第 33章 传输线腔理论
Transmission Line Cavity Theory
Z /Zm0Z /Zm0
g l
图 33-1 传输线腔
矩形腔和圆柱腔都属于一类传输线腔。我们可以把
它作为一类模型总结出来。
其中, Zm／ Z0=Rm／ Z0+jXm／ Z0表示两端的端壁损耗 。
?=?+j?是有耗传输线的复传播常数
不同的腔仅仅是截面和波型不同, 我们采用复频
率法和推广 Cullen网络法进行分析 。
一、工作模式图
二、复频率法
已经知道, 复频率
且在无损耗情况下
考虑了端壁 似 全反射和有耗传输线, 则一般的电
场可写为
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k k02 02 0 0 02 2? ? ?? ? ? ?
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(33-1)
(33-2)
(33-3)
在上式中无耗 ?=－ 1且 A?=1,B?=－ 1。 容易知道
A=－ 1,B=1。 进一步写出
? ?E E x y e e
t a z? ? ??(,)( )? ?? ?
假定 Rm／ Z0,Xm／ Z0和 ?均为一阶小量，在推
导中我们忽略二阶以上量。于是有
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0 0
2
0Z Z
Z Z
Z
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m
m
m
Z
Z
m/
/
二、复频率法
(33-4)
(33-5)
计及 z=l,则有耗情况下
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E x y z E x y e et
Z
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Z l
tm m
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换句话说，考虑端壁损耗后
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Z l
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Z lc
m
2
2
0
2
2
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其中,即复频率，式 (33-8)表明：损耗对横
向场 kc不产生影响。
二、复频率法
(33-6)
(33-7)
(33-8)
~?
~
k k
R
Z l
j
X
Z l
k
X
Z l
R
Z l
j
R
Z l
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m m m m
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在一阶近似条件下
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Z l j
R
Z l
m m2
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0 0
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二、复频率法
计及 ?和 Zm／ Z0可知
~k k
k
X
Z l j k
R
Z l
m m? ??
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另一方面,于是可知道~ ~ /k c? ?
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X
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c
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c
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g
g
m
二、复频率法
(33-9)
(33-10)
最后得到
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Z
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l
l
R
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g
m
g
g
公式 (33-11)是根据复频率法计算出的谐振频率
?′和品质因数 Q,它适用于一切传输线谐振腔 。
二、复频率法
(33-11)
再根据 最后得到? ? ??" ? ?0
02 Q
c
Q
三、推广 Cullen网络法
如果谐振电路可以画成图 33-2形式
Z i n
E
L
C
r
Z m
图 33-2 谐振电路
z r j L j
c
Z Z Z R jX
in
lotal in m
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1
那么谐振条件又写成 X≡0结合 Cullen模型
Z mZ m
g l
Z 0
图 33-3 cullen模型
三、推广 Cullen网络法
Z Z Z Z lZ Z lin m
m
? ???
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??0
0
0
th
th
?
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其中 ?=?+j?也即
th th th thth tg tg? ? ? ? ?? ? ? ?l l j l l j lj l l l j l? ? ? ?? ? ?( ) 1
注意到 Zm=Rm+jXm也是一阶小量
Z Z R Z l j X Z lZ X l jR lin m m
m m
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0
( ) ( )
( )
? ?
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0 tg
tg tg
三、推广 Cullen网络法
(33-12)
再计及谐振时,tg?l也是小量
Z
Z
R
Z l j l
X
Z
in m m
0 0 0
? ???? ??? ? ???? ???? ?tg
那么，总系统阻抗
Z
Z
Z Z
Z l
R
Z j l
X
Z
t o t a l in m m m
0 0 0 0
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? ?tg
谐振条件
tg ? l XZ m? ? 2
0
三、推广 Cullen网络法
(33-13)
(33-14)
或者写成
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??
