第 24章 介质格林函数法 (Ⅰ )
Dielectric Green’s Function Method
先归纳一下前面有关方法论的工作
传输线理论 微分方程法 Smith
圆图法
网络
矩阵法
波导理论 分离变量法 功率微分法
a dP dzP? ? /2
介质
函数法
Green增量电感法保角变换法带线微带理论
图 24-1 研究问题的方法
一,Green函数的基本概念
1,函数
函数是广义函数
(24-1)
?
? ( )x xx? ????
?
0
= 0
? ( ) ( )x dx ?? ??? 1 归一性
? ( ) ( ) ( ) ( )x f x dx f?? ??? 0 选择性(24-3)
(24-2)
?
函数有各种物理解释, 其中之一是, 概率论,
中必然事件的概率密度 。
2,Green函数
Green函数解决一类普遍问题, 不仅是电磁场,
而且在力学, 流体, 空气动力诸方面都有应用, 其
问题提法是：复杂区域 V,在内部有任意源 g,已知
场 u服从
gu L ? (24-4)
?
一,Green函数的基本概念
O
x
δ x()
图 24-2 (x)函数?
一,Green函数的基本概念
u
v V
G( / ')rr
δ ( / ')rr
g
图 24-3 Green函数问题
一,Green函数的基本概念
对于 (r/r')特殊源所对应的是 Green函数, 有
(24-5)
为了普遍化, 我们把 函数的归一性积分写成
(24-6)
〈 〉 — Dirac内积符号, 表示积分或 ∑, 注意 〈 〉
对 起作用 。
L对 起作用, 可以建立恒等式
) /()] /([ '' rrrrGL ??
??? ) /(),()( rrrgrg ?
r
?
r'
一,Green函数的基本概念
?
(24-7)
根据 Operater的线性有
(24-8)
对比
可以得到
(24-9)
)() /(,rgrrLG)rg( ???
)() /(),( rgrrGrgL ???
gu L ?
u r g r G r r( ) ( ' ),( / ' )? ? ?
一,Green函数的基本概念
归结出：只要求出某一类 (特定支配方程和边界
条件 )问题的 Green函数，那么，这一类问题中任意源
在点 造成的场 只需由 和 函数的
广义内积求得。
最简单的如三维静场
(24-10)
若简洁写成
g r( ') ur( ) g r( ') G r r( / ')
E r r rr r dv
V
? ?( ) ( ' )
| ' |? ????
?
??4
E r r G r r( ) ( ' ),( / ' )? ? ??
一,Green函数的基本概念
r
可知对应的 Green函数是
(24-11)
G r r r r( / ' ) | ' |? ? ? ?14 ??
一,Green函数的基本概念
从更广义的物理方法论来理解：式 (24-5)可以看成
是 (24-4)即原问题的伴随问题，若令
且 La=L(术语上称之为自伴 )，也即
(24-12)
u G r r g r ra a? ?( / ' ),( / ' )?
gu L αα ?
按这一观点
u r g u a( ),? ? ?
一,Green函数的基本概念
由于 函数的特殊性质, 实际上式 (24-13)可进
一步写成
(24-14)
而式 (24-14)正是互易定理的表达形式 。
?? ? ?? αα ug,u,g
?
(24-13)
如果问题的区域是分层媒质, 则可用镜象法求出
Green函数 。
采用镜象法的基础是 Maxwell方程组的唯一性定
理 。
它可以叙述为：在给定区域符合微分方程和边
界条件的解是唯一的 。 因此, 也可以反过来说, 只
要符合方程和边界条件, 则这个解必定正确 。
所谓镜像法, 其第一要点是 分区 求解；第二要
二、镜象法
点是在求解区域之外添加镜象电荷代替边界, 使之符
合求解区域 之内 的方程及边界条件 。
［ 例 1］ 半无限空间导体前的点电荷 (也即 源 )。
［ 解 ］ 先写出分区解和分区边界条件
支配方程
(24-15)
? ? ? ?
? ? ?
?
??
??
2
0
2 0
?
?
Ⅰ
Ⅱ
q x d y z? ? ? ?( ) ( ) ( ) /
二、镜象法
?
边界条件 ? ?
Ⅰ Ⅱ
Ⅰ Ⅱ
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
| x
x
x x
0
0 0
??
?
??
?
?
?
o
y
R e g i o n IR e g i o n I I
x
F
II F
I
d
q
图 24-4 导体镜像法 —— 分区求解
二、镜象法
其中, 为导体面电荷 。 很明确,解是分区的 。
现在采用镜像法
根据图 24-5,很易看出：
(24-17)
式 (24-17)满足支配方程 (24-15)是显然的 。
?
?
?
Ⅰ
Ⅱ
?
? ? ?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
q
x d y z
q
x d y z4 4
0
0
2 2 2
0
2 2 2?? ??( ) ( )
二、镜象法
下边考察其边界条件情况 。
(1)当 x=0
? ?Ⅰ Ⅱ?
? ?
?
? ?
?
?
?? ?
?
?? ? ?1
4 00 2 2 2 2 2 2??
q
d y z
q
d y z
二、镜象法
(2)再研究导数条件
? ? ? ?
??
?
??
?
??
??
