第 21章 带状线
Stripline
六十年代以来, 在微波工程和微波技术上, 出现
了一次不小的革命, 即所谓 MIC(Microwave
Integrated Circuit)微波集成电路 。 其特色是体积小,
功能多, 频带宽, 但承受功率小 。 因此被广泛用于接
收机和小功率元件中, 并都传输 TEM波 。
作为这一革命的, 过渡人物, 是带状线
(Stripline)。它可以看作是同轴线的变形。
同轴线 扁带同轴线 带状线
一, 带状线的特性阻抗
带线传输 TEM波, 特性阻抗是研究的主要问题, 其
求解框图如下,
特性阻抗
Z L
C0
? Z LCC0 ? Z vCvL0
1
?
?
?
?
??
其中 v是传输线中的光速, 一般有
是所填充的介质, 于是一般的特性阻抗问题可
转化为求电容 C的问题 。
,
r
cv
?? smc /100.3
8??
r??0
C' f
C' f
C p
C p
W
C' f
C' f
图 21-2 带线电容
带线电容分成板间电容 Cp和边缘电容 Cf′ 。
W／ b愈大, C愈大, 特性阻抗 Z0愈小 。
W／ b愈大, Cf′ 影响愈小 。
带线研究的主要内容如下框图
一, 带状线的特性阻抗
带线研究的主要问题
一, 带状线的特性阻抗
特性阻抗 衰减 功率容量 尺寸设计
二, 保角变换和 Schwarz变换
?A
1,变换 (Transform)和不变性
变换已经为大家所熟悉 。 但是, 对于不变性
可能不被人们重视 。 事实上, 变换中的不变性是非
常重要的科学思想, 20世纪的数学王子 Hilbert(希
尔伯特 )其早期的主要业绩之一是对不变量的研究 。
坐标旋转时, 任一矢量 的长度不变, 更一般
的表述,内积不变, 相对论中 Lorentz变换进
一步推广成
x2＋ y2＋ z2－ c2t2 = constant
四维空间的长度不变, 也是光速不变的体现 。
P A B? ?? ?
x
y
O
q
x'
y'
图 21-3 坐标旋转
坐标旋转时, 任一矢量 的长度不变, 更一般的表
述,内积不变, 相对论中 Lorentz变换进一步推
广成
?A
P A B? ?? ?
二, 保角变换和 Schwarz变换
x2＋ y2＋ z2－ c2t2 = constant
四维空间的长度不变，也是光速不变的体现
2,保角变换概念
保角变换是复变 (解析 )函数变换
w = f(z) = u＋ jv
Z-plane W-plane
二, 保角变换和 Schwarz变换
它的物理概念表示由某一图形从 z平面变到 w平面,
其中 w=f(z)是解析函数 。 在电磁保角变换中, w称为复
位 w = u＋ jv
其中，若 u表示等位线，则 v表示力线；反之,u表示力
线，则 v表示等位线。
［ 性质 1］ 解析函数 w=u+jv满足
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
u
u
x
u
y
v
v
x
v
y
?
?
?
?
?
?
?
?
(21-1)
二, 保角变换和 Schwarz变换
［ 证明 ］ 解析函数满足 Cauchy-Rieman条件
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
u
x
v
y
u
x
v
y x
u
y
v
x
u
y
v
x y
u
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
2
2
2
2 2
2 0
［ 性质 2］ W=u+jv是解析函数, 则等位线
u(x,y)=c1和力线 v(x,y)=c2在 z平面必须相互正交。
［ 证明 ］ 正交条件是
tg tg? ?1 2 1? ? (21-2)
二, 保角变换和 Schwarz变换
由图 21-5可见：
u
u=c1
c1
x
v
O
v=c2 c2
? 2? 1
y
图 21-5
Z-plane W-plane
二, 保角变换和 Schwarz变换
? ? ?
?
? ?
?
? ?
1 2
2 1
2 1
2
? ? ?
? ?
? ?
( )
2
tg c tg 21 - 2即为（ ）式
现在
dy
dx c
1
1? tg ?
而根据 u(x,y)=c1,有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
u
x
x
x
u
y
y
x
dy
dx
u
x
v
y
u c
? ?
? ? ?
?
0
1
1
tg
二, 保角变换和 Schwarz变换
同理可得
dy
dx
v
x
u
y
u c?
? ? ?
