第 7章 Smith 圆图
在微波工程中, 最基本的运算是工作参数 之
间的关系, 它们在已知特征参数 和长度 l 的基础
上进行 。
Smith圆图正是把特征参数和工作参数形成一体，
采用图解法解决的一种专用 Chart。 自三十年代出现以
来，已历经六十年而不衰，可见其简单，方便和直观,
?,Z,?
Z0,?
一,Smith图圆的基本思想
Smith圆图，亦称阻抗圆图。其基本思想有三条：
1,特征参数归一思想
特征参数归一思想, 是形成统一 Smith圆图的最关
键点, 它包含了阻抗归一和电长度归一 。
Z z Z zZ( ' ) ( ' )?
0
Z z
z
z
z
Z z
Z z
( ' )
( ' )
( ' )
( ' )
( ' )
( ' )
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
?
?
?
? ?? ?? ?2 360
g g
l l
?
阻抗归一
电长度归一
阻抗千变万化, 极难统一表述 。 现在用 Z０ 归一,
统一起来作为一种情况加以研究 。 在应用中可以简单
地认为 Z０ =1。
电长度归一不仅包含了特征参数 β,而且隐含了
角频率 ω。
由于上述两种归一使特征参数 Z０ 不见了；而另一
特征参数 β连同长度均转化为反射系数 Γ的转角。
2,以系统不变量 |Γ|作为 Smith圆图的基底在无耗传
输线中,|Γ|是系统的不变量 。所以由 |Γ |从 0到 1的
同心圆作为 Smith圆图的基底，使我们可能在一有限
空间表示全部工作参数 Γ, Z(Y)和 ρ 。
一,Smith图圆的基本思想
? ? ? ?( ' ) | | | |' ( )z e e el j z l j l jl? ? ?? ?2 2? ? ? ?
θ的周期是 1/2λ g。 这种以 |Γ |圆为基底的图形称为
Smith圆图 。
3,把阻抗 (或导纳 ),驻波比关系套覆在 |Γ |圆上 。
这样,Smith圆图的基本思想可描述为,消去特
征参数 Z０, 把 β归于 Γ相位；工作参数 Γ为基底，套覆
Z(Y)和 ρ。
一,Smith图圆的基本思想
二,Smith圆图的基本构成
1,反射系数 Γ图为基底
0 0,3 0,6
向负载
向电源
1,0
i
r
图 7-1 反射系统 Γ 图
反射系数图最重要的概念是相角走向。
? ?( ' ) 'z el j z? ? 2 ?
式中 是向电源的 。 因此, 向电源是反射系数的负角
方向；反之, 向负载是反射系数的正角方向 。
2,套覆阻抗图
z'
已知
? ?
? ?
? ?
Z z z
z
?
?
?
?
?
?
1
1
?
?
(7-2)
设
? ?
? ?
? ? ??
?
? ?
? ?
?
?
?
??
z r i
z
j
Z r jx
且代入式 (7-2)，有
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?r jx
j
j j
r i
r i
r i
r i
i
r i
? ? ? ?? ? ?
? ?
? ?
?
? ?
1
1
1
1
2
1
2 2
2 2 2 2
? ?
? ?
? ?
? ?
?
? ?
(7-3)
二,Smith圆图的基本构成
分开实部和虚部得两个方程
? ?
? ?
? ?
r
x
r i
r i
i
r i
?
? ?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
2
1
2 2
2 2
2 2
? ?
? ?
?
? ?
(7-4)
先考虑 (7-4)中实部方程
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
r r r r
r r r r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r i r i
r r i
r r i
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
2 1
1 2 1 1
2
1 1
1
1 1
2 2 2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
二,Smith圆图的基本构成
得到圆方程
? ?r ir r r? ???? ??? ? ? ???? ???1 11
2
2
2(7-5)
相应的圆心坐标是, 而半径是 。r
r1 0?
?
??
?