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?ta n 1
0
2
式 (33-15)与复频率法导出的 (33-11)等价 (见
AppendixⅠ )。
三、推广 Cullen网络法
(33-15)
四,Q值的一般公式
如果输入阻抗 Zin和输入导纳 Yin可表示为
Z R jX
Y G jB
in
in
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Z = R + j Xi n
C a v i t y
图 33-4 腔的输入阻抗
(33-16)
则 Q值有下述公式
Q
R
X
Q
G
B
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0
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21,低频情况
Z R j L
C
R jX
X
L
C
L
LC
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1
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1
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四,Q值的一般公式
(33-17)
于是
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2 R
X L
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其物理意义见图 33-5所示
w
w
w
w
0
L
1 / ( C)
Z L
L
X
w
w
0
X
t g Lb
图 33-5 低频电路电抗斜率 图 33-6 微波传输线电抗斜率
四,Q值的一般公式
也就是说，引入电抗斜率扩展了集总参数概念，
以至 可使用到分布参数。
2,Foster定理
T
I
V C a v i t y
图 33-7 Foster定理
四,Q值的一般公式
Foster定理又称电抗定理 —— 它专门适用无耗网
络, 对于高 Q谐振腔的问题亦可以用它来处理, 出
发点还是 Maxwell方程组
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四,Q值的一般公式
考虑到下列矢量恒等式
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四,Q值的一般公式
分项列出如下：
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四,Q值的一般公式
于是得到
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对整个腔终端作体积分
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这里负号的出现原因是积分的面积指向体积内。
四,Q值的一般公式
T
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因为其它都是导体面，只有端口 T－ T例外
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E H E H n ds V I V I
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式中 V和 I为端面的等效电压和等效电流, 对于
高 Q谐振腔作无耗近似 V=j× I
四,Q值的一般公式
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于是有
V
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I
j I
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对偶地
于是又有
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Q G B? ? ???02
四,Q值的一般公式
五、传输线腔的 Q值公式
设 Ztotal=R+jX=Zin+Zm； 采用归一化的系统
Z mZ m
L
L
Z i n
图 33-8 计算模型
R
R
Z
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X
X
Z
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m
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五、传输线腔的 Q值公式
(33-18)
于是得到传输谐振腔的 Q值公式
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上式与式 (33-11)完全等价，可见复频率法和推
广 Cullen网络法是完全一致的。
五、传输线腔的 Q值公式
(33-19)
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X
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五、传输线腔的 Q值公式
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X l
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五、传输线腔的 Q值公式
附 录
APPENDIX Ⅰ
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考虑到,于是写出? ?
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附 录
APPENDIX Ⅰ
也就是
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附 录
APPENDIX Ⅰ
附 录
APPENDIX Ⅱ
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关于 中，严格说来Q R X? ? ???02
X l XZ m? ?tg ? 2
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因此，必须还要考虑
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( T E )波型
附 录
APPENDIX Ⅱ
于是得
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结论完全相同。
附 录
APPENDIX Ⅱ
PROBLEMS 33
一, 有一半径 R=5 cm,长度 ?=10 cm的园柱谐振腔,
其最低振荡模式的谐振频率是多少？ 若 ?=15 cm,最
低振荡模式的谐振频率又是多少？
二、设圆柱腔 TM010模式的谐振波长为 10 cm,试求此
园柱的半径 R； 并推导其 Q0值表达式。
Transmission Line Cavity Theory
Z /Zm0Z /Zm0
g l
图 33-1 传输线腔
矩形腔和圆柱腔都属于一类传输线腔。我们可以把
它作为一类模型总结出来。
其中, Zm／ Z0=Rm／ Z0+jXm／ Z0表示两端的端壁损耗 。
?=?+j?是有耗传输线的复传播常数
不同的腔仅仅是截面和波型不同, 我们采用复频
率法和推广 Cullen网络法进行分析 。
一、工作模式图
二、复频率法
已经知道, 复频率
且在无损耗情况下
考虑了端壁 似 全反射和有耗传输线, 则一般的电
场可写为
~? ?? ??
??
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1
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(33-1)
(33-2)
(33-3)
在上式中无耗 ?=－ 1且 A?=1,B?=－ 1。 容易知道
A=－ 1,B=1。 进一步写出
? ?E E x y e e
t a z? ? ??(,)( )? ?? ?