Ⅰ Ⅱ
x x
x d q
x d y z
x d q
x d y z
qd
d y z
x
x
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
0
0
2 2 2
3 2
2 2 2
3 2
0
0
2 2 2 3 2
1
4
2
( )
( )
( )
( )
( )
/ /
/
o
y
x
F
I
III
d d q-q
求解 ?Ⅰ 时, 在 RegionⅡ 加镜像电荷 (－ q)
求解 ?Ⅱ 时, 在 RegionⅠ 加镜像电荷 (－ q)
图 24-5 镜像电荷 —— 均加在求解区域之外
o
y
x
F
II
I II
-q,q
二、镜象法
对比边界条件式 (24-16),易知
(24-18)
为了验证 ?的面电荷密度性质, 验证下列积分,
采用 yoz的极坐标, 即 dydz=rdrd?
(24-19)
? ?? ?? ?qdd y z2 2 2 2 3 2( ) /
?
?
?
?
ds
qdrdrd
d r
qd d r d
r d
q
S
?? ??
?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
?
?
2
2
2 2 3 200
2
2 2
2 2 3 20
( )
( )
( )
/
/
二、镜象法
作为副产品易知, 这种问题的 Green函数
于是
(24-21)
上面整个过程即采用镜像法求取 Green函数。
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
??
?
?
?
2
0G r r r r
r x i y j z k
r d i y j z k
( / ' ) ( / ' ) /
? ? ?
' ? ? ?
? ?
G r r
x d y z r r
( / ' )
( ) ( ' )
?
? ? ?
? ?1
4
1
40 2 2 2 0?? ??
二、镜象法
x
q
图 24-6 yoz的极坐标
二、镜象法
二维问题的介质 Green函数的一般模型如图 24-7。
在右半空间 d处放一无限长线电荷, 密度为 ?。
三、二维介质 Green函数
o
y
Region I
Region II
x
ε
o
ε
o
ε
r
d
l
图 24-7 介质镜像法
同样, 分区域求解
支配方程
(24-22)
边界条件
(24-23)
? ? ?
? ?
?
??
??
2
0
2 0
?
?
Ⅰ
Ⅱ－
?? ?( / ' ) /r r
? ?Ⅰ Ⅱ
Ⅰ Ⅰ
?
?
?
?
?
??
??
?
?
??
?x xr
三、二维介质 Green函数
-d
Φ
I
II
λλ '
o
I
d
求解 Regiou Ⅰ 在 Ⅱ 假设 ?‘
求解 Region Ⅱ 在 Ⅰ 假设 ?‘ 镜像
图 24-8 介质分区域求解 ?Ⅰ, ?Ⅱ
Φ
I
II
λ ''
o
y
x
I
IIII
d
三、二维介质 Green函数
所有镜像均在求解区域外 。
Note,·在我们假设中, 两空间均是 ?0,当然也可以
是 ?0?r。
·求解 RegionⅡ 时, ?″实际上包括真实电荷 ?
和镜像 ?″－ ?。
这样模型满足支配方程是没有问题的, 现写出
(24-24)
?
?
Ⅰ
Ⅱ
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
1 1
1
2
1
0
2 2 2 2
0
2 2
??
? ?
??
?
ln
( )
' ln
( )
" ln
( )
x d y x d y
x d y
三、二维介质 Green函数
也可以改写为
(24-25)
式中
(24-26)
?
?
Ⅰ
Ⅱ
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ?
?
??
?
2
1 1
2
1
0
2 2 2 2
0
2 2
ln
( )
ln
( )
ln
( )
x d y x d y
x d y
? ??
? ??
'
"
?
?
?
?
?
三、二维介质 Green函数
现在，让我们考察解与边界条件的关系。
于是由函数边界条件有
(24-27)
( )
| ln ( )
? ?
?
Ⅰ Ⅱ
Ⅰ
?
?
?
?
?
?
x
x
d u
0
0
0
2 22
1
1
?
??
?
? Ⅱ | lnx
d u?
?
?0 0 2 22
1?
?? ?
1 ? ?? ?
三、二维介质 Green函数
● 导数边界条件
??
? ?
??
?
Ⅰ Ⅱ
x xr x?
?
??
?
?? ? 0
??
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
?
Ⅰ
Ⅱ
x x d y
x d
x d y x d y
x d
x d y
d
d y
x x d y
x d
x d y
x
x
x
x
?
?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
? ?
?
0 0
2 2 2 2 2 2 2 2
0
0
2 2
0 0
2 2 2 2
0
2
1 1
2
1
2
1
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
?
??
?
2
0
2 2
d
d y?
三、二维介质 Green函数
又得到 (24-28)
解方程得
所以, 结果有
( )1 ? ?? ? ?r
? ?? ? ?? ?? ? ?11 21r
r r
,
?
?
?
?
?
?
?
'
"
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
2
1
r
r
r
三、二维介质 Green函数
很明显看出,?'是负电荷, 而 ?″是正电荷 (原因是 ?r
＞ 1)。
PROBLEMS 24
一、计算 时，微带 W/b值。Z
r0 75 9 0? ??,?,
二、低介电常数遭到带
求介质衰线 。
? ? ?r z tg cm? ? ? ??2 50 50 10 3 00 3 0.,.,,?
?d
b
W