §10.1．轴对称球函数。勒让得多项式，洛德利格斯公式（施列夫利积分），勒让得多项式的正交关系，勒让德多项式的模，广义傅立叶级数，母函数与递推公式。 §10.2．连带勒让得函数。连带勒让得函数，本征值问题，洛德利格斯公式，正交性，模，广义傅里叶级数（施列夫利积分，拉普拉斯积分不作要求）。 §10.3．一般的球函数*。球函数，球函数的正交性，球函数的模，球面上的函数的，拉普拉斯方程的非轴对称解。 本章重点： 勒让德多项式及其微分形式，勒让德多项式函数族的正交性、模和展开理论。 习 题： §10.1．（第296—297页）：1，2，4，6，11。 §10.3．（第324页）：1，2，3。 第十一章 柱函数（4） 基本要求： 1．掌握贝塞尔函数级数形式，正交关系，模的计算，及广义傅立叶展开理论及方法； 2．了解其他柱函数的概念和性质。 教学内容： §11.1．三类柱函数，三类柱函数，柱函数的极限行为，递推公式。 §11.2．贝塞尔方程，贝塞尔函数与本征值问题，贝塞尔函数的正交性，贝塞尔函数的模，傅立叶—贝塞尔级数，贝塞尔函数的应用， 本章重点： 贝塞尔函数的性质及其应用。 习 题： §11.2．（第346—347页）：1，2，3，7，8，9。 第十二章 格林函数 解的积分公式（3） 基本要求： 1．掌握泊松方程的基本积分公式，用电像法求格林函数，泊松积分； 2．了解含时间的格林函数的概念。 教学内容： §12.1．泊松方程的格林函数。第一格林公式，第二格林公式，泊松方程的基本积分公式，泊松方程第一边值问题的格林函数及解的积分表达式，泊松方程第三边值问题的格林函数及解的积分表达式。 §12.2．电像法求格林函数。无界空间的格林函数，基本解，用电像法求格林函数，泊松积分。 §12.3．含时间的格林函数。 本章重点： 泊松方程的基本积分公式，用电像法求格林函数。 习 题： §12.2．（第387页）：1，2，3。 第十三章 积分变换法（3） 基本要求： 1．掌握傅立叶变换法在一维无界波动问题和输运问题的应用； 2．了解傅立叶变换法在多维无界问题中的应用； 3．了解拉普拉斯变换的在数学物理中的应用。 教学内容： §13.1．傅立叶变换法，达朗伯公式，限定源扩散，泊松公式，推迟势*。 §13.2．拉普拉斯变换法， 本章重点： 用傅立叶变换法求解一维无界波动问题和输运问题。