介质波导
Dielectric Waveguide
第 29章
从这次课开始, 将介绍几种毫米波传输线 。
频率的升高对于微带的主要问题是：高次模的出现,
色散的影响和衰减的加大 。
毫米波, 亚毫米波传输线基本要求
·频带宽
·低损耗 (传输损耗和辐射损耗 )
·便于集成
·制造简便
主要是悬置带线，鳍线，介质波导，这里将重点讨
论 —— 圆柱介质波导。 z
y
x
o
ε,μ
10
ε,μ
20
a
r
φ
图 29-1 圆柱介质波导
介 质 波 导 从 理 论 方 面 着 手 将 首 推 Hondros 和
Debye(1910)1966年作为光纤使用, 1970年低耗光纤获
得发展 。
一、圆柱介质波导的场方程
圆柱介质波导属于开波导系统 (Open Waveguide
System),因而求解区域自然是全空间 (full space)
半径为 a,介质的介电常数为 ?1,?0,周围空间是 ?1，
?0,所给出的 Z轴与圆柱轴重合, 见图 29-1所示 。
我们采用
i ?
?
?
?
1
2 代表介质波导外场
(29-1)
? ?
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??
?2 2 0EH k EHzi
zi
i
zi
zi
(29-2)
按照一般习惯，也可写成
? ??? ??? ? ??? ??? ?2 2 02 0EH n k EHzi
zi
i
zi
zi
(29-3)
一、圆柱介质波导的场方程
其中
n
k k n
k
i i
i i i
2
2
0
2 2 2
0
0
2 2
0 0
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(29-4)
ni也称为折射率，考虑到波导系统
(我们只考虑入射波 )。有
? ? ?/ z j? ?
? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2l lZ?? ?
(29-5)
一、圆柱介质波导的场方程
于是进一步写出
? ?? ??? ??? ? ? ??? ??? ?l zi
zi
i
zi
zi
E
H k n
E
H
2
0
2 2 2 0?(29-6)
应用分离变量法求解, 在圆柱坐标系中具体为
?
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2
2 2
2
2
2
0
2 21 1
0
r
E
H r r
E
H r
E
H
n k
E
H
zi
zi
zi
zi
zi
zi
i
zi
zi
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( )
(29-7)
一、圆柱介质波导的场方程
省略 e-j?z因子，令
E
H
A
B R r
zi
zi
i
i
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( ) ( )? ?
上述假定常称之为分离变量法, 于是又导出两个常微
分方程
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d
d
m
r
d R r
dr
r
dR r
dr
n k r m R ri
2
2
2
2
2
2
2
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2 2 2 2
0
0
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( ) ( )
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(29-8)
(29-9)
一、圆柱介质波导的场方程
因为介质波导的开波导特点, 对于介质波导内部, 有
? 2 12 02＜ n k
必定是驻波型解, 只能是第一类 Bessel函数 。 而
在介质波导外部, 有
? 2 22 02＞ n k
它又必须是衰减场，只能取第二类修正 Bessel函数。
(29-10)
(29-11)
一、圆柱介质波导的场方程
也就是根据 r=0和 r=∞的边界条件, 我们自然省去
了 Nm(r)(Neumann)函数和 Im(r)函数
Bessel函数 修正 Bessel函数
图 29-2 Bessel函数和修正 Bessel函数
一、圆柱介质波导的场方程
? ( ) c o ss in? ?? ?? ?
??
?
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?C mm Ce jm(29-12)
R r D J k r r a
R r D K k r r a
m c
m c
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
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＞
(29-13)
其中
k k n
k k n
c r
c r
1
2
0
2
0 1
2 2 2
0 0 1 0
2
1
2 2
2
2 2 2
0 2
2 2
0 0 2
2
0
2
2
2
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(29-14)
一、圆柱介质波导的场方程
根据边界 r=a的条件 (注意开波导系统是连续条件 )
R a D J k a D J u
R a D K k a D K w
m c m
m c m
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
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(29-15)
于是可以得到
D
R a
J u
D
R a
K w
m
m
1
1
2
2
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( )
( )
( )
( )
(29-16)
一、圆柱介质波导的场方程
其中
? ?u k a k n ac? ? ?1 02 12 2 1 2? /
? ?w k a k n ac? ? ?2 2 02 22 1 2? /
R r
R a
J u
J uR R
r
a
R r
R a
K w
K wR R
r
a
m
m
m
m
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
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1
2
1
1
＜
＞
(29-17)
(29-18)
一、圆柱介质波导的场方程
这样 (29-13)式变为
E z
A
J u
J uR e e R
A
K w
K wR e e R
m
m
m
jm j z
m
m
m
jm j z
( )
( )
( )
( )
( )
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2
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H z
B
J u
J uR e e R
B
K w
K wR e e R
m
m
m
jm j z
m
m
m
jm j z
( )
( )
( )
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2
1
1
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＞
(29-19)
(29-20)
一、圆柱介质波导的场方程
回忆起横向分量采用纵向分量表示的不变量矩阵
E
E
H
H
k
j
j
j
j
E
r
r
E
H
r
r
H
r
r c
z
z
z
z
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0 0
0 0
0 0
0 0
1
1
2
(29-21)
一、圆柱介质波导的场方程
E
j
k
E
r
j
m
r
H
E
j
k
jm
r
E
H
r
H
j
k
H
r
j
m
r
E
H
j
k
jm
r
H
E
r
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z
z
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z
z
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i z
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z i
z
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2 0
2
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(29-22)
一、圆柱介质波导的场方程
边界条件是 r=a时 E E
H H
E E
H H
z z
z z
e
e
1 2
1 2
1
1
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很容易导出
( )( )? ? ? ? ?1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1? ? ? ???? ???k k m u w
(29-23)
(29-24)
一、圆柱介质波导的场方程
? ?1 2
1
2
0
2
1
2
2
2
0
2
2
2
? ?