??,11?r
圆心在实轴上。考虑到
r
r r1
1
1 1? ? ? ?
(7-6)
电阻圆始终和直线 相切。?
r ?1
二,Smith圆图的基本构成
1
1???? ???r?r r r? ?1 ?i ?0
1
2
1
2
2
3
1
3
r 园心坐标 半径
0 0 0 1
1 0
2 0
二,Smith圆图的基本构成
虚部又可得到方程
( )? ? ?r i ix? ? ? ?1 2 02 2
也即
( )? ?r i x x? ? ???? ??? ? ??? ???1 1 12
2 2(7-7)
式 (7-7)表示等电抗圆方程，其圆心是 (1,）,半
径是
1
x
1
x
二,Smith圆图的基本构成
1
x?r ?1
?r x? 1
x 园心坐标 半径
0 1 ∞ ∞
± 0.5 1 ± 2 2
± 1 1 ± 1 1
二,Smith圆图的基本构成
i
r
0
r
=
0
r =
1
r =
2
i
r
r
0 o p e n,cs h o r te d,c
x= -1
x= 1
感抗
容抗
x= 0 x=
=1
x= 1 /2
x= -1 /2
图 7-2 等电阻图 图 7-3 等电抗图
3,标定电压驻波比 ?实轴表示阻抗纯阻点 。 因此, 可
由电阻 r 对应出电压驻波比 ?。
4,导纳情况
二,Smith圆图的基本构成
) (1
) (1) (
z
zzY
??
??? (7-8)
令,完全类似可导出电导圆方程? ? jbgY
z ???
? ?r ig g g? ???? ??? ? ? ???? ???1 11
2
2
2(7-9)
其中，圆心坐标是 (, 0)，半径为 。g
g1? ? ?
1
1?g
1
1 1 1? ? ? ?
?
??
?
?? ?g
g
g (7-10)
等电导图与直线 相切。?
r ?1
二,Smith圆图的基本构成
i
r
纯阻线 匹配点
电压波幅
纯电抗线
1,0 1,5 2,0
电压波节
i
r
0
g = 1
g = 2
图 7-4 VSWR的 Smith园图表示 图 7-5 等电导园
也可导出电纳圆方程
? ?? ?r i b b? ? ???? ??? ? ??? ???1 1 12 2 2(7-11)
二,Smith圆图的基本构成
其圆心是,半径是,也可对应画出等电纳曲线。
? ???? ???1 1,b
1
b
i
r
0 o p e n,cs h o r te d,c
b= 1
b = 0,5
b = -1
b = -0,5
b= b= 0
容纳
感纳
图 7-6 等电纳圆
二,Smith圆图的基本构成
在很多实际计算时，我们要用到导纳 (特别是对于并联
枝节 )。对比阻抗和导纳，在归一化情况下，
恰好是反演关系。
非归一情况 归一情况
? ?
? ?
Y ZZz
z
?
?
? 0
2
? ?
? ?
Y Zz
z
?
?
? 1
(7-12)
对应 阻抗变换1
4?g
? ?
Z Zin
z
?
?
1 (7-13)
二,Smith圆图的基本构成
i
r
0
Z
Y
图 7-7 阻抗 反演 —— 导纳Z Y
Smith圆图是阻抗导纳兼用的。在作导纳圆图时，注意
上半平面是容纳，下半平面是感纳。由于 ?面不变，所
以短路和开路点不变。
二,Smith圆图的基本构成
三,Smith圆图的基本功能
Z
Y
Z ? ?
Z
?
Zindmin
Zin
已知阻抗, 求导纳 (或逆问题 )
1 已 知 阻 抗, 求 反 射 系 数 和(或逆问题 )
3 已知负载阻抗 和 求输入阻抗
4 已知驻波比和最小点,求
Z j Z? ? ?50 50 500,［ 例 1］ 已知阻抗, 求导纳 Y
i
r0
Z
Y
1
1
2
2
-j
? ?Y j? ?12 1 ? ?Y YZ j? ? ?
