第 12章 矩形波导 TE10波 (Ⅰ)
TE10 Mode in Rectangular Waveguide (Ⅰ )
这次课主要讲述矩形波导中 TE10波 。 我们将先从
波导一般解开始讲起 。
一, 矩形波导的一般解
写出无源 区域的 Maxwell方程组
(12-1)
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???
????
???
0
0
H
E
HjE
EjH
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?J?0
一、矩形波导的一般解
作为例子, 对 (12-1)中第 2式两边再取旋度
可以得到支配方程
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E E E j H
E k E
( ) 2
2 2
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2 2
2 2
0
0
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E k E
H k H
(12-2)
波导的一般解采用纵向分量法，其流图如下所示，
上式也称 Helmholtz方程
一、矩形波导的一般解
支配方程
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2 2
2 2
0
0
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E k E
H k H
纵向分量方程
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2 2
2 2
0
0
E k E
H k H
z z
z z
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其它分量用
表示E H
E f E H
E f E H
H f E H
H f E H
z
x z
y z
x z
y z
,,
,
,
,
,
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1
2
3
4
方程
无源区中
出发点
M a x w e ll
图 12-1 波导一般解流图
1,纵向分量方程
(12-3)
假定 Ez(或 Hz)可分离变量，也即
(12-4)
且
一、矩形波导的一般解
(12-5)
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2 2
2 2
0
0
E k E
H k H
z z
z z
E E x y Z z
H H x y W z
z
z
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(,) ( )
(,) ( )
? ? ? ?2 2
2
2t Z
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代入可知
(12-6)
由于其独立性，上式各项均为常数
(12-7)
一、矩形波导的一般解
? ? ? ?t E x y
E x y Z z
Z z
z k
2 2
2
21 0(,)
(,) ( )
( )?
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1
0
2
2
2
2
2
Z z
Z z
z
E x y
E x y
kt
t
( )
( )
(,)
(,)
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其中
(12-8)
称为截止波数，则式 (12-7)中第一方程的解是
一、矩形波导的一般解
k kt2 2 2? ? ?
Z z C e C ez z( ) ? ??1 2? ?
(12-9)
十分有趣的是：波导解的 z函数与传输线解有惊人的相
似，又是入射波和反射波的组合，因为我们只研究一个
波 (不论是 TE或 TM波 )，所以在形式上只写入射波，有
且
(12-10)
2,横向分量用纵向分量表示
一、矩形波导的一般解
E E x y e
H H x y e
z
z
z
z
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(,)
(,)
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? ?z ? ?
? ? ?? ?H j E??
一、矩形波导的一般解
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( ? ? ? )
i j k
x y
H H H
j E i E j E k
x y z
x y z
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H
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H j E
H
H
x
j E
H
x
H
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j E
z
y x
x
z
y
y x
z
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(12-11)
一、矩形波导的一般解
? ? ? ?? ?E j H??
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( ? ? ? )
i j k
x y
E E E
j H i H j H k
x y z
x y z
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(12-12)
一、矩形波导的一般解
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E
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E j H
E
E
x
j H
E
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z
y x
x
z
y
y x
z
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先整理 Ex,Hy方程组
一、矩形波导的一般解
222
c
z
yx
z
yx
kk
j
j
D
x
E
HjE
y
H
HEj
?????