2
2
?
?
?
?
?tg
于是
tg tg? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
1 2 1? ? ?
u
x
v
x
u
y
v
y
上述两个性质说明解析函数可以表征电磁复位，
变换时 u,v正交即 保角 。
二, 保角变换和 Schwarz变换
[性质 3］ 保角变换把 z平面上一个由力线和等位线构成
的一个区域变换到 w平面的一个力线和等位线构成的对
应区域, 两者之间电容相等 。
O O
y vv 2
v'
2v
1
v'
1g
1
g'
1
g
2
g'
2
x u
图 21-6
二, 保角变换和 Schwarz变换
［ 证明 ］ 因为电容定义
C q qV V? ??2 1
2 1
(21-3)
而变换时等位线和力线一一对应, 即
q q q q V V V V' ',' '2 1 2 1 2 1 2 1? ? ? ? ? ?
于是 C
z=Cw
所以, 保角变换的实质是希望利用变换中电容的不
变性, 把难于计算的复杂区域电容变成便于计算的
简单区域电容 。
二, 保角变换和 Schwarz变换
从上面论述可以总结出保角变换计算电容的条件
·保角变换必须是二维问题符合 Laplace方程
(TEM波传输线 )
·必须在等位问题 (注意到导体是等位的 )和一
定的力线区域内计算
·通过某种变换, 有可能变成简单区域
3,Schwarz多角形变换
这是在实际工程中应用最为广泛的一种变
换。
二, 保角变换和 Schwarz变换
dw
dz
A z a z a z a
A z a
a a
n
a
i
a
i
n
n
i
? ? ? ?
? ?
? ? ?
?
?
?
( ) ( ) ( )
( )
1
1
2
1 1
1
1
1 2
? ? ?
?
?
(21-4)
上面所及即标准的 Schwarz-Chrictoffel变换。
O O
y v
x
a
1
a 1
b
1
a
2
a
2
b
2
a
3
a
3
b 3
u
Z-plane W-plane
二, 保角变换和 Schwarz变换
三, 零厚度带线的特性阻抗 Z0
问题的提法：根据,把求特性阻抗的问题
转化为求电容的问题，而且考虑到对称性，只需要求解
Z vC0 1?
，见图，再按两倍电容计算。1
2C
0 v
+1v
0 v
图 21-8
由 z平面变换到 t平面
z— t平面保角变换
?? j b2jb2?? j
b
2 ?jb2 ?? jb2
?1k 1k
?
2
?
2
?
2
?
2
对应点
复平面 A B C D E F A＇
z 0 0
t － ∞ － 1 0 1 ∞
a 2?
三, 零厚度带线的特性阻抗 Z0
其中 k＜ 1。
y
w/ 2
t
i
x
A
A A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F
+1v
+1v
- 1 1 1 /k- /k1
o
o
0 v
0 v
0 v 0 v
t
r
图 21-9 z-t平面的保角变换
根据 Schwarz多角形变换, 有
z A
t
t t
k
dt B
t
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??1
2
2 2
2
0
1
2
1
1
1
( )
(21-5)
三, 零厚度带线的特性阻抗 Z0
2,t平面向 w平面变换
t-w平面保角变换
?1k 1k
?
2?2?2
?
2
对应点
复平面 A B C D E F A＇
t － ∞ － 1 0 1 ∞
w jK＇ K+jK＇ － K 0 K K+jK＇ jK＇
a ?
三, 零厚度带线的特性阻抗 Z0
又根据 Schwarz变换
w A dt
t k t
Bl?
? ?
??2
2 2 2 20 1 1( )( )
(21-6)
其中 K是第一类完全椭圆积分 。 定义是
K k F k dt
t k t
( ),
( )( )
? ??? ??? ?
? ??
?
2 1 12 2 20
1(21-7)
对于 (21-6)式, 根据 D点的边界条件
B2=0
三, 零厚度带线的特性阻抗 Z0
又根据 E点的边界条件
K k A dt
t k t
( )
( )( )
?
? ??2 2 2 20
1
1 1
则可知 A2＝１ 。
再根据 F点的边界条件
y
v
A A'B
B
C C DE
E
F
F
+1v +1v
o o
0v 0v
x u
A'A
三, 零厚度带线的特性阻抗 Z0
K k dt
t k t
k' ( )
( )( )
?
