第 25章 介质格林函数法 (Ⅱ )
Dielectric Green’s Function Method
图 25-1 三层介质镜像法
微带问题 介质 Green函数问题
?( / ')r r
微带问题可以采用介质格林函数求解 。
微带情况：可以看成是由空气, 介质和导体三个区域 。
中心导体带电荷 q,这是由于加正压所致, 所以只需
加三层介质的 Green函数即可 。
e
o
εε
o r
o
y
I
II
III
h
1
一、三层介质镜像法
其中 ?(y－ y0)是为了不确定位置, 使求解 Microstrip
时更加方便 。
(1-1)
支配方程
区域Ⅰ
区域Ⅱ
区域Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
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0
0
2
2
1
0
0
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? ?( ) ( )x h y y我们仍然采用分区域求解
边界条件
x=h (25-2)
(25-3)
? ?Ⅰ Ⅱ
Ⅰ Ⅱ
＝
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?x xr
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x ? ?0 0 ? ?Ⅰ Ⅱ＝
x ＜ Ⅲ0 0 ? ?
两个边界, 三种 model,反复迭代
一、三层介质镜像法
一、三层介质镜像法
处理 x=h边界
第一次介质条件 导体反对称条件
处理 x=0边界
处理 x=h边界
第二次介质条件
一、三层介质镜像法
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r
r
r
1
1
2
1
注意到在区域 Ⅱ, Ⅲ 不应有真实电荷, 即应满足
Laplace方程 。
x=0是导体的奇对称对称轴, 使 ?≡ 0；
x=h是介质对称轴 。
Case 1,真实电荷 +1在 RegionⅠ( 空气 ?0)中 。
根据前面的讨论：在求解 RegionⅠ 和 RegionⅡ 时把
两个区域都认为充满 ?0,已解出,
一、三层介质镜像法
Case 2.“真实, 电荷 +1在 RegionⅢ, 也认为全部充
空气 ?0
一、三层介质镜像法
求解 RegionⅡ 求解 RegionⅠ
图 25-2 +1处于 RegionⅢ
首先要看出,［ x+(2i-1)h］ 和 ［ x-(2i+1)h］ 对于
x=h对称, 只要代入即可知 2ih,－ 2ih距离相等 。 全
空间 (Full space)充满 ?0可知
(25-4)?
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Ⅰ
Ⅱ
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1
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1
2
1
2 1
1
2 1
0
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0
2
0
2
0
2 2
0
2
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' ln
[ ( ) ] ( )
ln
[ ( ) ] ( )
ln
[ ( ) ] ( )
x i h y y
x i h y y x i h y y
一、三层介质镜像法
在边界 x=h上, ?Ⅰ ＝ ?Ⅱ 得到
解出
也就是说：－ (2i-1)h点反映到 (2i+1)h应乘
因子, 而解 RegionⅠ 时应乘 因子 。
1 ? ?? ?' '
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Ⅰ Ⅱ
x xr r? ? ? ( ' ) '1
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1
1
2
1
一、三层介质镜像法
?'
(25-5)
?'
1,RegionⅠ 求解
注意真实电荷在 RegionⅠ, 只能是 +1,同时它应
与区域 RegionⅡ 作边界拟合 。
一、三层介质镜像法
h+
h-
-h
-3h
-5h
-7h
-
+
-
+
1+ ε
r
1+ ε
r
1+ ε
r
1+ ε
r
1+ ε
r
1+ ε
r
1+ ε
r
1+ ε
r
2
2
2
2
2 ε
r
2 ε
r
2 ε
r
2 ε
r
ε +
r
1
ε +
r
1
ε +
r
1
ε
r
-1
ε
r
-1
ε
r
-1
(
(
(
)
)
2
)
3
y
x
Regi o n I
一、三层介质镜像法
图 25-3 求解 RegionⅠ 图 25-4 求解 RegionⅡ
-
-
1+ ε
r
1+ ε
r
1+ ε
r
1+ ε
r
1+ ε
r
1+ ε
r
1+ ε
r
1+ ε
r
2
2
2
2
2
2
2
2
ε +
r
1
ε +
r
1
ε +
r
1
ε +
r
1
ε +
r
1
ε +
r
1
ε
r
-1
ε
r
-1
ε
r
-1
ε
r
-1
ε
r
-1
ε
r
-1
(
(
(
(
(
(
)
2
)
)
2
)
)
3
)
3
-
y
x
o
-
h
+
3h
5h
7h
? Ⅰ ?
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rx h y y x h y y
ln
( ) ( )
ln
( ) ( )
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1
ln
1
2
1
1
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1
ln
1
2
1
1
yyhx
yyhx
r
r
r
r
r
r
r
r
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?
一、三层介质镜像法
上式可简要写成
(25-6)
为方便起见, 对第一电荷不再区分 h＋ 和 h－ 。
?
Ⅰ
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2
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2 1
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0
2
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r
r
r
r
ri
x h y y
x i h y y
ln
( ) ( )
( ) ln
[ ( ) ] ( )
一、三层介质镜像法
2.RegionⅡ 求解
?