0
0 01 1.反归一
三,Smith圆图的基本功能
Z j? ?1 ? ?
i
r0
1 + j
0,0 8 8 ?
2,6 0
? ? ? 2 60.
? ? ?? ??? 11 0 444,? ? ? ?0 0880 5 360 63 360 0.,,
[例 2] 已知阻抗, 求反射系数 和
利用等反射系数 对系统处处有效。
三,Smith圆图的基本功能
Note 在计及反射系数 Γ相角时,360°对应 0.5λ 。
即一个圆周表示二分之一波长。
Z j Zl ? ? ?100 50 500,l ? 0 24,? Zin［ 例 3］ 已知, 点找 求
Zin Z=500 Z=100+j50l
归一化 Z jl ? ?2 1
三,Smith圆图的基本功能
i
r0
2 + j 1
0, 2 1 3
0, 4 5 3
Z l
Z in
向电源
Z jin ? ?0 24 0 25.,
Z Z Z jin in? ? ?0 21 12 5,?反归一
三,Smith圆图的基本功能
［例 4］在 为 50?的无耗线上 ?=5，电压波节点距负载 ?/3，求负载阻抗Z0 Zl
i
r
0 5,00,2
0,33 ?
j1, 4 8
0,77
Z m i n
Z in
向负载
Z m in,? ?1 0 2?
Z jin ? ?0 77 1 48.,
Z Z Z jin in? ? ?0 38 5 74,?向负载旋转 ?33.0
反归一
三,Smith圆图的基本功能
PROBLEM 7
一,已知特性阻抗 Z0=50W,负载阻抗 工作
波长 l=10m,线长 l=12m,试求
Z jl ? ?50 35 ?
1.沿线的 。?,| |?
2.求沿线等效阻抗的极值，并判断距离负载最近的极
值是最大还是最小，它与负载距离是多少？
3.输入阻抗和输入导纳。
注：试用计算和查 Smith圆图两种方法做 。
在微波工程中, 最基本的运算是工作参数 之
间的关系, 它们在已知特征参数 和长度 l 的基础
上进行 。
Smith圆图正是把特征参数和工作参数形成一体，
采用图解法解决的一种专用 Chart。 自三十年代出现以
来，已历经六十年而不衰，可见其简单，方便和直观,
?,Z,?
Z0,?
一,Smith图圆的基本思想
Smith圆图，亦称阻抗圆图。其基本思想有三条：
1,特征参数归一思想
特征参数归一思想, 是形成统一 Smith圆图的最关
键点, 它包含了阻抗归一和电长度归一 。
Z z Z zZ( ' ) ( ' )?
0
Z z
z
z
z
Z z
Z z
( ' )
( ' )
( ' )
( ' )
( ' )
( ' )
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
?
?
?
? ?? ?? ?2 360
g g
l l
?
阻抗归一
电长度归一
阻抗千变万化, 极难统一表述 。 现在用 Z０ 归一,
统一起来作为一种情况加以研究 。 在应用中可以简单
地认为 Z０ =1。
电长度归一不仅包含了特征参数 β,而且隐含了
角频率 ω。
由于上述两种归一使特征参数 Z０ 不见了；而另一
特征参数 β连同长度均转化为反射系数 Γ的转角。
2,以系统不变量 |Γ|作为 Smith圆图的基底在无耗传
输线中,|Γ|是系统的不变量 。所以由 |Γ |从 0到 1的
同心圆作为 Smith圆图的基底，使我们可能在一有限
空间表示全部工作参数 Γ, Z(Y)和 ρ 。
一,Smith图圆的基本思想
? ? ? ?( ' ) | | | |' ( )z e e el j z l j l jl? ? ?? ?2 2? ? ? ?