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x
E
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x
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x
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z
z
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一、矩形波导的一般解
(12-13)
E
k
E
x
j
H
y
H
k
j
E
x
H
y
x
c
z z
y
c
z z
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1
2
2
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一、矩形波导的一般解
再整理 Ey,Hx方程组 j E H
H
x
E j H
E
y
D
j
j
k
y z
z
y z
y
c
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2
一、矩形波导的一般解
(12-14)
D
H
x
E
y
j
E
y
j
H
x
D
j
H
z
E
y
j
E
y
H
x
z
z
z z
z
x
z z
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k
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y
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x
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z z
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一、矩形波导的一般解
E
E
H
H
k
j
j
j
j
E
x
E
y
H
x
H
y
x
y
x
y
c
x
x
x
x
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1
0 0
0 0
0 0
0 0
2
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进一步归纳成矩阵形式
注意到 Ez和 Hz的横向函数要依赖具体的边界条件。
一、矩形波导的一般解
二、矩形波导的横向解
在矩形波导中存在 TE和 TM两类波, 请注意矩形波
导中不可能存在 TEM波 (推而广之, 任何空心管中都不
可能存在 TEM波 )。
这里以 TE波为例作出讨论, 即 Ez=0,对于纵向分
量只须讨论 Hz,计及 ? ? ?
t x y
2 2
2
2
2
?
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?
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0),( ),( 2
2
??? ct kyxH yxH
二、矩形波导的横向解
则矩形波导的横向解是
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2
2
2
2
2H x y
x
H x y
y k H x yc
(,) (,) (,)? ? ?(12-17)
图 12-2 矩形波导坐标系
x
z
y
a
0
b
e m
二、矩形波导的横向解
再令 H(x,y)可分离变量，即 H(x,y)=X(x)Y(y)
1 12
2
2
2
2
X
X
x Y
Y
y k c
?
?
?
?? ? ?
还令每项都是常数 (Constant),可得
1
1
2
2
2
2
2
2
2 2 2
X
X
x
k
Y
Y
y
k
k k k
x
y
x y c
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(12-18)
二、矩形波导的横向解
X A k xx x? ?c o s ( )?
Y k y y? ?B yc o s ( )?
H H k x k y ez x x y y z? ? ? ?0 c o s ( ) c o s ( )? ? ?
一般可写出：
总的可写出
下面的主要任务是利用边界条件确定 kx,ky,和 。
请注意,H0在问题中认为是未知数，与激励强度
有关。
(12-19)
二、矩形波导的横向解
根据横向分量可以用纵向分量表示, 有
? ?( )? ?k k c2 2
E
j
k
H
y
H
j
k
k k x k y e
E
j
k
H
x
H
j
k
k k x k y e
x
c
z
c
y x x y y
z
y
c
z
c
x x x y y
z
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?
2 0 2
2 0 2
c o s ( ) s i n ( )
s i n ( ) c o s ( )
问题：为什么不要求
二、矩形波导的横向解
边界条件
x=0,x=a,Ey=0
y=0,y=b,Ex=0
x E
x a E k a m
y x
y x
? ? ?
? ? ?
0 0 0
0
,,
,,
可得
可得
?
?k
m
a mx ?
?,整数
y E
y a E k a n
x y
x y
? ? ?
? ? ?
0 0 0
0
,,
,,
可得
可得
?
?k
n
a ny ?
?,整数
二、矩形波导的横向解
H H
m
a
n
b
e
E j
k
n
b
H
m
a
x
n
b
y e
E j
k
m
a
H
m
a
x
n
b
y e
E
H
k
m
a
H
m
a
x
z
z
x
c
z
y
c
z
z
x
c
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0
2 0
2 0
2 0
0
c os c os
c os sin
sin c os
sin
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c os
c os sin
n
b
y e
H
k
n
b
H
m
a
x
n
b
y e
z
y
c
z
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? ? ? ?
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2 0
最后得到
(12-20)
二、矩形波导的横向解
k k k m a n bc x y2 2 2
2 2
? ? ? ??? ??? ? ??? ???? ?
