第 14章 矩形波导中的简正波
Eigen Modes in Rectangular
Waveguide
方程通解
M a x w e ll
矩形波导
波
波
TE
TM
mn
mn
?
?
?
??
传输波
雕落波
矩形波导的求解是典型的微分方程法, 通解表明：
在 z方向它有广义传输线功能, 即是入射波和反射波
的迭加；在 xy方向由于边界条件限制形成很多分立的
TEmn波 (Ez=0)和 TMmn波 (Hz=0)。 在物理上称之为 离
散谱 。 有限边界构成离散谱 。
m— x方向变化的半周期数；
n— y方向变化的半周期数 。
矩形波导中 TE波和 TM波的全部集体构成简正波 。
一、简正模理论
简正模 (或简正波 )理论包含三个方面：
1,完备性
矩形波导中不论放置什么障碍物和边界条件, 它
们里边存在的是 TEmn和 TMmn模式, 而且, 它们也只
能存在 TEmn和 TMmn模式, 具体情况所不同的仅仅是
各种模式的比例与组合 。
一、简正模理论
2,正交性
简正模中各个模式是相互正交的, 也就是说,
它们之间没有功率和能量交换, 即各模式相互独立,
在 Fourier分析中表明
0
s i n
c os
s i n
0
s i n
c os
s i n
0
0
?
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pmdyy
b
p
y
b
n
lmdxx
a
l
x
a
m
b
a
??
??
这就保证了每一模的独立性 。
(14-1)
一、简正模理论
3,传输模和雕落模
由于频率的选择，每一种模都有可能成为传输模
或雕落模。
?
??? 2 2222 ??
?
??
?
???
?
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b
n
a
mkkk
yxc截止波数
22
2
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b
n
a
m
c?截止波长
一、简正模理论
传输模
＜? ?cmn
雕落模
＞? ?cmn
e j z
c
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?
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2 1
2
0
z
E
e z
c
c
?
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?
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?
?
?
2 1 2
注意到雕落模 (也称截止模 ),它是一种快速衰
减的振荡模式 。 也就是说, 在不同的 z处, 有同一相
位 。
当然, 雕落模式没有功率和能量传播 。
当模式不同，但却有相同的 kc,我们称为简并模
式。最后显示的是 TEmn和 TMmn是简并 (Degeneration)
的。
一、简正模理论
二,TE10波单模存在条件
当 b<a时, m=1,n=0的 λ c最大 。 (或者说 fc最低 )
TE10波 —— 称为矩形波导的主模 (或者优势模 )，
在绝大多数传输的应用场合我们都希望只传输 TE10
波, 而其它模式都成雕落模而不传输 。
TE10波单模存在条件是
? ? ?cm n c＜ ＜ 10
其中,λc10=2a,次最大的 λcmn将与 a/b之比值有关 。
(14-2)
二,TE10波单模存在条件
对于标准波导
a b/,? 2 2
? cmn a
m n
?
?
2
4 842 2.
a a＜ ＜? 2
在这种情况下
其中,m,n取任意正整数，显然，对式 (14-4)，
取 m=2,n=0比 n=1,m=0的 λc要大。因此，除 TE10波
之外，第二模是 20模
(14-5)
(14-4)
(14-3)
二,TE10波单模存在条件
［ 例 1］ BJ-100波导, a× b=22.86× 10.16mm2,求单
模传输的波长范围和频率范围 。
［ 解 ］ 已经知道单模传输条件是
λcmn＜ λ＜ 2a
? c a10 2 45 72? ?, mm
? c a20 22 86? ?, mm
? c b01 2 20 32? ?, mm
二,TE10波单模存在条件
? c
a b
11 2 2
2
1 1
18?
?
??
?
?? ?
?
??
?
??
? mm
? c a30 23 15 25? ?, mm
? c
a b
21 2 2
2
2 1
15 10?
?
??
?
?? ?
?
??
?
??
