常微分方程
复习
常微分方程
? 微分方程的一般概念
? 线性常微分方程的性质
? 一阶线性常微分方程
? 二阶线性常系数微分方程
? 二阶线性变系数微分方程
微分方程的一般概念
? 例子
? 定义
? 联系自变量和未知函数及其导数的等式。
? 分类
? 按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程；
? 按未知函数及其导数的次数，分为线性微分方程和非
线性微分方程；
? 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶
和高阶微分方程。
线性常微分方程
? 一般形式
? a0y(n)+a1y(n-1)+‥‥ +a n-1y’+any=f(x)
? 其中未知函数的系数可以是常数，也可以是 x的函数。
? 分类
? 按自由项 f(x)是否为零，分为齐次和非齐次。
? 叠加原理
? 齐次方程任意两个解的线性组合也是解；
? 非齐次方程的任一个解和对应的齐次方程的解之和也
是解。
一阶线性常微分方程
? 一般形式
? a0 y’+a1y= F(x) 或 y’+ p y = f(x)
? 齐次方程的通解
? y(x) = C exp[-∫p dx ]
? 非齐次方程的特解
? yp(x)= C(x) exp[-∫p dx ]
? 其中 C(x) = ∫[f(x) exp(∫p dx) ] dx
? 非齐次方程的通解
? y(x) = y(x) + yp(x)
? 例题
二阶线性常系数微分方程
? 二阶线性常系数微分方程的一般形式为
? a0y”+a1y’+a2y = F(x) 或 y”+ p y’+q y = f (x)
? 特征方程,r2 + p r +q = 0
? 齐次方程的通解
? 特征根,r1 和 r2
? 通解
? r1 ≠ r2 时 y(x) = A exp(r1x) + B exp(r2x)
? r1 = r2 时 y(x) = A exp(r x) + B x exp(r x)
? 例题
? 非齐次方程的特解
? r1 ≠ r2 时 y(x) = A(x)exp(r1x) + B(x)exp(r2x)
? r1 = r2 时 y(x) = A(x)exp(r x) + B(x) x exp(r x)
二阶线性变系数微分方程
? 最常见的二阶线性变系数微分方程有欧拉方程等
? 欧拉方程的一般形式为
? x2y”+ pxy’+q y = f (x)
? 特征方程,s(s-1) + p s +q = 0
? 齐次方程的通解
? 特征根,s1 和 s2
? 通解
?s1 ≠ s2 时 y(x) = A xs1 + B xs2
? s1 = s2 时 y(x) = A xs + B lnx xs
? 例题
微分方程的一般概念
22
)3(
2
22
2
2
2'"3
co s5'4
0"
ln'
0"
54
2s i n3'2
53t an
xyxyyx
xyy
yy
xxyay
rqypyy
xuu
xyy
xyy
xxt
???
??
??
??
????
??
???
???
?
?
一阶线性常微分方程
342' xxyy ??非齐次方程：
32 4)e x p ()(' xxxC ?代入非齐次方程：
02' ?? xyy对应的齐次方程：
)e x p ( 2xCy ?齐次通解：
)ex p ()( 2xxCy p ?非齐次特解的形式：
)1(2 2 ??? xy p非齐次特解：
)e x p ()1(2)e x p (4)( 2223 xxdxxxxC ?????? ?得到：
)ex p ()1(2 22 xCxyyy p ??????非齐次通解：
二阶线性常系数微分方程
0" 2 ?? yy ?微分方程：
022 ?? ?r特征方程：
0" 2 ?? yy ?微分方程：
)e x p ()e x p ( xiBxiAy ?? ???通解：
022 ?? ?r特征方程：
)e x p ()e x p ( xBxAy ?? ???通解：
)s i n()c o s ( xDxC ?? ??
)s i nh()c os h( xDxC ?? ??