? ?
J u
uJ u
K w
wJ w
k k n k k n
m
m
m
m
' ( )
( )
,
' ( )
( )
,
其中
方程 (29-25)称为求模数的色散方程或特征方程，
由此导出传播因子 ?。
一、圆柱介质波导的场方程
已知知道
? 2 12
2
2
2
2
? ? ??? ??? ? ? ??? ???k ua k wa
因此有
?
?
2 2
1
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
w k w
u
a
w
u k u
w
a
u
? ?
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?
(29-25)
(29-26)
二、介质波导模式
? ? ?( ) ( )w u k w k u k w u2 2 1 2 2 22 2 02 1 2 2 2? ? ? ? ?
? ? ?2
2 2
2 2 0
2 1
2
2
2
2 2
w u
w u k
w u
w u
? ? ?
? ? ?2 2 2 02 12 221 1u w k u w???? ??? ? ???? ???
( )( )? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 2 2 2 2 2 12 2 21 1? ? ? ???? ??? ???? ???m u w u w
也即
于是，特征方程 (29-24)又可改写成
(29-27)
(29-28)
(29-29)
二、介质波导模式
我们引入归一化频率
v u w k a n n? ? ? ?( ) ( )/ /2 2 1 2 0 12 22 1 2
case 1 m=0的情况，由特征方程 (20-29)知道
?
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模
或者
模
on
on
TEwu
TEwu
)()(
)()(
2
1
2
1
21
?
?
?
?
??
(29-30)
(29-31)
(29-32)
二、介质波导模式
其中, n表示场沿半径方向分布的最大值个数 。
它可以分成两套独立分量：
H E H TE
E E H TM
z r n
z r n
,
?
?
和 —— 模
—— 模
0
0,,
?
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??
case 2 m≠0情况
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 22 1 2 1 2 2 2 2 12 2 21 1? ? ? ? ???? ??? ???? ???( ) m u w u w
二、介质波导模式
? ? ? ?1 2 2
2
1
2 2
2 2
2
1
2 1 2
2
2 2 2
2
2
1
2 21
1 1 1 1? ? ??
??
?
?? ? ?
?
??
?
?? ?
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??
?
??
n
n
n
n m u w u
n
n w
? ? ? ?1 2 2
2
1
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2
2
1
2 2
2 2
2 2 2
2
2
1
2 21
1 1 1 1 0? ??
??
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? ? ???? ??? ???? ??????
??
?
??
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?nn nn m u w u nn w
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1
2
2
1
2
2
2
2
1
2 2
2 2
2
1
2 2
2 2
2 2 2
2
2
1
2 2
1
2
2
1
2 2
2
2
1
2
1
2
1
2
1 4
1 1 1 1
1
2
1
1
2
1
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n n
n
n
n
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n w
n
n
n
n
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2 2
2 2 2
2
2
1
2 2
4
1 1 1 1
m
u w u
n
n w
也可写出
式 (29-33)是以 ?1为未知数的二次方程，解出
归结起来
(29-33)
(29-34)
二、介质波导模式
如果 n1≈n2时
? ?1 2 2 21 1? ? ? ???? ???m u w
介质波导的最大特点是 —— Ez和 Hz会同时存在, 从概
念上只有这样才会满足阻抗条件, 这时, 式 (29-35)
取 号—— 模
取 号—— 模
?
?
?
?
?
EH
HE
mn
mn
P
B
A
m
u wm
m
? ? ?
??
??
?
??
?
??
? ? ?