假定 Rm／ Z0,Xm／ Z0和 ?均为一阶小量，在推
导中我们忽略二阶以上量。于是有
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0Z Z
Z Z
Z
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二、复频率法
(33-4)
(33-5)
计及 z=l,则有耗情况下
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E x y z E x y e et
Z
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~ ~k k Z
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其中,即复频率，式 (33-8)表明：损耗对横
向场 kc不产生影响。
二、复频率法
(33-6)
(33-7)
(33-8)
~?
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0 0
2
2
0 0
2
0 0
2 2
2 2
2
2 2
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在一阶近似条件下
~k k X
Z l j
R
Z l
m m2
0
2
0 0
4 2 2? ??
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二、复频率法
计及 ?和 Zm／ Z0可知
~k k
k
X
Z l j k
R
Z l
m m? ??
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??0 0 0 0 0
2 2? ? ?
另一方面,于是可知道~ ~ /k c? ?
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2
X
Z l
c
l
R
Z
c
l
m
g
g
m
二、复频率法
(33-9)
(33-10)
最后得到
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0
2
2
2
X
Z
c
l
Q
l
l
R
Z
m
g
m
g
g
公式 (33-11)是根据复频率法计算出的谐振频率
?′和品质因数 Q,它适用于一切传输线谐振腔 。
二、复频率法
(33-11)
再根据 最后得到? ? ??" ? ?0
02 Q
c
Q
三、推广 Cullen网络法
如果谐振电路可以画成图 33-2形式
Z i n
E
L
C
r
Z m
图 33-2 谐振电路
z r j L j
c
Z Z Z R jX
in
lotal in m
? ? ?
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?
1
那么谐振条件又写成 X≡0结合 Cullen模型
Z mZ m
g l
Z 0
图 33-3 cullen模型
三、推广 Cullen网络法
Z Z Z Z lZ Z lin m
m
? ???
??
?
??0
0
0
th
th
?
?
其中 ?=?+j?也即
th th th thth tg tg? ? ? ? ?? ? ? ?l l j l l j lj l l l j l? ? ? ?? ? ?( ) 1
注意到 Zm=Rm+jXm也是一阶小量
Z Z R Z l j X Z lZ X l jR lin m m
m m
? ? ? ?? ?0 0
0
( ) ( )
( )
? ?
? ?
0 tg
tg tg
三、推广 Cullen网络法
(33-12)
再计及谐振时,tg?l也是小量
Z
Z
R
Z l j l
X
Z
in m m
0 0 0
? ???? ??? ? ???? ???? ?tg
那么，总系统阻抗
Z
Z
Z Z
Z l
R
Z j l
X
Z
t o t a l in m m m
0 0 0 0
2 2? ? ? ??
??
?
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? ??
??
?
??
? ?tg
谐振条件
tg ? l XZ m? ? 2
0
三、推广 Cullen网络法
(33-13)
(33-14)
或者写成
? ?l p XZ m? ? ?
??
?
??
?ta n 1
0
2
式 (33-15)与复频率法导出的 (33-11)等价 (见
AppendixⅠ )。
三、推广 Cullen网络法
(33-15)
四,Q值的一般公式
如果输入阻抗 Zin和输入导纳 Yin可表示为
Z R jX
Y G jB
in
in
? ?
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Z = R + j Xi n
C a v i t y
图 33-4 腔的输入阻抗
(33-16)
则 Q值有下述公式
Q
R
X
Q
G
B
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0
0
2
21,低频情况
Z R j L
C
R jX
X
L
C
L
LC
in ? ? ?
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0
0
0
2 0
2
1
1
2
1
0
N ote
四,Q值的一般公式
(33-17)
于是
? ?
??
?0 0
2 R
X L
R?
