第 35章 腔 微 扰
Perturbation of Cavity
在前面已经讨论了两部分：理想腔和耦合腔 。
现在将进一步讨论非理想腔 。 这里把非理想腔特指
为腔内放物体, 腔形状的改变等等 。
此类问题严格说来必须从 Maxwell方程组出发给
出新模式 。 但是, 对任意腔建立严格理论是十分困
难的 。
微扰法是认为腔内模式 (Field)不变, 而所变的
只是谐振频率 —— 这是场论计算中常用的近似方法 。
一、腔内介质的微扰
我们画出问题中未受微扰腔和微扰腔，如图 35-1所示，
并提出如下的微扰约定：
1,微扰改变 是一阶小量；V?
2,场改变量 是一阶小量；
0EE
?? ?
3,是一阶小量；?? ? ?? ?
0
4,改变不很大。? ?? ?和
在处理中将略去二阶以上量 。
图 35-1 介质微扰腔
? o ? o
??o r
V V
,o?,o?
,o? ? r
? o ?
EHo,o EHo,o
S
S
? V
(a)未受扰腔 (b)微扰腔
一、腔内介质的微扰
介质微扰可以表示成
(35-1)
(35-2)
写出相应的 Maxwell方程组
? ?? ?? ????
?
0
0
?
?
V
Vr
? ?? ?? ????
?
0
0
?
?
V
Vr
一、腔内介质的微扰
(35-3)
又有
? ? ? ?
? ? ?
?
??
??
? ?
? ?
E j H
H j E
0 0 0 0
0 0 0 0
? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ?
?
??
??
? ?
? ?
E j H
H j E
??
??
(35-4)
? ? ?
? ? ? ?
?
??
??
? ?
? ?
E j H
H j E
0 0 0 0
0 0 0 0
* *
* *
? ?
? ?
一、腔内介质的微扰
于是由矢量点积可得两组方程
(35-5)? ? ? ?? ? ? ?E H j E E
H E j H H
0 0 0 0
0 0 0 0
* *
* *
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
??
??
? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
E H j E E
H E j H H
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
??
??
0 0 0 0
0 0 0 0
* *
* *
? ?
? ?
(35-6)
记住矢量公式
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ?A B B A A B(35-7)
一、腔内介质的微扰
可知
(35-8)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
( )* * *
* *
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?E H H E E Hj H H j E E0 0 0
0 0 0 0? ? ??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
( )* * * * *
* *
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?E H H E E Hj H H j E E0 0 0 0 0
0 0 0 0?? ? ?
(35-9)
把上面结果合在一起考虑为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( )* * * *? ? ? ? ? ? ? ?E H E H j H H j E E0 0 0 0 0 0 0 0? ? ?? ? ? ??
(35-10)
一、腔内介质的微扰
再对两边作体积分
(35-11)
应用 Gauss定理
? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ?E H E H dv j H H E E dv
VV
0 0 0 0 0 0 0 0
* * * *? ? ?? ? ? ??
? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?E H E H dv j E H E H d n dS
SV
0 0 0 0
* * * * ?
(35-12)
一、腔内介质的微扰
矢量循环公式
(35-13)
? ? ? ? ? ? ? ? ?a b c b c a c a b? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )
b
?
a
?
c
?
? ( ) ( ? )
? ( ) ( ? )
* *
* *
n E H H n E
n E H H n E
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?0 0
0 0
一、腔内介质的微扰
(35-15)
对于理想导体的 壁条件有S
?
?
*n E
n E
? ?
? ?
?
??
??
?
? 0
0
0
(35-14)
所以得到
? ? ? ?? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? 0 0 0 0 0 0 0? ? ? ?E E H H d V
V
* *
现在利用 在 内和 外不同的条件??,V? V?
一、腔内介质的微扰
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
???
??? ???
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
E E H H d V
E E H H d V E E H H d V
V V
V V
* *
* * * *
?
? ?
(35-16)
上式中已计及
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
??
?
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
?? ? ? ?
?? ? ? ?
(35-17)
一、腔内介质的微扰
对于 (35-16)式左边 可移至右边V?? ?? ?
? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
???
???
???
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
E E H H d V
E E H H d V
E E H H d V
V
V
V
* *
* *
* *
?
?
(35-18)
如果令
? ?
W E E H H dv
W E E H H dv
V
V
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
1
4
1
4
0 0 0 0
0 0 0 0
( )
( ) ( )
* *
* *
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? (35-19)
一、腔内介质的微扰
清楚得到
(35-20)
(35-21)
? ?