其中，
上面称为 TEmn波
m—— 表示 x方向变化的半周期数
(即小 → 大 → 小 )
n—— 表示 y方向变化的半周期数 。
(12-21)
二、矩形波导的横向解
关于简正波的讨论：
以矩形波导为例, 尽管在 z方向它们只可能是入
射波加反射波 (即还是广义传输线 ),但是由于横向
边界条件它们由 TEmn和 TMmn波组成并且它们只能由
TEmn和 TMmn波组成 (后者, 我们称之为完备性 ),矩形
波导中这些波的完备集合 —— 即简正波 。
任何情况的可能解, 只能在简正波中去找, 具
体场合所不同的仅仅是比例和组合系数, 事实上,
这样就把求复杂场 函数 的问题变换成求各个模式的
系数 。
二、矩形波导的横向解
?r x i y j zk? ? ?? ? ?
这种思想, 最早起源于矢量分析, 任何空间矢量
x
y
z
0
r
(x,y,z)
图 12-3 Vector Analysis
方向与大小均
不相同，但是
建立 x,y,z
坐标系之后，
任一 (三维 )矢
量即归结为三
个系数
三, TE10波
矩形波导中频率最低模式，也即我们要工作的传输
主模式即 TE10波,m=1,n=0,若传播常数无耗 γ=jβ 。
H H
a
x e
E j
k a
H
a
x e
H
j
k a
H
a
x e
z
j z
y
c
j z
x
c
j z
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0
2 0
2 0
c os
si n
si n
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H H
a
x t z
E
k a
H
a
x t z
H
k a
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0
2 0
2 0
c o s c o s ( )
s in s in ( )
s in s in ( )
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三, TE10波
场结构的画法上要注意：
?场存在方向和大小两个不同概念, 场的大小是以
力线密度表示的
?同一点不能有两根以上力线
?磁力线永远闭合, 电力线与导体边界垂直
?电力线和磁力线相互正交
(1) TE10波的截止特性
要传播 TE10波必须满足
λ＜ 2a (12-22)
三, TE10波
x
x
y
z
z
y
z
z
0
0
0
0
0
0
x
a
a
b
0
x
H
z
H
x
E y
H
图 12-4 TE10波场结构
三, TE10波
由于, 而传播的相位因子,
是实数, 所以必满足
也即
为此我们定义 (12-23)
其中, λc=2a称为截止波长, kc是对应的截止波数 。
因此, 波导是一只高通滤波器, 低频信号无法通过 。
k k k ac2 2 2 2 2
2
? ? ? ? ? ??? ???? ? ? ej z?
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? 2 2 2 0? ?k k k kc c＞ 或 ＞
2 2?
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? ?＞ ＜
a a
kc ? 2??
三, TE10波
(2)波导波长 λ g
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?g
a
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?1
2
2
＞ (12-24)
? ??? 2
g
设传播常数
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? ??? ??? ?
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??2 2 2
2 2 2
c g
三, TE10波
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g
a
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?1
2
2
即可导得
(3)相速 υ p
?
?
p
C
a
C?
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2
2
＞ (12-25)
三, TE10波
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t z
dz
dt
C
c
C
a
p
g
g
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Co n s ta n t
2
2
1
2
2
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/
已知相位因子构成的等相面
显然相速 υ p>C。 但相速并不是能量传播速度。
三, TE10波
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g
c c
c c
p
d
d
k k k
d
d k k
k
k k c
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2 2 2 2
2 2
2
2 2
2
1
2
2 /
群速 υ p定义
三, TE10波
于是
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g
p
c c
a
? ? ? ??? ???
2 2
1
2
＜ C
(12-26)
且
? ?g p C? 2
(12-27)
三, TE10波
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E
H
E
H
a
t
t
y
x
g
0
2
1
1
2
(4)波型阻抗
注记：在 TE10波各参数中唯独波型阻抗要特别讨论 。
(12-29)
三, TE10波
我们已经讲过在空间影响波传输和反射的是
波阻抗, 在同轴线中影响反射的是特性阻抗 Z0。
而 TE,TM波的传输线, 由于 Z0缺乏唯一性所以
增加其复杂性, 矩形波导的特性阻抗
Z
b
a
a
0
2
1
2
?
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它与波型阻抗差 因子, 先提出来容后讨论 。b
a
(12-30)