Ⅱ
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2
2
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1 1
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2
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3
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0
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0
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0
2 2
0
2
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r
r
r
x h y y x h y y
x h y y x h y y
ln
( ) ( )
ln
( ) ( )
ln
( ) ( )
ln
( ) ( )
ln
( ) ( )
ln
( ) ( )
1
5
1
5
2
0
2 2
0
2
x h y y x h y y? ? ?
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?
?
一、三层介质镜像法
也可简要写为
(25-7)
注意到 h＋ 符合上述表述, 它显然符合
同时, 反对称组合使 ?Ⅱ |x=0≡ 0得以满足 。
?
Ⅱ
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2
2
1
1
1
1
1
2 1
1
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0 0
2
0
2 2
0
2
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r
r
r
i
i
x i h y y x i h y y
( )
ln
[ ( ) ] ( )
ln
[ ( ) ] ( )
? ? ?2 0? Ⅱ
一、三层介质镜像法
3,x=h处 ?Ⅰ =?Ⅱ 边界条件检验。
]
)(])1(2[
1
ln)1(
1
1
1
2
)(
1
[ l n
1
2
2
1
|
0
2
0
2
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hx
yyhi
yy
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Ⅰ
一、三层介质镜像法
(25-8)
?
Ⅱ
| ( ) ln
( ) ( )
ln
[ ( ) ] ( )
ln
( )
x h
r
r
r
i
i
i
r
r
r
r
r
ih y y i h y y
y y
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2
2
1
1
1
1
1
2
1
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1
2
2
1
1
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1
1
1
1
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2
0
2 2
0
2
0 0
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x h
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r
r
i
i
i
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y y i h y y
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2
0
2
0
0
2
1
2
0
2
1
1
2 1
1
2
2
1
1 2
1
1
1
1
1
2 1
( ) ln
[ ( ) ] ( )
| ln
( )
( ) ln
[ ( ) ] ( )
?
Ⅱ
?? ? ?
?
?
十分明显, ?Ⅰ |x=h=?Ⅱ |x=h。
一、三层介质镜像法
(25-9)
4,x=h处 边界条件检验
??
? ?? ?
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Ⅰ
x
i h
i h y y
x h r
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2
1
2
1
1
1
1
2 1
2 1
1
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1
2
1
1
1
1
0 1
2
0
2
0
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[ ( ) ]
[ ( ) ] ( )
( )
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2
0
2
2 1
2 1
[ ( ) ]
[ ( ) ] ( )
i h
i h y y
一、三层介质镜像法
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Ⅰ Ⅱ
x xr?
(25-10)
2
0
2
10
2
0
2
10
2
0
22
0
2
10
2
0
22
0
2
10
)(])1(2[
])1(2[
)1(
1
1
1
2
1
2
2
1
)(])1(2[
])1(2[
1
1
1)1(
1
1
1
2
2
1
)(])1(2[
)1(2
)()2(
)2(
)1(
1
1
1
2
2
1
)(])1(2[
])12([
)()2(
])12([
)1(
1
1
1
2
2
1
yyhi
hi
yyhi
hi
yyhi
hi
yyih
ih
yyhi
hix
yyih
hix
x
i
i
i
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hxhx
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Ⅱ
显见
??
? ?
??
?
Ⅰ Ⅱ
x xx h r x h? ??
一、三层介质镜像法
(25-11)
(25-12)
我们把 ?Ⅱ 写成 Green函数
二、微带问题介质 Green函数法
G x y h y
x i h y y x i h y y
r
r
r
i
i
i
(,/,) ( )
ln
[ ( ) ] ( )
ln
[ ( ) ( )
0
0 1
2
0
2 2
0
2
1
2
2
1
1
1
1
1
2 1
1
2 1
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(25-13)
w
h
图 25-5 矩量法求解
设 ?(y0)是线上电荷分布
(25-14)
? ( ) (,/,)y G h y h y dy VW 0 0 0 0??
二、微带问题介质 Green函数法
离散化后为
P y y Wy Wn n
n
( )0 0
0
1
0?
?
?
??
?
?
?
V0——线上电压
? ?( ) ( )y P yn n
n
N
0 0
1
?
?
?
? n
Wn
N
G h y h y dy V
n
(,/,)0 0 0
1
???
? ?
二、微带问题介质 Green函数法
(25-15)
(25-16)
(25-17)
选定 m个点, 每个点都处于 ?Wn中间 (相当于 Point
Matching)
(25-18)
写成 Matrix Form
其中
(25-20)
? n m
Wn
N
G h y h y dy V
n
(,/,)0 0 0
1
???
? ?
? ?? ? ? ?l V? ? 0
l G h y h y dymn m
W n
? ? (,/,)0 0
?
二、微带问题介质 Green函数法
(25-19)
按照定义
即能得到
其中
(25-22)
表示归一化电荷密度, 微带特性阻抗：
C QV C QV? ? ? ?
0 0
0 或
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?l
W C
0
1
1
0? ?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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? ?
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?
?
?
?
?
? '
? ?'? V
0
二、微带问题介质 Green函数法
Z vC C0 1? ? ??
(25-21)
(25-23)
PROBLEM 25
R
0
? 0
d
y
x
??0r
?0
一, 填充 介质空间中有一半径为 R的空气柱
( ),离轴心 d处的线电荷密度为 l, 求 Region I和
Region II电位 。
? ?o r
?