?
? ? ? ?
???? ???
0
0
1
1
?
?
W
W W
W
只要 是一阶小量，即又有W?
? ?
?
? ? ?0
0
? W
W
满足 ?W是一阶小量的要求是 为一阶小量, 不
很大, 或者说 为一阶小量 (这两者只要满足其
中一个条件即可 )。
V? ?? ??,
?? ??,
一、腔内介质的微扰
对于 积分的能量, 总有, 而在 内如
果相应 表面 均处于切向, 则也有 且
得到
W V?
S?
V ? ? ? ?E E H H? ?0 0,
? ?E E与
0 00,HHEE
???? ??
? ?? ?
? ?
? ?
?
? ? ? ?
? ?
?
? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
???
???
0
0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
? ? ? ?
? ? ? ?
E E H H dv
E E H H dv
V
V
* *
* *
( )
?
?(35-22a)
如果在 内相应 表面 均处于法向，则? ?E E与
0
V? S?
? ? ?0 0 0r E E? ??
一、腔内介质的微扰
或 亦处于法向
于是
(35-22b)
? ?H H与
0
? ? ?0 0 0r H H? ??
? ?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
???
???
0
0
0
0 0 0
0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
1
1
1
1? ? ? ?
? ? ? ?
E E H H dv
E E H H dv
V
V
* *
* *
?
?
一、腔内介质的微扰
上面两种均属我们讨论的特殊情况，对于一般公式
可写出
? ?? ?
? ?
? ?
?
? ? ? ?
? ?
?
? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
???
???
0
0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
C E E C H H dv
E E H H dv
e m
V
V
? ? ? ?
? ? ? ?
* *
* *
( )
?
?(35-22c)
常见的 和 因子如图 35-2所示。
eC mC
一、腔内介质的微扰
? E H0 0,? E H
0 0,
C Ce r m r? ?1 1/,/? ? C Ce
r
m
r
? ? ? ?21 21? ?,
1?? me CC C C
e
r
m
r
? ? ? ?32 32? ?,
图 35-2 介质样品的 和
eC mC
一、腔内介质的微扰
其中
? ?
? ?
E C E
H C H
e
m
?
?
?
?
?
??
0
0
一、腔内介质的微扰
在微波工程中, 矩形 腔中间放介质样品柱
(其中, 取奇数 )即构成介质样品腔, 见图 35-3所示p
TE10
p
b
S?
图 35-3 介质样品腔
二、介质样品腔
这种方法已规定为国标, 已经知道
(35-23)
对于实际应用的情况是：利用未放介质样品腔时的
频率 和放介质样品对应 求出介质 。0?? r?
利用未放介质样品时腔的品质因数 和放介质样品
对应的 求出介质的 。
0Q
Q ?tg
? ? ? ?? ?r j( t a n )1 0
二、介质样品腔
若写出 则有? ? ?? ?' "j
? ? ?
? ? ? ?
'
"
?
?
?
?
?
0
0
r
r tg
(35-24)
实际上介质样品 很小，应用介质微扰结果S?
? ?
? ?
? ?
?
? ?
? ?
?
? ?
? ?
? ? ?
???
???
0
0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
1r
V
V
E E dv
E E H H dv
? ?
? ? ? ?
*
* *
?(35-25)
二、介质样品腔
上面结果已认为介质是 电介质, 也即, 是常见
的情况, 考虑到谐振时有电能＝磁能
0?? ?
( )* * *? ? ?0 0 0 0 0 0 0 02? ? ? ? ? ?E E H H E E? ? ? ? ?(35-26)
令 ? ?
?
? ? ? ? ?0
0 0
0
? ?f
f f f f也即 于是| |,
2
1
0 0 0
0 0 0
? ?f
f
E E dv
E E dv
r
V
V
? ?
?
?
???
???
( )
*
*
?
?
?
? ?
? ?
(35-27)
二、介质样品腔
设 ? ?
E E a x P l zm? ??? ??? ??? ???s in s in? ?
? ?
?
?
? ?
0 0 0 0
2 2
000
2 2
0 0
21
4
1
4
? ?
E E dv E
a
x
P
l
z d x d y d z a b lE E V
V
m
lba
m m
* s in
s in
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
??? ???
(35-28)
? ?0 0 0 0 2? ?E E dv E V
V
m
* ? ????
?
?
(35-29)
二、介质样品腔
注意在式 (35-29)中必须把样品放在电场最强处，
若在中间则必须, 代式 (35-27) ? ?o d dP 奇数?
? r V V ff? ? ? ?1 4 2
0?