0
2 2
1 2
1 1
［定义］
(29-35)
(29-36)
二、介质波导模式
则介质波导内的纵向场分量可表示为
E J uR F
H PJ uR F
z m c
z m s
?
? ?
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( )
( )
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F
A
J u
m e
F
A
J u
m e
c
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m
j z
s
m
m
j z
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1
1
( )
c os
( )
sin
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其中
(29-37)
(29-38)
二、介质波导模式
E j
k
J k r P
mJ k r
k r
F
E j
k
PJ k r
mJ k r
k r
F
H j
k
k
P
k
r
c
m c
m c
c
c
c
m c
m c
c
s
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
0 1
2
1
2
' ( )
( )
' ( )
( )
?
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J k r
mJ k r
k r
F
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k
k
J k r P
k
mJ k r
k r
F
m c
m c
c
s
c
m c
m c
c
c
' ( )
( )
' ( )
( )
1
1
1
1
2
0 1
1
2
1
2
1
1
?
??
?
对应的横向分量
(29-39)
二、介质波导模式
观察 (29-36)定义式和 (29-35)的近似关系，得到
P EH
P HE
mn
mn
? ?
? ?
?
?
?
1
1
模
模
(29-40)
二、介质波导模式
从上面分析已经知道, 介质波导存在
TE0n,TM0n,EHmn,HEmn模式
K K n
K K n
K
c
c
1
2
0
2
1
2 2
2
2 2
0
2
2
2
0
2 2
0 0
? ?
? ?
?
?
?
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?
?
? ? ?
要满足上述方程
K2≤ ?≤ K1
(29-41)
(29-42)
三、截止条件
金属波导中截止条件 k
c 1 2 2 20? ?,即 ? ? ? ?
介质波导中截止条件
kc2=0
金属波导截止时, 波沿 Z方向无传播只是振幅衰
减, 同时因为是封闭的, 外部无电磁场 。 介质波导
截止时 kc2＜ 0,波沿 r方向有辐射, 且沿 z方向仍有传
播 —— 称为辐射模 。
所以 kc2≥ ０ 是波导外无辐射场的条件 。
(29-43)
(29-44)
三、截止条件
case 1 m=0时
?
?
1 1
2 2
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
J u
uJ u
u k a
K w
wK w
w k a
m
m
c
m
m
c
' ( )
( )
' ( )
( )
TEon模 ?1(u)=－ ?2(w)可写成
uJ u
J u
K w
K w
m
m
m
m
( )
' ( )
( )
' ( )? ? ?
? 0
(29-45)
(29-46)
三、截止条件
原因是 kc2≡0,w=0, TM0n模
uJ u
J u
wK w
K w
m
m
m
m
( )
' ( )
( )
' ( )? ? ?
?
?
2
1
0
∴ TE0n,TM0n模截止条件都可写为
J0(u0n)=0
case 2 m≠0且 m=1,特征方程变为
( )( )? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 1 2 2 2 2 12 221 1? ? ? ???? ??? ???? ???u w u w
(29-47)
(29-48)
(29-49)
三、截止条件
十分明显，有 ?
?
1 2
2 2
1
1
?
?
?
?
??
?
?
?
u
w
计及 ?1和 ?2定义式
J u u J u' ( ) ( )1 11?
可知 HE1n模条件是
J1(u1n)=0
(29-50)
(29-51)
(29-52)
根据 Bessel函数递推公式，又有
J u J u u J u' ( ) ( ) ( )1 0 11? ?
(29-53)
三、截止条件
当 n=1即 HE11模
u11=0
HE11模无截止波长
( )? c HE 11 ? ?
HE11模是圆柱介质波长的基模，若 ?2=?0则在截止条件 1：
? ? ? ?? ?( )K 0 0 0
传播速度是光速。
(29-54)
(29-55)
(29-56)
三、截止条件
? ? ? ?
?
? ? ??? ???k
ar
mn
0 1
2
2可得到相速
v
C
a
p
r
mn
?
?
?
?
?
?
?
??
? ?
?1
2
2
其中,?mn是 Jm(kc1a)的根值。介质波导中波速在之
间。金属波导和介质波导之比较
(29-57)
(29-58)
四、相速
金属圆柱波导 介质圆柱波导
? ??? ??? ? ??? ??? ?2 2 0EH k EHi
i i
i
i
封闭内区域求解 全空间分区域求解
四、相速
边界条件
旋转周期条件
点有限条件
场连续条件
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
1
1
r a
E
E
z
?
边界条件
旋转周期条件
点有限条件
点有限条件
正常传输条件
≥
≥
场连续条件
?
?
? ?
?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
0
0
0
1
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E E H H
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TE
TM
TE 11
模式
是主模
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混合模式
是主模HE11
四、相速
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截止条件
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截止条件
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0
0
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四、相速