?, mm
十分明显, 第二模式是 λc20=22,86mm。 因此,
单模传输
二,TE10波单模存在条件
22 86 45 72
6 55 13 10
.,
.,
mm mm＜ ＜
＜ ＜
?
G f GC C
?
??
??
10 20 50mm30 40
H
10
H
20
H01
E
21
E
11
H
21
H
11
H
30
,
,
截
止
区
域
单模
工作区
图 14-1
(14-6)
处理单模工作区的另一种办法是图解法, 它等价
于
二,TE10波单模存在条件
? 2 2 24＜
m
a
n
b
?
??
?
?? ?
?
??
?
??
m x n y2 2 2 2 4? ＜
(14-7)
(14-8)
其中,x=λ/a,y=λ/b。
于是可以写出
二,TE10波单模存在条件
TE10波
TE01波
TE20波
TE11波
TE21波
m=1,n=0
m=0,n=1
m=2,n=0
m=1,n=1
m=2,n=1
x<2
y<2
x<1
圆）41(122 ?? yx
椭圆）41(44 22 ?? yx
二,TE10波单模存在条件
画出工作模式图, 以刚才的数字例子 BJ-100波导
a=22.86mm,b=10.16mm。
y b a ab x? ? ??? ??? ?? ? 2 25.
aa 2＜＜ ?
从工作模式图清楚看出
或者
1＜ x＜ 2
二,TE10波单模存在条件
0 x
y
1 2
2
2.25
H
90
H
10
H
20
E,H
21
E,H
11
y
x
=
2
.
2
5
图 14-2 工作模式图
三、高次模
对于矩形波导用作传输线时, TE10波是主模, 传
输模 。 其它模式都是高次模, 雕落模 。 在均匀波导中
不出现任何高次模, 但是一旦波导中有不均匀性, 则
在不均匀性周围就有高次模存在 。
高次模是衰减的模式 。 其中
a c? ? ? ??? ???? ?? ??2 1
2
用 λ>λ c。
(14-9)
三、高次模
高次波相当流体中的涡旋 。 涡旋是不流的, 但是,
它对流体的流动却起到十分重要的作用, 涡旋也经常
出现在障碍物的周围 。
请注意到涡旋在有些场合有利于流体流动, 而在
有些场合却阻碍流体流动 。
波导中的高次模对于主模 TE10波的作用相当于一
个电抗 。它在有的场合有利于传输，而有的场合不利
于传输 。
三、高次模
涡旋
图 14-3 流体中的涡旋
jB
图 14-4 不均性中高次模对于主模相当于 jB。
三、高次模
a,谐振窗高次模有利于传输 b,喇叭高次模造成反射
三、高次模
上面所讨论的是高次模对于主模传输产生的作
用 。
实际上高次模本身还可起很大作用：当若干高
次模传输时构成多模喇叭, 多模传输线和多模谐振
腔等等 。 当使主模不传输时, 则构成截止衰减器 —
— 它是绝对定标的 。
四、矩形波导的工程设计
任何工程设计都是处理若干个矛盾因素, 矩形波
导有关的矛盾因素是：单模传输, 功率容量, 衰减,
材料, 加工方便, 牢固等几个因素 。
1,功率容量要求
P E ab am a x m a x? ? ??? ???
2 2
480 1 2
?
?
??
aab 8.1,9.02 ＜即＜ ???????
从上面公式可知 Pmax↑, 要求 a尽量大,b尽量大且
四、矩形波导的工程设计
2,衰减要求
a
R
b
b
a a
a
s
分贝 米/
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
8 686
120
1
2
2
1
2
2
2?
?
?
从衰减角度希望 b尽量大 。
四、矩形波导的工程设计
3,单模传输要求
为了传输 TE10单模, 最适范围是
为了加宽频带在工作模式图中即 m动态曲线的左
方
a a＜ ＜? 2
? ?
b a
b
a≥ 也即 ≤2 2
?
??
?
??
?
??
?
