第 16章 园波导一般解
General Solution in Circular
Waveguide
我们已经研究了矩形波导, 对于圆波导的提出应
该有它的理由 。
一, 圆波导的一些特点
在矩形波导应用之后, 还有必要提出圆波导吗？
当然, 既然要用圆波导, 必须有其优点存在 。 主要有：
1,圆波导的提出来自实践的需要。例如，雷达
的旋转搜索。如果没有旋转关节，那只好发射机跟着
转。象这类应用中,圆波导成了必须要的器件。至
于以后要用到的极化衰减器，多模或波纹喇叭，都
会应用到圆波导。可以这样说,几何对称性给圆波导
带来广泛的用途和价值。
2,从力学和应力平衡角度，机加工圆波导更为
有利，对于误差和方便性等方面均略胜矩形波导一
筹。
一、圆波导的一些特点
图 16-1 Rotation Junction
一、圆波导的一些特点
3,根据微波传输线的研究发现：功率容量和衰
减是十分重要的两个指标 。 这个问题从广义上看
功率容量 其中 是截面
衰减 其中 是周长
P S S
a L L
m a x ( )
( )
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F P a SL? ?max
很容易引出一个品质因数 F
很明显，数字研究早就指出：在相同周长的条件下，
圆面积最大
(16-1)
一、圆波导的一些特点
可见，要探索小衰减，大功率传输线，想到圆波
导是自然的 。
一、圆波导的一些特点
4,矩形波导中存在的一个矛盾
当我们深入研究波导衰减, 发现频率升高时衰减
在矩形波导中上升很快 。 仔细分析表明, 衰减由两部
分组成：一部分称纵向电流衰减, 另一部分是横向电
流衰减 。
当频率升高时, 横向电尺寸加大, 使横向电流衰
减反而减少 。 这样所构成的矛盾因素使衰减有了极值,
同时形成频率升高时衰减增加 。
而以后在圆波导中将会发现，有的波型 (圆波导
中 H01波型 )无纵向电流，因此，若采用这种波型会使
高频时衰减减小。
一、圆波导的一些特点
图 16-3 圆波导 H01波衰减图 16-2 矩形波导 TE10波衰减
0 f 0 f
a a
纵向电流
横向电流
横向电流
d min
二、圆波导一般解
各种波导之间的差异主要是横向边界条件不同，
由此可以得到各种不同的波型和模式，很自然，为了
适合圆波导，应该采用圆柱坐标系。
x
z
R
y
r
j
0
图 16-4 圆波导坐标系统
二、圆波导一般解
1,它们也可以划分为 TE和 TM波 。
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x x
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H R r Z zz ? ( ) ( ) ( )? ?假设
我们以 TE波作为例子，这时 Ez=0
对于圆柱坐标
z分量分别满足
(16-4)
(16-3)
(16-2)
二、圆波导一般解
同样可解出
Z z ce z( ) ? ??
H R r ez z? ?( ) ( )? ? ?
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2
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H
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H k Hz z z
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(16-6)
(16-5)
(16-7)
其中
且满足
于是
等式两边除以 ΦR,乘上 r２
二、圆波导一般解
? ? ??? ?? ???
2
2 2
2
2
21R
r r
R
r
R
r k H
z z
c z? ? ? ?
r
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r
r
R
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dR
dr
k r m Rc
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(16-8)
显然，可以令一常数 m２
二、圆波导一般解
其解分别是
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c os
s in
( ) ( ) ( )
( )
( )
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m c m c
m c
m c
1 2
3 4
J k r m
N k r m
m c
m c
( )
( )
为第一类 阶 函数
为第二类 阶 函数 函数
B e s s e l
B e s s e l ( N e u m a n n )
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(16-9)
其中 c1,c2,c3,c4为常数。 m=0,1,2,… 为整数 。
二、圆波导一般解
对于 Neumann函数最大特点是 x→ 0,Nm(x)→ 0。
而空心波导，中间没有导体的条件下不可能出现
Neumann函数。
H H J k r mm ez m c z? ?0 ( ) c o ss in ?? ?
2,纵向分量法
(16-10)
二、圆波导一般解
利用纵向分量表示横向分量
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(16-11)
注意到
(16-12)
二、圆波导一般解
可以把上面两个 Maxwell旋度方程分解成两组
D
j
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k
D
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E j H
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二、圆波导一般解
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得到第一组解
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二、圆波导一般解
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(16-15)
得到第二组解
二、圆波导一般解
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(16-17)
(16-16)
我们把全部横向分量用矩阵形式表示 E
E
H
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E
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二、圆波导一般解
有了一般情况的矩阵表示，对于 TE的特殊情况
就比较容易得到 E
E
H
H
k
j
j
j
j
H
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代入
H H J k r mm ez m z? ?0 0( ) c o ss in ?? ?