? (35-30)
式 (35-30)是普通公式，具体问题有
? r al V ff? ? ?1 4 2
0?
? (35-31)
二、介质样品腔
式 (35-31)是利用谐振频率的变化求出介质样品
的公式。
r?
对于一般有耗的复介质，可应用复频率,式
(35-25)变为
~?
? ?
2 0
0
0 0 0
0 0 0
?
?
? ?
? ?
?
???
???
~
~ *
*
? ?
?
? ?
?
? ?
? ?
E E dv
E E dv
V
V
? (35-32)
令 代入有两部分~ ' "? ? ?? ? j
二、介质样品腔
? ?
2
1
2
0
0
0 0 0
0 0 0
0
0 0
0 0 0
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
???
~
"
"
*
*
*
*
? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
r
V
V
V
V
E E dv
E E dv
E E dV
E E dV
? ?
? ?
? ?
? ?
?
? (35-33)
计及
? ? ? ? ? ?","? ?0 02 Q r
介
tg
则有
二、介质样品腔
1
1
4
40 2
0
2Q
tg E V
E V
V
V
r m
m
r
介
? ?? ? ?
?
? ??? tg(35-34)
1 1 1
0Q Q Q
? ?
介
(35-35)
最后导出
tg ? ?? ??? ??? ???? ???14 1 1 1
0
V
V Q Qr?
(35-36)
式 (35-36)是利用品质因数的变化求出介质 。?tg
二、介质样品腔
这里我们来进一步讨论腔微扰，如图 35-4所示。
S
V
E H
00 E H
00
n
n
? V
? S
S'
V'
(a)未扰腔 (b)微扰腔
图 35-4 腔壁微扰
三、腔壁微扰
三、腔壁微扰
在问题中假定前后两种情况媒质均为 和, 只是微
扰后导体复盖, 包围 。
? ?
SSS ???? VVV ????
写出 Maxwell方程组
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?E j H E j HH j E H j H0 0 0
0 0 0
? ? ??
? ? ??
(35-37)
类似地得到
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
??
??
( )
( )
* * *
* * *
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
H E j E E j H H
H E j H H j E E
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
?? ? ?
?? ? ?
(35-38)
三、腔壁微扰
也进行体积分，只是我们对 体积 作积分,考虑到
在整个 上均有
V?
S?
?n E? ?? 0 (35-39)
再应用 Gauss定理可知
? ? ? ? ? ?H E n ds j E E H H dv
VS
? ? ? ? ? ? ?????? 0 0 0 0* * *
''
? ( ) ( )? ? ? ?
(35-40)
但是我们可应用在整个 面上S
?n E? ?? 0 0 (35-41)
三、腔壁微扰
也即
? ?H E n ds
S
? ? ??? 0 0* ? (35-42)
于是式 (35-40)又可改写成
? ? ? ? ? ?H E n ds H E n ds H E n ds
SS SS
? ? ? ? ? ? ? ? ???????
?
0 0 0
* * *
''
? ? ?
?
(35-43)
作为注记,为单位外法线方向。S?
三、腔壁微扰
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ?
??
???
0
0
0 0
j H E n ds
E E H H dv
S
V
? ?
? ? ? ?
*
* *
'
?
( )
?
(35-44)
微扰法
? ? ? ?E E H H? ?
0 0,
? ? ? ?
H E n ds H E n ds
j E H dV
SS
V
? ? ? ? ?
? ?
????
???
0 0 0
0 0
2
0
2
* *? ( ) ?
( | | | | )
??
?
? ? ?(35-45)
三、腔壁微扰
于是有
? ?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
???
???
0
0
0
2
0
2
0
2
0
2
( | | | | )
( | | | | )
H E dV
H E dV
V
V
? (35-46)
可以简单写为
? ?
?
? ? ?0 ? ?W W
W
m e (35-47)
三、腔壁微扰
(35-46)和 (35-47)两式即腔壁微扰公式, 它的物理
意义是：腔壁向内扰动是磁场 大的点 ( 占优势 )，
频率 升高；反之, 如果是电场 大的点 ( 占优
势 ),则频率 降低 。
H? mW
?
?
?E eW
事实上, 腔壁微扰和介质微扰可以是统一的, 在腔
壁微扰时 和 必定只有与 的法向, 和必定只有
与 的切向 。
?E
0
?E S?
S?
三、腔壁微扰
C Ce
r
m? ?
1 1
?,而
只要令 和 即可用式 (35-22C)得到 (35-
46)式。
??r? 0?r?