? ?? 1 12 2 20
1
我们设, 称 k′ 为 k的余模数 。1 12 2 2 2 2 2? ? ? ?k t k t k k' ','且1 1 0 1
1
1
1
1
2
2
2
2 2
2
2 2
2
≤ ≤ 对应 ≤ ≤t
k
t
dt
k t
k t
dt
t
k t
k
k t
k
'
' '
'
' ' ' ( )
? ?
? ?
?
? ?
?
三, 零厚度带线的特性阻抗 Z0
于是
K k
k t
k t
dt
k
k
t k t
dt
kt t
dt
t k t
' ( )
' '
'
'
( ' ) ' '
'
( ' )
'
( ' )( ' ' )
?
?
?
?
?
? ?
?
? ?
2
2
2
2
2 2 2
0
1
20
1
2 2 20
1
1
1
1 1 1
可见, K(k)也是第一类完全椭圆积分, 只是模数换
成 k的余模数 k。
3,电容 C计算
根据保角变换关于电容 C的不变性, 可以直接由
w平面算出
三, 零厚度带线的特性阻抗 Z0
C sd K kK kw ? ?? ? 2 ( )' ( ' )
(21-8)
复原到带线全平面
C=2CW
最后特性阻抗
Z
vC K k
K k
K k
K k0
1
4 4
? ? ? ?
??
?
?
?( )
' ( )
' ( )
( )
Z K kK k
r
0
30? ?
?
' ( ' )
( )
(21-9)
三, 零厚度带线的特性阻抗 Z0
k W b? th ( / )? 2
(21-10)
在微波工程实际上, 有一个精度很高的近似式
K k
K k
k
k
k
k
( )
' ( )
ln
'
'
ln
'
'
?
?
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?
?
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??
?
?
?
?
?
1
2
1
1
1
2
1
1
1
?
?
(21-11)
采用上述公式可避免计算椭圆积分, 近似度高于
8/10000。
三, 零厚度带线的特性阻抗 Z0
附 录
APPENDIX
k th Wb? ??? ????2
的证明
从 z-t变换可知
z A
tdt
t t
k
B
A
dt
t
k
t
k
B
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
1
2 2
2
1
0
1
1
2
4
2
2
2
1
0
1
1
1
1
2
1
1 1
( )
见数学手册 P263
? ?dxax bx c a ax b a ax bx c C2 21 2 2? ? ? ? ? ? ? ?? ln
可以知道
z A t k t t k t k k B? ? ???? ??? ? ? ???? ??? ???? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ???? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
??
?12 2 1 1 2 1 1 1 1 1 11 2 2 2 2 2 2 2
2
1ln ( ) ln
z-t变换的对应点关系
附 录
t z
W
z B
W
? ?
? ?
0
2
21
,
B W1 2?
t z
z A k k W
? ? ?
? ??
??
?
??
? ? ???? ????
??
?
??
?
?
?
?
?
?
? ?
1 0
2 1
1 1 1
2 0
1
2
,
ln ln
A W
k k
1 2
21
1 1 1
?
? ???? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???? ???ln ln
22
1
1
ln
2
1
1
ln
2
2
,
1
1
2
2
2
1 ?AjW
k
A
k
A
z
b
jz
k
t
?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
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? ??
?
?
?
?
?
? ??
???
?
?
b
A
b
j
A
jz
??
???
1
1
22
1
2
3
附 录
在这个变换中, 共有三个待定常数 A1,B1和 k,正
好上面有三个独立的对应点条件 。 求出 A1,B1和 k。
根据 2,3条件
W
k
k
b
A
ln
1
1
1?
?
?
??
?
??
? ? ?
?
于是得到
ln 11 ????? ??? ? ?kk Wb?
附 录
也即
k Wb? ??? ???th ?2
如果考虑中间步骤有
1
1
1
1
2
2
2 2
2 2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
? ?
k
k
e
k
e
e
e e
e e
W
b
W
b
W
b
W
b
W
b
W
b
W
b
W
b
W
b
?
?
?
? ?
? ?
?
?
sh
ch
附 录
PROBLEMS21
若理想三端环行器的特性是 1→3→2→1 试写出
其 S散射矩阵。
一
已知魔 T特性如图二
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0011
0011
1100
1100
2
1
][ S
求,(1) 3端口输入时的输出情况 。
(2) 4端口输入时的输出情况。