(16-18)
有
二、圆波导一般解
E H
j m
k r
J k r
m
m
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E H
j
k
J k r
m
m
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H H
k
J k r
m
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sin
' ( )
c os
sin
( )
sin
c os
(16-19)
J k rm c' ( )其中,是第一类 m阶 Bessel函数的导数。
二、圆波导一般解
3,边界条件
圆波导包含三种边界条件
? 有限条件 f(r=0)≠∞
? 周条抢 f( )=f( )
? 理想导体条件地 ft(r=R)=0
其中 t表示切向分量
??0 ? ??2
有限条件导致圆波导体不出现 Neumann函数 。
周期边界条件要求 m为整数阶 。
理想导体边界条件要求 r=R处, =0,也即
二、圆波导一般解
E?
J k Rm c' ( ) ? 0
?mn
k R nc ? ? ? ??? mn (,,,)1 2 3
k Rc
c
? ?? ??mn 2
? ??c R? 2
mn
(16-20)
(16-21)
(16-22)
，又可知
设 是 m阶 Bessel函数导数的第 n个根，则
二、圆波导一般解
圆波导中 TE波截止波长值
波型 ?mn ?c
H11
H21
H01
1.841
3.054
3.832
3.41R
2.06R
1.64R
最后得到传播波型
二、圆波导一般解
上式是一般的圆波导 TE波场表达形式。
(16-23)
E j
m
k r
H J
R
r
m
m
e
E j
k
H J
R
r
m
m
e
E
H j
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H J
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H j
k r
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mn
mn
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c os
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mn
附 录 APPENDIX
广义柱坐标的不变性
按照广义正交曲线坐标，很易导出
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2
附 录 APPENDIX
和前面的推导完全类似，可得
E
E
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j
j
j
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E
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注意到 ? ? ?/ z ? ?
附 录 APPENDIX
中间的矩阵 [H]在直角坐标，圆柱坐标是完全一致的。
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j
j
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另一方面注意到
附 录 APPENDIX
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附 录 APPENDIX
从上面公式可知，在 Jacobi坐标变换中
［ T］ =［ T］ -1
在形式上 ［ H］ 矩阵是不变的。
General Solution in Circular
Waveguide
我们已经研究了矩形波导, 对于圆波导的提出应
该有它的理由 。
一, 圆波导的一些特点
在矩形波导应用之后, 还有必要提出圆波导吗？
当然, 既然要用圆波导, 必须有其优点存在 。 主要有：
1,圆波导的提出来自实践的需要。例如，雷达
的旋转搜索。如果没有旋转关节，那只好发射机跟着
转。象这类应用中,圆波导成了必须要的器件。至
于以后要用到的极化衰减器，多模或波纹喇叭，都
会应用到圆波导。可以这样说,几何对称性给圆波导
带来广泛的用途和价值。
2,从力学和应力平衡角度，机加工圆波导更为
有利，对于误差和方便性等方面均略胜矩形波导一
筹。
一、圆波导的一些特点
图 16-1 Rotation Junction
一、圆波导的一些特点
3,根据微波传输线的研究发现：功率容量和衰
减是十分重要的两个指标 。 这个问题从广义上看
功率容量 其中 是截面
衰减 其中 是周长
P S S
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很容易引出一个品质因数 F
很明显，数字研究早就指出：在相同周长的条件下，
圆面积最大
(16-1)
一、圆波导的一些特点
可见，要探索小衰减，大功率传输线，想到圆波
导是自然的 。
一、圆波导的一些特点
4,矩形波导中存在的一个矛盾
当我们深入研究波导衰减, 发现频率升高时衰减
在矩形波导中上升很快 。 仔细分析表明, 衰减由两部
分组成：一部分称纵向电流衰减, 另一部分是横向电
流衰减 。
当频率升高时, 横向电尺寸加大, 使横向电流衰
减反而减少 。 这样所构成的矛盾因素使衰减有了极值,
同时形成频率升高时衰减增加 。
而以后在圆波导中将会发现，有的波型 (圆波导
中 H01波型 )无纵向电流，因此，若采用这种波型会使
高频时衰减减小。
一、圆波导的一些特点
图 16-3 圆波导 H01波衰减图 16-2 矩形波导 TE10波衰减
0 f 0 f
a a
纵向电流
横向电流
横向电流
d min
二、圆波导一般解
各种波导之间的差异主要是横向边界条件不同，
由此可以得到各种不同的波型和模式，很自然，为了
适合圆波导，应该采用圆柱坐标系。
x
z
R
y
r
j
0
图 16-4 圆波导坐标系统
二、圆波导一般解
1,它们也可以划分为 TE和 TM波 。
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2 2
0
0
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H k H
x x
x x
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2
2
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r r r r r z
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H R r Z zz ? ( ) ( ) ( )? ?假设
我们以 TE波作为例子，这时 Ez=0
对于圆柱坐标
z分量分别满足
(16-4)
(16-3)
(16-2)
二、圆波导一般解
同样可解出
Z z ce z( ) ? ??