??,
0 x
y
1 2
m s
图 14-5
四、矩形波导的工程设计
4,材料要求
为了节约材料, a,b尽量小, 为了提高性能最好
镀银, 铜, 如果要节约成本和轻, 则最好用铝 Al或不
锈钢 (Al是 Cu重量的 )。
5,为了加工方便和牢固
从牢固的角度波导壁要厚一些；而从成本角度则
要薄一些 。
为了加工方便光洁度公差希望松一些 。
最后，可综合列出下表。
四、矩形波导的工程设计
矩形波导工程设计
大
大
小 小
a b b/a 波导壁 公差光洁度
功率容量
单模传输
材料要求
加工牢固
衰 减
8.1??a
?? ?? a2 2??????? ab
光洁度高
壁厚兼顾
成本、牢固
光洁，公差松
结论 ＜ ＜
≤
材料铜铝 镀银
壁厚
( 1) 0.5 55
( 3) ( )
( 4) 1.0 mm 2.0 mm
? ?a
b a( ) / /2 1 2
?
四、矩形波导的工程设计
所以, 一般选择
［ 例 2］ 国前 10cm标准波导 BJ32,f∈ [2,60,3,95Gc]
中心频率 3.2Gc,a× b=72.14× 34.04mm2检验是否符
合波导设计标准?
［ 解 ］ BJ-32波导如图所示 。
λ=115,298～ 75,893mm
a
b
?
?
??
?
0 75
0 4 0 5
.
.,
?
?～
(14-10)
四、矩形波导的工程设计
图 14-6 BJ-32 Waveguide
a
a
＞
＜
0 555,max
m i n
?
?
?
?
?
??
也即
(14-11)
四、矩形波导的工程设计
显然取 b=34.04mm 也符合此不等式
壁厚 t=2mm
b a＜ 12 36 07?, mm
显然,a=72.14mm符合上式不等式范围
a
a
＞
＜
64
75 893
mm
mm.
?
?
??
这时 a≈0,77λ
0
同时，
四、矩形波导的工程设计
在波导传输中 Pmax和 a均比同轴线优，但频带劣于
同轴线。
PROBLEMS 14
一、无限长矩形波导截面，在处填充的介质，试分析
整个场分布
E E r0
reg ion 2
E 0
re gi on 1
b
z0
Eigen Modes in Rectangular
Waveguide
方程通解
M a x w e ll
矩形波导
波
波
TE
TM
mn
mn
?
?
?
??
传输波
雕落波
矩形波导的求解是典型的微分方程法, 通解表明：
在 z方向它有广义传输线功能, 即是入射波和反射波
的迭加；在 xy方向由于边界条件限制形成很多分立的
TEmn波 (Ez=0)和 TMmn波 (Hz=0)。 在物理上称之为 离
散谱 。 有限边界构成离散谱 。
m— x方向变化的半周期数；
n— y方向变化的半周期数 。
矩形波导中 TE波和 TM波的全部集体构成简正波 。
一、简正模理论
简正模 (或简正波 )理论包含三个方面：
1,完备性
矩形波导中不论放置什么障碍物和边界条件, 它
们里边存在的是 TEmn和 TMmn模式, 而且, 它们也只
能存在 TEmn和 TMmn模式, 具体情况所不同的仅仅是
各种模式的比例与组合 。
一、简正模理论
2,正交性
简正模中各个模式是相互正交的, 也就是说,
它们之间没有功率和能量交换, 即各模式相互独立,
在 Fourier分析中表明
0
s i n
c os
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s i n
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a
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这就保证了每一模的独立性 。
(14-1)
一、简正模理论
3,传输模和雕落模
由于频率的选择，每一种模都有可能成为传输模
或雕落模。
?
??? 2 2222 ??
