第 32章 圆柱谐振腔
Cylindrical Resonator
与矩形腔的情况类似，我们以 TEmn波为例，先
研究 z方向行波场 —— 也即传输线情况。
H A J k r mm ez mn m c j z? ?( ) c o ss in ?? ?
在 z=0处放一金属板,Hz=0的全反射条件
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j z j z
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(32-1)
一、圆柱腔中的场和 l0
R
r
x
Z
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y
0
图 32-1 圆柱谐振腔
其中, kc=mmn/R,mmn是 m阶 Bessel函数导数的
根 。 再在 z=l处放一金属板, 又一次构成 Hz=0的全反
射条件 。
由 sinbl=0可得到 b=pp/l,且
H H J k r mm p l zz m n p m c? ??? ???( ) c o ss in s in?? p
我们再次看到尽管圆柱腔和矩形腔横向截面完全
不同, 但是纵向因子 是一样的, 这正是传输
线型谐振腔的共同特点 。sin
p
l z
p?
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一、圆柱腔中的场和 l0
(32-2)
E
E
H
H
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0 0
1
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2
一、圆柱腔中的场和 l0
(32-3)
在波导中, 横向分量用纵向分量表示得到不变量
矩阵
于是有
E
j
k r
H
E
j
k
H
r
H
k r
H
r
H
k
H
r
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一、圆柱腔中的场和 l0
(32-4)
注意到谐振腔与波导的不同，重新作变换,即? ?? ??z
E
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k r
H
E
j
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2
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一、圆柱腔中的场和 l0
(32-5)
可以得到 TEmnp模场表达式
E
j m
k r
H J k r
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p
l
z
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k
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c os
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一、圆柱腔中的场和 l0
(32-6)
谐振波长 l0
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mnp
mn
mnp
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TE
R
p
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T M
模
模
其中最主要的
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( )
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.
l
l
0
2 2
0
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1
1
3 412
1
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TE
TM 0 1 0
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R l
R
比较可知 l＜ 21R时,(l0) TM010是最低模式。
一、圆柱腔中的场和 l0
(32-7)
(32-8)
二、圆柱腔的波形因数
定义 为波形因数,p Q?
0
0
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l
Q
m p D
l
p D
l
p D
l
m D
l
m np
mn
mn
mn
mn
0
0
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2
2 2
3 2
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( 3 2 - 9)
( 3 2 - 1 0 )
TM
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0
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分别表示 TEmnp和 TMmnp的波形因数。
圆柱腔三种主要工作模式
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E
J k r
E E J k r
k
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R R
R
Q
R
R
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z c
c
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1
010 0
01
0
0
2 405
2 62
1
1
( )
( )
.
.
TM 010
??lP = Q 0 0
D /L
TM101 无法简单调谐
二、圆柱腔的波形因数
TE111
E
j
k r
H J k r
l
z
E
j
k
H J k r
l
z
E
H
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111 1
111 1
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sin
sin
' ( )
c os
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( )
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c os
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mn
mn
D
l
D
l
D
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D /L
P= Q 0 ??l
1.25
TE 11
二、圆柱腔的波形因数
TE011 无纵向电流品质因数 Q高
体积大
E
j
k
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l
H
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H J k r
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0
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0
3 832
1
1
1 64
1
2
0
' ( ) sin
' ( ) c os
( ) sin
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1 0 168
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3
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D
l
D
l
? ?lP = Q 0 0
D / L
TE 011
二、圆柱腔的波形因数
三、工作模式图
工作模式图的目的在于选择频率范围, 在此内单模
工作 。
已知谐振波长
l
?
p
0 2 2
1
2 2
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?mn
R
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l
其中
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mnv
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T M
模
模
(32-11)
(32-12)
利用 l0=c/f0和 D=2R可知
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mn0
2
2
2 2
2?
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适当变换即得工作模式方程
( )f D c cp Dlmn0 2
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三、工作模式图
(32-13)
( f D )0
2
( D / L )
2
图 32-2 工作模式图
三、工作模式图
明显看出,与 (f0D)2成线性关系D
l
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??
?
??
2
F f f? m a x
m i n
为频宽比
自干扰型 —— 横向场与工作模式相同, 必须划出方框外 。
干扰型 —— 不相交, 同一频率, 不同尺寸时谐振 。
交叉型 —— 不相交同于干扰型, 而相交很严重 。
简并型 —— TE011和 TM111,Q值迅速降 。
三、工作模式图
(32-14)
( f D )0
2
( D / L )
2
f m a x
f m i n
L m a x L
m i n
TE ?? 自干扰
干扰型
工作模式 简并型
交叉型
TE 011 TM 111
图 32-3 干扰类型
三、工作模式图
可以研究 F=fmax／ fmin与 的关系? ?Dl
min
( D / L )
F = f / fm a x m i n
m i n
图 32-4 频宽关系图
三、工作模式图
矩形腔和圆柱腔比较
TEmnp模
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H H
m
a
x
n
b
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H H J k r
m
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c o s c o s s i n
c o s
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s i n
p p p
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p
三、工作模式图
它们的 z方向函数相同, 传输线型谐振腔均满足
广义传输线理论
谐振腔场谐振腔场 Helmholtz方程 ? ? ?2 2 0E k E
k k k k k k kx y z c z2 2 2 2 2 2 2? ? ? ? ?
谐振波长
0l
l l
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p
0 2 2 2 0 2 2
2 1
2 2
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b
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三、工作模式图
品质因数 Q0
Q
W
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H dv
H dsL
V
S
0
2
2
2
? ? ?
?
?
?
?
圆柱腔中 TEmnp和 TMmnp推导比较
TEmnp模 TMmnp模
领矢矢量 Hz Ez
三、工作模式图
? ?HE A J k r mm zzz
z
mn m c
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k R k Rc mn c mn? ?? ?
－ Bessel函数导数根 － Bessel函数根
E E
H H
f H
E E
H H
g E
p p
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r
z
r
r
z
,
)
,
?
?
?
?,
(
,
( )
,,,,,
? ?
? ?1 2 0 1 2? ?
?mn ?mn
三、工作模式图
Hz不允许 z不变 Ez允许 z不变
三、工作模式图
附录 APPENDIX
Q0值概念
前面已经讨论过，从概念上说,这一方面
圆柱腔有较大优点。我们比较立方体和 h=2r的圆柱
体。
Q VS0 1? ?
a
a
a
r
h = 2 r
令
可达到
比较体积
S a
S r a r S S
V a r r
V r r
1
2
2
2
1 2
1
3 3 2 3 3
2
3 3
6
6
5 568
2 6 28
?
? ? ?
? ? ?
? ?
p p
p
p
/,
/
V
S
V
S Q Q
2
2
1
1
02 01＞ ＞,
即知
附 录
APPENDIX
一, 今有一矩形腔截面传输 TE10模, 尺寸为
。 见图内部填充空气求出腔内可
能发生的谐振波长 l0 。
PROBLEM32
22 86 10 16 220 3.,? ? mm