H R r ez z? ?( ) ( )? ? ?
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2 2
2
2
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r r
H
r r
H k Hz z z
c z? ? ? ?
? 2 2 2? ?k kc
(16-6)
(16-5)
(16-7)
其中
且满足
于是
等式两边除以 ΦR,乘上 r２
二、圆波导一般解
? ? ??? ?? ???
2
2 2
2
2
21R
r r
R
r
R
r k H
z z
c z? ? ? ?
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R
R
r
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R
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dr
r
dR
dr
k r m Rc
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(16-8)
显然，可以令一常数 m２
二、圆波导一般解
其解分别是
? ( ) c os s in
c os
s in
( ) ( ) ( )
( )
( )
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c m c m
m
m
R r c J k r c N k r
J k r
N k r
m c m c
m c
m c
1 2
3 4
J k r m
N k r m
m c
m c
( )
( )
为第一类 阶 函数
为第二类 阶 函数 函数
B e s s e l
B e s s e l ( N e u m a n n )
?
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??
(16-9)
其中 c1,c2,c3,c4为常数。 m=0,1,2,… 为整数 。
二、圆波导一般解
对于 Neumann函数最大特点是 x→ 0,Nm(x)→ 0。
而空心波导，中间没有导体的条件下不可能出现
Neumann函数。
H H J k r mm ez m c z? ?0 ( ) c o ss in ?? ?
2,纵向分量法
(16-10)
二、圆波导一般解
利用纵向分量表示横向分量
? ? ?? ?H j E??
1
1
r
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z
j E
H
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H
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j E
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H
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(16-11)
注意到
(16-12)
二、圆波导一般解
可以把上面两个 Maxwell旋度方程分解成两组
D
j
j
k
D
r
H
E
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H E
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二、圆波导一般解
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z z
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得到第一组解
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H E
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z z
r
c
z z
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(16-14)
二、圆波导一般解
j E H
H
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(16-15)
得到第二组解
二、圆波导一般解
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j
H
r
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c
z z
c
z z
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(16-17)
(16-16)
我们把全部横向分量用矩阵形式表示 E
E
H
H
k
j
j
j
j
E
r
r
E
H
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二、圆波导一般解
有了一般情况的矩阵表示，对于 TE的特殊情况
就比较容易得到 E
E
H
H
k
j
j
j
j
H
r
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r c
z
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0
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代入
H H J k r mm ez m z? ?0 0( ) c o ss in ?? ?
(16-18)
有
二、圆波导一般解
E H
j m
k r
J k r
m
m
e
E H
j
k
J k r
m
m
e
H H
k
J k r
m
m
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H H
m
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J k r
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sin
c os
' ( )
c os
sin
' ( )
c os
sin
( )
sin
c os
(16-19)
J k rm c' ( )其中,是第一类 m阶 Bessel函数的导数。
二、圆波导一般解
3,边界条件
圆波导包含三种边界条件
? 有限条件 f(r=0)≠∞
? 周条抢 f( )=f( )
? 理想导体条件地 ft(r=R)=0
其中 t表示切向分量
??0 ? ??2
有限条件导致圆波导体不出现 Neumann函数 。
周期边界条件要求 m为整数阶 。
理想导体边界条件要求 r=R处, =0,也即
二、圆波导一般解
E?
J k Rm c' ( ) ? 0
?mn
k R nc ? ? ? ??? mn (,,,)1 2 3
k Rc
c
? ?? ??mn 2
? ??c R? 2
mn
(16-20)
(16-21)
(16-22)
，又可知
设 是 m阶 Bessel函数导数的第 n个根，则
二、圆波导一般解
圆波导中 TE波截止波长值
波型 ?mn ?c
H11
H21
H01
1.841
3.054
3.832
3.41R
2.06R
1.64R
最后得到传播波型
二、圆波导一般解
上式是一般的圆波导 TE波场表达形式。
(16-23)
E j
m
k r
H J
R
r
m
m
e
E j
k
H J
R
r
m
m
e
E
H j
k
H J
R
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m
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H j
k r
H J
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mn
mn
mn
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c os
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sin
c os
'
sin
c os
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mn
附 录 APPENDIX
广义柱坐标的不变性
按照广义正交曲线坐标，很易导出
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1
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附 录 APPENDIX
和前面的推导完全类似，可得
E
E
H
H
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j
j
j
j
h
E
u
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E
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注意到 ? ? ?/ z ? ?
附 录 APPENDIX
中间的矩阵 [H]在直角坐标，圆柱坐标是完全一致的。
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j
j
j
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另一方面注意到
附 录 APPENDIX
E
E
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2 2
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[ ]
附 录 APPENDIX
从上面公式可知，在 Jacobi坐标变换中
［ T］ =［ T］ -1
在形式上 ［ H］ 矩阵是不变的。