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一、简正模理论
传输模
＜? ?cmn
雕落模
＞? ?cmn
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c
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E
e z
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2 1 2
注意到雕落模 (也称截止模 ),它是一种快速衰
减的振荡模式 。 也就是说, 在不同的 z处, 有同一相
位 。
当然, 雕落模式没有功率和能量传播 。
当模式不同，但却有相同的 kc,我们称为简并模
式。最后显示的是 TEmn和 TMmn是简并 (Degeneration)
的。
一、简正模理论
二,TE10波单模存在条件
当 b<a时, m=1,n=0的 λ c最大 。 (或者说 fc最低 )
TE10波 —— 称为矩形波导的主模 (或者优势模 )，
在绝大多数传输的应用场合我们都希望只传输 TE10
波, 而其它模式都成雕落模而不传输 。
TE10波单模存在条件是
? ? ?cm n c＜ ＜ 10
其中,λc10=2a,次最大的 λcmn将与 a/b之比值有关 。
(14-2)
二,TE10波单模存在条件
对于标准波导
a b/,? 2 2
? cmn a
m n
?
?
2
4 842 2.
a a＜ ＜? 2
在这种情况下
其中,m,n取任意正整数，显然，对式 (14-4)，
取 m=2,n=0比 n=1,m=0的 λc要大。因此，除 TE10波
之外，第二模是 20模
(14-5)
(14-4)
(14-3)
二,TE10波单模存在条件
［ 例 1］ BJ-100波导, a× b=22.86× 10.16mm2,求单
模传输的波长范围和频率范围 。
［ 解 ］ 已经知道单模传输条件是
λcmn＜ λ＜ 2a
? c a10 2 45 72? ?, mm
? c a20 22 86? ?, mm
? c b01 2 20 32? ?, mm
二,TE10波单模存在条件
? c
a b
11 2 2
2
1 1
18?
?
??
?
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a b
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2
2 1
15 10?
?
??
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??
?, mm
十分明显, 第二模式是 λc20=22,86mm。 因此,
单模传输
二,TE10波单模存在条件
22 86 45 72
6 55 13 10
.,
.,
mm mm＜ ＜
＜ ＜
?
G f GC C
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10 20 50mm30 40
H
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H
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H01
E
21
E
11
H
21
H
11
H
30
,
,
截
止
区
域
单模
工作区
图 14-1
(14-6)
处理单模工作区的另一种办法是图解法, 它等价
于
二,TE10波单模存在条件
? 2 2 24＜
m
a
n
b
?
??
?
?? ?
?
??
?
??
m x n y2 2 2 2 4? ＜
(14-7)
(14-8)
其中,x=λ/a,y=λ/b。
于是可以写出
二,TE10波单模存在条件
TE10波
TE01波
TE20波
TE11波
TE21波
m=1,n=0
m=0,n=1
m=2,n=0
m=1,n=1
m=2,n=1
x<2
y<2
x<1
圆）41(122 ?? yx
椭圆）41(44 22 ?? yx
二,TE10波单模存在条件
画出工作模式图, 以刚才的数字例子 BJ-100波导
a=22.86mm,b=10.16mm。
y b a ab x? ? ??? ??? ?? ? 2 25.
aa 2＜＜ ?
从工作模式图清楚看出
或者
1＜ x＜ 2
二,TE10波单模存在条件
0 x
y
1 2
2
2.25
H
90
H
10
H
20
E,H
21
E,H
11
y
x
=
2
.