θ的周期是 1/2λ g。 这种以 |Γ |圆为基底的图形称为
Smith圆图 。
3,把阻抗 (或导纳 ),驻波比关系套覆在 |Γ |圆上 。
这样,Smith圆图的基本思想可描述为,消去特
征参数 Z０, 把 β归于 Γ相位；工作参数 Γ为基底，套覆
Z(Y)和 ρ。
一,Smith图圆的基本思想
二,Smith圆图的基本构成
1,反射系数 Γ图为基底
0 0,3 0,6
向负载
向电源
1,0
i
r
图 7-1 反射系统 Γ 图
反射系数图最重要的概念是相角走向。
? ?( ' ) 'z el j z? ? 2 ?
式中 是向电源的 。 因此, 向电源是反射系数的负角
方向；反之, 向负载是反射系数的正角方向 。
2,套覆阻抗图
z'
已知
? ?
? ?
? ?
Z z z
z
?
?
?
?
?
?
1
1
?
?
(7-2)
设
? ?
? ?
? ? ??
?
? ?
? ?
?
?
?
??
z r i
z
j
Z r jx
且代入式 (7-2)，有
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?r jx
j
j j
r i
r i
r i
r i
i
r i
? ? ? ?? ? ?
? ?
? ?
?
? ?
1
1
1
1
2
1
2 2
2 2 2 2
? ?
? ?
? ?
? ?
?
? ?
(7-3)
二,Smith圆图的基本构成
分开实部和虚部得两个方程
? ?
? ?
? ?
r
x
r i
r i
i
r i
?
? ?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
2
1
2 2
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2 2
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?
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(7-4)
先考虑 (7-4)中实部方程
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
r r r r
r r r r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r i r i
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? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
2 1
1 2 1 1
2
1 1
1
1 1
2 2 2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
二,Smith圆图的基本构成
得到圆方程
? ?r ir r r? ???? ??? ? ? ???? ???1 11
2
2
2(7-5)
相应的圆心坐标是, 而半径是 。r
r1 0?
?
??
?
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圆心在实轴上。考虑到
r
r r1
1
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(7-6)
电阻圆始终和直线 相切。?
r ?1
二,Smith圆图的基本构成
1
1???? ???r?r r r? ?1 ?i ?0
1
2
1
2
2
3
1
3
r 园心坐标 半径
0 0 0 1
1 0
2 0
二,Smith圆图的基本构成
虚部又可得到方程
( )? ? ?r i ix? ? ? ?1 2 02 2
也即
( )? ?r i x x? ? ???? ??? ? ??? ???1 1 12
2 2(7-7)
式 (7-7)表示等电抗圆方程，其圆心是 (1,）,半
径是
1
x
1
x
二,Smith圆图的基本构成
1
x?r ?1
?r x? 1
x 园心坐标 半径
0 1 ∞ ∞
± 0.5 1 ± 2 2
± 1 1 ± 1 1
二,Smith圆图的基本构成
i
r
0
r
=
0
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1
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2
i
r
r
0 o p e n,cs h o r te d,c
x= -1
x= 1
感抗
容抗
x= 0 x=
=1
x= 1 /2
x= -1 /2
图 7-2 等电阻图 图 7-3 等电抗图
3,标定电压驻波比 ?实轴表示阻抗纯阻点 。 因此, 可
由电阻 r 对应出电压驻波比 ?。
4,导纳情况
二,Smith圆图的基本构成
) (1
) (1) (
z
zzY
??
??? (7-8)
令,完全类似可导出电导圆方程? ? jbgY
z ???
? ?r ig g g? ???? ??? ? ? ???? ???1 11
2
2
2(7-9)
其中，圆心坐标是 (, 0)，半径为 。g
g1? ? ?
1
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1
1 1 1? ? ? ?
?
??
?