其物理意义见图 33-5所示
w
w
w
w
0
L
1 / ( C)
Z L
L
X
w
w
0
X
t g Lb
图 33-5 低频电路电抗斜率 图 33-6 微波传输线电抗斜率
四,Q值的一般公式
也就是说，引入电抗斜率扩展了集总参数概念，
以至 可使用到分布参数。
2,Foster定理
T
I
V C a v i t y
图 33-7 Foster定理
四,Q值的一般公式
Foster定理又称电抗定理 —— 它专门适用无耗网
络, 对于高 Q谐振腔的问题亦可以用它来处理, 出
发点还是 Maxwell方程组
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H j E
E j H
H j E H
E
j
H
j H
H
j
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j E
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四,Q值的一般公式
考虑到下列矢量恒等式
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H E
H E
H
E
H E
H
E
H
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四,Q值的一般公式
分项列出如下：
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E
H
j H
H
E
H
j E
E
j E E
E
H j H
H
j H H
E
H j E
E
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* *
*
* *
*
* *
四,Q值的一般公式
于是得到
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E H E H j E E H H??? ??? ? ?
* *
* *( )
对整个腔终端作体积分
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E H E H ds j W W
s m e
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??
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? ? ? ?? ??? ???
* *
( )4
这里负号的出现原因是积分的面积指向体积内。
四,Q值的一般公式
T
d S
因为其它都是导体面，只有端口 T－ T例外
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E H E H n ds V I V I
r
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??
?
??
? ? ?? ??? ??? ??? ???
* * * *
?
式中 V和 I为端面的等效电压和等效电流, 对于
高 Q谐振腔作无耗近似 V=j× I
四,Q值的一般公式
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V j I jI X* * *? ? ?
于是有
V
I V
I j I
I
j I
I
jI I
X
X W W
II
R
X W W
II R
Q
P
Q
m e
m e
L
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( )
( )
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4
2 1
2
0 0 0
对偶地
于是又有
I jB V B W WVVm e? ? ?,( )* ??? 4
Q G B? ? ???02
四,Q值的一般公式
五、传输线腔的 Q值公式
设 Ztotal=R+jX=Zin+Zm； 采用归一化的系统
Z mZ m
L
L
Z i n
图 33-8 计算模型
R
R
Z
l
X
X
Z
l
m
m
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2
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X X
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( )
五、传输线腔的 Q值公式
(33-18)
于是得到传输谐振腔的 Q值公式
Q
l
l
R
Z
m
g
g?
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?2
0
2
上式与式 (33-11)完全等价，可见复频率法和推
广 Cullen网络法是完全一致的。
五、传输线腔的 Q值公式
(33-19)
?
? ?
X
l( )
sec ( )2 ?l
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( )l l
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??g
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?g g g
2 2
2
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五、传输线腔的 Q值公式
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g
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g
c
g c
g
g
g g
d d
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1 1 1
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2 2 2 2
3 3
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c
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c
d
c
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d
d
c
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2
2
2
2
0
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X l
l g? ? ???
0
2
2
2se c
五、传输线腔的 Q值公式
附 录
APPENDIX Ⅰ
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l l
X
Z
Z
c
l
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1 21
0
0
0
ta n
'与 之等价性
2X
m 0
g
考虑到,于是写出? ?
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2 2
0g g
p
l,
2 2 1 2
2 2 2 2 1 2
2 2 2
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0
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m
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X
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所以
附 录
APPENDIX Ⅰ
也就是
2 2
1 2
1 2
2 1 2
1 2
0
0
2
0
0
0
0
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0
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00
2
y
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X
Z
附 录
APPENDIX Ⅰ
附 录
APPENDIX Ⅱ
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2
0
X
Z
m?
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关于 中，严格说来Q R X? ? ???02
X l XZ m? ?tg ? 2
0
因此，必须还要考虑
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2 2 1 1
0 0 0
0X
Z
X
Z X
X
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m
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X
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1 1
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1 1
1 1
0
0 0
0
2
0
0
( T E )波型
附 录
APPENDIX Ⅱ
于是得
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2 2 1 3
2
0
0 0 0
2X
Z
X
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可以忽略，值得指出：即使 TM波型也可类似得到
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结论完全相同。
附 录
APPENDIX Ⅱ
PROBLEMS 33
一, 有一半径 R=5 cm,长度 ?=10 cm的园柱谐振腔,
其最低振荡模式的谐振频率是多少？ 若 ?=15 cm,最
低振荡模式的谐振频率又是多少？
二、设圆柱腔 TM010模式的谐振波长为 10 cm,试求此
园柱的半径 R； 并推导其 Q0值表达式。