二阶线性变系数微分方程
0)1('2"2 ???? RllrRRr微分方程：
0)1(2)1( ????? llsss特征方程：
1???? ll BrArR通解：
0)1()1( ???? llss化简：
1,???? lsls特征根：
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常微分方程
? 微分方程的一般概念
? 线性常微分方程的性质
? 一阶线性常微分方程
? 二阶线性常系数微分方程
? 二阶线性变系数微分方程
微分方程的一般概念
? 例子
? 定义
? 联系自变量和未知函数及其导数的等式。
? 分类
? 按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程；
? 按未知函数及其导数的次数，分为线性微分方程和非
线性微分方程；
? 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶
和高阶微分方程。
线性常微分方程
? 一般形式
? a0y(n)+a1y(n-1)+‥‥ +a n-1y’+any=f(x)
? 其中未知函数的系数可以是常数，也可以是 x的函数。
? 分类
? 按自由项 f(x)是否为零，分为齐次和非齐次。
? 叠加原理
? 齐次方程任意两个解的线性组合也是解；
? 非齐次方程的任一个解和对应的齐次方程的解之和也
是解。
一阶线性常微分方程
? 一般形式
? a0 y’+a1y= F(x) 或 y’+ p y = f(x)
? 齐次方程的通解
? y(x) = C exp[-∫p dx ]
? 非齐次方程的特解
? yp(x)= C(x) exp[-∫p dx ]
? 其中 C(x) = ∫[f(x) exp(∫p dx) ] dx
? 非齐次方程的通解
? y(x) = y(x) + yp(x)
? 例题
二阶线性常系数微分方程
? 二阶线性常系数微分方程的一般形式为
? a0y”+a1y’+a2y = F(x) 或 y”+ p y’+q y = f (x)
? 特征方程,r2 + p r +q = 0
? 齐次方程的通解
? 特征根,r1 和 r2
? 通解
? r1 ≠ r2 时 y(x) = A exp(r1x) + B exp(r2x)
? r1 = r2 时 y(x) = A exp(r x) + B x exp(r x)
? 例题
? 非齐次方程的特解
? r1 ≠ r2 时 y(x) = A(x)exp(r1x) + B(x)exp(r2x)
? r1 = r2 时 y(x) = A(x)exp(r x) + B(x) x exp(r x)
二阶线性变系数微分方程
? 最常见的二阶线性变系数微分方程有欧拉方程等
? 欧拉方程的一般形式为
? x2y”+ pxy’+q y = f (x)
? 特征方程,s(s-1) + p s +q = 0
? 齐次方程的通解
? 特征根,s1 和 s2
? 通解
?s1 ≠ s2 时 y(x) = A xs1 + B xs2
? s1 = s2 时 y(x) = A xs + B lnx xs
? 例题
微分方程的一般概念
22
)3(
2
22
2
2
2'"3
co s5'4
0"
ln'
0"
54
2s i n3'2
53t an
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xyy
yy
xxyay
rqypyy
xuu
xyy
xyy
xxt
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?
一阶线性常微分方程
342' xxyy ??非齐次方程：
32 4)e x p ()(' xxxC ?代入非齐次方程：
02' ?? xyy对应的齐次方程：
)e x p ( 2xCy ?齐次通解：
)ex p ()( 2xxCy p ?非齐次特解的形式：
)1(2 2 ??? xy p非齐次特解：
)e x p ()1(2)e x p (4)( 2223 xxdxxxxC ?????? ?得到：
)ex p ()1(2 22 xCxyyy p ??????非齐次通解：
二阶线性常系数微分方程
0" 2 ?? yy ?微分方程：
022 ?? ?r特征方程：
0" 2 ?? yy ?微分方程：
)e x p ()e x p ( xiBxiAy ?? ???通解：
022 ?? ?r特征方程：
)e x p ()e x p ( xBxAy ?? ???通解：
)s i n()c o s ( xDxC ?? ??
)s i nh()c os h( xDxC ?? ??
二阶线性变系数微分方程
0)1('2"2 ???? RllrRRr微分方程：
0)1(2)1( ????? llsss特征方程：
1???? ll BrArR通解：
0)1()1( ???? llss化简：
1,???? lsls特征根：