?? ?g
g
g (7-10)
等电导图与直线 相切。?
r ?1
二,Smith圆图的基本构成
i
r
纯阻线 匹配点
电压波幅
纯电抗线
1,0 1,5 2,0
电压波节
i
r
0
g = 1
g = 2
图 7-4 VSWR的 Smith园图表示 图 7-5 等电导园
也可导出电纳圆方程
? ?? ?r i b b? ? ???? ??? ? ??? ???1 1 12 2 2(7-11)
二,Smith圆图的基本构成
其圆心是,半径是,也可对应画出等电纳曲线。
? ???? ???1 1,b
1
b
i
r
0 o p e n,cs h o r te d,c
b= 1
b = 0,5
b = -1
b = -0,5
b= b= 0
容纳
感纳
图 7-6 等电纳圆
二,Smith圆图的基本构成
在很多实际计算时，我们要用到导纳 (特别是对于并联
枝节 )。对比阻抗和导纳，在归一化情况下，
恰好是反演关系。
非归一情况 归一情况
? ?
? ?
Y ZZz
z
?
?
? 0
2
? ?
? ?
Y Zz
z
?
?
? 1
(7-12)
对应 阻抗变换1
4?g
? ?
Z Zin
z
?
?
1 (7-13)
二,Smith圆图的基本构成
i
r
0
Z
Y
图 7-7 阻抗 反演 —— 导纳Z Y
Smith圆图是阻抗导纳兼用的。在作导纳圆图时，注意
上半平面是容纳，下半平面是感纳。由于 ?面不变，所
以短路和开路点不变。
二,Smith圆图的基本构成
三,Smith圆图的基本功能
Z
Y
Z ? ?
Z
?
Zindmin
Zin
已知阻抗, 求导纳 (或逆问题 )
1 已 知 阻 抗, 求 反 射 系 数 和(或逆问题 )
3 已知负载阻抗 和 求输入阻抗
4 已知驻波比和最小点,求
Z j Z? ? ?50 50 500,［ 例 1］ 已知阻抗, 求导纳 Y
i
r0
Z
Y
1
1
2
2
-j
? ?Y j? ?12 1 ? ?Y YZ j? ? ?
0
0 01 1.反归一
三,Smith圆图的基本功能
Z j? ?1 ? ?
i
r0
1 + j
0,0 8 8 ?
2,6 0
? ? ? 2 60.
? ? ?? ??? 11 0 444,? ? ? ?0 0880 5 360 63 360 0.,,
[例 2] 已知阻抗, 求反射系数 和
利用等反射系数 对系统处处有效。
三,Smith圆图的基本功能
Note 在计及反射系数 Γ相角时,360°对应 0.5λ 。
即一个圆周表示二分之一波长。
Z j Zl ? ? ?100 50 500,l ? 0 24,? Zin［ 例 3］ 已知, 点找 求
Zin Z=500 Z=100+j50l
归一化 Z jl ? ?2 1
三,Smith圆图的基本功能
i
r0
2 + j 1
0, 2 1 3
0, 4 5 3
Z l
Z in
向电源
Z jin ? ?0 24 0 25.,
Z Z Z jin in? ? ?0 21 12 5,?反归一
三,Smith圆图的基本功能
［例 4］在 为 50?的无耗线上 ?=5，电压波节点距负载 ?/3，求负载阻抗Z0 Zl
i
r
0 5,00,2
0,33 ?
j1, 4 8
0,77
Z m i n
Z in
向负载
Z m in,? ?1 0 2?
Z jin ? ?0 77 1 48.,
Z Z Z jin in? ? ?0 38 5 74,?向负载旋转 ?33.0
反归一
三,Smith圆图的基本功能
PROBLEM 7
一,已知特性阻抗 Z0=50W,负载阻抗 工作
波长 l=10m,线长 l=12m,试求
Z jl ? ?50 35 ?
1.沿线的 。?,| |?
2.求沿线等效阻抗的极值，并判断距离负载最近的极
值是最大还是最小，它与负载距离是多少？
3.输入阻抗和输入导纳。
注：试用计算和查 Smith圆图两种方法做 。