2
5
图 14-2 工作模式图
三、高次模
对于矩形波导用作传输线时, TE10波是主模, 传
输模 。 其它模式都是高次模, 雕落模 。 在均匀波导中
不出现任何高次模, 但是一旦波导中有不均匀性, 则
在不均匀性周围就有高次模存在 。
高次模是衰减的模式 。 其中
a c? ? ? ??? ???? ?? ??2 1
2
用 λ>λ c。
(14-9)
三、高次模
高次波相当流体中的涡旋 。 涡旋是不流的, 但是,
它对流体的流动却起到十分重要的作用, 涡旋也经常
出现在障碍物的周围 。
请注意到涡旋在有些场合有利于流体流动, 而在
有些场合却阻碍流体流动 。
波导中的高次模对于主模 TE10波的作用相当于一
个电抗 。它在有的场合有利于传输，而有的场合不利
于传输 。
三、高次模
涡旋
图 14-3 流体中的涡旋
jB
图 14-4 不均性中高次模对于主模相当于 jB。
三、高次模
a,谐振窗高次模有利于传输 b,喇叭高次模造成反射
三、高次模
上面所讨论的是高次模对于主模传输产生的作
用 。
实际上高次模本身还可起很大作用：当若干高
次模传输时构成多模喇叭, 多模传输线和多模谐振
腔等等 。 当使主模不传输时, 则构成截止衰减器 —
— 它是绝对定标的 。
四、矩形波导的工程设计
任何工程设计都是处理若干个矛盾因素, 矩形波
导有关的矛盾因素是：单模传输, 功率容量, 衰减,
材料, 加工方便, 牢固等几个因素 。
1,功率容量要求
P E ab am a x m a x? ? ??? ???
2 2
480 1 2
?
?
??
aab 8.1,9.02 ＜即＜ ???????
从上面公式可知 Pmax↑, 要求 a尽量大,b尽量大且
四、矩形波导的工程设计
2,衰减要求
a
R
b
b
a a
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分贝 米/
.
?
?
?
?
?
?
?
?
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8 686
120
1
2
2
1
2
2
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?
?
从衰减角度希望 b尽量大 。
四、矩形波导的工程设计
3,单模传输要求
为了传输 TE10单模, 最适范围是
为了加宽频带在工作模式图中即 m动态曲线的左
方
a a＜ ＜? 2
? ?
b a
b
a≥ 也即 ≤2 2
?
??
?
??
?
??
?
??,
0 x
y
1 2
m s
图 14-5
四、矩形波导的工程设计
4,材料要求
为了节约材料, a,b尽量小, 为了提高性能最好
镀银, 铜, 如果要节约成本和轻, 则最好用铝 Al或不
锈钢 (Al是 Cu重量的 )。
5,为了加工方便和牢固
从牢固的角度波导壁要厚一些；而从成本角度则
要薄一些 。
为了加工方便光洁度公差希望松一些 。
最后，可综合列出下表。
四、矩形波导的工程设计
矩形波导工程设计
大
大
小 小
a b b/a 波导壁 公差光洁度
功率容量
单模传输
材料要求
加工牢固
衰 减
8.1??a
?? ?? a2 2??????? ab
光洁度高
壁厚兼顾
成本、牢固
光洁，公差松
结论 ＜ ＜
≤
材料铜铝 镀银
壁厚
( 1) 0.5 55
( 3) ( )
( 4) 1.0 mm 2.0 mm
? ?a
b a( ) / /2 1 2
?
四、矩形波导的工程设计
所以, 一般选择
［ 例 2］ 国前 10cm标准波导 BJ32,f∈ [2,60,3,95Gc]
中心频率 3.2Gc,a× b=72.14× 34.04mm2检验是否符
合波导设计标准?
［ 解 ］ BJ-32波导如图所示 。
λ=115,298～ 75,893mm
a
b
?
?
??
?
0 75
0 4 0 5
.
.,
?
?～
(14-10)
四、矩形波导的工程设计
图 14-6 BJ-32 Waveguide
a
a
＞
＜
0 555,max
m i n
?
?
?
?
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??
也即
(14-11)
四、矩形波导的工程设计
显然取 b=34.04mm 也符合此不等式
壁厚 t=2mm
b a＜ 12 36 07?, mm
显然,a=72.14mm符合上式不等式范围
a
a
＞
＜
64
75 893
mm
mm.
?
?
??
这时 a≈0,77λ
0
同时，
四、矩形波导的工程设计
在波导传输中 Pmax和 a均比同轴线优，但频带劣于
同轴线。
PROBLEMS 14
一、无限长矩形波导截面，在处填充的介质，试分析
整个场分布
E E r0
reg ion 2
E 0
re gi on 1
b
z0
